IDEA StatiCa RCS – Progettazione strutturale di elementi in calcestruzzo 1D

Progettazione di sezioni in calcestruzzo armato secondo EN 1992-1-1 e EN 1992-2.

Flessione
Taglio
Torsione
Interazione
Verifica della limitazione delle tensioni
Controllo della fessurazione
Diagramma N-M-κ
Bibliografia

Flessione

Metodi per la verifica della capacità sezionale

Due metodi ben noti possono essere utilizzati per verificare lo stato limite ultimo per elementi monodimensionali in calcestruzzo. Il primo fornisce la resistenza ultima della sezione trasversale sotto forma di un dominio di interazione o di un diagramma di interazione (nel caso di momento flettente in una direzione). La capacità della sezione trasversale può essere determinata come rapporto tra le forze interne agenti e le forze allo stato limite. Il secondo consiste nel trovare l'equilibrio in una sezione trasversale, dove si ricerca il comportamento effettivo della sezione caricata, l'utilizzo dei materiali in termini di tensioni e la comprensione delle vulnerabilità della sezione.

Ipotesi generali di progetto e ipotesi di calcolo per lo Stato Limite Ultimo 

1. La deformazione ε nell'armatura e nel calcestruzzo si assume direttamente proporzionale alla distanza dall'asse neutro (le sezioni piane rimangono piane).
2. L'interazione tra armatura e calcestruzzo è garantita dall'aderenza tra calcestruzzo e armatura senza scorrimento (la deformazione ε dell'armatura coincide con quella delle fibre adiacenti di calcestruzzo).
3. La resistenza a trazione del calcestruzzo è trascurata (tutte le tensioni di trazione sono trasmesse dall'armatura).
4. Le tensioni di compressione nel calcestruzzo nella zona compressa sono calcolate in relazione alla deformazione ricavata dai diagrammi tensione-deformazione.
5. Le tensioni nell'armatura sono calcolate in relazione alla deformazione ricavata dai diagrammi tensione-deformazione.
6. La deformazione a compressione del calcestruzzo con limite di deformazione ultima ε_cu2 (diagramma parabola-rettangolo per il calcestruzzo compresso) e ε_cu3 (relazione tensione-deformazione bilineare), [2].
7. La deformazione a compressione dell'armatura è senza limitazione nel caso di ramo plastico superiore orizzontale; nel caso di ramo plastico superiore inclinato la deformazione è limitata a ε_ud,[2].
8. Lo stato limite è raggiunto quando lo stato di almeno uno dei materiali supera la deformazione ultima allo stato limite (se εu non è limitata, il calcestruzzo compresso è determinante).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagramma di interazione

La prima opzione consiste nel verificare la sezione trasversale tramite una superficie di interazione (o diagramma di interazione). Una spiegazione è fornita su un esempio delle superfici di interazione per la sezione quadrata armata dell'esempio nella figura seguente. Sulla superficie di interazione sono collocati i punti che definiscono lo stato limite ultimo della sezione trasversale esaminata. La superficie di interazione è tracciata dai punti (N, My, Mz), determinati mediante integrazione delle tensioni nella sezione trasversale, che ha raggiunto la deformazione ultima allo stato limite in uno dei materiali. Per un'interazione 3D, la superficie può essere derivata da un diagramma di interazione 2D, che è una curva chiusa, corrispondente alla tensione di un asse neutro ruotato continuamente.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Nel caso di una sezione trasversale simmetrica rispetto all'asse y, il diagramma di interazione è simmetrico rispetto al piano N-M_y. Analogamente, nel caso di una sezione trasversale simmetrica rispetto all'asse z, il diagramma di interazione è simmetrico rispetto al piano N-M_z. La sezione con armatura unilaterale introduce una forma appiattita del diagramma di interazione.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

I punti che definiscono lo stato limite ultimo sono ricavati dall'integrazione delle tensioni.  La figura seguente mostra le deformazioni allo stato limite ultimo.

Distribuzioni delle deformazioni allo stato limite ultimo (tratto da [2]).

Il diagramma di interazione mostra la rottura della sezione trasversale sotto forza normale e momenti flettenti. [1]

Considerando il problema del diagramma 2D (curva chiusa giacente sulla superficie di interazione) si può determinare che il piano di deformazione passa attraverso l'asse neutro e il punto critico [y, z, ε], considerato come punto critico R.  Il punto [y, z] definisce un punto nella sezione trasversale con il valore di deformazione ε allo stato limite ultimo. L'inclinazione dell'asse neutro è costante per tutti i punti del diagramma 2D.

Nel caso in cui la tensione di compressione nel calcestruzzo sia determinante per il progetto, il punto R coincide con la fibra di calcestruzzo compressa più lontana o con il punto limite C. Tuttavia, ciò può essere applicato solo se la sezione è composta da un unico tipo di calcestruzzo - non come una sezione mista.   

Nel caso in cui la tensione di trazione nell'armatura sia determinante per il progetto (la deformazione ε_ud è superata allo stato limite ultimo per una o più barre), deve essere soddisfatta la condizione che per il dato piano di deformazione il valore ε_ud non sia superato in nessun'altra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

La figura sopra mostra che il diagramma può essere suddiviso in due parti: la parte in cui la rottura è causata dalla forza di trazione e la parte che collassa per una forza di compressione. I punti limite corrispondono al caso sopra, dove si può osservare anche l'inclinazione estrema del piano di deformazione. Quando si traccia un diagramma di interazione l'inclinazione del piano di deformazione della sezione trasversale varia in questo intervallo, mentre si ricerca il punto R (vedi sopra). Sulla base del piano così definito si esegue l'integrazione per ottenere la tensione allo stato limite ultimo.

Verifica della sezione trasversale soggetta a forza assiale e momento flettente

La verifica di una sezione trasversale soggetta a forza assiale e momento flettente consiste nel dimostrare che le tensioni verificate (combinazione N_d, M_yd, M_zd) si trovano all'interno o sulla superficie del dominio di interazione. Diversi metodi possono eseguire questa operazione. L'esempio seguente illustra la verifica di una sezione trasversale rettangolare soggetta a forze N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metodo NuMuMu

Per definire la resistenza di una sezione trasversale si assume una variazione proporzionale di tutte le componenti delle forze interne (l'eccentricità della forza normale rimane costante) fino a quando la superficie di interazione è stata sviluppata. La variazione delle forze interne coinvolte può essere interpretata come uno spostamento lungo una retta che collega l'origine del sistema di riferimento (0,0,0) e il punto definito dalle forze interne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Le due intersezioni di questa retta con la superficie di interazione, che possono essere trovate, rappresentano due insiemi di forze allo stato limite ultimo. In ciascuna intersezione, il programma determina tre forze allo stato limite: la resistenza di progetto alla forza assiale N_Rd e i corrispondenti momenti resistenti di progetto M_Rdy, M_Rdz.

Metodo  NuMM

Per definire la resistenza della sezione trasversale si assume una forza normale costante (uguale alla forza normale di progetto agente) e variazioni proporzionali dei momenti flettenti fino a quando la superficie di interazione è stata sviluppata. La variazione delle forze interne coinvolte può essere interpretata come uno spostamento in un piano orizzontale lungo la retta che collega il punto (N_Ed,0,0) e il  punto definito dalle forze interne agenti (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Le due intersezioni di questa retta con la superficie di interazione, che possono essere trovate, rappresentano due insiemi di forze allo stato limite ultimo. In ciascuna intersezione il programma determina tre forze allo stato limite: i momenti resistenti di progetto M_Rdy, M_Rdz e la forza normale di progetto agente (corrispondente) N_Ed.

Metodo  NMuMu

Per definire la resistenza della sezione trasversale si assume una forza normale costante (uguale alla forza normale di progetto agente) e variazioni proporzionali dei momenti flettenti fino a quando la superficie di interazione è stata sviluppata. La variazione delle forze interne coinvolte può essere interpretata come uno spostamento in un piano orizzontale lungo la retta che collega il punto (N_Ed,0,0) e il punto definito dalle forze interne agenti (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Le due intersezioni di questa retta con la superficie di interazione, che possono essere trovate, rappresentano due insiemi di forze allo stato limite ultimo. In ciascuna intersezione, il programma determina tre forze allo stato limite: i momenti resistenti di progetto M_Rdy, M_Rdz, e la forza normale di progetto agente (corrispondente) N_Ed.

Ricerca della risposta della sezione

Un'altra possibilità per verificare la sezione trasversale consiste nel trovare la risposta della sezione trasversale (ovvero la distribuzione delle deformazioni e delle tensioni dovuta alle forze interne agenti). Questo metodo è noto anche come metodo della deformazione limite. Il livello delle tensioni agenti in ciascuna fibra (nel caso di flessione piana in ciascuno strato) in ciascuna barra di armatura è calcolato in funzione della deformazione del diagramma tensione-deformazione del materiale.
La ricerca della risposta della sezione trasversale è calcolata utilizzando il metodo numerico specificato in [6]. Il principio consiste nell'incremento graduale del carico sulla sezione tramite le componenti sbilanciate delle forze non trasferite. Queste sono ottenute integrando la tensione sulla sezione utilizzando i diagrammi tensione-deformazione. Se il valore della tensione può essere trovato per la deformazione nel diagramma tensione-deformazione, vedi figura seguente (a), la tensione calcolata è corretta assumendo un materiale elastico lineare. Nei casi (b) e (c), la tensione per un calcolo lineare raggiunge valori irrealistici, e una parte (b) o l'intero valore (c) non può essere trasmesso dal materiale. Integrando le tensioni non trasferite si ottengono le forze interne non trasferite, e le loro risultanti devono essere aggiunte alle forze interne dei carichi variabili. 

Tensioni non trasferite nei diagrammi tensione-deformazione. [4]

Forze interne non trasferite. [4]

Questo metodo di calcolo richiede l'uso di metodi numerici per l'integrazione della tensione sull'area della sezione trasversale e per l'analisi non lineare delle equazioni di equilibrio nella sezione. L'iterazione è terminata nel momento in cui i criteri di convergenza sono soddisfatti.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

dove 

F_e è il carico sulla sezione,

F_i è la risposta della sezione (forze interne calcolate sulla base del piano di deformazione).

Se a è il valore approssimato e b è il valore esatto (vero), la deviazione assoluta è data dalla seguente equazione.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

La deviazione relativa è data dalla seguente formula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Nella maggior parte dei programmi è possibile impostare questi criteri di convergenza (i valori predefiniti sono 1% come errore relativo, 100 N, 100 Nm come errore assoluto della forza normale e dei momenti). 

Quindi, se si ha come input N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm e le forze integrate dopo l'iterazione N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm, la valutazione sarà la seguente. Considerando N e Mz uguali a 0, è possibile effettuare un confronto con la deviazione assoluta:

Il valore della forza normale 100N> | 70 | N
Il valore del momento flettente Mz 100Nm> | 20 | Nm
Il valore del momento flettente My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verifica della sezione trasversale tramite la risposta

Nel caso in cui si trovi un equilibrio nella sezione trasversale, la deformazione piana è nota. Dal piano di deformazione è possibile calcolare la deformazione in qualsiasi punto della sezione, quindi le tensioni o le forze interne nelle barre di armatura, nella sezione trasversale o nelle sue parti utilizzando i diagrammi tensione-deformazione dei materiali. I valori di tensione e deformazione calcolati vengono confrontati con il valore limite di deformazione ricavato dai diagrammi tensione-deformazione dei materiali utilizzati.
Il vantaggio di questo metodo è che si ottiene un quadro completo dei valori di tensione e deformazione nella sezione in relazione alle forze interne agenti sulla sezione trasversale.

Taglio

Rispetto alla rottura fragile, la verifica a taglio è una delle verifiche importanti di una sezione in calcestruzzo armato.

Procedura di calcolo

Il calcolo della resistenza a taglio è composto da diverse parti fondamentali. Innanzitutto occorre analizzare se nella sezione verificata si formano o meno fessure dovute alla flessione. In caso affermativo, si utilizza il calcolo secondo EN 1992-1-1 [2], Articolo 6.2.2 (1). In caso contrario, si determina se si tratta di calcestruzzo semplice o di calcestruzzo scarsamente armato, procedendo quindi in conformità con EN 1992-1-1 Articolo 12.6.3.

Per il calcestruzzo armato non fessurato (senza armatura a taglio) si verifica secondo EN 1992-1-1 Articolo 6.2.2 (2). Per gli elementi in cui è richiesta l'armatura a taglio si verifica secondo l'Articolo 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Resistenza a taglio di elementi senza armatura a taglio

Resistenza a taglio di elementi in zone di flessione fessurate (art. 6.2.2 (1) [2])

La resistenza a taglio di elementi in calcestruzzo armato senza armatura a taglio soggetti a momento flettente è data da:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Questa espressione è stata definita sulla base di prove eseguite su un numero rappresentativo di travi semplici in caso di rottura per forza di taglio. Poiché la resistenza sopra indicata può essere nulla per elementi privi di armatura longitudinale (r_l), per gli elementi scarsamente armati sono state derivate apposite equazioni. Poiché la resistenza sopra indicata può essere nulla per elementi privi di armatura longitudinale (r_l), per gli elementi scarsamente armati la resistenza è determinata dall'equazione

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Per la resistenza a taglio con l'influenza della forza normale è determinata dall'equazione

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

La resistenza a taglio nella sua espressione completa, corrispondente a EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Con il minimo di

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

dove  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          fattore di altezza della sezione trasversale 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      rapporto di armatura per l'armatura longitudinale

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        resistenza caratteristica a compressione su cilindro del calcestruzzo a 28 giorni

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        larghezza minima della sezione trasversale nella zona tesa

d          altezza utile della sezione trasversale

υ_min      resistenza a taglio equivalente minima υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Resistenza a taglio di elementi in zone di flessione non fessurate (art. 6.2.2 (2) [2])

La resistenza a taglio di elementi in zone di flessione non fessurate può essere determinata dal cerchio di Mohr. Nell'equazione

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Si sostituisce σ_x = σ_cp e τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) e si ricava V_Rd,c, ottenendo l'equazione corrispondente alla formula riportata in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

dove  

I           è il momento secondo di area,

b_w        è la larghezza della sezione trasversale all'asse baricentrico

S          è il momento statico dell'area al di sopra e rispetto all'asse baricentrico,

f_ctd        valore di progetto della resistenza a trazione assiale del calcestruzzo in MPa,

 s_cp       è la tensione di compressione nel calcestruzzo all'asse baricentrico dovuta ai carichi e/o alla precompressione,

a_l         fattore di lunghezza di trasmissione, generalmente 1,0.

In relazione a quanto sopra, si deve notare che nelle zone prive di fessure da flessione la resistenza V_Rd ,c può essere significativamente superiore rispetto alle zone fessurate secondo l'Articolo 6.2.2 (1) [2]. La figura seguente mostra chiaramente che, sebbene la forza di taglio venga verificata al suo valore estremo (che non produce fessure), ciò non garantisce necessariamente che essa venga trasferita lungo l'intera lunghezza della trave. Ciò è dovuto a una variazione nel metodo di calcolo della resistenza a taglio del calcestruzzo. Dal lato della sicurezza, la resistenza a taglio può naturalmente essere considerata secondo l'Articolo 6.2.2 (1) [2] anche nei punti in cui non si formeranno fessure.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Riguardo all'espressione di V_Rd, c secondo l'Articolo 6.2.2 (2)[2], si deve inoltre notare che nel caso generale la verifica dovrebbe essere basata sulla fibra della massima tensione principale di trazione nel calcestruzzo nella zona di tensione normale di compressione, e non nel baricentro della sezione. In questo punto è necessario calcolare le caratteristiche della sezione trasversale (S e b_W). Per determinare la massima tensione principale s₁ nel programma IDEA RCS si traccia una retta passante per il baricentro nella direzione della risultante delle forze di taglio. Questa retta viene suddivisa in 20 settori. Su questa retta vengono individuati i punti caratteristici più significativi (punti del poligono della sezione trasversale, baricentro, asse neutro). In corrispondenza di questi punti si calcolano S, b_w, σ_x, τ_yz e σ_1.  Nel punto di massima tensione principale di trazione si calcola la resistenza a taglio.

La forza di taglio prima dell'applicazione del fattore di riduzione b richiesto dall'Articolo 6.2.2 (6) deve soddisfare la condizione aggiuntiva

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

dove 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Resistenza a taglio di elementi senza armatura o scarsamente armati (art. 12.6.3 [2])

La resistenza a taglio per calcestruzzo semplice o scarsamente armato può essere determinata dall'espressione

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Dove

τ_cp si sostituisce con

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

oppure

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

I valori parziali utilizzati nella formula precedente sono dati da:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

dove  

f_cd,pl     Resistenza a compressione di progetto per calcestruzzo semplice o scarsamente armato,

f_ctd,pl    Resistenza a trazione assiale di progetto del calcestruzzo semplice o scarsamente armato,

f_cvd       Resistenza a taglio di progetto sotto compressione del calcestruzzo.

Resistenza di elementi con armatura a taglio (art. 6.2.3 [2])

Il calcolo della resistenza di elementi in calcestruzzo armato con armatura a taglio si basa sul metodo dell'analogia reticolare con diagonali ad angolo variabile. La base di questo metodo è l'equilibrio delle forze nel triangolo determinato dalla forza del puntone compresso (diagonale), dalla forza dell'armatura a taglio (staffa) e dalla forza dell'armatura longitudinale.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

La sezione trasversale soggetta a forza di taglio è attraversata da fessure con angolo θ; per questo motivo il puntone compresso in calcestruzzo con lo stesso angolo delle forze di taglio resiste alla forza di taglio. La forza di compressione della diagonale può essere espressa come V_ed/sinθ. Questa forza deve essere trasferita dalla superficie del calcestruzzo, perpendicolare alla diagonale compressa b_wzcosθ. La tensione di compressione nel calcestruzzo nella diagonale compressa è quindi pari a:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Sostituendo \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  e \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] ed esprimendo \[{{V}_{Rd,max}}\] si ottiene l'equazione per la resistenza a taglio della diagonale:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Per equilibrare la componente verticale della forza nella diagonale compressa si utilizza l'armatura a taglio. L'entità della forza verticale si basa sulla tensione di compressione della diagonale nell'area di calcestruzzo corrispondente a una singola staffa - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. La forza limite della staffa è data da \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Inserendo σ_c, confrontando con la forza limite nell'armatura e dopo le opportune modifiche si ottiene:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Esprimendo quindi V_ed come V_RDs si ottiene la resistenza della sezione trasversale con armatura a taglio verticale:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

La forza di taglio longitudinale è trasferita dall'armatura longitudinale e può essere determinata come V_edcotgθ. La derivazione delle formule precedenti può essere trovata in [4].

Utilizzando il programma IDEA RCS è possibile verificare solo elementi con armatura a taglio verticale. In generale possono essere utilizzate le seguenti equazioni:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Dove  

A_sw      è l'area della sezione trasversale dell'armatura a taglio,

s           è l'interasse delle staffe,

f_ywd      è la resistenza di snervamento di progetto dell'armatura a taglio,

b_w        è la larghezza minima tra le membrature tesa e compressa. Per calcolare la resistenza V_Rd,max , il valore della larghezza della sezione deve essere ridotto alla cosiddetta larghezza nominale della sezione trasversale nel caso in cui la sezione sia indebolita da guaine per cavi

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ per guaine metalliche con iniezione

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ per guaine metalliche senza iniezione           

υ          = 0,6 per f_ck ≤ 60MPa oppure per f_ck > 60MPa,

α_cw       è un coefficiente che tiene conto dello stato di tensione nella membratura compressa.

Carico	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Coefficiente acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Determinazione del coefficiente α_cw

L'angolo θ è l'angolo tra il puntone compresso in calcestruzzo e l'asse della trave perpendicolare alla forza di taglio. I valori limite di cotθ da utilizzare in un Paese possono essere indicati nel relativo Allegato Nazionale. I limiti raccomandati sono dati dall'espressione:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

La scelta dell'entità dell'angolo θ può influenzare il valore delle resistenze. La dipendenza delle resistenze è visibile nella Figura 1.15. La figura mostra che all'aumentare dell'angolo θ la resistenza V_Rd,max  aumenta, mentre la resistenza V_Rd,s diminuisce. La resistenza V_Rd,c è costante, poiché si basa sul metodo dell'analogia reticolare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Calcolo delle caratteristiche della sezione trasversale per il taglio

Per il calcolo del taglio è importante determinare le variabili della sezione trasversale che influenzano la resistenza a taglio. Queste variabili includono principalmente la larghezza della sezione resistente a taglio b_w, l'altezza utile d e il braccio della coppia z. La normativa [2] fornisce questi valori che sono direttamente correlati con la tensione flessionale effettiva. Il problema consiste tuttavia nel determinare questi valori quando la direzione della risultante dei momenti flettenti (o più precisamente la direzione della risultante della resistenza della sezione) è significativamente diversa dalla direzione della risultante delle forze di taglio. In questo caso, la normativa EC2 non fornisce alcuna raccomandazione.

Larghezza della sezione trasversale resistente a taglio b_w

Il programma IDEA RCS calcola la larghezza della sezione trasversale resistente a taglio nella direzione perpendicolare alla risultante delle forze di taglio. In funzione dell'articolo dell'Eurocodice, questa larghezza è calcolata come:
-  La larghezza minima della sezione tra la risultante del calcestruzzo compresso e l'armatura tesa nella direzione perpendicolare alla risultante delle forze di taglio per l'articolo 6.2.2 (a) e 6.2.3 (1)
- La larghezza della sezione nella direzione perpendicolare alla risultante delle forze di taglio nel punto verificato secondo l'articolo 6.2.2 (2)

Altezza utile della sezione trasversale

L'altezza utile è generalmente definita come la distanza dalla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa al baricentro dell'armatura. Poiché è direttamente correlata alla flessione, la distanza è data come proiezione perpendicolare alla linea di gravità del piano di deformazione.

Questa definizione può essere precisata in modo che, al posto del baricentro dell'armatura tesa, venga utilizzata la posizione della risultante delle forze nell'armatura. Durante lo sviluppo del programma IDEA RCS è stato affrontato il problema di come definire l'altezza utile della sezione trasversale quando il piano dei carichi flettenti non corrisponde alla direzione della risultante delle forze di taglio. Pertanto, l'altezza utile è definita come la distanza dalla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa alla risultante delle forze nell'armatura tesa (basata sulla tensione flessionale) e nella direzione della risultante delle forze di taglio, vedere Figura 1.17.

Si verificheranno casi eccezionali qualora non sia possibile determinare la fibra compressa o la risultante nell'armatura tesa. In questo caso, si raccomanda di utilizzare il valore 0,9 h (90% dell'altezza della sezione nella direzione della risultante delle forze di taglio). Questo valore può essere definito dall'utente nel programma IDEA RCS tramite l'impostazione delle variabili normative.

Braccio della coppia delle forze interne

Il braccio della coppia delle forze interne è definito in 6.2.3 (3) [2] come la "distanza tra le membrature tesa e compressa". La normativa non definisce come procedere quando il piano del momento flettente agente è diverso dalla direzione della risultante delle forze di taglio. Pertanto, analogamente al caso dell'altezza utile, si definisce la distanza nella direzione della risultante delle forze di taglio. Anche in questo caso si possono verificare casi eccezionali simili, ad esempio l'intera sezione è compressa, ecc. In questo caso si assume il valore 0,9 d (90% dell'altezza utile della sezione). Questo valore può essere impostato dall'utente nel programma IDEA RCS tramite l'impostazione delle variabili normative.

La dipendenza tra l'inclinazione del piano di flessione e la risultante della forza di taglio è chiaramente visibile nelle Figure 1.18 e 1.19. All'aumentare dell'inclinazione, i valori dell'altezza utile, dei bracci della coppia e delle relative resistenze diminuiscono. Lo stato limite è 90°. Per questa inclinazione il braccio della coppia delle forze interne non può essere calcolato, di conseguenza il braccio della coppia è pari a zero. In questo caso viene considerato il valore specificato nell'impostazione delle variabili normative. Ciò determina un salto alla fine del diagramma. Questo studio dimostra che l'inclinazione massima raccomandata è di circa 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Nell'ambito del collaudo dell'applicazione RCS è stato condotto uno studio sulla dipendenza della resistenza a taglio al variare della forza normale. La resistenza V_Rd,max è influenzata solo dal coefficiente α_cw, vedere Fig. 1.20. La Fig. 1.21 mostra un valore costante della resistenza V_Rds. Per la resistenza V_Rdc, le diminuzioni sono causate dall'aumento della forza normale. La curva blu nella Fig. 1.21 mostra la resistenza V_Rdc trascurando l'influenza delle fessure ed è stata calcolata utilizzando la formula della sezione 6.2.2 (1) [2]. Il salto nella transizione tra compressione e trazione è causato dall'armatura tesa contribuente. La curva rossa è calcolata utilizzando la formula della sezione 6.2.2 (2) [2]. Dopo la formazione della prima fessura, la curva di dipendenza è la stessa di quella per 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Torsione

Ipotesi di calcolo

Il comportamento di una sezione in calcestruzzo armato soggetta a torsione può essere suddiviso in due categorie - prima e dopo il momento in cui si prevede la prima comparsa delle fessure. Prima della fessurazione, la sezione trasversale si comporta come un materiale elastico. La tensione torsionale può essere espressa dalla formula   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

dove W_t è il modulo di resistenza alla torsione della sezione.

Le fessure nell'elemento non armato dovute alla tensione principale di trazione torsionale costituiscono anche uno stato limite ultimo. Il comportamento di una sezione in calcestruzzo armato soggetta a torsione può essere descritto sulla base di una sezione chiusa a parete sottile, vedere la Fig. seguente. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Procedura di calcolo

Il processo di verifica normativa di una sezione in calcestruzzo armato per la torsione è molto simile alla verifica a taglio. Prima di tutto, si verifica la resistenza del calcestruzzo. Se la verifica del calcestruzzo è soddisfatta, l'armatura può essere progettata utilizzando le regole costruttive. In caso contrario, è necessario verificare la resistenza dell'armatura e del corrente compresso diagonale mediante calcolo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Resistenza

Il flusso di taglio nella parete di una sezione trasversale a parete sottile soggetta a torsione può essere espresso come:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

La forza di taglio nella parete di una sezione trasversale a parete sottile può essere espressa come:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Dove 

τ          Flusso di taglio nella parete,

t_ef         è lo spessore efficace della parete,

z           è la lunghezza del lato della parete,

T_Ed       è il momento torcente,

A_k        è l'area racchiusa dalle linee medie delle pareti di collegamento, incluse le aree cave interne.

Il momento di fessurazione torsionale, che può essere determinato impostando f_ctd nell'espressione precedente. Si ottiene così l'espressione per la resistenza alla torsione senza armatura torsionale.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

dove  f_ctd       valore di progetto della resistenza a trazione assiale del calcestruzzo

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

La resistenza dell'elemento con armatura torsionale è composta dalla resistenza dei correnti compressi diagonali in calcestruzzo, basata nuovamente sul metodo dell'analogia reticolare. La tensione di compressione nel corrente diagonale può essere espressa con l'aiuto della forza di taglio nella parete della sezione a parete sottile sulla superficie della parete considerata, ovvero:

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Sostituendo σ_c=σ_cwf_cd e T_Ed=T_Rd,max ed esprimendo T_Rd,max si ottiene l'equazione per la resistenza del corrente compresso diagonale

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

dove  

ν          = 0,6 per f_ck ≤ 60MPa oppure  per f_ck > 60MPa

α_cw       coefficiente che tiene conto dello stato di tensione di compressione nel corrente compresso

f_cd        valore di progetto della resistenza a compressione del calcestruzzo

la resistenza dell'armatura a taglio soggetta a torsione è nuovamente basata sulla tensione nel corrente compresso diagonale. La forza nella staffa è uguale alla tensione nel corrente compresso sull'area corrispondente alla particolare linea di staffe, ovvero:

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Sostituendo  T_Ed=T_Rd,s ed esprimendo T_Rd,s  si ottiene l'equazione:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Se la quantità di armatura longitudinale e a taglio è nota, è possibile definire l'angolo θ mediante l'espressione

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Sostituendo per T_Rd,s si ottiene

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Dove

A_sw      area dell'armatura a taglio

s           è l'interasse radiale delle staffe dell'armatura a taglio

f_ywd      è la resistenza di progetto efficace dell'armatura a taglio

A_sl       area dell'armatura longitudinale

u_k         è il perimetro esterno della sezione trasversale

f_ywd      è la resistenza di progetto efficace dell'armatura longitudinale

La forza nell'armatura longitudinale può essere dedotta dalla forza di taglio nella parete di una sezione soggetta a un momento torcente puro, che è espressa come:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Tale forza viene trasformata nella direzione longitudinale e si ottiene:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

L'intervallo ammissibile dei valori per l'angolo θ è simile alla verifica a taglio, ovvero 1 < cot θ < 2,5. La dipendenza tra le resistenze è visibile nella Fig. seguente. Il diagramma mostra che all'aumentare dell'angolo θ la resistenza T_Rd,max cresce, la resistenza T_Rd.s diminuisce e la resistenza T_Rd,c rimane costante, poiché non è basata sul metodo dell'analogia reticolare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Calcolo delle caratteristiche della sezione trasversale per la torsione

Per verificare la sezione trasversale alla torsione è necessario definire una cosiddetta sezione chiusa equivalente a parete sottile. Nel determinare le dimensioni della sezione trasversale equivalente a parete sottile si assume una forma rettangolare. Per la vera area del rettangolo vale A = b×h e per il perimetro del rettangolo u =2 (b +h). Utilizzando queste due equazioni è possibile ricavare l'area e il perimetro equivalenti a parete sottile di forma rettangolare della sezione originale. Risolvendo due equazioni con due incognite si ottiene:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Lo spessore della parete della sezione efficace può essere definito dal perimetro e dall'area della sezione come:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Quindi l'area e il perimetro definiti dalla linea media della sezione efficace:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Il problema con questo metodo si presenta per sezioni trasversali di tipo T con una soletta larga, quando l'area e il perimetro complessivi vengono utilizzati per calcolare le dimensioni (inclusa tale soletta). Nelle versioni future del programma IDEA RCS sarà possibile selezionare la parte più massiccia della sezione trasversale, che verrà utilizzata per la verifica alla torsione.

Interazione

Interazione tra forza di taglio e torsione per l'armatura a taglio

Determinazione della forza nell'armatura a taglio dovuta alla forza di taglio. 

Il calcolo si basa sulla formula per il calcolo della resistenza dell'armatura a taglio definita in EN 1992-1-1. Sulla base dell'equazione 6.13 (cap. 6.2.3 (4)) la resistenza portante di una singola branca della staffa può essere derivata come:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . area della sezione trasversale di una branca della staffa che resiste al taglio nella sezione considerata

s .  .  .  .  . interasse dell'armatura a taglio nella direzione dell'asse longitudinale dell'elemento

a_sw,V .  .  . area della sezione trasversale dell'armatura a taglio per unità di lunghezza

z .  .  .  .  . braccio interno della coppia. Per un elemento a sezione costante, corrispondente al momento flettente nell'elemento in esame. Nell'analisi a taglio del calcestruzzo armato senza forza assiale, si può normalmente utilizzare il valore approssimato z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  il valore di progetto della tensione di snervamento dell'armatura a taglio

θ .  .  .  .  . l'angolo tra il puntone compresso in calcestruzzo e l'asse dell'elemento perpendicolare alla forza di taglio

α .  .  .  .  . l'angolo tra l'armatura a taglio e l'asse dell'elemento perpendicolare alla forza di taglio

β .  .  .  .  . inclinazione della branca della staffa rispetto alla risultante della forza di taglio applicata

La forza di taglio viene ridistribuita uniformemente tra le singole armature che resistono alla forza di taglio in base all'angolo dell'armatura e alla rigidezza assiale delle singole branche delle staffe.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Inoltre, è possibile ricavare la deformazione media dell'armatura considerata nella direzione della forza di taglio risultante:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

La deformazione effettiva dell'i-esima armatura può essere calcolata come:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

La tensione in una determinata branca dell'armatura:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Determinazione della forza nella singola staffa dovuta alla torsione

La resistenza torsionale di una sezione può essere calcolata sulla base di una sezione chiusa a parete sottile, in cui l'equilibrio è soddisfatto da un flusso di taglio chiuso. Le sezioni piene possono essere modellate con sezioni equivalenti a parete sottile. Per le sezioni non piene, lo spessore equivalente della parete non deve superare lo spessore effettivo della parete.

Il flusso di taglio nelle pareti di una sezione chiusa a parete sottile dovuto alla torsione può essere calcolato come:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

La forza di taglio in una determinata parete è quindi:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . lunghezza della linea d'asse della parete considerata

Forza di taglio nell'anima - la lunghezza della linea d'asse dell'anima può essere sostituita dal valore del braccio della coppia "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Forza nelle staffe che resistono alla torsione per metro di lunghezza dell'elemento (per unità di lunghezza):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Scomposizione delle forze per la singola staffa

Se per tutte le staffe è definito lo stesso materiale, la tensione risultante dovuta alla torsione in ciascuna branca della staffa è costante. Quindi:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

dove a_sw,T è l'area totale delle staffe che resistono alla torsione per unità di lunghezza.

Nel caso in cui le singole staffe abbiano materiali diversi, è necessario tenere conto della rigidezza assiale delle singole barre.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . numero di branche dell'armatura (gruppi di armatura) che resistono alla torsione

F_si,T .  .  . forza nell'i-esimo gruppo di armatura risultante dalla torsione per unità di lunghezza

a_si,T .  .  . area della sezione trasversale dell'armatura a taglio che resiste alla torsione per unità di lunghezza 

E_si,T .  .  . modulo di elasticità di Young dell'i-esimo gruppo di armatura che resiste alla torsione

ε_sw,T .  .  deformazione nell'armatura dovuta alla torsione

La tensione risultante in ciascuna staffa dovuta alla torsione applicata è calcolata come:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interazione V+T

Il calcolo delle tensioni nelle staffe dovute al taglio e alla torsione è quindi una sommatoria delle tensioni dovute ai singoli componenti di carico.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Forza risultante nell'i-esima armatura:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interazione tra taglio, torsione e flessione per l'armatura longitudinale

Determinazione della forza in ciascuna armatura longitudinale dovuta alla forza normale e al momento flettente

L'applicazione RCS viene utilizzata per calcolare la risposta della sezione trasversale alla combinazione di forza normale e momento flettente, al fine di determinare la tensione e la deformazione nelle singole barre longitudinali e nell'armatura da precompressione.

Determinazione della forza nella singola armatura longitudinale dovuta alla forza di taglio

L'incremento della forza di trazione nell'armatura longitudinale ΔF_td dovuto alla forza di taglio dipende dalla geometria del modello Puntone-e-tirante. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incremento della forza di trazione nell'armatura longitudinale dovuto alla forza di taglio

V_ed .  .  .  . valore di progetto della forza di taglio agente nella sezione considerata

θ .  .  .  .  . l'angolo tra il puntone compresso in calcestruzzo e l'asse dell'elemento

α .  .  .  .  . l'angolo tra l'armatura a taglio e l'asse dell'elemento

Per l'armatura longitudinale situata nel corrente teso, la forza risultante F_t nell'armatura longitudinale dovuta alla combinazione N+M+V non deve essere superiore a M_Ed,max/z (dove M_Ed,max è il momento massimo lungo la trave)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

La forza ΔF_td è trasmessa da tutti i tendini aderenti e dall'armatura situata nella parte della sezione trasversale che resiste al taglio (l'anima nel caso di un profilo a I). Per sicurezza, il contributo dell'armatura da precompressione può essere considerato pari a 0. L'ipotesi di calcolo è che l'incremento della deformazione assiale delle singole armature longitudinali che resistono al taglio sia costante (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = cost.). La derivazione è valida per un diagramma di lavoro bilineare dell'armatura con ramo plastico orizzontale. Nel caso di un diagramma con ramo inclinato, il calcolo deve essere modificato.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incremento di deformazione nell'armatura longitudinale dovuto alla forza di taglio

n_s,V .  .  .  . numero di armature longitudinali che resistono alla forza di taglio

A_sl,i,V .  .  . area dell'i-esima armatura longitudinale che resiste alla forza di taglio

E_sl,i,V .  .  . modulo di elasticità di Young dell'i-esima armatura longitudinale che resiste alla forza di taglio

n_p,V .  .  .  . numero di tendini che resistono alla forza di taglio

A_pl,i,V .  .  . area dell'i-esimo tendine che resiste alla forza di taglio

E_pl,i,V .  .  . modulo di elasticità di Young dell'i-esimo tendine che resiste alla forza di taglio

Dopo aver determinato il valore della forza ΔF_td, è possibile calcolare la deformazione media dell'armatura Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incremento di tensione nelle singole barre longitudinali dovuto alla forza di taglio applicata:

per barra d'armatura \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

per tendine \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Determinazione della forza in ciascuna armatura longitudinale dovuta alla torsione

È molto importante determinare l'armatura longitudinale che resiste alla torsione. Si tratta dell'armatura situata in una sezione trasversale alternativa a parete sottile efficace che resiste alla torsione.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Secondo EN 1992-1-1, devono essere soddisfatte diverse condizioni per l'armatura longitudinale resistente alla torsione:

- l'armatura deve essere distribuita uniformemente lungo la lunghezza z_i, ma nelle sezioni di piccole dimensioni l'armatura può essere concentrata negli angoli della staffa

- la distanza assiale massima dell'armatura longitudinale è 350 mm

Il contributo dell'armatura da precompressione non è considerato secondo EN 1992-1-1.

La norma EN 1992-2 stabilisce che il contributo dell'armatura da precompressione può essere considerato, ma l'incremento massimo di tensione nell'armatura da precompressione non deve superare Δσ_p ≤ 500MPa. La formula può quindi essere modificata:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Tuttavia, poiché l'incremento dell'armatura da precompressione può essere considerato, la scelta spetta all'utente. Attualmente, l'armatura da precompressione non è considerata nel calcolo. 

L'ipotesi di calcolo è che l'incremento della deformazione assiale di ciascuna armatura longitudinale che resiste al taglio sia costante (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = cost.). La derivazione è valida per un diagramma di lavoro bilineare dell'armatura con ramo plastico orizzontale. Nel caso di un diagramma con ramo crescente, il calcolo deve essere modificato.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . il valore di progetto del momento torcente applicato nella sezione considerata

θ .  .  .  .  . inclinazione delle diagonali compresse rispetto all'asse longitudinale della trave (identica a quella per la forza di taglio)

u_k .  .  .  .  perimetro dell'area A_k

A_f .  .  .  .  l'area definita dalla linea d'asse della sezione cava a parete sottile sostitutiva

n_s,T .  .  .  .numero di armature longitudinali in calcestruzzo che resistono al momento torcente

A_sl,i,T .  .  . area dell'i-esima armatura longitudinale in calcestruzzo che resiste al momento torcente

Δε_T .  .  .  .la variazione della deformazione dell'armatura longitudinale dovuta al momento torcente

Δσ_s,i,T .  .  variazione di tensione nell'i-esima armatura longitudinale dovuta al momento torcente

E_sl,i,T .  .  . modulo di elasticità dell'i-esima armatura longitudinale in calcestruzzo che resiste al momento torcente

Incremento di tensione in ciascuna armatura longitudinale dovuto al momento torcente applicato:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Verifica del limite di tensione

La verifica è basata sulle ipotesi generali, in cui vengono risolti due stati della sezione trasversale: la sezione non fessurata (la resistenza a trazione del calcestruzzo non viene trascurata) e la sezione completamente fessurata (la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata). La soluzione con resistenza a trazione del calcestruzzo trascurata è considerata secondo le ipotesi dell'Articolo 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Nel calcolo delle tensioni e delle deformazioni, la sezione è considerata non fessurata se la tensione di trazione a flessione non supera f_ct, eff. Il valore di f_ct, eff può essere considerato come f_ctm o f_ctm,fl. Il valore f_ctm viene utilizzato nel calcolo dell'ampiezza delle fessure e dell'irrigidimento a trazione.

Nell'ambito di questa verifica, vengono trattati quattro casi fondamentali in termini di limite di tensione.

• 7.2 (2) La tensione di compressione negli elementi esposti ad ambienti delle classi di esposizione XD, XF e XS deve essere limitata:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) La tensione nel calcestruzzo sotto i carichi quasi-permanenti è limitata:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Le tensioni di trazione nell'armatura sotto la combinazione caratteristica dei carichi devono essere limitate:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Quando la tensione è causata da una deformazione imposta, la tensione di trazione non deve superare:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

I valori k₁, k₂, k₃, k₄ da utilizzare in un Paese possono essere reperiti nel relativo Allegato Nazionale. I valori raccomandati sono rispettivamente 0,8; 1 e 0,75, tensione di snervamento caratteristica dell'armatura, f_ck resistenza caratteristica a compressione su cilindro f_ck determinata a 28 giorni.

Fessure

La formazione delle fessure

Una caratteristica delle strutture in calcestruzzo armato soggette a flessione o trazione è la comparsa di fessure nei punti in cui la tensione di trazione nel calcestruzzo supera la resistenza a trazione del calcestruzzo. Per la durabilità della struttura e per l'estetica, è importante garantire che le fessure risultanti siano il più piccole possibile. Il calcolo delle ampiezze delle fessure e le ampiezze massime ammesse per le diverse classi di esposizione sono riportati in EN 1992-1-1, Capitolo 7.3.

Nel primo passo del calcolo, si determina se la sezione trasversale è fessurata o meno. L'ampiezza della fessura viene sempre calcolata dalla combinazione di carico quasi-permanente o frequente (a seconda dell'allegato nazionale), ma la formazione delle fessure deve essere verificata per tutte le combinazioni SLE specificate. Si possono quindi verificare due casi:

• La tensione di trazione massima nelle fibre di calcestruzzo non supera la resistenza a trazione del calcestruzzo per nessuna combinazione di carico (quasi-permanente M_E,qp, frequente M_E,fr, o caratteristica M_E,k), e quindi si considera la sezione trasversale senza fessure.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Se si sviluppano fessure per una qualsiasi delle combinazioni (quasi-permanente, frequente o caratteristica), ovvero il momento flettente sviluppato dalla combinazione di carico considerata è maggiore del momento critico M_cr, la sezione trasversale è fessurata per quella combinazione di carico, e devono essere calcolate le caratteristiche della sezione fessurata e l'ampiezza della fessura.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   il momento flettente ottenuto da una combinazione di carico SLE. Può quindi essere M_E,qp, M_E,fr, o M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  la resistenza a trazione del calcestruzzo al momento considerato. Se il calcestruzzo ha più di 28 giorni, si considera una resistenza pari a f_ctm.

Calcolo dell'ampiezza delle fessure

In un elemento soggetto a flessione, la formazione delle fessure è suddivisa in 2 fenomeni:

• Fase di formazione delle fessure (stadio numero 2 in Fig. 1)
• Sviluppo stabilizzato delle fessure (stadio numero 3 in Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Stadio di sviluppo delle fessure

Questa è la parte iniziale del processo in cui le singole fessure compaiono ancora gradualmente finché l'intera zona tesa dell'elemento non è interessata da fessure distribuite in modo approssimativamente uniforme lungo la lunghezza dell'elemento. La prima fessura si forma quando la forza nella striscia tesa supera il valore della forza critica N_r (forza di trazione critica, vedere di seguito), e ulteriori fessure si sviluppano fino a un livello di carico che esercita una forza nella striscia tesa pari a circa 1,3N_cr (fase numero 2 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Le fessure che si sviluppano sono suddivise in 2 tipi: primarie e secondarie. Le fessure primarie si verificano nelle fibre tese quando viene raggiunta la resistenza a trazione efficace del calcestruzzo (f_ct,eff). Le fessure primarie rappresentano il primo schema di fessurazione (Fig. 2). Tra le fessure primarie si formano poi fessure secondarie più corte (Fig. 3). A tensioni corrispondenti a circa 1,2÷1,5 σ_sr (di solito si considera un valore medio di 1,3 σ_sr, dove σ_sr è la tensione nell'armatura alla formazione delle fessure primarie nella zona tesa del calcestruzzo), si completa anche lo sviluppo delle fessure secondarie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

L'ampiezza della fessura nella fase di formazione delle fessure può essere calcolata come segue:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Stadio di fessurazione stabilizzata

Dopo aver superato circa 1,3 volte la forza critica nella zona tesa, non si formano nuove fessure, il numero di fessure nell'elemento si stabilizza e solo l'ampiezza delle fessure esistenti aumenta con l'ulteriore carico (stadio numero 3 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

L'ampiezza della fessura durante lo sviluppo stabile può essere calcolata come:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Forza di trazione critica

Il calcolo si basa sul Modello della Striscia a Trazione (TCM). La considerazione di base è calcolare la capacità ultima di una striscia in calcestruzzo armato formata da una barra di armatura di area A_s,eff circondata da un'area efficace di calcestruzzo teso A_c,eff, in grado di resistere alla tensione di trazione fino al superamento della resistenza a trazione f_ct,eff (normalmente si considera f_ctm). Assumendo una perfetta aderenza tra l'armatura e il calcestruzzo, si può considerare che fino alla formazione della prima fessura la deformazione dell'armatura e del calcestruzzo circostante è identica. La forza massima nella striscia tesa appena prima della prima fessura N_r può quindi essere determinata:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Introducendo la sostituzione

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

si ottiene:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Subito dopo la formazione della prima fessura, l'intera forza N_r è trasferita dall'armatura e quindi la tensione nell'armatura che attraversa la fessura appena formata può essere calcolata come:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Calcolo dell'ampiezza delle fessure secondo EC 1992-1-1

La seguente equazione viene utilizzata per calcolare l'ampiezza delle fessure negli elementi in calcestruzzo armato:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   interasse massimo delle fessure

ε_sm  .   .   .   .   la deformazione media dell'armatura dalla combinazione di carico, inclusi gli effetti dell'irrigidimento a trazione.

ε_cm  .   .   .   .   deformazione media del calcestruzzo tra le fessure

Calcolo della differenza di deformazione

La differenza nella deformazione dell'armatura e del calcestruzzo tra le fessure può essere ottenuta dall'equazione:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   la tensione nell'armatura nella fessura dalla combinazione di carico in esame

k_t      .   .   .   .   un coefficiente empirico che tiene conto della deformazione media, dipendente dalla durata del carico. Può assumere il valore di 0,6 per l'analisi a breve termine. Per l'analisi a lungo termine, si tiene conto della riduzione della rigidezza del composito a circa il 70%, quindi il suo valore è 0,4, che include il tasso di degradazione della coesione tra l'armatura e il calcestruzzo nel tempo.

α_e     .   .   .   . il rapporto efficace dei moduli elastici

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   tasso di armatura efficace

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   l'area efficace del calcestruzzo teso che circonda l'armatura (determinazione di A_c,eff di seguito)

A_s,_eff .   .   .   .   l'area dell'armatura aderente situata nell'area A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   è l'area dei tendini pre- o post-tesi all'interno di A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   è il rapporto corretto della resistenza di aderenza, che tiene conto dei diversi diametri dell'acciaio da precompressione e dell'acciaio d'armatura:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . il rapporto della resistenza di aderenza dell'acciaio da precompressione e dell'acciaio d'armatura (Tabella 6.2)

ϕ_s   .   .  diametro massimo della barra dell'armatura

ϕ_p   .   .  il diametro o il diametro equivalente dell'acciaio da precompressione

Per fasci, A_p è l'area dell'armatura nel tendine

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Per trefoli a sette fili singoli dove φ_wire è il diametro del filo

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Per trefoli a tre fili singoli dove φ_wire è il diametro del filo

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Se si utilizza solo armatura da precompressione per prevenire la fessurazione, si deve considerare quanto segue.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Negli elementi precompressi, non è richiesta un'area minima di armatura aderente a condizione che, sotto la combinazione caratteristica dei carichi e il valore caratteristico della forza di precompressione, la tensione di trazione in qualsiasi fibra non sia maggiore della resistenza a trazione del calcestruzzo, f_ct,eff. (vedere EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 per ulteriori dettagli)

L'area efficace del calcestruzzo teso

Un passo importante ma allo stesso tempo il più complesso del calcolo è la determinazione dell'area efficace del calcestruzzo teso che circonda l'armatura. Sia l'Eurocodice che il Model Code considerano semplici modalità di carico, in cui l'elemento in calcestruzzo armato è soggetto a flessione uniassiale o trazione. Il valore dell'altezza efficace è determinato come:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Di solito il valore h_c,eff = 2,5(h-d) è quello critico. Per gli elementi tesi, il limite superiore è h/2, mentre per gli elementi inflessi è (h-x)/3. Tuttavia, l'area A_c,eff è anche limitata dalla larghezza determinata dall'equazione 5(c+ϕ/2). Se l'interasse delle armature è maggiore di 5(c+ϕ/2), si considera per le singole barre l'area efficace del calcestruzzo teso di larghezza 5(c+ϕ/2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Distanza massima tra le fessure

Nel calcolo della distanza massima tra le fessure s_r,max, possono verificarsi due casi:

• L'interasse dell'armatura aderente non supera una distanza di 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• L'interasse delle armature aderenti è maggiore di 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

Il calcolo della distanza massima tra le fessure s_r,max per il caso in cui gli interassi delle armature non superano il valore 5(c+ϕ/2) è definito come segue:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valore del copriferro in mm. Poiché il valore del copriferro può essere diverso per l'armatura di bordo rispetto ai bordi orizzontali e verticali, si raccomanda di considerare il valore massimo del copriferro trovato per l'armatura in esame.

ϕ     .   .   .   .   diametro dell'armatura aderente. Nel caso di diametri di armatura diversi, il diametro equivalente deve essere calcolato in conformità con EN 1992-1-1 Equazione 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . è un coefficiente che tiene conto delle proprietà di aderenza dell'armatura aderente

• k₁ = 0,8 per barre ad alta aderenza
• k₁ = 1,6 per barre con superficie efficacemente liscia (ad es. tendini da precompressione)

k₂ .   .   .   . è un coefficiente che tiene conto della distribuzione delle deformazioni

• k₂ = 1,0 per flessione
• k₂ = 0,5 per trazione pura

Per i casi di trazione eccentrica o per aree locali, si devono utilizzare valori intermedi di k₂, che possono essere calcolati dalla relazione:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coefficiente che esprime la lunghezza dell'area vicino a una fessura dove l'aderenza tra il calcestruzzo e l'armatura è interrotta. Il valore raccomandato di base EC k₃ = 3,4 può essere modificato dall'Allegato Nazionale. 

k₄      .   .   .   .   il coefficiente esprime il rapporto tra la resistenza di aderenza e la resistenza a trazione del calcestruzzo. Il valore raccomandato di base EC k4 = 0,425 può essere modificato dall'Allegato Nazionale.

Il calcolo della distanza massima tra le fessure s_r,max per il caso in cui gli interassi delle armature superano il valore 5(c+ϕ/2) è definito come segue:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

I valori della distanza massima tra le fessure secondo l'equazione

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

dovrebbero essere sempre maggiori dei valori determinati dall'equazione

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

altrimenti si raccomanda di considerare la distanza maggiore ottenuta dalle equazioni precedenti. L'equazione per la deformazione nel calcestruzzo/armatura non viene modificata per il caso di grande interasse dell'armatura. Nelle zone con ampiezze di fessura controllate, l'interasse delle singole armature non dovrebbe essere maggiore di 5(c+ϕ/2).

Calcolo dell'ampiezza delle fessure implementato in RCS

Determinazione dell'area efficace A_c,eff

Poiché non è immediato determinare quale armatura possa essere considerata come armatura longitudinale resistente alla fessurazione, A_c,eff viene determinata mediante il seguente processo iterativo.

• Di tutta l'armatura che lavora a trazione, viene determinato il centro della forza di trazione C_g,s,1. La profondità efficace dell'armatura d è la distanza tra C_g,s e la fibra di calcestruzzo maggiormente compressa, calcolata nella direzione del momento flettente risultante. Allo stesso tempo, vengono determinati la posizione dell'asse neutro e l'altezza della zona compressa x per la sezione trasversale fessurata. Ciò consente di determinare l'altezza efficace h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Escludendo tutta l'armatura che si trova al di fuori di A_c,eff,1, viene determinato il nuovo centro dell'armatura C_g,s,2, insieme alla nuova profondità efficace dell'armatura d; l'altezza efficace h_c,eff viene determinata nello stesso modo del passo precedente, ma con valori di input modificati.

Si verifica nuovamente che tutta l'armatura tesa in esame si trovi in A_c,eff,2. Se questa condizione è soddisfatta, l'iterazione può essere terminata e i valori di h_c,eff,2, A_c,eff,2 e A_s,eff,2 vengono visualizzati come valori risultanti in IDEA StatiCa RCS.

Possibili casi di calcolo dell'ampiezza delle fessure

In generale, nel calcolo delle ampiezze delle fessure possono verificarsi tre casi:

• L'armatura tesa si trova nella regione A_c,eff, con l'interasse delle singole armature inferiore a 5(c+ϕ/2). Per il calcolo vengono quindi utilizzate le seguenti definizioni:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• L'armatura tesa si trova in A_c,eff, con l'interasse delle singole armature che supera la distanza 5(c+ϕ/2). Per il calcolo vengono quindi utilizzate le seguenti definizioni:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• L'armatura tesa non si trova in A_c,eff (ciò può essere causato, ad esempio, da un copriferro elevato). 

In questo caso non sarebbe possibile calcolare l'ampiezza delle fessure. Pertanto, il calcolo dell'altezza efficace h_c,eff viene modificato come segue:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Allo stesso tempo, viene visualizzata la seguente non conformità:

L'area efficace del calcestruzzo teso che circonda l'armatura o i tendini da precompressione di profondità h_c,eff, dove h_c,eff è il minore tra 2,5(h – d) e h/2. Considerando il valore come (h – x)/3, l'armatura si trova al di fuori dell'area efficace del calcestruzzo teso, e pertanto non sarebbe possibile calcolare l'ampiezza delle fessure secondo il paragrafo 7.3.4.

Diagramma N-M-κ

Il diagramma N-M-κ mostra la curvatura (rigidezza flessionale) di un elemento in funzione del momento flettente applicato e della forza normale. Esistono tre tipi di diagrammi N-M-κ:
- a breve termine,
- a lungo termine
- SLU.
Questi diagrammi differiscono per i tipi di diagrammi tensione-deformazione utilizzati nel calcolo (spiegati di seguito).

Il calcolo della rigidezza per stati caratteristici selezionati della sezione trasversale viene utilizzato per determinare il diagramma N-M-κ. In generale, può essere qualsiasi stato della sezione trasversale da cui viene calcolata la risposta e da cui vengono derivate la rigidezza flessionale e la curvatura. In IDEA RCS si considerano quattro punti caratteristici (M_r, M_c, M_s e M_u)

M_r - il momento di fessurazione 

La sezione trasversale è soggetta alla forza normale definita dall'utente e il piano delle deformazioni inizia a ruotare (nella direzione del momento flettente specificato) fino al raggiungimento della resistenza ultima a trazione del calcestruzzo in una fibra di calcestruzzo (per la classe di calcestruzzo C30/37 questo è f_ctm = 2,896 MPa). Per il calcolo viene utilizzato un diagramma tensione-deformazione bilineare con ramo plastico orizzontale sia per l'armatura che per il calcestruzzo.

M_c - il momento flettente al raggiungimento della resistenza a compressione del calcestruzzo

Dal passo precedente viene identificata la fibra di calcestruzzo più sfruttata a compressione. Per questa fibra viene impostata la deformazione alla resistenza ultima del calcestruzzo (f_ck/E_cm per il breve termine, f_ck/E_ceff per il lungo termine e f_cd/E_cm per il diagramma SLU). In base alla forza normale definita e alla direzione del momento flettente, viene avviato il processo iterativo per trovare il piano delle deformazioni al fine di trovare un equilibrio tra la risposta della sezione trasversale e la forza normale definita.  Per il calcolo viene utilizzato un diagramma tensione-deformazione bilineare con ramo plastico orizzontale sia per l'armatura che per il calcestruzzo.

M_s - il momento flettente al raggiungimento della tensione di snervamento nella barra di armatura più sfruttata

Un altro punto caratteristico del diagramma N-M-κ è lo stato tensionale della sezione trasversale quando viene raggiunta la tensione di snervamento nella barra di armatura più sfruttata (la deformazione della barra è uguale a f_yk/E_s per i diagrammi a breve e lungo termine, f_yd/E_s per il diagramma SLU). Il processo iterativo trova un equilibrio delle forze normali nella sezione trasversale ruotando il piano delle deformazioni attorno al punto specificato dalla posizione della barra di armatura più sfruttata. Per il calcolo viene utilizzato un diagramma tensione-deformazione bilineare con ramo plastico orizzontale sia per l'armatura che per il calcestruzzo.

M_u - il momento flettente allo stato limite ultimo

Questa è la capacità portante ultima di una sezione trasversale a flessione, quando la sezione trasversale è soggetta alla forza normale di progetto definita N_ed. Per il calcolo della capacità della sezione trasversale si assume che vengano raggiunte la resistenza a compressione nella fibra di calcestruzzo più sfruttata e la resistenza a trazione nella barra di armatura più sfruttata (deformazione massima per il calcestruzzo ε_cu = 0,1 e per l'armatura ε_s,max = 0,5. Per il calcolo vengono utilizzati un diagramma tensione-deformazione bilineare con ramo plastico orizzontale per l'armatura e un diagramma parabola-rettangolo per il calcestruzzo.

La rigidezza e la curvatura risultanti dovute alla combinazione di forza normale e momento flettente definita dall'utente (Md) vengono quindi calcolate mediante interpolazione lineare dei singoli punti caratteristici del diagramma N-M-κ.

Calcolo delle rigidezze e delle curvature

Le rigidezze e le curvature per ciascuno stato tensionale della sezione trasversale (M_r, M_c, M_s o M_u) vengono calcolate direttamente dalla rotazione del piano delle deformazioni. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    rigidezza assiale dell'elemento

N . .   .   . la forza normale specificata

ε_x .   .   .  deformazione assiale al baricentro della sezione trasversale in calcestruzzo

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   rigidezza flessionale dell'elemento

M .   .   .    il momento flettente calcolato M_r, M_c, M_s o M_u

κ .   .   .   . la curvatura dell'elemento, calcolata come la tangente dell'angolo tra il piano delle deformazioni e l'asse longitudinale dell'elemento

Esempio pratico

Una sezione trasversale in calcestruzzo (classe C30/37) è armata con armatura ϕ32 (classe B500B). La combinazione quasi-permanente definita è N = -730 kN e M_y = 557 kNm.

Il piano delle deformazioni per il punto caratteristico M_s è determinato da IDEA RCS come segue:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagrammi tensione-deformazione utilizzati per il calcolo

Armatura - M_r, M_c, M_s e M_u

Calcestruzzo - M_r, M_c, M_s

Calcestruzzo - M_u

Letteratura

[1] Bradáč Betonové konstrukce (strutture in calcestruzzo), 1.parte: Dimensionamento di elementi in calcestruzzo armato e calcestruzzo semplice, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Progettazione delle strutture in calcestruzzo - Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, inc. modifica NA ed. A (2007) e revisione 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Metodi Numerici nella Progettazione Non Lineare del Calcestruzzo, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, libro on-line http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010