IDEA StatiCa RCS – Proiectarea structurală a elementelor din beton 1D

Proiectarea secțiunilor din beton armat conform EN 1992-1-1 și EN 1992-2.

Încovoiere
Forfecare
Torsiune
Interacțiune
Verificarea limitării tensiunilor
Controlul fisurării
Diagrama N-M-κ
Bibliografie

Încovoiere

Metode pentru verificarea capacității secționale

Două metode bine cunoscute pot fi utilizate pentru verificarea stării limită ultime pentru elementele 1D din beton. Prima metodă furnizează rezistența ultimă a secțiunii transversale sub forma unei suprafețe de interacțiune sau a unei diagrame de interacțiune (în cazul momentului încovoietor într-o singură direcție). Capacitatea secțiunii transversale poate fi determinată ca raport dintre forțele interioare de calcul și forțele corespunzătoare stării limită. A doua metodă constă în găsirea echilibrului într-o secțiune transversală, unde se urmărește comportamentul real al secțiunii încărcate, utilizarea materialelor în termeni de tensiuni și identificarea vulnerabilităților secțiunii.

Ipoteze generale de proiectare și ipoteze de calcul pentru Starea Limită Ultimă 

1. Deformația ε în armătură și beton se consideră direct proporțională cu distanța față de axa neutră (secțiunile plane rămân plane).
2. Conlucrarea armăturii cu betonul este asigurată prin aderența dintre beton și armătură fără alunecare (deformația ε a armăturii este egală cu deformația fibrelor de beton adiacente).
3. Rezistența la întindere a betonului este neglijată (toate tensiunile de întindere sunt preluate de armătură).
4. Tensiunile de compresiune în beton din zona comprimată se calculează în funcție de deformația determinată din diagramele efort-deformație.
5. Tensiunile din armătură se calculează în funcție de deformație din diagramele efort-deformație.
6. Deformația ultimă a betonului comprimat cu limita de deformație ultimă ε_cu2 (diagrama parabolă-dreptunghi pentru beton la compresiune) și ε_cu3 (relație bilineară efort-deformație), [2].
7. Deformația de compresiune a armăturii este fără limitare în cazul ramurii plastice orizontale superioare; în cazul ramurii plastice înclinate superioare, deformația este limitată la ε_ud,[2].
8. Starea limită este considerată atinsă atunci când starea cel puțin unuia dintre materiale depășește deformația ultimă limită (dacă εu nu este limitată, betonul comprimat este determinant).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interacțiune

Prima opțiune este verificarea secțiunii transversale prin intermediul unei suprafețe de interacțiune (sau diagramă de interacțiune). O explicație este furnizată pe un exemplu al suprafețelor de interacțiune pentru secțiunea pătrată armată din exemplul prezentat în figura de mai jos. Pe suprafața de interacțiune sunt localizate punctele care definesc starea limită ultimă a secțiunii transversale analizate. Suprafața de interacțiune este trasată din punctele (N, My, Mz), care sunt determinate prin integrarea tensiunilor în secțiunea transversală, care a atins deformația ultimă limită în unul dintre materiale. Pentru o interacțiune 3D, suprafața poate fi derivată dintr-o diagramă de interacțiune 2D, care este o curbă închisă, corespunzătoare tensiunilor pentru o axă neutră rotită continuu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Pentru cazul unei secțiuni transversale simetrice față de axa y, diagrama de interacțiune este simetrică față de planul N-M_y. În mod similar, pentru cazul unei secțiuni transversale simetrice față de axa z, diagrama de interacțiune este simetrică față de planul N-M_z. Secțiunea cu armătură unilaterală introduce o formă aplatizată a diagramei de interacțiune.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Punctele care definesc starea limită ultimă sunt obținute prin integrarea tensiunilor.  Figura de mai jos prezintă distribuția deformațiilor la starea limită ultimă.

Distribuții ale deformațiilor la starea limită ultimă (preluate din [2]).

Diagrama de interacțiune prezintă cedarea secțiunii transversale sub forță normală și momente încovoietoare. [1]

Respectând problema diagramei 2D (curbă închisă situată pe suprafața de interacțiune), putem determina că planul de deformații trece prin axa neutră și prin punctul critic [y, z, ε], considerat ca punct critic R.  Punctul [y, z] definește un punct în secțiunea transversală cu valoarea deformației ε la starea limită ultimă. Înclinarea axei neutre este constantă pentru toate punctele diagramei 2D.

În cazul în care tensiunea de compresiune în beton este determinantă pentru proiectare, punctul R corespunde fibrei de beton comprimat cele mai îndepărtate sau punctului limită C. Totuși, aceasta se poate aplica numai dacă secțiunea respectivă este alcătuită dintr-un singur tip de beton - nu ca o secțiune transversală mixtă.   

În cazul în care tensiunea de întindere din armătură este determinantă pentru proiectare (deformația ε_ud este depășită la starea limită ultimă pentru una sau mai multe bare), trebuie îndeplinită condiția ca pentru planul de deformații dat, valoarea ε_ud să nu fie depășită la nicio altă bară.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Imaginea de mai sus arată că diagrama poate fi împărțită în două părți: partea în care cedarea este cauzată de forța de întindere și partea care cedează sub o forță de compresiune. Punctele limită corespund cazului de mai sus, unde se poate observa și înclinarea extremă a planului de deformații. La trasarea diagramei de interacțiune, înclinarea planului de deformații al secțiunii transversale se modifică în acest interval, în timp ce căutăm punctul R (a se vedea mai sus). Pe baza acelui plan definit, efectuăm integrarea pentru a obține tensiunea la starea limită ultimă.

Verificarea secțiunii transversale supuse forței axiale și momentului încovoietor

Verificarea unei secțiuni transversale supuse forței axiale și momentului încovoietor constă în demonstrarea că tensiunile verificate (combinația N_d, M_yd, M_zd) sunt situate în interiorul sau pe suprafața de interacțiune. Diferite metode pot realiza acest lucru. Următorul exemplu demonstrează verificarea unei secțiuni transversale dreptunghiulare supuse forțelor N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

Pentru a defini rezistența unei secțiuni transversale, se presupune modificarea proporțională a tuturor componentelor forțelor interioare (excentricitatea forței normale rămâne constantă) până când suprafața de interacțiune a fost dezvoltată. Modificarea forțelor interioare implicate poate fi interpretată ca o deplasare de-a lungul unei drepte care conectează originea sistemului de coordonate (0,0,0) și punctul definit de forțele interioare (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Cele două intersecții ale acestei drepte cu suprafața de interacțiune, care pot fi găsite, reprezintă două seturi de forțe la starea limită ultimă. La fiecare intersecție, programul determină trei forțe la starea limită: rezistența de calcul la forță axială N_Rd și momentele de rezistență de calcul corespunzătoare M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

Pentru a defini rezistența secțiunii transversale, se presupune forță normală constantă (egală cu forța normală de calcul de acțiune) și modificări proporționale ale momentelor încovoietoare până când suprafața de interacțiune a fost dezvoltată. Modificarea forțelor interioare implicate poate fi interpretată ca o deplasare într-un plan orizontal de-a lungul dreptei care conectează punctul (N_Ed,0,0) și  punctul definit de forțele interioare de acțiune (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Cele două intersecții ale acestei drepte cu suprafața de interacțiune, care pot fi găsite, reprezintă două seturi de forțe la starea limită ultimă. La fiecare intersecție, programul determină trei forțe la starea limită: momentele de rezistență de calcul M_Rdy, M_Rdz și forța normală de calcul de acțiune (corespunzătoare) N_Ed.

Metoda  NMuMu

Pentru a defini rezistența secțiunii transversale, se presupune o forță normală constantă (egală cu forța normală de calcul de acțiune) și modificări proporționale ale momentelor încovoietoare până când suprafața de interacțiune a fost dezvoltată. Modificarea forțelor interioare implicate poate fi interpretată ca o deplasare într-un plan orizontal de-a lungul dreptei care conectează punctul (N_Ed,0,0) și punctul definit de forțele interioare de acțiune (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Cele două intersecții ale acestei drepte cu suprafața de interacțiune, care pot fi găsite, reprezintă două seturi de forțe la starea limită ultimă. La fiecare intersecție, programul determină trei forțe la starea limită: momentele de rezistență de calcul M_Rdy, M_Rdz, și forța normală de calcul de acțiune (corespunzătoare) N_Ed.

Determinarea răspunsului secțiunii

O altă posibilitate de verificare a secțiunii transversale este determinarea răspunsului secțiunii transversale (adică distribuția deformațiilor și tensiunilor din forțele interioare de acțiune). Această metodă este cunoscută și ca metoda deformației limită. Nivelul tensiunilor de acțiune în fiecare fibră (în cazul încovoierii plane, în fiecare strat) în fiecare bară de armătură este calculat în funcție de deformația din diagrama efort-deformație a materialului.
Determinarea răspunsului secțiunii transversale se calculează utilizând metoda numerică specificată în [6]. Principiul constă în incrementarea treptată a încărcării secțiunii prin componentele dezechilibrate ale forțelor netransmise. Acestea sunt obținute prin integrarea tensiunilor pe secțiune utilizând diagramele efort-deformație. Dacă valoarea tensiunii poate fi găsită pentru deformația din diagrama efort-deformație, a se vedea Figura de mai jos (a), tensiunea calculată este corectă presupunând material liniar elastic. În cazurile (b) și (c), tensiunea pentru un calcul liniar atinge valori nerealiste, iar o parte (b) sau întreaga valoare (c) nu poate fi transmisă de material. Prin integrarea tensiunilor netransmise se obțin forțele interioare netransmise, iar rezultantele acestora trebuie adăugate la forțele interioare ale încărcărilor variabile. 

Tensiuni netransmise în diagramele efort-deformație. [4]

Forțe interioare netransmise. [4]

Această metodă de calcul necesită utilizarea metodelor numerice pentru integrarea tensiunilor pe aria secțiunii transversale și pentru analiza neliniară a ecuațiilor de echilibru în secțiune. Iterația se termină în momentul în care criteriile de convergență sunt îndeplinite.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

unde 

F_e este încărcarea secțiunii,

F_i este răspunsul secțiunii (forțe interioare calculate pe baza planului de deformații).

Dacă a este valoarea aproximată și b este valoarea exactă (reală), atunci abaterea absolută este dată de următoarea ecuație.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Abaterea relativă este dată de următoarea formulă:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

În majoritatea programelor, puteți seta aceste criterii de convergență (valorile implicite sunt 1% ca eroare relativă, 100 N, 100 Nm ca eroare absolută a forței normale și a momentelor). 

Astfel, dacă avem datele de intrare N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm și forțele integrate după iterație N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm, evaluarea va fi după cum urmează. Respectând faptul că N și Mz sunt egale cu 0, se poate face o comparație cu abaterea absolută:

Valoarea forței normale 100N> | 70 | N
Valoarea momentului încovoietor Mz 100Nm> | 20 | Nm
Valoarea momentului încovoietor My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificarea secțiunii transversale prin răspuns

În cazul determinării echilibrului în secțiunea transversală, deformația plană este cunoscută. Din deformația plană putem calcula deformația în orice punct al secțiunii, apoi tensiunile sau forțele interioare din barele de armătură, secțiunea transversală sau părțile acesteia utilizând diagramele efort-deformație ale materialelor. Valorile calculate ale tensiunilor și deformațiilor le comparăm cu valoarea deformației limită din diagramele efort-deformație ale materialelor utilizate.
Avantajul acestei metode este că obținem o imagine completă a valorilor tensiunilor și deformațiilor în secțiunea forțelor interioare care acționează asupra secțiunii transversale.

Forfecare

În ceea ce privește cedarea fragilă, verificarea la forfecare este una dintre verificările importante ale unei secțiuni de beton armat.

Procedura de calcul

Calculul rezistenței la forfecare este compus din mai multe părți de bază. În primul rând, trebuie să analizăm dacă în secțiunea verificată apar sau nu fisuri datorate încovoierii. Dacă există, se utilizează calculul conform EN 1992-1-1 [2], Articolul 6.2.2 (1). În caz contrar, determinăm dacă este vorba de beton simplu sau beton slab armat, apoi procedăm în conformitate cu EN 1992-1-1 Articolul 12.6.3.

Pentru betonul armat nefisurat (fără armătură de forfecare) verificăm conform EN 1992-1-1 Articolul 6.2.2 (2). Pentru elementele la care este necesară armătura de forfecare, verificăm conform Articolului 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Rezistența la forfecare a elementelor fără armătură de forfecare

Rezistența la forfecare a elementelor în zone de încovoiere fisurate (art. 6.2.2 (1) [2])

Rezistența la forfecare a elementelor de beton armat fără armătură de forfecare supuse momentului încovoietor este dată de:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Care a fost definită pe baza încercărilor efectuate pe un număr reprezentativ de grinzi simple în cazul cedării prin forță tăietoare. Deoarece rezistența de mai sus poate fi zero pentru elementele fără armătură longitudinală (r_l), pentru elementele slab armate au fost deduse ecuații. Deoarece rezistența de mai sus poate fi zero pentru elementele fără armătură longitudinală (r_l), pentru elementele slab armate a fost determinată prin ecuația

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Pentru rezistența la forfecare cu influența forței normale a fost determinată ecuația

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Rezistența la forfecare în expresia sa completă, corespunzătoare cu EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Cu minimul

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

unde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          factorul înălțimii secțiunii transversale 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      raportul de armare pentru armătura longitudinală

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        rezistența caracteristică la compresiune pe cilindru a betonului la 28 de zile

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  în MPa

b_w        lățimea minimă a secțiunii transversale în zona întinsă

d          înălțimea utilă a secțiunii transversale

υ_min      rezistența minimă echivalentă la forfecare υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Rezistența la forfecare a elementelor în zone de încovoiere nefisurate (art. 6.2.2 (2) [2])

Rezistența la forfecare a elementelor în zone de încovoiere nefisurate poate fi determinată din cercul lui Mohr. În ecuația

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Substituim σ_x = σ_cp și τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) și determinăm V_Rd,c, obținând ecuația corespunzătoare formulei din EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

unde  

I           este momentul de inerție,

b_w        este lățimea secțiunii transversale la axa centroidală

S          este momentul static al ariei de deasupra și față de axa centroidală,

f_ctd        valoarea de calcul a rezistenței axiale la întindere a betonului în MPa,

 s_cp       este tensiunea de compresiune în beton la axa centroidală datorată încărcărilor și/sau pretensionării,

a_l         factorul lungimii de transmitere, de obicei 1,0.

În legătură cu cele de mai sus, trebuie remarcat că în zonele fără fisuri de încovoiere, rezistența V_Rd ,c poate fi semnificativ mai mare decât în zonele fisurate conform Articolului 6.2.2 (1) [2]. Figura de mai jos arată clar că, deși forța tăietoare este verificată la valoarea sa extremă (care nu produce fisuri), nu este neapărat garantat că aceasta va fi preluată pe toată lungimea grinzii. Aceasta se datorează schimbării metodei de calcul a rezistenței la forfecare a betonului. Pe partea sigură, desigur, rezistența la forfecare poate fi considerată conform Articolului 6.2.2 (1) [2] și în locurile unde nu vor apărea fisuri.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

În ceea ce privește expresia V_Rd, c conform Articolului 6.2.2 (2)[2], trebuie remarcat că în cazul general verificarea trebuie efectuată la fibra cu tensiunea principală maximă de întindere în beton în zona de compresiune normală, și nu la centrul de greutate al secțiunii. În acest punct este necesar să se calculeze caracteristicile secțiunii transversale (S și b_W). Pentru determinarea tensiunii principale maxime s₁ în programul IDEA RCS, trasăm o linie prin centrul de greutate în direcția rezultantei forțelor tăietoare. Această linie o împărțim în 20 de sectoare. Pe această linie prezentăm mai multe puncte caracteristice (punctele poligonului secțiunii transversale, centrul de greutate, axa neutră). În cadrul acestor puncte calculăm S, b_w, σ_x, τ_yz și σ_1.  La punctul de tensiune principală maximă de întindere calculăm rezistența la forfecare.

Forța tăietoare înainte de aplicarea factorului de reducere b cerut de Articolul 6.2.2 (6) trebuie să satisfacă condiția suplimentară

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

unde 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  unde f_ck este în MPa

Rezistența la forfecare a elementelor fără armătură sau slab armate (art. 12.6.3 [2])

Rezistența la forfecare pentru beton simplu sau slab armat poate fi determinată din expresia

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Unde

τ_cp se substituie cu

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

sau

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Valorile parțiale utilizate în formula de mai sus sunt date de:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

unde  

f_cd,pl     Rezistența de calcul la compresiune pentru beton simplu sau slab armat,

f_ctd,pl    Rezistența de calcul axială la întindere a betonului simplu sau slab armat,

f_cvd       Rezistența de calcul la forfecare sub compresiunea betonului.

Rezistența elementelor cu armătură de forfecare (art. 6.2.3 [2])

Calculul rezistenței elementelor de beton armat cu armătură de forfecare se bazează pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele cu diagonale cu unghi variabil. Baza acestei metode este echilibrul forțelor în triunghiul determinat de forța bielei comprimate (diagonala), forța armăturii de forfecare (etrier) și forța armăturii longitudinale.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Secțiunea transversală supusă forței tăietoare este traversată de fisuri la un unghi θ, din acest motiv diagonala de beton cu același unghi ca forțele tăietoare rezistă la forța tăietoare. Forța de compresiune a diagonalei poate fi exprimată ca V_ed/sinθ. Această forță trebuie preluată de suprafața de beton, perpendiculară pe diagonala comprimată b_wzcosθ. Tensiunea de compresiune în beton în diagonala comprimată este atunci egală cu:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Substituind \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  și \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] și exprimând \[{{V}_{Rd,max}}\] obținem ecuația pentru rezistența la forfecare a diagonalei:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Pentru a echilibra componenta verticală a forței în diagonala comprimată, se utilizează armătura de forfecare. Mărimea forței verticale se bazează pe tensiunea de compresiune a diagonalei în zona de beton corespunzătoare unui singur etrier - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Forța limită a etrierului este dată de \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Introducând σ_c, comparând cu forța limită în armătură, după modificări obținem:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Exprimând apoi V_ed ca V_RDs obținem rezistența secțiunii transversale cu armătură de forfecare verticală:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Forța tăietoare longitudinală este preluată de armătura longitudinală și poate fi determinată ca V_edcotgθ. Derivarea formulelor de mai sus poate fi găsită în [4].

Utilizând programul IDEA RCS este posibilă verificarea doar a elementelor cu armătură de forfecare verticală. În general, pot fi utilizate următoarele ecuații:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Unde  

A_sw      este aria secțiunii transversale a armăturii de forfecare,

s           este distanța dintre etrieri,

f_ywd      este rezistența de calcul la curgere a armăturii de forfecare,

b_w        este lățimea minimă între tălpile întinsă și comprimată. Pentru calculul rezistenței V_Rd,max , valoarea lățimii secțiunii trebuie redusă la așa-numita lățime nominală a secțiunii transversale în cazul în care secțiunea transversală este slăbită de canale pentru cabluri

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pentru canale metalice injectate

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pentru canale metalice neinjectate           

υ          = 0,6 pentru f_ck ≤ 60MPa sau pentru f_ck > 60MPa,

α_cw       este un coeficient care ține cont de starea de tensiune în talpa comprimată.

Încărcare	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Coeficientul acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Determinarea coeficientului α_cw

Unghiul θ este unghiul dintre bielă comprimată din beton și axa grinzii perpendiculară pe forța tăietoare. Valorile limită ale cotgθ pentru utilizare într-o țară pot fi găsite în Anexa Națională a acesteia. Limitele recomandate sunt date de expresia:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Alegerea mărimii unghiului θ poate influența valoarea rezistențelor. Dependența rezistențelor este vizibilă în Figura 1.15. Figura arată că odată cu creșterea unghiului θ, rezistența V_Rd,max  crește, iar rezistența V_Rd,s scade. Rezistența V_Rd,c este constantă, deoarece se bazează pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Calculul caracteristicilor secțiunii transversale pentru forfecare

Pentru calculul forfecării este important să se calculeze variabilele secțiunii transversale care influențează rezistența la forfecare. Aceste variabile includ în principal lățimea secțiunii rezistente la forfecare b_w, înălțimea utilă d și brațul de pârghie z. Codul [2] furnizează aceste valori care corelează direct cu tensiunea reală de încovoiere. Problema constă însă în determinarea acestor valori atunci când direcția momentelor încovoietoare rezultante (sau mai precis direcția rezultantei rezistenței secțiunii) diferă semnificativ de direcția forțelor tăietoare rezultante. În acest caz, codul EC2 nu oferă nicio recomandare.

Lățimea secțiunii transversale rezistente la forfecare b_w

Programul IDEA RCS calculează lățimea secțiunii transversale rezistente la forfecare în direcția perpendiculară pe rezultanta forțelor tăietoare. În funcție de articolul din Eurocode, această lățime se calculează astfel:
-  Lățimea minimă a secțiunii între rezultanta betonului comprimat și armătura întinsă în direcția perpendiculară pe rezultanta forțelor tăietoare pentru articolul 6.2.2 (a) și 6.2.3 (1)
- Lățimea secțiunii în direcția perpendiculară pe rezultanta forțelor tăietoare în punctul verificat conform articolului 6.2.2 (2)

Înălțimea utilă a secțiunii transversale

Înălțimea utilă este de obicei definită ca distanța de la fibra de beton cea mai comprimată până la centrul de greutate al armăturii. Deoarece este direct legată de încovoiere, distanța este dată ca proiecție perpendiculară pe linia de gravitație a planului de deformație.

Această definiție poate fi clarificată astfel încât în locul centrului de greutate al armăturii întinse să fie utilizată poziția rezultantei forțelor în armătură. În timpul dezvoltării programului IDEA RCS a fost rezolvată problema: cum să se definească înălțimea utilă a secțiunii transversale pentru care planul încărcărilor de încovoiere nu corespunde cu direcția forțelor tăietoare rezultante. Prin urmare, înălțimea utilă este definită ca distanța de la fibra de beton cea mai comprimată până la rezultanta forțelor în armătura întinsă (bazată pe tensiunea de încovoiere) și în direcția rezultantei forțelor tăietoare, a se vedea Figura 1.17.

Cazuri excepționale vor apărea dacă nu suntem în măsură să determinăm fibra comprimată sau rezultanta în armătura întinsă. În acest caz, recomandăm utilizarea valorii 0,9 h (90% din înălțimea secțiunii în direcția rezultantei forțelor tăietoare). Această valoare poate fi definită de utilizator în programul IDEA RCS prin setarea variabilelor de cod.

Brațul de pârghie al forțelor interioare

Brațul de pârghie al forțelor interioare este definit în 6.2.3 (3) [2] ca „distanța dintre tălpile întinsă și comprimată". Codul nu definește cum să se procedeze atunci când planul momentului încovoietor acționant diferă de direcția forțelor tăietoare rezultante. Prin urmare, ca și în cazul înălțimii utile, definim distanța în direcția rezultantei forțelor tăietoare. De asemenea, și aici pot apărea cazuri excepționale similare, de exemplu, întreaga secțiune este sub compresiune etc. În acest caz, se ia valoarea 0,9 d (90% din înălțimea utilă a secțiunii). Această valoare poate fi setată de utilizator în programul IDEA RCS prin setarea variabilelor de cod.

Dependența dintre înclinarea planului de încovoiere și rezultanta forței tăietoare este clar vizibilă în Figura 1.18 și Figura 1.19. Odată cu creșterea înclinării, valorile înălțimii utile, brațelor de pârghie și rezistențelor aferente scad. Starea limită este de 90°. Pentru această înclinare, brațul de pârghie al forțelor interioare nu poate fi calculat, prin urmare brațul de pârghie este egal cu zero. În acest caz, se ia în considerare valoarea specificată în setarea variabilelor de cod. Prin aceasta apare un salt la sfârșitul graficului. Acest studiu confirmă că înclinarea maximă recomandată este de aproximativ 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Ca parte a testării aplicației RCS, a fost realizat un studiu privind dependența rezistenței la forfecare față de variația forței normale. Rezistența V_Rd,max este influențată doar de coeficientul α_cw, a se vedea Fig. 1.20. Fig. 1.21 arată o valoare constantă a rezistenței V_Rds. Pentru rezistența V_Rdc, scăderile sunt cauzate de creșterea forței normale. Curba albastră din Fig. 1.21 arată rezistența V_Rdc cu neglijarea influenței fisurilor și a fost calculată folosind formula din secțiunea 6.2.2 (1) [2]. Saltul în tranziția dintre compresiune și întindere este cauzat de armătura întinsă contribuantă. Curba roșie este calculată folosind formula din secțiunea 6.2.2 (2) [2]. După apariția primei fisuri, curba de dependență este aceeași ca pentru 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Torsiune

Ipoteze de calcul

Comportamentul unei secțiuni de beton armat supuse la torsiune poate fi împărțit în două categorii - înainte și după momentul în care se pot produce primele fisuri. Înainte de fisurare, secțiunea transversală se comportă ca un material elastic. Tensiunea de torsiune poate fi exprimată prin formula   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

unde W_t este modulul de rezistență la torsiune al secțiunii.

Fisurile în elementul nearmat datorate tensiunii principale de întindere din torsiune reprezintă, de asemenea, o stare limită ultimă. Comportamentul unei secțiuni de beton armat supuse la torsiune poate fi descris pe baza unei secțiuni închise cu pereți subțiri, a se vedea Fig. de mai jos. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Procedura de calcul

Procesul de verificarea conform codului a betonului armat la torsiune este foarte similar cu verificarea conform codului la forfecare. În primul rând, se verifică rezistența betonului. Dacă verificarea betonului este satisfăcută, armătura poate fi proiectată folosind regulile de alcătuire constructivă. În caz contrar, este necesară verificarea prin calcul a armăturii și a rezistenței diagonalelor comprimate.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Rezistență

Fluxul de forfecare într-un perete al unei secțiuni cu pereți subțiri supuse la torsiune poate fi exprimat astfel:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Forța de forfecare într-un perete al unei secțiuni cu pereți subțiri poate fi exprimată astfel:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Unde 

τ          Fluxul de forfecare în perete,

t_ef         este grosimea efectivă a peretelui,

z           este lungimea laturii peretelui,

T_Ed       este momentul de torsiune,

A_k        este aria delimitată de liniile mediane ale pereților de legătură, inclusiv golurile interioare.

Momentul de fisurare la torsiune, care poate fi determinat prin introducerea f_ctd în expresia anterioară. Astfel se obține expresia pentru rezistența la torsiune fără armătură de torsiune.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

unde  f_ctd       valoarea de calcul a rezistenței axiale la întindere a betonului

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Rezistența elementului cu armătură de torsiune este compusă din rezistența diagonalelor comprimate din beton, care se bazează din nou pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele. Tensiunea de compresiune în diagonală poate fi exprimată cu ajutorul forței de forfecare din peretele secțiunii cu pereți subțiri pe suprafața peretelui considerat, adică

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Prin substituirea σ_c=σ_cwf_cd și T_Ed=T_Rd,max și exprimând T_Rd,max se obține ecuația pentru rezistența diagonalei comprimate

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

unde  

ν          = 0,6 pentru f_ck ≤ 60MPa sau  pentru f_ck > 60MPa

α_cw       coeficient care ține cont de starea de tensiune de compresiune în talpa comprimată

f_cd        valoarea de calcul a rezistenței la compresiune a betonului

rezistența armăturii de forfecare supuse la torsiune se bazează din nou pe tensiunea din diagonala comprimată. Forța din etrieri este egală cu tensiunea din diagonala comprimată pe aria corespunzătoare rândului respectiv de etrieri, adică

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Substituind  T_Ed=T_Rd,s și exprimând T_Rd,s  se obține ecuația:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Dacă cantitatea de armătură longitudinală și transversală este cunoscută, putem defini unghiul θ prin expresia

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Prin substituire pentru T_Rd,s se obține

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Unde

A_sw      aria armăturii de forfecare

s           este distanța radială dintre etrieri ai armăturii de forfecare

f_ywd      este rezistența de calcul efectivă a armăturii de forfecare

A_sl       aria armăturii longitudinale

u_k         este perimetrul exterior al secțiunii transversale

f_ywd      este rezistența de calcul efectivă a armăturii longitudinale

Forța din armătura longitudinală poate fi dedusă din forța de forfecare dintr-un perete al unei secțiuni supuse la torsiune pură, care este dată de:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Acea forță este transformată în direcție longitudinală și se obține:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Intervalul admis al valorilor pentru unghiul θ este similar cu verificarea la forfecare, adică 1 < cot θ < 2,5. Dependența dintre rezistențe poate fi observată în Fig. de mai jos. Diagrama arată că odată cu creșterea unghiului θ, rezistența T_Rd,max crește, rezistența T_Rd.s scade, iar rezistența T_Rd,c este constantă, deoarece nu se bazează pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Calculul caracteristicilor secțiunii transversale la torsiune

Pentru verificarea secțiunii transversale la torsiune este necesară stabilirea unei secțiuni închise echivalente cu pereți subțiri. La determinarea dimensiunilor secțiunii echivalente cu pereți subțiri se presupune o formă dreptunghiulară. Pentru aria reală a dreptunghiului se consideră A = b×h, iar pentru perimetrul dreptunghiului u =2 (b +h). Folosind aceste două ecuații se pot determina aria și perimetrul dreptunghiului echivalent cu pereți subțiri al secțiunii originale. Rezolvând două ecuații cu două necunoscute se obține:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Grosimea peretelui secțiunii efective poate fi definită din perimetru și aria secțiunii astfel:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Apoi aria și perimetrul definite de linia mediană a secțiunii efective:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Problema cu această metodă apare în cazul secțiunilor de tip T cu o placă lată, când aria totală și perimetrul sunt utilizate pentru calculul dimensiunilor (inclusiv această placă). În versiunile viitoare ale programului IDEA RCS va fi activată selectarea celei mai masive părți a secțiunii transversale, care va fi utilizată pentru verificarea la torsiune.

Interacțiune

Interacțiunea forței tăietoare și a torsiunii pentru armătura de forfecare

Determinarea forței în armătura de forfecare datorată forței tăietoare. 

Calculul se bazează pe formula de calcul a rezistenței armăturii de forfecare definită în EN 1992-1-1. Pe baza ecuației 6.13 (cap. 6.2.3 (4)), capacitatea portantă a unui braț de etrier poate fi derivată astfel:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . aria secțiunii transversale a unui braț de etrier care preia forfecarea în secțiunea considerată

s .  .  .  .  . distanța dintre armăturile de forfecare în direcția axei longitudinale a elementului 

a_sw,V .  .  . aria secțiunii transversale a armăturii de forfecare pe unitatea de lungime

z .  .  .  .  . brațul interior al forțelor. Pentru un element cu înălțime constantă, corespunzând momentului încovoietor în elementul considerat. În analiza la forfecare a betonului armat fără forță axială, se poate utiliza în mod obișnuit valoarea aproximativă z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  valoarea de calcul a limitei de curgere a armăturii de forfecare

θ .  .  .  .  . unghiul dintre bielă comprimată din beton și axa elementului perpendiculară pe forța tăietoare

α .  .  .  .  . unghiul dintre armătura de forfecare și axa elementului perpendiculară pe forța tăietoare

β .  .  .  .  . înclinarea brațului etrierului față de rezultanta forței tăietoare aplicate

Forța tăietoare este redistribuită uniform între armăturile individuale care preiau forța tăietoare, în funcție de unghiul armăturii și de rigiditatea axială a brațelor individuale ale etrierilor.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

În continuare, deformația medie a armăturii considerată în direcția rezultantei forței tăietoare poate fi derivată:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Deformația reală a armăturii de ordinul i poate fi calculată astfel:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Tensiunea într-un braț dat al armăturii:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Determinarea forței în fiecare etrier datorată torsiunii

Rezistența la torsiune a unei secțiuni poate fi calculată pe baza unei secțiuni închise cu pereți subțiri, în care echilibrul este asigurat printr-un flux de forfecare închis. Secțiunile pline pot fi modelate prin secțiuni echivalente cu pereți subțiri. Pentru secțiunile negolite, grosimea echivalentă a peretelui nu trebuie să depășească grosimea reală a peretelui.

Fluxul de forfecare în pereții unei secțiuni închise cu pereți subțiri datorat torsiunii poate fi calculat astfel:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Forța tăietoare într-un perete particular este:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . lungimea liniei mediane a peretelui considerat

Forța tăietoare în inimă - lungimea liniei mediane a inimii poate fi substituită prin valoarea brațului interior al forțelor „z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Forța în etrieri care preiau torsiunea pe un metru de lungime a elementului (pe unitatea de lungime):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Descompunerea forțelor pentru fiecare etrier

Dacă același material este definit pentru toți etrieri, tensiunea rezultantă datorată torsiunii în fiecare braț de etrier este constantă. Atunci:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

unde a_sw,T este aria totală a etrierilor care preiau torsiunea pe unitatea de lungime.

În cazul în care etrieri individuali au materiale diferite, trebuie luată în considerare rigiditatea axială a barelor individuale.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . numărul de brațe ale armăturii (grupuri de armătură) care preiau torsiunea

F_si,T .  .  . forța în grupul de armătură de ordinul i rezultată din torsiune pe unitatea de lungime

a_si,T .  .  . aria secțiunii transversale a armăturii de forfecare care preia torsiunea pe unitatea de lungime 

E_si,T .  .  . modulul de elasticitate Young al grupului de armătură de ordinul i care preia torsiunea

ε_sw,T .  .  deformația în armătură datorată torsiunii

Tensiunea rezultantă în fiecare etrier datorată torsiunii aplicate se calculează astfel:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interacțiunea V+T

Calculul tensiunilor în etrieri datorat forței tăietoare și torsiunii reprezintă suma tensiunilor datorate componentelor individuale de încărcare.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Forța rezultantă în armătura de ordinul i:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interacțiunea forței tăietoare, torsiunii și încovoierii pentru armătura longitudinală

Determinarea forței în fiecare armătură longitudinală datorată forței normale și momentului încovoietor

Aplicația RCS este utilizată pentru a calcula răspunsul secțiunii transversale la combinația forței normale și a momentului încovoietor, în vederea determinării tensiunii și deformației în barele longitudinale individuale și în armătura pretensionată.

Determinarea forței în armătura longitudinală individuală datorată forței tăietoare

Incrementul forței de întindere în armătura longitudinală ΔF_td datorat forței tăietoare depinde de geometria modelului Bielă-tiranți. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incrementul forței de întindere în armătura longitudinală datorat forței tăietoare

V_ed .  .  .  . valoarea de calcul a forței tăietoare care acționează în secțiunea considerată

θ .  .  .  .  . unghiul dintre bielă comprimată din beton și axa elementului 

α .  .  .  .  . unghiul dintre armătura de forfecare și axa elementului

Pentru armătura longitudinală situată în talpa întinsă, forța rezultantă F_t în armătura longitudinală datorată combinației N+M+V nu trebuie să depășească M_Ed,max/z (unde M_Ed,max este momentul maxim de-a lungul grinzii)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Forța ΔF_td este preluată de toate armăturile pretensionate aderente și de armătura situată în partea secțiunii transversale care preia forfecarea (inima, în cazul unui profil I). Din considerente de siguranță, contribuția armăturii pretensionate poate fi considerată 0. Ipoteza de calcul este că incrementul deformației axiale al armăturii longitudinale individuale care preia forfecarea este constant (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Derivarea este valabilă pentru o diagramă bilineară de lucru a armăturii cu ramură plastică orizontală. În cazul unei diagrame cu ramură înclinată, calculul trebuie modificat.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incrementul de deformație în armătura longitudinală datorat forței tăietoare

n_s,V .  .  .  . numărul de armături longitudinale care preiau forța tăietoare

A_sl,i,V .  .  . aria armăturii longitudinale de ordinul i care preia forța tăietoare

E_sl,i,V .  .  . modulul de elasticitate Young al armăturii longitudinale de ordinul i care preia forța tăietoare

n_p,V .  .  .  . numărul de armături pretensionate care preiau forța tăietoare

A_pl,i,V .  .  . aria armăturii pretensionate de ordinul i care preia forța tăietoare

E_pl,i,V .  .  . modulul de elasticitate Young al armăturii pretensionate de ordinul i care preia forța tăietoare

După determinarea valorii forței ΔF_td, deformația medie a armăturii Δε_V poate fi calculată.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incrementul de tensiune în barele longitudinale individuale datorat forței tăietoare aplicate:

pentru bară \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

pentru armătură pretensionată \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Determinarea forței în fiecare armătură longitudinală datorată torsiunii

Este foarte important să se determine armătura longitudinală care preia torsiunea. Aceasta este armătura situată într-o secțiune transversală alternativă echivalentă cu pereți subțiri, rezistentă la torsiune.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Conform EN 1992-1-1, mai multe condiții trebuie îndeplinite pentru armătura longitudinală rezistentă la torsiune:

- armătura trebuie distribuită uniform pe lungimea z_i, dar în secțiunile transversale mici armătura poate fi concentrată în colțurile etrierului

- distanța axială maximă a armăturii longitudinale este de 350 mm

Contribuția armăturii pretensionate nu este luată în considerare conform EN 1992-1-1.

Codul EN 1992-2 prevede că poate fi luată în considerare contribuția armăturii pretensionate, dar incrementul maxim de tensiune în armătura pretensionată nu trebuie să depășească Δσ_p ≤ 500MPa. Atunci formula poate fi modificată:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Cu toate acestea, deoarece incrementul armăturii pretensionate poate fi luat în considerare, aceasta rămâne la alegerea utilizatorului. În prezent, armătura pretensionată nu este considerată în calcul. 

Ipoteza de calcul este că incrementul deformației axiale al fiecărei armături longitudinale care preia forfecarea este constant (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Derivarea este valabilă pentru o diagramă bilineară de lucru a armăturii cu ramură plastică orizontală. În cazul unei diagrame cu ramură crescătoare, calculul trebuie modificat.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . valoarea de calcul a momentului de torsiune aplicat în secțiunea considerată

θ .  .  .  .  . înclinarea diagonalelor comprimate față de axa longitudinală a grinzii (identică cu cea pentru forța tăietoare)

u_k .  .  .  .  perimetrul ariei A_k

A_f .  .  .  .  aria definită de linia mediană a secțiunii echivalente goale cu pereți subțiri

n_s,T .  .  .  .numărul de armături longitudinale din beton care preiau momentul de torsiune

A_sl,i,T .  .  . aria armăturii longitudinale din beton de ordinul i care preia momentul de torsiune

Δε_T .  .  .  .variația deformației armăturii longitudinale datorată momentului de torsiune

Δσ_s,i,T .  .  variația tensiunii în armătura longitudinală de ordinul i datorată momentului de torsiune

E_sl,i,T .  .  . modulul de elasticitate al armăturii longitudinale din beton de ordinul i care preia momentul de torsiune

Incrementul de tensiune în fiecare armătură longitudinală datorat momentului de torsiune aplicat:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Verificarea limitării tensiunilor

Verificarea se bazează pe ipotezele generale, unde sunt rezolvate două stări ale secțiunii transversale: secțiunea nefisurata (rezistența la întindere a betonului nu este ignorată) și secțiunea complet fisurată (rezistența la întindere a betonului este ignorată). Soluția cu rezistența la întindere a betonului ignorată este considerată în conformitate cu ipotezele Articolului 7.1 (2) EN 1992-1-1.

La calculul tensiunilor și al săgeților, secțiunea este considerată nefisurata dacă tensiunea de întindere din încovoiere nu depășește f_ct, eff. Valoarea f_ct, eff poate fi considerată ca f_ctm sau f_ctm,fl. Valoarea f_ctm este utilizată la calculul lățimii fisurilor și al participarea betonului întins.

În cadrul acestei verificări, sunt tratate patru cazuri de bază în ceea ce privește limita de tensiune.

• 7.2 (2) Tensiunea de compresiune în elementele expuse la medii din clasele de expunere XD, XF și XS trebuie limitată:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) Tensiunea în beton sub încărcările cvasipermanente este limitată:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Tensiunile de întindere în armătură sub combinația caracteristică de încărcări trebuie limitate:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Atunci când tensiunea este cauzată de o deformație impusă, tensiunea de întindere nu trebuie să depășească:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Valorile k₁, k₂, k₃, k₄ pentru utilizare într-o țară pot fi găsite în Anexa Națională a acesteia. Valorile recomandate sunt 0,8; 1 și, respectiv, 0,75, limita de curgere caracteristică a armăturii, f_ck rezistența caracteristică pe cilindru f_ck determinată la 28 de zile.

Fisuri

Formarea fisurilor

O caracteristică specifică a structurilor din beton armat supuse la încovoiere sau la eforturi de întindere este apariția fisurării în punctele în care tensiunea de întindere din beton depășește rezistența la întindere a betonului. Pentru durabilitatea structurii și, de asemenea, pentru estetica acesteia, este important să se asigure că fisurile rezultate sunt cât mai mici posibil. Calculul lățimilor fisurilor, precum și lățimile maxime admise pentru diferitele clase de expunere sunt prevăzute în EN 1992-1-1, Capitolul 7.3.

În primul pas al calculului, se determină dacă secțiunea transversală este fisurată sau nu. Lățimea fisurii în sine se calculează întotdeauna din combinația de încărcări cvasipermanentă sau frecventă (în funcție de anexa națională), dar formarea fisurilor trebuie verificată din toate combinațiile SLS specificate. Astfel, pot apărea două cazuri:

• Tensiunea maximă de întindere din fibrele de beton nu va depăși rezistența la întindere a betonului pentru nicio combinație de încărcări (cvasipermanentă M_E,qp, frecventă M_E,fr, sau caracteristică M_E,k), și prin urmare considerăm secțiunea transversală fără fisuri.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Dacă se formează fisuri pentru oricare dintre combinații (cvasipermanentă, frecventă sau caracteristică), adică momentul încovoietor dezvoltat din combinația de încărcări considerată este mai mare decât momentul critic M_cr, secțiunea transversală este fisurată pentru acea combinație de încărcări, iar caracteristicile secțiunii transversale fisurate și lățimea fisurii trebuie calculate.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   momentul încovoietor obținut dintr-o combinație de încărcări SLS. Astfel, poate fi M_E,qp, M_E,fr, sau M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  rezistența la întindere a betonului la momentul considerat. Dacă betonul are mai mult de 28 de zile, se consideră o rezistență egală cu f_ctm.

Calculul lățimii fisurilor

Într-un element solicitat la încovoiere, formarea fisurilor este împărțită în 2 fenomene:

• Faza de formare a fisurilor (etapa numărul 2 din Fig. 1)
• Dezvoltarea stabilizată a fisurilor (etapa numărul 3 din Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Etapa de dezvoltare a fisurilor

Aceasta este partea inițială a procesului în care fisurile individuale apar încă treptat, până când întreaga zonă întinsă a elementului este afectată de fisuri distribuite aproximativ uniform pe lungimea elementului. Prima fisură se formează atunci când forța din fâșia întinsă depășește valoarea forței critice N_r (forța critică de întindere, a se vedea mai jos), iar fisurile ulterioare se dezvoltă până la un nivel de încărcare care exercită o forță în fâșia întinsă egală cu aproximativ 1,3N_cr (faza numărul 2 din Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Fisurile care se dezvoltă sunt împărțite în 2 tipuri - fisuri primare și secundare. Fisurile primare apar în fibrele întinse atunci când se atinge rezistența efectivă la întindere a betonului (f_ct,eff). Fisurile primare reprezintă primul model de fisurare (Fig. 2). Fisurile secundare, mai scurte, se formează ulterior între fisurile primare (Fig. 3). La tensiuni corespunzătoare unui nivel de aproximativ 1,2 până la 1,5 σ_sr (de obicei se consideră o valoare medie de 1,3 σ_sr, unde σ_sr este tensiunea din armătură la formarea fisurilor primare în zona întinsă a betonului), dezvoltarea fisurilor secundare este, de asemenea, finalizată.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Lățimea fisurii în etapa de formare a fisurilor poate fi calculată astfel:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Etapa de fisurare stabilizată

După depășirea a aproximativ 1,3 ori forța critică în zona întinsă, nu se mai formează fisuri noi, numărul fisurilor din element se stabilizează, iar odată cu creșterea încărcării crește doar lățimea fisurilor existente (etapa numărul 3 din Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Lățimea fisurii în etapa de dezvoltare stabilizată poate fi calculată astfel:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Forța critică de întindere

Calculul se bazează pe Modelul Corzii Întinse (TCM). Considerația de bază constă în calculul capacității ultime a unei fâșii de beton armat formată dintr-o bară de armătură cu aria A_s,eff înconjurată de o arie efectivă de beton întins A_c,eff, care este capabilă să reziste la tensiunea de întindere până când rezistența la întindere f_ct,eff este depășită (în mod normal se consideră f_ctm). Presupunând o aderență perfectă între armătură și beton, putem considera că până la apariția primei fisuri, deformarea armăturii și a betonului înconjurător este identică. Atunci forța maximă din fâșia întinsă imediat înainte de prima fisură N_r poate fi determinată:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Prin introducerea substituției

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

obținem:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Imediat după formarea primei fisuri, întreaga forță N_r este preluată de armătură, iar tensiunea din armătura care traversează fisura nou formată poate fi calculată astfel:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{{\rho }_{p,eff}}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Calculul lățimii fisurilor conform EC 1992-1-1

Următoarea ecuație este utilizată pentru calculul lățimii fisurilor în elementele din beton armat:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   distanța maximă dintre fisuri

ε_sm  .   .   .   .   deformația medie a armăturii din combinația de încărcări, inclusiv efectele participarea betonului întins.

ε_cm  .   .   .   .   deformația medie a betonului între fisuri

Calculul diferenței de deformații

Diferența dintre deformația armăturii și a betonului între fisuri poate fi obținută din ecuația:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   tensiunea din armătură în fisură din combinația de încărcări considerată

k_t      .   .   .   .   un coeficient empiric care ține cont de deformația medie, dependent de durata încărcării. Poate lua valori de 0,6 pentru analiza pe termen scurt. Pentru analiza pe termen lung, se ia în considerare reducerea rigidității elementului compus la aproximativ 70%, astfel valoarea sa este 0,4, care include rata de degradare a aderenței dintre armătură și beton în timp.

α_e     .   .   .   . raportul efectiv al modulilor de elasticitate

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   gradul efectiv de armare

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   aria efectivă a betonului întins care înconjoară armătura (determinarea A_c,eff mai jos)

A_s,_eff .   .   .   .   aria armăturii cu aderență situată în zona A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   este aria armăturilor pretensionate sau post-tensionate în interiorul A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   este raportul ajustat al rezistenței de aderență, ținând cont de diametrele diferite ale oțelului de precomprimare și ale armăturii:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . raportul rezistenței de aderență a oțelului de precomprimare și a armăturii (Tabelul 6.2)

ϕ_s   .   .  diametrul maxim al barei de armătură

ϕ_p   .   .  diametrul sau diametrul echivalent al oțelului de precomprimare

Pentru fascicule, A_p este aria armăturii din armătura pretensionată

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Pentru toronuri individuale cu șapte fire, unde φ_wire este diametrul firului

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pentru toronuri individuale cu trei fire, unde φ_wire este diametrul firului

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Dacă se utilizează doar armătură de precomprimare pentru a preveni fisurarea, atunci trebuie considerat următorul aspect.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

În elementele precomprimate, nu este necesară o arie minimă de armătură cu aderență atât timp cât, sub combinația caracteristică de încărcări și valoarea caracteristică a forței de precomprimare, tensiunea de întindere din orice fibră nu este mai mare decât rezistența la întindere a betonului, f_ct,eff. (a se vedea EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 pentru mai multe detalii)

Aria efectivă a betonului întins

Un pas important, dar totodată cel mai complicat al calculului, este determinarea ariei efective a betonului întins care înconjoară armătura. Atât Eurocodul, cât și Codul Model iau în considerare moduri simple de încărcare, în care elementul din beton armat este solicitat la încovoiere uniaxială sau la întindere. Valoarea înălțimii efective se determină astfel:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

De obicei, valoarea h_c,eff = 2,5(h-d) este critică. Pentru elementele solicitate la întindere, limita superioară este h/2, în timp ce pentru elementele încovoiate este (h-x)/3. Cu toate acestea, aria A_c,eff este limitată și de lățimea determinată din ecuația 5(c+ϕ/2). Dacă distanța dintre armături este mai mare de 5(c+ϕ/2), atunci se consideră aria efectivă a betonului întins cu lățimea 5(c+ϕ/2) pentru barele individuale.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Distanța maximă dintre fisuri

La calculul distanței maxime dintre fisuri s_r,max, pot apărea două cazuri:

• Distanța axială a armăturii cu aderență nu depășește o distanță de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• Distanța axială a armăturilor cu aderență este mai mare de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

Calculul distanței maxime dintre fisuri s_r,max pentru cazul în care distanțele axiale ale armăturilor nu depășesc valoarea 5(c+ϕ/2) este definit astfel:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valoarea acoperirii cu beton în mm. Deoarece valoarea acoperirii poate fi diferită pentru armătura de margine față de ambele margini orizontale și verticale, se recomandă să se considere valoarea maximă a acoperirii găsită pentru armătura în cauză.

ϕ     .   .   .   .   diametrul armăturii cu aderență. În cazul unor diametre diferite de armătură, diametrul echivalent se calculează în conformitate cu EN 1992-1-1 Ecuația 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . este un coeficient care ține cont de proprietățile de aderență ale armăturii cu aderență

• k₁ = 0,8 pentru bare cu aderență ridicată
• k₁ = 1,6 pentru bare cu suprafață efectiv netedă (de ex. armături pretensionate)

k₂ .   .   .   . este un coeficient care ține cont de distribuția deformațiilor

• k₂ = 1,0 pentru încovoiere
• k₂ = 0,5 pentru întindere pură

Pentru cazurile de întindere excentrică sau pentru zone locale, trebuie utilizate valori intermediare ale k₂, care pot fi calculate din relația:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coeficient care exprimă lungimea zonei din apropierea unei fisuri unde aderența dintre beton și armătură este întreruptă. Valoarea recomandată de baza EC k₃ = 3,4 poate fi modificată de Anexa Națională. 

k₄      .   .   .   .   coeficient care exprimă relația dintre rezistența de aderență și rezistența la întindere a betonului. Valoarea recomandată de baza EC k4 = 0,425 poate fi ajustată de Anexa Națională.

Calculul distanței maxime dintre fisuri s_r,max pentru cazul în care distanțele axiale ale armăturilor depășesc valoarea 5(c+ϕ/2) este definit astfel:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Valorile distanței maxime dintre fisuri conform ecuației

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

trebuie să fie întotdeauna mai mari decât valorile determinate prin ecuația

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

în caz contrar, se recomandă să se considere distanța mai mare obținută din ecuațiile de mai sus. Ecuația pentru deformația din beton/armătură nu este modificată pentru cazul distanței axiale mari a armăturii. În zonele cu lățimi controlate ale fisurilor, distanța axială a armăturilor individuale nu trebuie să fie mai mare de 5(c+ϕ/2).

Calculul lățimii fisurilor implementat în RCS

Determinarea ariei efective A_c,eff

Deoarece nu este atât de simplu să se determine care armătură poate fi considerată ca armătură longitudinală de rezistență la fisurare, A_c,eff se determină utilizând următorul proces iterativ.

• Din toate armăturile care lucrează la întindere, se determină centrul forței de întindere C_g,s,1. Înălțimea utilă a armăturii d este distanța dintre C_g,s și fibra de beton cea mai comprimată, calculată în direcția momentului încovoietor rezultant. Totodată, se determină poziția axei neutre și înălțimea zonei comprimate x pentru secțiunea transversală fisurată. Aceasta permite determinarea înălțimii efective h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Prin excluderea tuturor armăturilor situate în afara A_c,eff,1, se determină noul centru al armăturii C_g,s,2, împreună cu noua înălțime utilă a armăturii d; înălțimea efectivă h_c,eff se determină în același mod ca în pasul anterior, doar cu valori de intrare modificate.

Se verifică din nou că toate armăturile întinse luate în considerare se află în A_c,eff,2. Dacă această condiție este îndeplinită, iterația poate fi încheiată, iar valorile h_c,eff,2, A_c,eff,2 și A_s,eff,2 sunt afișate ca valori rezultante în IDEA StatiCa RCS.

Cazuri posibile de calcul al lățimii fisurilor

În general, pot apărea trei cazuri la calculul lățimilor fisurilor:

• Armătura întinsă se află în zona A_c,eff, cu distanța axială a armăturilor individuale mai mică de 5(c+ϕ/2). Atunci se utilizează următoarele definiții pentru calcul:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Armătura întinsă se află în A_c,eff, cu distanța axială a armăturilor individuale depășind distanța 5(c+ϕ/2). Atunci se utilizează următoarele definiții pentru calcul:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Armătura întinsă nu se află în A_c,eff (aceasta poate fi cauzată, de exemplu, de o acoperire cu beton mare). 

În acest caz, nu ar fi posibil să se calculeze lățimea fisurilor. Prin urmare, calculul înălțimii efective h_c,eff este modificat după cum urmează:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Totodată, este afișată următoarea neconformitate:

Aria efectivă a betonului întins care înconjoară armătura sau armăturile pretensionate de înălțime h_c,eff, unde h_c,eff este minimul dintre 2,5(h – d) sau h/2. Considerând valoarea ca (h – x)/3, armătura se află în afara ariei efective a betonului întins și, prin urmare, nu ar fi posibil să se calculeze lățimea fisurilor conform clauzei 7.3.4.

Diagrama N-M-κ

Diagrama N-M-κ prezintă curbura unui element (rigiditatea la încovoiere) în funcție de momentul încovoietor aplicat și de forța normală. Există trei tipuri de diagrame N-M-κ:
- pe termen scurt,
- pe termen lung
- SLU.
Aceste diagrame diferă prin tipurile de diagrame efort-deformație utilizate pentru calcul (explicate mai jos).

Calculul rigidității pentru stările caracteristice selectate ale secțiunii transversale este utilizat pentru determinarea diagramei N-M-κ. În general, poate fi orice stare a secțiunii transversale din care se calculează răspunsul și din care se derivă rigiditatea la încovoiere și curbura. În IDEA RCS, se consideră patru puncte caracteristice (M_r, M_c, M_s și M_u)

M_r - momentul de fisurare 

Secțiunea transversală este supusă forței normale definite de utilizator, iar planul deformațiilor începe să se rotească (în direcția momentului încovoietor specificat) până când rezistența la întindere a betonului este atinsă într-o fibră de beton (pentru clasa de beton C30/37, aceasta este f_ctm = 2,896 MPa). Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală atât pentru armătură, cât și pentru beton.

M_c - momentul încovoietor la atingerea rezistenței la compresiune a betonului

Din pasul anterior, se identifică fibra de beton cea mai solicitată la compresiune. Pentru această fibră, se stabilește deformația la rezistența ultimă a betonului (f_ck/E_cm pentru termen scurt, f_ck/E_ceff pentru termen lung și f_cd/E_cm pentru diagrama SLU). Pe baza forței normale definite și a direcției momentului încovoietor, se rulează procesul iterativ pentru găsirea planului de deformații, în vederea stabilirii echilibrului între răspunsul secțiunii transversale și forța normală definită.  Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală atât pentru armătură, cât și pentru beton.

M_s - momentul încovoietor la atingerea limitei de curgere în bara de armătură cea mai solicitată

Un alt punct caracteristic al diagramei N-M-κ este starea de tensiune a secțiunii transversale când se atinge limita de curgere în bara de armătură cea mai solicitată (deformația barei este egală cu f_yk/E_s pentru diagramele pe termen scurt și lung, f_yd/E_s pentru diagrama SLU). Procesul iterativ găsește echilibrul forțelor normale în secțiunea transversală prin rotirea planului de deformații în jurul punctului specificat de poziția barei de armătură cea mai solicitată. Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală atât pentru armătură, cât și pentru beton.

M_u - momentul încovoietor la starea limită ultimă

Aceasta reprezintă capacitatea portantă ultimă a unei secțiuni transversale la încovoiere, când secțiunea transversală este supusă forței normale de calcul definite N_ed. Pentru calculul capacității secțiunii transversale se presupune că rezistența la compresiune în fibra de beton cea mai solicitată și rezistența la întindere în bara de armătură cea mai solicitată sunt atinse (deformația maximă pentru beton ε_cu = 0,1 și pentru armătură ε_s,max = 0,5). Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală pentru armătură și o diagramă parabolă-dreptunghi pentru beton.

Rigiditatea și curbura rezultante datorate combinației definite de utilizator de forță normală și moment încovoietor (Md) sunt apoi calculate prin interpolare liniară a punctelor caracteristice individuale ale diagramei N-M-κ.

Calculul rigidităților și curburilor

Rigidităților și curburile pentru fiecare stare de tensiune a secțiunii transversale (M_r, M_c, M_s sau M_u) sunt calculate direct din rotația planului de deformații. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    rigiditatea axială a elementului

N . .   .   . forța normală specificată

ε_x .   .   .  deformația axială la centrul de greutate al secțiunii transversale de beton

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   rigiditatea la încovoiere a elementului

M .   .   .    momentul încovoietor calculat M_r, M_c, M_s sau M_u

κ .   .   .   . curbura elementului, calculată ca tangenta unghiului dintre planul de deformații și axa longitudinală a elementului

Exemplu practic

O secțiune transversală de beton (clasa de beton C30/37) este armată cu armătură ϕ32 (clasa B500B). Combinația cvasipermanentă definită este N = -730 kN și M_y = 557 kNm.

Planul de deformații pentru punctul caracteristic M_s este determinat de IDEA RCS după cum urmează:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagrame efort-deformație utilizate pentru calcul

Armătură - M_r, M_c, M_s și M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Literatură

[1] Bradáč Betonové konstrukce (construcții din beton), partea 1: Dimensionarea elementelor din beton armat și beton simplu, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Proiectarea structurilor din beton - Partea 1-1: Reguli generale și reguli pentru clădiri, incl. modificarea NA ed. A (2007) și revizia 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, carte online http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010