2.7 Metodo di soluzione e algoritmo di controllo del carico
Per trovare la soluzione a un problema FEM non lineare viene utilizzato un algoritmo standard di Newton-Raphson (NR) completo.
In generale, l'algoritmo NR non converge spesso quando il carico completo viene applicato in un unico passo. Un approccio comune, utilizzato anche in questo caso, consiste nell'applicare il carico in modo sequenziale in più incrementi, utilizzando il risultato dell'incremento di carico precedente come punto di partenza per la soluzione di Newton dell'incremento successivo. A tale scopo, è stato implementato un algoritmo di controllo del carico sopra il Newton-Raphson. Nel caso in cui le iterazioni NR non convergano, l'incremento di carico corrente viene ridotto alla metà del suo valore e le iterazioni NR vengono ripetute.
Un secondo scopo dell'algoritmo di controllo del carico è trovare il carico critico, che corrisponde a determinati "criteri di arresto" – in particolare la deformazione massima nel calcestruzzo, lo scorrimento massimo negli elementi di aderenza, lo spostamento massimo negli elementi di ancoraggio e la deformazione massima nelle barre di armatura. Il carico critico viene trovato con il metodo della bisezione. Nel caso in cui il criterio di arresto venga superato in qualsiasi punto del modello, i risultati dell'ultimo incremento di carico vengono scartati e viene calcolato un nuovo incremento di metà dimensione rispetto al precedente. Questo processo viene ripetuto fino a quando il carico critico non viene trovato con una certa tolleranza di errore.
Per il calcestruzzo, il criterio di arresto è stato impostato a una deformazione del 5% in compressione (ovvero circa un ordine di grandezza superiore alla deformazione di rottura effettiva del calcestruzzo) e del 7% in trazione nei punti di integrazione degli elementi shell. In trazione, il valore è stato impostato per consentire il raggiungimento della deformazione limite nell'armatura, che di solito è intorno al 5% senza tener conto dell'irrigidimento a trazione. In compressione, il valore è stato scelto tra diverse alternative come quello sufficientemente grande da rendere visibili gli effetti dello schiacciamento nei risultati, ma sufficientemente piccolo da non causare troppi problemi di stabilità numerica.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]
Per l'armatura, il criterio di arresto è definito in termini di tensioni. Poiché vengono modellate le tensioni alla fessura, il criterio in trazione corrisponde alla resistenza a trazione dell'armatura tenendo conto del coefficiente di sicurezza. Lo stesso valore viene utilizzato per il criterio in compressione.
Il criterio di arresto negli elementi di aderenza e nelle molle di ancoraggio è α·δumax, dove δumax è lo scorrimento massimo utilizzato nelle verifiche normative e α = 10.