IDEA StatiCa RCS – การออกแบบโครงสร้างของชิ้นส่วนคอนกรีต 1D

การออกแบบหน้าตัดคอนกรีตเสริมเหล็กตาม EN 1992-1-1 และ EN 1992-2

การดัด
แรงเฉือน
การบิด
ปฏิสัมพันธ์
การตรวจสอบขีดจำกัดความเค้น
การควบคุมรอยแตก
ไดอะแกรม N-M-κ
เอกสารอ้างอิง

การดัด

วิธีการตรวจสอบกำลังรับแรงของหน้าตัด

มีสองวิธีที่เป็นที่รู้จักกันดีสำหรับการตรวจสอบสภาวะขีดจำกัดสูงสุดของชิ้นส่วน Concrete 1D วิธีแรกจะให้กำลังรับแรงสูงสุดของหน้าตัดในรูปแบบของ พื้นที่ปฏิสัมพันธ์หรือ ไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์ (ในกรณีของโมเมนต์ดัดในทิศทางเดียว) กำลังรับแรงของหน้าตัดสามารถกำหนดได้จากอัตราส่วนของแรงภายในที่กระทำต่อแรงที่สภาวะขีดจำกัด วิธีที่สองคือการหา สมดุลในหน้าตัด ซึ่งเราจะพิจารณาพฤติกรรมจริงของหน้าตัดที่รับแรง การใช้วัสดุในแง่ของความเค้น และการวิเคราะห์จุดอ่อนของหน้าตัด

สมมติฐานการออกแบบทั่วไปและสมมติฐานการคำนวณสำหรับ Ultimate Limit State 

1. ความเครียด ε ในเหล็กเสริมและ Concrete ให้ถือว่าแปรผันโดยตรงกับระยะห่างจากแกนสะเทิน (หน้าตัดระนาบยังคงเป็นระนาบ)
2. ปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหล็กเสริมและ Concrete ได้รับการรับรองโดยการยึดเหนี่ยวระหว่าง Concrete และเหล็กเสริมโดยไม่มีการเลื่อน (ความเครียด ε ของเหล็กเสริมและความเครียดของเส้นใย Concrete ที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน)
3. กำลังรับแรงดึงของ Concrete ถูกละเลย (ความเค้นดึงทั้งหมดถ่ายผ่านเหล็กเสริม)
4. ความเค้นอัดของ Concrete ในโซนรับแรงอัดคำนวณจากความเครียดที่ได้จากไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด
5. ความเค้นในเหล็กเสริมคำนวณจากความเครียดที่ได้จากไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด
6. ความเครียดอัดของ Concrete ที่ขีดจำกัดความเครียดสูงสุด ε_cu2 (ไดอะแกรมพาราโบลา-สี่เหลี่ยมสำหรับ Concrete รับแรงอัด) และ ε_cu3 (ความสัมพันธ์ ความเค้น-ความเครียด แบบสองเส้นตรง) [2]
7. ความเครียดอัดของเหล็กเสริมไม่มีขีดจำกัดในกรณีที่กิ่งพลาสติกด้านบนเป็นแนวนอน ในกรณีที่กิ่งพลาสติกด้านบนเป็นแนวเอียง ความเครียดจะถูกจำกัดที่ ε_ud [2]
8. สภาวะขีดจำกัดจะถูกพิจารณาเมื่อสภาวะของวัสดุอย่างน้อยหนึ่งชนิดเกินขีดจำกัดความเครียดสูงสุด (หากไม่มีการจำกัด εu Concrete รับแรงอัดจะเป็นตัวควบคุม)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

ไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์

ตัวเลือกแรกคือการตรวจสอบหน้าตัดโดยใช้พื้นผิวปฏิสัมพันธ์ (หรือไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์) คำอธิบายได้แสดงไว้บนตัวอย่างของพื้นผิวปฏิสัมพันธ์สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยมที่มีเหล็กเสริมจากตัวอย่างในรูปด้านล่าง บนพื้นผิวปฏิสัมพันธ์จะมีจุดที่กำหนดสภาวะขีดจำกัดสูงสุดของหน้าตัดที่ตรวจสอบ พื้นผิวปฏิสัมพันธ์ถูกวาดจากจุด (N, My, Mz) ซึ่งกำหนดโดยการอินทิเกรตความเค้นในหน้าตัดที่บรรลุความเครียดขีดจำกัดสูงสุดในวัสดุหนึ่ง สำหรับปฏิสัมพันธ์ 3D พื้นผิวสามารถได้มาจากไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์ 2D ซึ่งเป็นเส้นโค้งปิดที่สอดคล้องกับความเค้นของแกนสะเทินที่หมุนอย่างต่อเนื่อง

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

สำหรับกรณีหน้าตัดสมมาตรรอบแกน y ไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์จะสมมาตรรอบระนาบ N-M_y ในทำนองเดียวกัน สำหรับกรณีหน้าตัดสมมาตรรอบแกน z ไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์จะสมมาตรรอบระนาบ N-M_z หน้าตัดที่มีเหล็กเสริมด้านเดียวจะทำให้รูปร่างของไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์แบนราบลง

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

จุดที่กำหนดสภาวะขีดจำกัดสูงสุดได้มาจากการอินทิเกรตความเค้น รูปด้านล่างแสดงการกระจายความเครียดที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด

การกระจายความเครียดที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด (นำมาจาก [2])

ไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์แสดงการวิบัติของหน้าตัดภายใต้แรงตามแนวแกนและโมเมนต์ดัด [1]

เมื่อพิจารณาปัญหาไดอะแกรม 2D (เส้นโค้งปิดที่อยู่บนพื้นผิวปฏิสัมพันธ์) เราสามารถพบว่าระนาบความเครียดผ่านแกนสะเทินและจุดวิกฤต [y, z, ε] ซึ่งถือเป็นจุดวิกฤต R จุด [y, z] กำหนดตำแหน่งในหน้าตัดที่มีค่าความเครียด ε ที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด ความเอียงของแกนสะเทินคงที่สำหรับทุกจุดของไดอะแกรม 2D

ในกรณีที่ความเค้นอัดใน Concrete เป็นตัวควบคุมการออกแบบ จุด R จะตรงกับเส้นใย Concrete รับแรงอัดที่ไกลที่สุดหรือจุดจำกัด C อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้สามารถใช้ได้เฉพาะเมื่อหน้าตัดนั้นทำจาก Concrete ชนิดเดียว ไม่ใช่หน้าตัดผสม   

ในกรณีที่ความเค้นดึงในเหล็กเสริมเป็นตัวควบคุมการออกแบบ (ความเครียด ε_ud ถูกเกินที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุดสำหรับเหล็กเสริมหนึ่งเส้นหรือมากกว่า) จะต้องตรงตามเงื่อนไขว่าสำหรับระนาบความเครียดที่กำหนด ค่า ε_ud จะต้องไม่ถูกเกินที่เหล็กเสริมเส้นอื่นใด

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

รูปด้านบนแสดงให้เห็นว่าไดอะแกรมสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน ได้แก่ ส่วนที่การวิบัติเกิดจากแรงดึง และส่วนที่วิบัติจากแรงอัด จุดขีดจำกัดสอดคล้องกับกรณีข้างต้น ซึ่งสามารถเห็นความเอียงสุดขีดของระนาบความเครียดได้เช่นกัน เมื่อวาดไดอะแกรมปฏิสัมพันธ์ ความเอียงของระนาบความเครียดของหน้าตัดจะเปลี่ยนแปลงในช่วงนี้ ขณะที่เราค้นหาจุด R (ดูด้านบน) จากระนาบที่กำหนดนั้น เราจะทำการอินทิเกรตเพื่อหาความเค้นที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด

การตรวจสอบหน้าตัดที่รับแรงตามแนวแกนและโมเมนต์ดัด

การตรวจสอบหน้าตัดที่รับแรงตามแนวแกนและโมเมนต์ดัดอาศัยการพิสูจน์ว่าความเค้นที่ตรวจสอบ (ชุดแรง N_d, M_yd, M_zd) อยู่ภายในหรือบนพื้นผิวพื้นที่ปฏิสัมพันธ์ วิธีการต่างๆ สามารถทำสิ่งนี้ได้ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงการตรวจสอบหน้าตัดสี่เหลี่ยมที่รับแรง N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm

วิธี NuMuMu

เพื่อกำหนดกำลังรับแรงของหน้าตัด เราสมมติให้องค์ประกอบแรงภายในทั้งหมดเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วน (ความเยื้องศูนย์ของแรงตามแนวแกนคงที่) จนกว่าพื้นผิวปฏิสัมพันธ์จะถูกพัฒนาขึ้น การเปลี่ยนแปลงของแรงภายในที่เกี่ยวข้องสามารถตีความได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ไปตามเส้นที่เชื่อมจุดเริ่มต้นของระบบพิกัด (0,0,0) และจุดที่กำหนดโดยแรงภายใน (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) จุดตัดสองจุดของเส้นนี้กับพื้นผิวปฏิสัมพันธ์ที่สามารถพบได้ แสดงถึงชุดแรงสองชุดที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด ที่จุดตัดแต่ละจุด โปรแกรมจะกำหนดแรงสามค่าที่สภาวะขีดจำกัด ได้แก่ ค่าการออกแบบกำลังรับแรงตามแนวแกน N_Rd และโมเมนต์ต้านทานการออกแบบที่สอดคล้องกัน M_Rdy, M_Rdz

วิธี  NuMM

เพื่อกำหนดกำลังรับแรงของหน้าตัด เราสมมติให้แรงตามแนวแกนคงที่ (ซึ่งเท่ากับแรงตามแนวแกนการออกแบบที่กระทำ) และโมเมนต์ดัดเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนจนกว่าพื้นผิวปฏิสัมพันธ์จะถูกพัฒนาขึ้น การเปลี่ยนแปลงของแรงภายในที่เกี่ยวข้องสามารถตีความได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ในระนาบแนวนอนตามเส้นที่เชื่อมจุด (N_Ed,0,0) และจุดที่กำหนดโดยแรงภายในที่กระทำ (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) จุดตัดสองจุดของเส้นนี้กับพื้นผิวปฏิสัมพันธ์ที่สามารถพบได้ แสดงถึงชุดแรงสองชุดที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด ที่จุดตัดแต่ละจุด โปรแกรมจะกำหนดแรงสามค่าที่สภาวะขีดจำกัด ได้แก่ โมเมนต์ต้านทานการออกแบบ M_Rdy, M_Rdz และแรงตามแนวแกนการออกแบบที่กระทำ (ที่สอดคล้องกัน) N_Ed

วิธี  NMuMu

เพื่อกำหนดกำลังรับแรงของหน้าตัด เราสมมติให้แรงตามแนวแกนคงที่ (ซึ่งเท่ากับแรงตามแนวแกนการออกแบบที่กระทำ) และโมเมนต์ดัดเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนจนกว่าพื้นผิวปฏิสัมพันธ์จะถูกพัฒนาขึ้น การเปลี่ยนแปลงของแรงภายในที่เกี่ยวข้องสามารถตีความได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ในระนาบแนวนอนตามเส้นที่เชื่อมจุด (N_Ed,0,0) และจุดที่กำหนดโดยแรงภายในที่กระทำ (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) จุดตัดสองจุดของเส้นนี้กับพื้นผิวปฏิสัมพันธ์ที่สามารถพบได้ แสดงถึงชุดแรงสองชุดที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด ที่จุดตัดแต่ละจุด โปรแกรมจะกำหนดแรงสามค่าที่สภาวะขีดจำกัด ได้แก่ โมเมนต์ต้านทานการออกแบบ M_Rdy, M_Rdz, และแรงตามแนวแกนการออกแบบที่กระทำ (ที่สอดคล้องกัน) N_Ed

การหาการตอบสนองของหน้าตัด

อีกวิธีหนึ่งในการตรวจสอบหน้าตัดคือการหาการตอบสนองของหน้าตัด (กล่าวคือ การกระจายความเครียดและความเค้นจากแรงภายในที่กระทำ) วิธีนี้เป็นที่รู้จักในชื่อวิธีการเสียรูปขีดจำกัด ระดับของความเค้นที่กระทำในแต่ละเส้นใย (ในกรณีของการดัดระนาบในแต่ละชั้น) ในแต่ละเหล็กเสริมจะถูกคำนวณขึ้นอยู่กับความเครียดจากไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด ของวัสดุ
การหาการตอบสนองของหน้าตัดคำนวณโดยใช้วิธีเชิงตัวเลขที่ระบุไว้ใน [6] หลักการประกอบด้วยการเพิ่มแรงกระทำทีละน้อยบนหน้าตัดโดยองค์ประกอบที่ไม่สมดุลของแรงที่ไม่ถูกถ่าย ค่าเหล่านี้ได้มาจากการอินทิเกรตความเค้นบนหน้าตัดโดยใช้ไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด หากสามารถหาค่าความเค้นได้สำหรับความเครียดในไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด ดูรูปด้านล่าง (a) ความเค้นที่คำนวณได้ถูกต้องโดยสมมติวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้น ในกรณี (b) และ (c) ความเค้นสำหรับการคำนวณเชิงเส้นถึงค่าที่ไม่สมจริง และส่วนหนึ่ง (b) หรือค่าทั้งหมด (c) ไม่สามารถถ่ายผ่านวัสดุได้ การอินทิเกรตความเค้นที่ไม่ถูกถ่ายจะได้แรงภายในที่ไม่ถูกถ่าย และผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้ควรถูกเพิ่มเข้ากับแรงภายในของแรงกระทำแบบแปรผัน 

ความเค้นที่ไม่ถูกถ่ายในไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด [4]

แรงภายในที่ไม่ถูกถ่าย [4]

วิธีการคำนวณนี้ต้องใช้วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการอินทิเกรตความเค้นบนพื้นที่หน้าตัดและสำหรับการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นของสมการสมดุลในหน้าตัด การวนซ้ำจะสิ้นสุดเมื่อเกณฑ์การลู่เข้าถูกตรงตาม

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

โดยที่ 

F_e คือแรงกระทำบนหน้าตัด

F_i คือการตอบสนองของหน้าตัด (แรงภายในที่คำนวณจากระนาบความเครียด)

ถ้า a คือค่าโดยประมาณ และ b คือค่าที่แน่นอน (ค่าจริง) ความเบี่ยงเบนสัมบูรณ์จะได้จากสมการต่อไปนี้

\[e = \left| {b - a} \right|\]

ความเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ได้จากสูตรต่อไปนี้:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

ในโปรแกรมส่วนใหญ่ คุณสามารถตั้งค่าเกณฑ์การลู่เข้าเหล่านี้ได้ (ค่าเริ่มต้นคือ 1% เป็นความผิดพลาดสัมพัทธ์ 100 N, 100 Nm เป็นความผิดพลาดสัมบูรณ์ของแรงตามแนวแกนและโมเมนต์) 

ดังนั้น หากเรามีข้อมูลนำเข้า N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm และแรงที่ได้จากการอินทิเกรตหลังการวนซ้ำ N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm การประเมินจะเป็นดังนี้ โดยคำนึงถึง N และ Mz ที่เท่ากับ 0 สามารถเปรียบเทียบด้วยความเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ได้:

ค่าของแรงตามแนวแกน 100N> | 70 | N
ค่าของโมเมนต์ดัด Mz 100Nm> | 20 | Nm
ค่าของโมเมนต์ดัด My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

การตรวจสอบหน้าตัดโดยการตอบสนอง

ในกรณีของการหาสมดุลในหน้าตัด ความเครียดระนาบจะเป็นที่ทราบแล้ว จากความเครียดระนาบ เราสามารถคำนวณความเครียดได้ทุกที่ในหน้าตัด จากนั้นจึงคำนวณความเค้นหรือแรงภายในในเหล็กเสริม หน้าตัด หรือส่วนต่างๆ ของหน้าตัดโดยใช้ไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด ของวัสดุ ค่าความเค้นและความเครียดที่คำนวณได้จะถูกเปรียบเทียบกับค่าความเครียดขีดจำกัดจากไดอะแกรม ความเค้น-ความเครียด ของวัสดุที่ใช้
ข้อดีของวิธีนี้คือเราได้ภาพที่สมบูรณ์ของค่าความเค้นและความเครียดในหน้าตัดของแรงภายในที่กระทำบนหน้าตัด

แรงเฉือน

เมื่อพิจารณาถึงการวิบัติแบบเปราะ การตรวจสอบแรงเฉือนเป็นหนึ่งในการตรวจสอบที่สำคัญของหน้าตัดคอนกรีตเสริมเหล็ก

ขั้นตอนการคำนวณ

การคำนวณความต้านทานแรงเฉือนประกอบด้วยหลายส่วนพื้นฐาน ขั้นแรกควรวิเคราะห์ว่ามีรอยแตกร้าวเนื่องจากการดัดเกิดขึ้นหรือไม่ที่ตำแหน่งที่ตรวจสอบ หากมี ให้ใช้การคำนวณตาม EN 1992-1-1 [2] ข้อ 6.2.2 (1) มิฉะนั้น ให้พิจารณาว่าเป็นคอนกรีตล้วน/คอนกรีตไม่เสริมเหล็กหรือคอนกรีตที่มีเหล็กเสริมน้อย แล้วดำเนินการตาม EN 1992-1-1 ข้อ 12.6.3

สำหรับคอนกรีตเสริมเหล็กที่ไม่มีรอยแตกร้าว (ไม่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือน) ให้ตรวจสอบตาม EN 1992-1-1 ข้อ 6.2.2 (2) สำหรับชิ้นส่วนที่ต้องการเหล็กเสริมรับแรงเฉือน ให้ตรวจสอบตามข้อ 6.2.3 [2]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

ความต้านทานแรงเฉือนของชิ้นส่วนที่ไม่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือน

ความต้านทานแรงเฉือนของชิ้นส่วนในบริเวณการดัดที่มีรอยแตกร้าว (ข้อ 6.2.2 (1) [2])

ความต้านทานแรงเฉือนของชิ้นส่วนคอนกรีตเสริมเหล็กที่ไม่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือนและรับโมเมนต์ดัดกำหนดโดย:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

ซึ่งได้มาจากการทดสอบบนคานธรรมดาจำนวนหนึ่งในกรณีที่วิบัติด้วยแรงเฉือน เนื่องจากความต้านทานข้างต้นอาจเป็นศูนย์สำหรับชิ้นส่วนที่ไม่มีเหล็กเสริมตามยาว (r_l) จึงได้มีการกำหนดสมการสำหรับชิ้นส่วนที่มีเหล็กเสริมน้อย เนื่องจากความต้านทานข้างต้นอาจเป็นศูนย์สำหรับชิ้นส่วนที่ไม่มีเหล็กเสริมตามยาว (r_l) สำหรับชิ้นส่วนที่มีเหล็กเสริมน้อยจึงกำหนดโดยสมการ

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

สำหรับความต้านทานแรงเฉือนที่มีอิทธิพลของแรงตามแนวแกนกำหนดโดยสมการ

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

ความต้านทานแรงเฉือนในรูปแบบสมบูรณ์ซึ่งสอดคล้องกับ EN 1992-1-1 ข้อ 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

โดยมีค่าต่ำสุดเท่ากับ

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

โดยที่  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          ตัวประกอบความสูงหน้าตัด 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      อัตราส่วนเหล็กเสริมตามยาว

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        กำลังอัดลักษณะเฉพาะของคอนกรีตทรงกระบอกที่อายุ 28 วัน

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        ความกว้างน้อยที่สุดของหน้าตัดในบริเวณรับแรงดึง

d          ความลึกประสิทธิผลของหน้าตัด

υ_min      กำลังต้านทานแรงเฉือนเทียบเท่าต่ำสุด υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

ความต้านทานแรงเฉือนของชิ้นส่วนในบริเวณการดัดที่ไม่มีรอยแตกร้าว (ข้อ 6.2.2 (2) [2])

ความต้านทานแรงเฉือนของชิ้นส่วนในบริเวณการดัดที่ไม่มีรอยแตกร้าวสามารถหาได้จากวงกลม Mohr โดยแทนค่าในสมการ

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

แทน σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) และหาค่า V_Rd,c จะได้สมการที่สอดคล้องกับสูตรใน EN 1992-1-1 ข้อ 6.2.2 (2)

โดยที่  

I           คือโมเมนต์อินเนอร์เชียอันดับสอง

b_w        คือความกว้างของหน้าตัดที่แกนเซนทรอยด์

S          คือโมเมนต์อันดับหนึ่งของพื้นที่เหนือและรอบแกนเซนทรอยด์

f_ctd        ค่าการออกแบบกำลังดึงตามแนวแกนของคอนกรีต หน่วย MPa

 s_cp       คือความเค้นอัดของคอนกรีตที่แกนเซนทรอยด์เนื่องจากแรงกระทำและ/หรือการอัดแรง

a_l         ตัวประกอบความยาวถ่ายแรง โดยทั่วไปเท่ากับ 1,0

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับข้างต้น ควรสังเกตว่าในบริเวณที่ไม่มีรอยแตกร้าวจากการดัด ความต้านทาน V_Rd ,c อาจสูงกว่าในบริเวณที่มีรอยแตกร้าวตามข้อ 6.2.2 (1) [2] อย่างมีนัยสำคัญ รูปด้านล่างแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าแม้แรงเฉือนจะถูกตรวจสอบที่ค่าสูงสุด (ซึ่งไม่ก่อให้เกิดรอยแตกร้าว) ก็ไม่จำเป็นต้องรับประกันว่าจะสามารถถ่ายแรงได้ตลอดความยาวคานทั้งหมด ทั้งนี้เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงวิธีการคำนวณความต้านทานแรงเฉือนของคอนกรีต เพื่อความปลอดภัย แน่นอนว่าสามารถพิจารณาความต้านทานแรงเฉือนตามข้อ 6.2.2 (1) [2] ได้เช่นกันในบริเวณที่จะไม่เกิดรอยแตกร้าว

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

สำหรับการแสดงออกของ V_Rd, c ตามข้อ 6.2.2 (2)[2] ต้องสังเกตด้วยว่าในกรณีทั่วไปควรอ้างอิงจากการตรวจสอบที่เส้นใยที่มีความเค้นหลักดึงของคอนกรีตสูงสุดในบริเวณที่มีความเค้นอัดตามแนวแกน ไม่ใช่ที่จุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด ณ จุดนี้จำเป็นต้องคำนวณคุณสมบัติหน้าตัด (S และ b_W) เพื่อหาความเค้นหลักสูงสุด s₁ ในโปรแกรม IDEA RCS เราลากเส้นผ่านจุดศูนย์ถ่วงในทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ เส้นนี้แบ่งออกเป็น 20 ช่วง บนเส้นนี้จะแสดงจุดลักษณะเฉพาะเพิ่มเติม (จุดของรูปหลายเหลี่ยมหน้าตัด จุดศูนย์ถ่วง แกนสะเทิน) ภายในจุดเหล่านี้จะคำนวณ S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  ที่จุดที่มีความเค้นหลักดึงสูงสุดจะคำนวณความต้านทานแรงเฉือน

แรงเฉือนก่อนใช้ตัวประกอบลด b ตามที่กำหนดในข้อ 6.2.2 (6) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติม

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

โดยที่ 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

ความต้านทานแรงเฉือนของชิ้นส่วนที่ไม่มีเหล็กเสริมหรือมีเหล็กเสริมน้อย (ข้อ 12.6.3 [2])

ความต้านทานแรงเฉือนสำหรับคอนกรีตล้วน/คอนกรีตไม่เสริมเหล็กหรือคอนกรีตที่มีเหล็กเสริมน้อยสามารถหาได้จากสมการ

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

โดยที่

แทน τ_cp ด้วย

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

หรือ

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

ค่าย่อยที่ใช้ในสูตรข้างต้นกำหนดโดย:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

โดยที่  

f_cd,pl     ค่าการออกแบบกำลังอัดสำหรับคอนกรีตล้วน/คอนกรีตไม่เสริมเหล็กหรือคอนกรีตที่มีเหล็กเสริมน้อย

f_ctd,pl    ค่าการออกแบบกำลังดึงตามแนวแกนของคอนกรีตล้วน/คอนกรีตไม่เสริมเหล็กหรือคอนกรีตที่มีเหล็กเสริมน้อย

f_cvd       ค่าการออกแบบความต้านทานแรงเฉือนภายใต้แรงอัดของคอนกรีต

ความต้านทานของชิ้นส่วนที่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือน (ข้อ 6.2.3 [2])

การคำนวณความต้านทานของชิ้นส่วนคอนกรีตเสริมเหล็กที่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือนอาศัยวิธีแบบจำลองโครงถักที่มีมุมแนวทแยงแปรผัน พื้นฐานของวิธีนี้คือสมดุลของแรงในสามเหลี่ยมที่กำหนดโดยแรงในค้ำยัน (แนวทแยง) แรงในเหล็กเสริมรับแรงเฉือน (เหล็กปลอก) และแรงในเหล็กเสริมตามยาว

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

หน้าตัดภายใต้แรงเฉือนจะเกิดรอยแตกร้าวที่มุม θ ด้วยเหตุนี้แนวทแยงคอนกรีตที่มีมุมเดียวกับแรงเฉือนจึงต้านทานแรงเฉือน แรงอัดของแนวทแยงสามารถแสดงเป็น V_ed/sinθ แรงนี้ต้องถ่ายผ่านพื้นผิวคอนกรีตที่ตั้งฉากกับแนวทแยงอัด b_wzcosθ ความเค้นดึงของคอนกรีตในแนวทแยงอัดจึงเท่ากับ:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

แทนค่า \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  และ \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] และแสดง \[{{V}_{Rd,max}}\] จะได้สมการสำหรับความต้านทานแรงเฉือนของแนวทแยง:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

เพื่อสมดุลองค์ประกอบแรงในแนวดิ่งในแนวทแยงอัด จะใช้เหล็กเสริมรับแรงเฉือน ขนาดของแรงในแนวดิ่งอ้างอิงจากความเค้นอัดของแนวทแยงในพื้นที่คอนกรีตที่สอดคล้องกับเหล็กปลอกหนึ่งตัว - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\] แรงสูงสุดในเหล็กปลอกกำหนดเป็น \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

แทนค่า σ_c เปรียบเทียบกับแรงสูงสุดในเหล็กเสริม หลังจากปรับแก้จะได้:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

จากนั้นแสดง V_ed เป็น V_RDs จะได้ความต้านทานของหน้าตัดที่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือนในแนวดิ่ง:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

แรงเฉือนตามยาวถ่ายผ่านเหล็กเสริมตามยาวและสามารถหาได้เป็น V_edcotgθ การอนุมานสูตรข้างต้นสามารถพบได้ใน [4]

การใช้โปรแกรม IDEA RCS สามารถตรวจสอบได้เฉพาะชิ้นส่วนที่มีเหล็กเสริมรับแรงเฉือนในแนวดิ่งเท่านั้น โดยทั่วไปสามารถใช้สมการต่อไปนี้:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

โดยที่  

A_sw      คือพื้นที่หน้าตัดของเหล็กเสริมรับแรงเฉือน

s           คือระยะห่างของเหล็กปลอก

f_ywd      คือค่าการออกแบบกำลังครากของเหล็กเสริมรับแรงเฉือน

b_w        คือความกว้างน้อยที่สุดระหว่างแนวรับแรงดึงและแรงอัด ในการคำนวณความต้านทาน V_Rd,max ค่าความกว้างหน้าตัดต้องลดลงเป็นความกว้างระบุของหน้าตัดในกรณีที่หน้าตัดถูกทำให้อ่อนแอลงโดยท่อร้อยสาย

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ สำหรับท่อโลหะที่อัดฉีดแล้ว

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ สำหรับท่อโลหะที่ยังไม่ได้อัดฉีด           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa หรือ pro f_ck > 60MPa

α_cw       คือสัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงสภาวะความเค้นในแนวอัด

แรงกระทำ	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
สัมประสิทธิ์ acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

ตาราง 1‑1 การหาสัมประสิทธิ์ α_cw

มุม θ คือมุมระหว่างค้ำยันรับแรงอัดของคอนกรีตกับแกนคานที่ตั้งฉากกับแรงเฉือน ค่าขีดจำกัดของ cotθ สำหรับใช้ในแต่ละประเทศสามารถพบได้ในภาคผนวกแห่งชาติ ค่าที่แนะนำกำหนดโดยสมการ:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

การเลือกขนาดของมุม θ สามารถส่งผลต่อค่าความต้านทาน ความสัมพันธ์ของความต้านทานแสดงในรูปที่ 1.15 รูปแสดงให้เห็นว่าเมื่อมุม θ เพิ่มขึ้น ความต้านทาน V_Rd,max จะเพิ่มขึ้น และความต้านทาน V_Rd,s จะลดลง ความต้านทาน V_Rd,c คงที่ เนื่องจากอ้างอิงจากวิธีแบบจำลองโครงถัก

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

การคำนวณคุณสมบัติหน้าตัดสำหรับแรงเฉือน

ในการคำนวณแรงเฉือน สิ่งสำคัญคือต้องคำนวณตัวแปรหน้าตัดที่มีผลต่อความต้านทานแรงเฉือน ตัวแปรเหล่านี้ได้แก่ความกว้างหน้าตัดที่ต้านทานแรงเฉือน b_w ความลึกประสิทธิผล d และระยะแขนโมเมนต์ z มาตรฐาน [2] ให้ค่าเหล่านี้ที่สัมพันธ์โดยตรงกับความเค้นดัดจริง แต่ปัญหาคือการหาค่าเหล่านี้เมื่อทิศทางของโมเมนต์ดัดลัพธ์ (หรือแม่นยำกว่านั้นคือทิศทางของแรงลัพธ์ของความต้านทานหน้าตัด) แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ ในกรณีนี้ มาตรฐาน EC2 ไม่ได้ให้คำแนะนำใดๆ

ความกว้างหน้าตัดที่ต้านทานแรงเฉือน b_w

โปรแกรม IDEA RCS คำนวณความกว้างหน้าตัดที่ต้านทานแรงเฉือนในทิศทางตั้งฉากกับแรงเฉือนลัพธ์ ขึ้นอยู่กับข้อในมาตรฐาน Eurocode ความกว้างนี้คำนวณดังนี้:
-  ความกว้างน้อยที่สุดของหน้าตัดระหว่างแรงลัพธ์ของคอนกรีตรับแรงอัดและเหล็กเสริมรับแรงดึงในทิศทางตั้งฉากกับแรงเฉือนลัพธ์ สำหรับข้อ 6.2.2 (a) และ 6.2.3 (1)
- ความกว้างหน้าตัดในทิศทางตั้งฉากกับแรงเฉือนลัพธ์ที่จุดที่ตรวจสอบตามข้อ 6.2.2 (2)

ความลึกประสิทธิผลของหน้าตัด

ความลึกประสิทธิผลโดยทั่วไปนิยามเป็นระยะจากเส้นใยคอนกรีตที่ถูกอัดมากที่สุดถึงจุดศูนย์ถ่วงของเหล็กเสริม เนื่องจากสัมพันธ์โดยตรงกับการดัด ระยะนี้จึงกำหนดเป็นการฉายตั้งฉากบนเส้นแรงโน้มถ่วงของระนาบความเครียด

นิยามนี้สามารถชี้แจงได้ว่าแทนที่จะใช้จุดศูนย์ถ่วงของเหล็กเสริมรับแรงดึง ให้ใช้ตำแหน่งของแรงลัพธ์ของเหล็กเสริมแทน ในระหว่างการพัฒนาโปรแกรม IDEA RCS ได้มีการแก้ปัญหา: วิธีนิยามความลึกประสิทธิผลของหน้าตัดเมื่อระนาบของแรงดัดไม่สอดคล้องกับทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ ดังนั้น ความลึกประสิทธิผลจึงนิยามเป็นระยะจากเส้นใยคอนกรีตที่ถูกอัดมากที่สุดถึงแรงลัพธ์ในเหล็กเสริมรับแรงดึง (อ้างอิงจากความเค้นดัด) และในทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ ดูรูปที่ 1.17

กรณีพิเศษจะเกิดขึ้นหากไม่สามารถหาเส้นใยที่ถูกอัดหรือแรงลัพธ์ในเหล็กเสริมรับแรงดึงได้ ในกรณีนี้ แนะนำให้ใช้ค่า 0.9 h (90% ของความลึกหน้าตัดในทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์) ค่านี้ผู้ใช้สามารถกำหนดในโปรแกรม IDEA RCS ผ่านการตั้งค่าตัวแปรของมาตรฐาน

ระยะแขนโมเมนต์ของแรงภายใน

ระยะแขนโมเมนต์ของแรงภายในอยู่ในข้อ 6.2.3 (3) [2] และนิยามเป็น "ระยะระหว่างแนวรับแรงดึงและแรงอัด" มาตรฐานไม่ได้กำหนดวิธีดำเนินการเมื่อระนาบของโมเมนต์ดัดที่กระทำแตกต่างจากทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ ดังนั้น เช่นเดียวกับกรณีของความลึกประสิทธิผล เราจึงนิยามระยะในทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ นอกจากนี้ที่นี่อาจพบกรณีพิเศษที่คล้ายกัน เช่น หน้าตัดทั้งหมดอยู่ภายใต้แรงอัด เป็นต้น ในกรณีนี้ ให้ใช้ค่า 0.9 d (90% ของความสูงหน้าตัดประสิทธิผล) ค่านี้ผู้ใช้สามารถตั้งค่าในโปรแกรม IDEA RCS ผ่านการตั้งค่าตัวแปรของมาตรฐาน

ความสัมพันธ์ระหว่างความเอียงของระนาบดัดและแรงเฉือนลัพธ์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในรูปที่ 1.18 และรูปที่ 1.19 เมื่อความเอียงเพิ่มขึ้น ค่าความลึกประสิทธิผล ระยะแขนโมเมนต์ และความต้านทานที่เกี่ยวข้องจะลดลง สภาวะขีดจำกัดคือ 90° สำหรับความเอียงนี้ไม่สามารถคำนวณระยะแขนโมเมนต์ของแรงภายในได้ ดังนั้นระยะแขนโมเมนต์จึงเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้จะพิจารณาค่าที่ระบุในการตั้งค่าตัวแปรของมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้จึงมีการกระโดดที่ปลายของกราฟ การศึกษานี้พิสูจน์ว่าค่าสูงสุดที่แนะนำสำหรับความเอียงอยู่ที่ประมาณ 20°

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

ในส่วนหนึ่งของการทดสอบ RCS application ได้มีการศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของความต้านทานแรงเฉือนต่อการเปลี่ยนแปลงของแรงตามแนวแกน ความต้านทาน V_Rd,max ได้รับผลกระทบเฉพาะจากสัมประสิทธิ์ α_cw ดูรูปที่ 1.20 รูปที่ 1.21 แสดงค่าคงที่ของความต้านทาน V_Rds สำหรับความต้านทาน V_Rdc การลดลงเกิดจากการเพิ่มขึ้นของแรงตามแนวแกน เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูปที่ 1.21 แสดงความต้านทาน V_Rdc โดยละเลยอิทธิพลของรอยแตกร้าว และคำนวณโดยใช้สูตรในข้อ 6.2.2 (1) [2] การกระโดดในช่วงเปลี่ยนผ่านระหว่างแรงอัดและแรงดึงเกิดจากเหล็กเสริมรับแรงดึงที่มีส่วนร่วม เส้นโค้งสีแดงคำนวณโดยใช้สูตรในข้อ 6.2.2 (2) [2] หลังจากเกิดรอยแตกร้าวแรก เส้นโค้งความสัมพันธ์จะเหมือนกับของข้อ 6.2.2 (1) [2]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

การบิด

สมมติฐานการคำนวณ

พฤติกรรมของหน้าตัดคอนกรีตเสริมเหล็กที่รับการบิดสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท ได้แก่ ก่อนและหลังเวลาที่คาดว่าจะเกิดรอยแตกร้าวครั้งแรก ก่อนเกิดรอยแตกร้าว หน้าตัดจะมีพฤติกรรมเป็นวัสดุยืดหยุ่น ความเค้นจากการบิดสามารถแสดงได้ด้วยสูตร  

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

โดยที่ W_t คือโมดูลัสหน้าตัดในการบิด

รอยแตกร้าวในชิ้นส่วนที่ไม่มีเหล็กเสริมเนื่องจากความเค้นหลักแรงดึงจากการบิดถือเป็นสภาวะขีดจำกัดสูงสุดเช่นกัน พฤติกรรมของหน้าตัดคอนกรีตเสริมเหล็กที่รับการบิดสามารถอธิบายได้บนพื้นฐานของหน้าตัดปิดผนังบาง ดังแสดงในรูปด้านล่าง 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

ขั้นตอนการคำนวณ

กระบวนการตรวจสอบตามมาตรฐานของคอนกรีตเสริมเหล็กสำหรับการบิดมีความคล้ายคลึงกับการตรวจสอบแรงเฉือนมาก ขั้นแรก เราตรวจสอบความต้านทานของ Concrete หากการตรวจสอบ Concrete เป็นที่น่าพอใจ เหล็กเสริมสามารถออกแบบได้โดยใช้กฎการจัดวาง มิฉะนั้น เราจำเป็นต้องตรวจสอบความต้านทานของเหล็กเสริมและแนวทแยงรับแรงอัดด้วยการคำนวณ

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

ความต้านทาน

การไหลของแรงเฉือนในผนังของหน้าตัดผนังบางภายใต้การบิดสามารถแสดงได้ดังนี้:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

แรงเฉือนในผนังของหน้าตัดผนังบางสามารถแสดงได้ดังนี้:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

โดยที่ 

τ          การไหลของแรงเฉือนในผนัง

t_ef         คือความหนาผนังประสิทธิผล

z           คือความยาวด้านของผนัง

T_Ed       คือโมเมนต์บิด

A_k        คือพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นกึ่งกลางของผนังที่เชื่อมต่อกัน รวมถึงพื้นที่โพรงภายใน

โมเมนต์บิดที่ทำให้เกิดรอยแตกร้าว ซึ่งสามารถหาได้โดยการแทนค่า f_ctd ในนิพจน์ก่อนหน้า ดังนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับความต้านทานการบิดโดยไม่มีเหล็กเสริมรับการบิด

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

โดยที่  f_ctd       ค่าการออกแบบของกำลังดึงแกนของ Concrete

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

ความต้านทานของชิ้นส่วนที่มีเหล็กเสริมรับการบิดประกอบด้วยความต้านทานของแนวทแยง Concrete รับแรงอัด ซึ่งอิงตามวิธีแอนาโลกีโครงถักอีกครั้ง ความเค้นอัดในแนวทแยงสามารถแสดงได้ด้วยความช่วยเหลือของแรงเฉือนในผนังของหน้าตัดผนังบางบนพื้นผิวผนังที่พิจารณา กล่าวคือ

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

การแทนค่า  σ_c=σ_cwf_cd และ T_Ed=T_Rd,max และการแสดงออกของ T_Rd,max เราจะได้สมการสำหรับความต้านทานแนวทแยงรับแรงอัด

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

โดยที่  

ν          = 0,6 สำหรับ f_ck ≤ 60MPa หรือ  สำหรับ f_ck > 60MPa

α_cw       สัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงสภาวะความเค้นอัดในคอร์ดรับแรงอัด

f_cd        ค่าการออกแบบของกำลังอัด Concrete

ความต้านทานของเหล็กเสริมรับแรงเฉือนที่รับการบิดอีกครั้งอิงตามความเค้นในแนวทแยงรับแรงอัด แรงในเหล็กปลอกเท่ากับความเค้นในแนวทแยงรับแรงอัดบนพื้นที่ที่สอดคล้องกับแนวเหล็กปลอกแต่ละแนว กล่าวคือ

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

การแทนค่า  T_Ed=T_Rd,s และการแสดงออกของ T_Rd,s  เราจะได้สมการ:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

หากทราบปริมาณเหล็กเสริมตามยาวและเหล็กเสริมรับแรงเฉือน เราสามารถกำหนดมุม θ ได้จากนิพจน์

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

การแทนค่าสำหรับ T_Rd,s เราจะได้

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

โดยที่

A_sw      พื้นที่เหล็กเสริมรับแรงเฉือน

s           คือระยะห่างในแนวรัศมีของเหล็กปลอกรับแรงเฉือน

f_ywd      คือกำลังออกแบบประสิทธิผลของเหล็กเสริมรับแรงเฉือน

A_sl       พื้นที่เหล็กเสริมตามยาว

u_k         คือเส้นรอบวงภายนอกของหน้าตัด

f_ywd      คือกำลังออกแบบประสิทธิผลของเหล็กเสริมตามยาว

แรงในเหล็กเสริมตามยาวสามารถหาได้จากแรงเฉือนในผนังของหน้าตัดที่รับโมเมนต์บิดล้วน ซึ่งให้ดังนี้:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

แรงนั้นถูกแปลงเป็นทิศทางตามยาวและเราจะได้:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

ช่วงที่อนุญาตของค่ามุม θ คล้ายกับการตรวจสอบแรงเฉือน กล่าวคือ 1 < cot θ < 2,5 ความสัมพันธ์ระหว่างความต้านทานสามารถเห็นได้ในรูปด้านล่าง แผนภาพแสดงให้เห็นว่าเมื่อมุม θ เพิ่มขึ้น ความต้านทาน T_Rd,max จะเพิ่มขึ้น ความต้านทาน T_Rd.s จะลดลง และความต้านทาน T_Rd,c คงที่ เนื่องจากไม่ได้อิงตามวิธีแอนาโลกีโครงถัก

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

การคำนวณคุณสมบัติหน้าตัดสำหรับการบิด

ในการตรวจสอบหน้าตัดสำหรับการบิด จำเป็นต้องกำหนดหน้าตัดปิดผนังบางสมมูล ในการกำหนดขนาดของหน้าตัดผนังบางสมมูลโดยสมมติรูปร่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า สำหรับพื้นที่จริงของสี่เหลี่ยมผืนผ้า A = b×h และสำหรับเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้า u = 2(b+h) การใช้สองสมการนี้สามารถให้พื้นที่และเส้นรอบวงของหน้าตัดเดิมในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางสมมูล การแก้สองสมการที่มีสองตัวไม่ทราบค่าเราจะได้:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

ความหนาผนังของหน้าตัดประสิทธิผลสามารถกำหนดได้จากเส้นรอบวงและพื้นที่หน้าตัดดังนี้:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

จากนั้นพื้นที่และเส้นรอบวงที่กำหนดโดยเส้นกึ่งกลางของหน้าตัดประสิทธิผล:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

ปัญหาของวิธีนี้คือสำหรับหน้าตัดประเภท T ที่มีแผ่นกว้าง เมื่อพื้นที่รวมและเส้นรอบวงถูกนำมาใช้คำนวณขนาด (รวมถึงแผ่นนี้) ในเวอร์ชันอนาคตของโปรแกรม IDEA RCS จะเปิดใช้งานการเลือกส่วนหน้าตัดที่มีขนาดใหญ่ที่สุด ซึ่งจะใช้ในการตรวจสอบการบิด

การโต้ตอบ

ปฏิสัมพันธ์ระหว่างแรงเฉือนและแรงบิดสำหรับเหล็กเสริมรับแรงเฉือน

การหาแรงในเหล็กเสริมรับแรงเฉือนเนื่องจากแรงเฉือน 

การคำนวณอ้างอิงจากสูตรสำหรับคำนวณความต้านทานของเหล็กเสริมรับแรงเฉือนที่กำหนดใน EN 1992-1-1 โดยอาศัยสมการ 6.13 (บทที่ 6.2.3 (4)) สามารถหาความต้านทานรับแรงของขาเหล็กปลอกหนึ่งขาได้ดังนี้:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . พื้นที่หน้าตัดของขาเหล็กปลอกหนึ่งขาที่ต้านทานแรงเฉือนในหน้าตัดที่พิจารณา

s .  .  .  .  . ระยะห่างของเหล็กเสริมรับแรงเฉือนในทิศทางแกนของชิ้นส่วนตามยาว 

a_sw,V .  .  . พื้นที่หน้าตัดของเหล็กเสริมรับแรงเฉือนต่อหน่วยความยาว

z .  .  .  .  . แขนโมเมนต์ภายใน สำหรับชิ้นส่วนที่มีความลึกคงที่ ให้สอดคล้องกับโมเมนต์ดัดในองค์อาคารที่พิจารณา ในการวิเคราะห์แรงเฉือนของคอนกรีตเสริมเหล็กที่ไม่มีแรงตามแนวแกน โดยทั่วไปสามารถใช้ค่าประมาณ z = 0,9d ได้

f_ywd .  .  .  ค่าการออกแบบของกำลังครากของเหล็กเสริมรับแรงเฉือน

θ .  .  .  .  . มุมระหว่างค้ำยันรับแรงอัดของคอนกรีตกับแกนของชิ้นส่วนที่ตั้งฉากกับแรงเฉือน

α .  .  .  .  . มุมระหว่างเหล็กเสริมรับแรงเฉือนกับแกนของชิ้นส่วนที่ตั้งฉากกับแรงเฉือน

β .  .  .  .  . ความเอียงของขาเหล็กปลอกเทียบกับแรงลัพธ์ของแรงเฉือนที่กระทำ

แรงเฉือนถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอไปยังเหล็กเสริมแต่ละตัวที่ต้านทานแรงเฉือน โดยอ้างอิงจากมุมของเหล็กเสริมและความแข็งแกร่งตามแนวแกนของขาเหล็กปลอกแต่ละขา

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

นอกจากนี้ สามารถหาค่าความเครียดเฉลี่ยของเหล็กเสริมในทิศทางของแรงเฉือนลัพธ์ได้ดังนี้:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

ความเครียดจริงของเหล็กเสริมลำดับที่ i สามารถคำนวณได้ดังนี้:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

ความเค้นดึงในขาเหล็กเสริมที่กำหนด:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

การหาแรงในเหล็กปลอกแต่ละตัวเนื่องจากแรงบิด

ความต้านทานแรงบิดของหน้าตัดสามารถคำนวณได้โดยอาศัยหน้าตัดปิดผนังบาง ซึ่งสมดุลถูกรักษาโดยการไหลของแรงเฉือนแบบปิด หน้าตัดทึบสามารถจำลองด้วยหน้าตัดผนังบางเทียบเท่า สำหรับหน้าตัดที่ไม่ทึบ ความหนาของผนังเทียบเท่าไม่ควรเกินความหนาผนังจริง

การไหลของแรงเฉือนในผนังของหน้าตัดปิดผนังบางเนื่องจากแรงบิดสามารถคำนวณได้ดังนี้:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

แรงเฉือนในผนังแต่ละส่วนคือ:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . ความยาวของเส้นกึ่งกลางของผนังที่พิจารณา

แรงเฉือนในเอว — ความยาวของเส้นกึ่งกลางเอวสามารถแทนด้วยค่าแขนโมเมนต์ "z"

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

แรงในเหล็กปลอกที่ต้านทานแรงบิดต่อความยาวหนึ่งเมตรของชิ้นส่วน (ต่อหน่วยความยาว):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

การแยกแรงสำหรับเหล็กปลอกแต่ละตัว

หากวัสดุเดียวกันถูกกำหนดให้กับเหล็กปลอกทั้งหมด ความเค้นลัพธ์เนื่องจากแรงบิดในขาเหล็กปลอกแต่ละขาจะมีค่าคงที่ ดังนั้น:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

โดยที่ a_sw,T คือพื้นที่รวมของเหล็กปลอกที่ต้านทานแรงบิดต่อหน่วยความยาว

ในกรณีที่เหล็กปลอกแต่ละตัวมีวัสดุต่างกัน จะต้องคำนึงถึงความแข็งแกร่งตามแนวแกนของเหล็กเสริมแต่ละเส้น

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . จำนวนขาของเหล็กเสริม (กลุ่มของเหล็กเสริม) ที่ต้านทานแรงบิด

F_si,T .  .  . แรงในกลุ่มเหล็กเสริมลำดับที่ i ที่เกิดจากแรงบิดต่อหน่วยความยาว

a_si,T .  .  . พื้นที่หน้าตัดของเหล็กเสริมรับแรงเฉือนที่ต้านทานแรงบิดต่อหน่วยความยาว 

E_si,T .  .  . โมดูลัสยืดหยุ่นของ Young ของกลุ่มเหล็กเสริมลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงบิด

ε_sw,T .  .  ความเครียดในเหล็กเสริมเนื่องจากแรงบิด

ความเค้นลัพธ์ในเหล็กปลอกแต่ละตัวเนื่องจากแรงบิดที่กระทำคำนวณได้ดังนี้:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

ปฏิสัมพันธ์ V+T

การคำนวณความเค้นในเหล็กปลอกเนื่องจากแรงเฉือนและแรงบิดเป็นการรวมความเค้นที่เกิดจากองค์ประกอบแรงกระทำแต่ละส่วน 

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

แรงลัพธ์ในเหล็กเสริมลำดับที่ i:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

ปฏิสัมพันธ์ระหว่างแรงเฉือน แรงบิด และการดัดสำหรับเหล็กเสริมตามยาว

การหาแรงในเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นเนื่องจากแรงตามแนวแกนและโมเมนต์ดัด

RCS application ใช้สำหรับคำนวณการตอบสนองของหน้าตัดเนื่องจากการรวมกันของแรงตามแนวแกนและโมเมนต์ดัด เพื่อหาความเค้นและความเครียดในเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นและเหล็กเสริมอัดแรง

การหาแรงในเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นเนื่องจากแรงเฉือน

การเพิ่มขึ้นของแรงดึงในเหล็กเสริมตามยาว ΔF_td จากแรงเฉือนขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของแบบจำลองค้ำยันและตัวดึง 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  การเพิ่มขึ้นของแรงดึงในเหล็กเสริมตามยาวเนื่องจากแรงเฉือน

V_ed .  .  .  . ค่าการออกแบบของแรงเฉือนที่กระทำในหน้าตัดที่พิจารณา

θ .  .  .  .  . มุมระหว่างค้ำยันรับแรงอัดของคอนกรีตกับแกนของชิ้นส่วน 

α .  .  .  .  . มุมระหว่างเหล็กเสริมรับแรงเฉือนกับแกนของชิ้นส่วน

สำหรับเหล็กเสริมตามยาวที่อยู่ในแนวรับแรงดึง แรงลัพธ์ F_t ในเหล็กเสริมตามยาวเนื่องจากการรวมกัน N+M+V ไม่ควรเกิน M_Ed,max/z (โดยที่ M_Ed,max คือโมเมนต์สูงสุดตลอดความยาวคาน)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

แรง ΔF_td ถูกถ่ายโดยเอ็นอัดแรงที่มีแรงยึดเหนี่ยวและเหล็กเสริมทั้งหมดที่อยู่ในส่วนของหน้าตัดที่ต้านทานแรงเฉือน (เอวในกรณีของหน้าตัด I) เพื่อความปลอดภัย สามารถพิจารณาให้การมีส่วนร่วมของเหล็กเสริมอัดแรงเท่ากับ 0 ข้อสมมติของการคำนวณคือการเพิ่มขึ้นของความเครียดตามแนวแกนของเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นที่ต้านทานแรงเฉือนมีค่าคงที่ (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.) การอนุมานนี้ใช้ได้กับแผนภาพการทำงานของเหล็กเสริมแบบสองเส้นตรงที่มีสาขาพลาสติกแนวนอน ในกรณีของแผนภาพที่มีสาขาเอียง การคำนวณต้องได้รับการปรับแก้

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . การเพิ่มขึ้นของความเครียดในเหล็กเสริมตามยาวเนื่องจากแรงเฉือน

n_s,V .  .  .  . จำนวนเหล็กเสริมตามยาวที่ต้านทานแรงเฉือน

A_sl,i,V .  .  . พื้นที่ของเหล็กเสริมตามยาวลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงเฉือน

E_sl,i,V .  .  .โมดูลัสยืดหยุ่นของ Young ของเหล็กเสริมตามยาวลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงเฉือน

n_p,V .  .  .  . จำนวนเอ็นอัดแรงที่ต้านทานแรงเฉือน

A_pl,i,V .  .  . พื้นที่ของเอ็นอัดแรงลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงเฉือน

E_pl,i,V .  .  . โมดูลัสยืดหยุ่นของ Young ของเอ็นอัดแรงลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงเฉือน

หลังจากหาค่าแรง ΔF_td แล้ว สามารถคำนวณค่าความเครียดเฉลี่ยของเหล็กเสริม Δε_V ได้ดังนี้

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

การเพิ่มขึ้นของความเค้นในเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นเนื่องจากแรงเฉือนที่กระทำ:

สำหรับเหล็กเสริม \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

สำหรับเอ็นอัดแรง \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

การหาแรงในเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นเนื่องจากแรงบิด

สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือการระบุเหล็กเสริมตามยาวที่ต้านทานแรงบิด ซึ่งได้แก่เหล็กเสริมที่อยู่ในหน้าตัดผนังบางเทียบเท่าแบบสลับที่ต้านทานแรงบิด

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

ตาม EN 1992-1-1 เหล็กเสริมตามยาวที่ต้านทานแรงบิดต้องเป็นไปตามเงื่อนไขหลายประการ:

- เหล็กเสริมควรกระจายอย่างสม่ำเสมอตลอดความยาว z_i แต่สำหรับหน้าตัดขนาดเล็ก อาจรวมเหล็กเสริมไว้ที่มุมของเหล็กปลอกได้

- ระยะห่างสูงสุดตามแนวแกนของเหล็กเสริมตามยาวคือ 350 มม.

การมีส่วนร่วมของเหล็กเสริมอัดแรงไม่ได้รับการพิจารณาตาม EN 1992-1-1

มาตรฐาน EN 1992-2 ระบุว่าสามารถพิจารณาการมีส่วนร่วมของเหล็กเสริมอัดแรงได้ แต่การเพิ่มขึ้นของความเค้นสูงสุดในเหล็กเสริมอัดแรงต้องไม่เกิน Δσ_p ≤ 500MPa จากนั้นสูตรสามารถปรับแก้ได้ดังนี้:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสามารถพิจารณาการเพิ่มขึ้นของเหล็กเสริมอัดแรงได้ แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกของผู้ใช้ ในปัจจุบันยังไม่ได้พิจารณาเหล็กเสริมอัดแรงในการคำนวณ 

ข้อสมมติของการคำนวณคือการเพิ่มขึ้นของความเครียดตามแนวแกนของเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นที่ต้านทานแรงเฉือนมีค่าคงที่ (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.) การอนุมานนี้ใช้ได้กับแผนภาพการทำงานของเหล็กเสริมแบบสองเส้นตรงที่มีสาขาพลาสติกแนวนอน ในกรณีของแผนภาพที่มีสาขาเพิ่มขึ้น การคำนวณต้องได้รับการปรับแก้

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . ค่าการออกแบบของแรงบิดที่กระทำในหน้าตัดที่พิจารณา

θ .  .  .  .  . ความเอียงของแนวทแยงรับแรงอัดเทียบกับแกนตามยาวของคาน (เหมือนกับที่ใช้สำหรับแรงเฉือน)

u_k .  .  .  .  เส้นรอบรูปของพื้นที่ A_k

A_f .  .  .  .  พื้นที่ที่กำหนดโดยเส้นกึ่งกลางของหน้าตัดผนังบางกลวงเทียบเท่า

n_s,T .  .  .  .จำนวนเหล็กเสริมคอนกรีตตามยาวที่ต้านทานแรงบิด

A_sl,i,T .  .  . พื้นที่ของเหล็กเสริมคอนกรีตตามยาวลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงบิด

Δε_T .  .  .  .การเปลี่ยนแปลงความเครียดของเหล็กเสริมตามยาวเนื่องจากแรงบิด

Δσ_s,i,T .  .  การเปลี่ยนแปลงความเค้นในเหล็กเสริมตามยาวลำดับที่ i เนื่องจากแรงบิด

E_sl,i,T .  .  . โมดูลัสยืดหยุ่นของเหล็กเสริมคอนกรีตตามยาวลำดับที่ i ที่ต้านทานแรงบิด

การเพิ่มขึ้นของความเค้นในเหล็กเสริมตามยาวแต่ละเส้นเนื่องจากแรงบิดที่กระทำ:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

การตรวจสอบขีดจำกัดความเค้น

การตรวจสอบนี้อ้างอิงจาก สมมติฐาน ทั่วไป ซึ่งพิจารณาสองสภาวะของหน้าตัด: หน้าตัดที่ยังไม่แตกร้าว (ไม่ละเลยกำลังรับแรงดึงของ Concrete) และ หน้าตัดที่แตกร้าวเต็มที่ (ละเลยกำลังรับแรงดึงของ Concrete) การคำนวณโดยละเลยกำลังรับแรงดึงของ Concrete พิจารณาภายใต้สมมติฐานของข้อ 7.1 (2) EN 1992-1-1

ในการคำนวณ ความเค้น และ การแอ่นตัว จะถือว่าเป็นหน้าตัดที่ยังไม่แตกร้าว หากความเค้นดึงจากการดัด ไม่เกิน f_ct, eff ค่า f_ct, eff สามารถพิจารณาเป็น f_ctm หรือ f_ctm,fl ค่า f_ctm ใช้ในการคำนวณ ความกว้างรอยแตกร้าว และ การเสริมความแข็งจากแรงดึง

ในส่วนของการตรวจสอบนี้ เราพิจารณา สี่ กรณีพื้นฐาน ในแง่ของ ขีดจำกัดความเค้น

• 7.2 (2) ความเค้นอัดในชิ้นส่วนที่สัมผัสกับสภาพแวดล้อมของประเภทการสัมผัส XD, XF และ XS ควรถูกจำกัด:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) ความเค้นใน Concrete ภายใต้แรงกระทำกึ่งถาวรถูกจำกัด:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) ความเค้นดึงในเหล็กเสริมภายใต้การรวมแรงกระทำแบบลักษณะเฉพาะต้องถูกจำกัด:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) เมื่อความเค้นเกิดจากการเสียรูปที่กำหนด ความเค้นดึงไม่ควรเกิน:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

โดยที่ค่า k₁, k₂, k₃, k₄ สำหรับใช้ในแต่ละประเทศสามารถพบได้ใน National Annex ของประเทศนั้น ค่าที่แนะนำคือ 0,8; 1 และ 0,75 ตามลำดับ ความเค้นครากลักษณะเฉพาะของเหล็กเสริม f_ck กำลังอัดกระบอกลักษณะเฉพาะ f_ck ที่กำหนดที่ 28 วัน

รอยแตกร้าว

การก่อตัวของรอยแตกร้าว

ลักษณะเฉพาะของโครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็กภายใต้ความเค้นดัดหรือความเค้นดึง คือการเกิดรอยแตกร้าวที่จุดซึ่งความเค้นดึงในคอนกรีตเกินกว่ากำลังรับแรงดึงของคอนกรีต เพื่อความทนทานของโครงสร้างและความสวยงาม จึงมีความสำคัญที่จะต้องควบคุมให้รอยแตกร้าวที่เกิดขึ้นมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ การคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าวรวมถึงความกว้างสูงสุดที่อนุญาตสำหรับประเภทสภาวะแวดล้อมต่างๆ ระบุไว้ใน EN 1992-1-1 บทที่ 7.3

ในขั้นตอนแรกของการคำนวณ จะพิจารณาว่าหน้าตัดมีรอยแตกร้าวหรือไม่ ความกว้างของรอยแตกร้าวจะคำนวณจากการรวมแรงกระทำแบบกึ่งถาวรหรือแบบบ่อยครั้ง (ขึ้นอยู่กับภาคผนวกแห่งชาติ) แต่การก่อตัวของรอยแตกร้าวต้องตรวจสอบจากการรวมแรงกระทำ SLS ที่กำหนดทั้งหมด ดังนั้นจึงอาจเกิดสองกรณี:

• ความเค้นดึงสูงสุดในเส้นใยคอนกรีตไม่เกินกำลังรับแรงดึงของคอนกรีตจากการรวมแรงกระทำใดๆ (กึ่งถาวร M_E,qp, บ่อยครั้ง M_E,fr, หรือลักษณะเฉพาะ M_E,k) ดังนั้นจึงพิจารณาหน้าตัดโดยไม่มีรอยแตกร้าว

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• หากเกิดรอยแตกร้าวสำหรับการรวมแรงกระทำใดๆ (กึ่งถาวร บ่อยครั้ง หรือลักษณะเฉพาะ) กล่าวคือ โมเมนต์ดัดที่เกิดจากการรวมแรงกระทำที่พิจารณามีค่ามากกว่าโมเมนต์วิกฤต M_cr หน้าตัดจะมีรอยแตกร้าวจากการรวมแรงกระทำนั้น และต้องคำนวณคุณสมบัติของหน้าตัดที่มีรอยแตกร้าวและความกว้างของรอยแตกร้าว

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   โมเมนต์ดัดที่ได้จากการรวมแรงกระทำ SLS บางกรณี ดังนั้นอาจเป็น M_E,qp, M_E,fr, หรือ M_E,k 

f_ct,ef   .   .  กำลังรับแรงดึงของคอนกรีต ณ เวลาที่พิจารณา หากคอนกรีตมีอายุมากกว่า 28 วัน ให้พิจารณากำลังเท่ากับ f_ctm

การคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าว

ในชิ้นส่วนที่รับแรงดัด การก่อตัวของรอยแตกร้าวแบ่งออกเป็น 2 ปรากฏการณ์:

• ระยะการก่อตัวของรอยแตกร้าว (ขั้นที่ 2 ในรูปที่ 1)
• การพัฒนารอยแตกร้าวแบบคงที่ (ขั้นที่ 3 ในรูปที่ 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

ระยะการพัฒนารอยแตกร้าว

นี่คือส่วนเริ่มต้นของกระบวนการเมื่อรอยแตกร้าวแต่ละรอยยังคงปรากฏขึ้นทีละน้อย จนกระทั่งส่วนดึงทั้งหมดของชิ้นส่วนได้รับผลกระทบจากรอยแตกร้าวที่กระจายตัวอย่างสม่ำเสมอตลอดความยาวของชิ้นส่วน รอยแตกร้าวแรกเกิดขึ้นเมื่อแรงในแถบดึงเกินค่าแรงวิกฤต N_r (แรงดึงวิกฤต ดูด้านล่าง) และรอยแตกร้าวเพิ่มเติมจะพัฒนาขึ้นจนถึงระดับแรงกระทำที่ทำให้แรงในแถบดึงมีค่าประมาณ 1.3N_cr (ขั้นที่ 2 ในรูปที่ 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

รอยแตกร้าวที่พัฒนาขึ้นแบ่งออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่ รอยแตกร้าวปฐมภูมิและรอยแตกร้าวทุติยภูมิ รอยแตกร้าวปฐมภูมิเกิดขึ้นในเส้นใยดึงเมื่อถึงกำลังรับแรงดึงประสิทธิผลของคอนกรีต (f_ct,eff) รอยแตกร้าวปฐมภูมิแสดงถึงรูปแบบแรกของรอยแตกร้าว (รูปที่ 2) จากนั้นรอยแตกร้าวทุติยภูมิที่สั้นกว่าจะเกิดขึ้นระหว่างรอยแตกร้าวปฐมภูมิ (รูปที่ 3) ที่ความเค้นประมาณ 1.2 ถึง 1.5 σ_sr (โดยทั่วไปพิจารณาค่าเฉลี่ย 1.3 σ_sr โดยที่ σ_sr คือความเค้นในเหล็กเสริมที่การก่อตัวของรอยแตกร้าวปฐมภูมิในบริเวณดึงของคอนกรีต) การพัฒนาของรอยแตกร้าวทุติยภูมิก็สิ้นสุดลงเช่นกัน

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

ความกว้างของรอยแตกร้าวในระยะการก่อตัวของรอยแตกร้าวสามารถคำนวณได้ดังนี้:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

ระยะรอยแตกร้าวคงที่

หลังจากเกินประมาณ 1.3 เท่าของแรงวิกฤตในบริเวณดึง จะไม่มีรอยแตกร้าวใหม่เกิดขึ้น จำนวนรอยแตกร้าวในชิ้นส่วนจะคงที่ และเฉพาะความกว้างของรอยแตกร้าวที่มีอยู่เท่านั้นที่เพิ่มขึ้นตามแรงกระทำที่เพิ่มขึ้น (ขั้นที่ 3 ในรูปที่ 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

ความกว้างของรอยแตกร้าวในระหว่างการพัฒนาแบบคงที่สามารถคำนวณได้ดังนี้:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

แรงดึงวิกฤต

การคำนวณอ้างอิงจาก Tension Chord Model (TCM) แนวคิดพื้นฐานคือการคำนวณความสามารถรับแรงสูงสุดของแถบคอนกรีตเสริมเหล็กที่ประกอบด้วยเหล็กเสริมพื้นที่ A_s,eff ล้อมรอบด้วยพื้นที่คอนกรีตดึงประสิทธิผล A_c,eff ซึ่งสามารถต้านทานความเค้นดึงได้จนกว่ากำลังรับแรงดึง f_ct,eff จะถูกเกินเลย (โดยทั่วไปพิจารณา f_ctm) โดยสมมติว่ามีแรงยึดเหนี่ยวสมบูรณ์ระหว่างเหล็กเสริมและคอนกรีต เราสามารถพิจารณาได้ว่าจนกว่าจะเกิดรอยแตกร้าวแรก การเปลี่ยนรูปของเหล็กเสริมและคอนกรีตโดยรอบจะเหมือนกัน จากนั้นสามารถหาแรงสูงสุดในแถบดึงก่อนเกิดรอยแตกร้าวแรก N_r ได้:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

โดยการแทนค่า

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

เราได้:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

ทันทีหลังจากการก่อตัวของรอยแตกร้าวแรก แรงทั้งหมด N_r จะถูกถ่ายโอนโดยเหล็กเสริม ดังนั้นความเค้นในเหล็กเสริมที่ผ่านรอยแตกร้าวที่เพิ่งเกิดขึ้นสามารถคำนวณได้ดังนี้:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

การคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าวตาม EC 1992-1-1

สมการต่อไปนี้ใช้ในการคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าวในชิ้นส่วนคอนกรีตเสริมเหล็ก:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   ระยะห่างสูงสุดของรอยแตกร้าว

ε_sm  .   .   .   .   ความเครียดเฉลี่ยของเหล็กเสริมจากการรวมแรงกระทำ รวมถึงผลของการเสริมความแข็งจากแรงดึง

ε_cm  .   .   .   .   ความเครียดเฉลี่ยของคอนกรีตระหว่างรอยแตกร้าว

การคำนวณผลต่างของความเครียด

ผลต่างของความเครียดในเหล็กเสริมและคอนกรีตระหว่างรอยแตกร้าวสามารถหาได้จากสมการ:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   ความเค้นในเหล็กเสริมที่รอยแตกร้าวจากการรวมแรงกระทำที่พิจารณา

k_t      .   .   .   .   สัมประสิทธิ์เชิงประจักษ์ที่คำนึงถึงความเครียดเฉลี่ย ขึ้นอยู่กับระยะเวลาของแรงกระทำ สามารถมีค่า 0.6 สำหรับการวิเคราะห์ระยะสั้น สำหรับการวิเคราะห์ระยะยาว จะคำนึงถึงการลดลงของความแข็งของวัสดุผสมประมาณ 70% ดังนั้นค่าของมันคือ 0.4 ซึ่งรวมถึงอัตราการเสื่อมสภาพของแรงยึดเหนี่ยวระหว่างเหล็กเสริมและคอนกรีตตามเวลา

α_e     .   .   .   . อัตราส่วนประสิทธิผลของโมดูลัสความยืดหยุ่น

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   อัตราส่วนเหล็กเสริมประสิทธิผล

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   พื้นที่ประสิทธิผลของคอนกรีตในบริเวณดึงที่ล้อมรอบเหล็กเสริม (การหา A_c,eff ดูด้านล่าง)

A_s,_eff .   .   .   .   พื้นที่ของเหล็กเสริมที่มีแรงยึดเหนี่ยวซึ่งอยู่ในบริเวณ A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   พื้นที่ของเอ็นอัดแรงแบบก่อนหรือหลังภายใน A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   อัตราส่วนปรับแก้ของกำลังแรงยึดเหนี่ยว โดยคำนึงถึงเส้นผ่านศูนย์กลางที่แตกต่างกันของเหล็กอัดแรงและเหล็กเสริม:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . อัตราส่วนกำลังแรงยึดเหนี่ยวของเหล็กอัดแรงและเหล็กเสริม (ตารางที่ 6.2)

ϕ_s   .   .  เส้นผ่านศูนย์กลางแท่งเหล็กเสริมที่ใหญ่ที่สุด

ϕ_p   .   .  เส้นผ่านศูนย์กลางหรือเส้นผ่านศูนย์กลางเทียบเท่าของเหล็กอัดแรง

สำหรับกลุ่มลวด A_p คือพื้นที่ของเหล็กเสริมในเอ็นอัดแรง

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

สำหรับลวดอัดแรง 7 เส้นเดี่ยว โดยที่ φ_wire คือเส้นผ่านศูนย์กลางของลวด

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

สำหรับลวดอัดแรง 3 เส้นเดี่ยว โดยที่ φ_wire คือเส้นผ่านศูนย์กลางของลวด

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

หากใช้เฉพาะเหล็กเสริมอัดแรงเพื่อป้องกันการแตกร้าว ต้องพิจารณาสิ่งต่อไปนี้

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

ในชิ้นส่วนอัดแรง ไม่จำเป็นต้องมีพื้นที่ขั้นต่ำของเหล็กเสริมที่มีแรงยึดเหนี่ยว ตราบใดที่ภายใต้การรวมแรงกระทำแบบลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของแรงอัดแรง ความเค้นดึงในเส้นใยใดๆ ไม่มากกว่ากำลังรับแรงดึงของคอนกรีต f_ct,eff (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมใน EN 1992-1-1 ข้อ 7.3.2)

พื้นที่ประสิทธิผลของคอนกรีตในบริเวณดึง

ขั้นตอนที่สำคัญแต่ซับซ้อนที่สุดในการคำนวณคือการหาพื้นที่ประสิทธิผลของคอนกรีตดึงที่ล้อมรอบเหล็กเสริม ทั้ง Eurocode และ Model Code พิจารณารูปแบบการรับแรงกระทำแบบง่าย ซึ่งชิ้นส่วนคอนกรีตเสริมเหล็กรับแรงดัดหรือแรงดึงแบบแกนเดียว ค่าความสูงประสิทธิผลหาได้จาก:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

โดยทั่วไปค่า h_c,eff = 2,5(h-d) จะเป็นค่าวิกฤต สำหรับชิ้นส่วนรับแรงดึง ขีดจำกัดบนคือ h/2 ในขณะที่สำหรับชิ้นส่วนรับแรงดัดคือ (h-x)/3 อย่างไรก็ตาม พื้นที่ A_c,eff ยังถูกจำกัดด้วยความกว้างที่หาจากสมการ 5(c+ϕ/2) หากระยะห่างของเหล็กเสริมมากกว่า 5(c+ϕ/2) ให้พิจารณาพื้นที่ประสิทธิผลของคอนกรีตดึงที่มีความกว้าง 5(c+ϕ/2) สำหรับแท่งเหล็กเสริมแต่ละแท่ง

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

ระยะห่างสูงสุดของรอยแตกร้าว

ในการคำนวณระยะห่างสูงสุดของรอยแตกร้าว s_r,max อาจเกิดสองกรณี:

• ระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมที่มีแรงยึดเหนี่ยวไม่เกิน 5(c+ϕ/2) - รูปที่ 9a
• ระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมที่มีแรงยึดเหนี่ยวมากกว่า 5(c+ϕ/2) - รูปที่ 9b

การคำนวณระยะห่างสูงสุดของรอยแตกร้าว s_r,max สำหรับกรณีที่ ระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมไม่เกินค่า 5(c+ϕ/2) กำหนดดังนี้:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   ค่าระยะหุ้มคอนกรีตในหน่วย mm เนื่องจากค่าระยะหุ้มคอนกรีตอาจแตกต่างกันสำหรับเหล็กเสริมขอบทั้งในแนวนอนและแนวตั้ง จึงแนะนำให้พิจารณาค่าระยะหุ้มคอนกรีตสูงสุดที่พบสำหรับเหล็กเสริมที่พิจารณา

ϕ     .   .   .   .   เส้นผ่านศูนย์กลางของเหล็กเสริมที่มีแรงยึดเหนี่ยว ในกรณีที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเหล็กเสริมต่างกัน ให้คำนวณเส้นผ่านศูนย์กลางเทียบเท่าตาม EN 1992-1-1 สมการที่ 7.12

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . สัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงคุณสมบัติแรงยึดเหนี่ยวของเหล็กเสริมที่มีแรงยึดเหนี่ยว

• k₁ = 0,8 สำหรับแท่งเหล็กแรงยึดเหนี่ยวสูง
• k₁ = 1,6 สำหรับแท่งเหล็กที่มีผิวเรียบประสิทธิผล (เช่น เอ็นอัดแรง)

k₂ .   .   .   . สัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงการกระจายของความเครียด

• k₂ = 1,0 สำหรับแรงดัด
• k₂ = 0,5 สำหรับแรงดึงล้วน

สำหรับกรณีแรงดึงนอกแกนหรือบริเวณเฉพาะจุด ควรใช้ค่ากลางของ k₂ ซึ่งสามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  สัมประสิทธิ์ที่แสดงถึงความยาวของบริเวณใกล้รอยแตกร้าวที่แรงยึดเหนี่ยวระหว่างคอนกรีตและเหล็กเสริมขาดออก ค่าแนะนำพื้นฐานของ EC k₃ = 3,4 อาจถูกปรับแก้โดยภาคผนวกแห่งชาติ 

k₄      .   .   .   .   สัมประสิทธิ์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างแรงยึดเหนี่ยวและกำลังรับแรงดึงของคอนกรีต ค่าแนะนำพื้นฐานของ EC k4 = 0.425 อาจถูกปรับแก้โดยภาคผนวกแห่งชาติ

การคำนวณระยะห่างสูงสุดของรอยแตกร้าว s_r,max สำหรับกรณีที่ ระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมเกินค่า 5(c+ϕ/2) กำหนดดังนี้:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

ค่าระยะห่างสูงสุดของรอยแตกร้าวตามสมการ

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

ควรมีค่ามากกว่าค่าที่หาได้จากสมการ

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

มิฉะนั้น แนะนำให้พิจารณาระยะห่างที่มากกว่าที่ได้จากสมการข้างต้น สมการสำหรับความเครียดในคอนกรีต/เหล็กเสริมไม่ถูกปรับแก้สำหรับกรณีระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมมาก ในบริเวณที่ควบคุมความกว้างของรอยแตกร้าว ระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมแต่ละแท่งไม่ควรมากกว่า 5(c+ϕ/2)

การคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าวที่นำไปใช้ใน RCS

การหาพื้นที่ประสิทธิผล A_c,eff

เนื่องจากการพิจารณาว่าเหล็กเสริมใดสามารถถือเป็นเหล็กเสริมตามยาวที่ต้านทานรอยแตกร้าวนั้นไม่ตรงไปตรงมา A_c,eff จึงถูกหาโดยใช้กระบวนการวนซ้ำดังต่อไปนี้

• จากเหล็กเสริมทั้งหมดที่รับแรงดึง จะหาจุดศูนย์กลางของแรงดึง C_g,s,1 ความลึกประสิทธิผลของเหล็กเสริม d คือระยะห่างระหว่าง C_g,s กับเส้นใยคอนกรีตที่ถูกอัดมากที่สุด คำนวณในทิศทางของโมเมนต์ดัดลัพธ์ ในขณะเดียวกัน จะหาตำแหน่งของแกนสะเทินและความสูงของบริเวณอัด x สำหรับหน้าตัดที่มีรอยแตกร้าว ซึ่งทำให้สามารถหาความสูงประสิทธิผล h_c,eff ได้:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• โดยการตัดเหล็กเสริมทั้งหมดที่อยู่นอก A_c,eff,1 ออก จะหาจุดศูนย์กลางใหม่ของเหล็กเสริม C_g,s,2 พร้อมกับความลึกประสิทธิผลใหม่ของเหล็กเสริม d และหาความสูงประสิทธิผล h_c,eff ในลักษณะเดียวกับขั้นตอนก่อนหน้า โดยใช้ค่าอินพุตที่เปลี่ยนแปลงไป

จากนั้นตรวจสอบอีกครั้งว่าเหล็กเสริมดึงที่พิจารณาทั้งหมดอยู่ใน A_c,eff,2 หากเงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจ การวนซ้ำสามารถสิ้นสุดได้ และค่าของ h_c,eff,2, A_c,eff,2 และ A_s,eff,2 จะแสดงเป็นค่าผลลัพธ์ใน IDEA StatiCa RCS

กรณีที่เป็นไปได้ของการคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าว

โดยทั่วไป อาจเกิดสามกรณีในการคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าว:

• เหล็กเสริมดึงอยู่ในบริเวณ A_c,eff โดยระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมแต่ละแท่งน้อยกว่า 5(c+ϕ/2) จากนั้นใช้นิยามต่อไปนี้ในการคำนวณ:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• เหล็กเสริมดึงอยู่ใน A_c,eff โดยระยะห่างตามแนวแกนของเหล็กเสริมแต่ละแท่งเกินระยะ 5(c+ϕ/2) จากนั้นใช้นิยามต่อไปนี้ในการคำนวณ:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• เหล็กเสริมดึงไม่ได้อยู่ใน A_c,eff (อาจเกิดจากระยะหุ้มคอนกรีตที่หนาเป็นต้น) 

ในกรณีนี้จะไม่สามารถคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าวได้ ดังนั้นการคำนวณความสูงประสิทธิผล h_c,eff จึงถูกปรับแก้ดังนี้:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

ในขณะเดียวกัน จะแสดงข้อไม่สอดคล้องต่อไปนี้:

พื้นที่ประสิทธิผลของคอนกรีตในบริเวณดึงที่ล้อมรอบเหล็กเสริมหรือเอ็นอัดแรงที่มีความลึก h_c,eff โดยที่ h_c,eff คือค่าที่น้อยกว่าระหว่าง 2.5(h – d) หรือ h/2 เมื่อพิจารณาค่าเป็น (h – x)/3 เหล็กเสริมอยู่นอกพื้นที่ประสิทธิผลของคอนกรีตในบริเวณดึง ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณความกว้างของรอยแตกร้าวตามข้อ 7.3.4 ได้

N-M-κ diagram

ไดอะแกรม N-M-κ แสดงความโค้ง (ความแข็งแกร่งในการดัด) ของชิ้นส่วนในฐานะฟังก์ชันของโมเมนต์ดัดและแรงตามแนวแกนที่กระทำ มีไดอะแกรม N-M-κ สามประเภท:
- ระยะสั้น,
- ระยะยาว
- ULS.
ไดอะแกรมเหล่านี้แตกต่างกันในประเภทของไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดที่ใช้ในการคำนวณ (อธิบายด้านล่าง)

การคำนวณความแข็งแกร่งสำหรับสถานะลักษณะเฉพาะที่เลือกของหน้าตัดถูกใช้เพื่อกำหนดไดอะแกรม N-M-κ โดยทั่วไปอาจเป็นสถานะหน้าตัดใดก็ได้ที่ใช้คำนวณการตอบสนองและหาความแข็งแกร่งในการดัดและความโค้ง ใน IDEA RCS เราพิจารณาจุดลักษณะเฉพาะสี่จุด (M_r, M_c, M_s และ M_u)

M_r - โมเมนต์แตกร้าว 

หน้าตัดถูกกระทำโดยแรงตามแนวแกนที่ผู้ใช้กำหนด และระนาบความเครียดเริ่มหมุน (ในทิศทางของโมเมนต์ดัดที่กำหนด) จนกระทั่งถึงความแข็งแรงดึงสูงสุดของ Concrete ในเส้นใย Concrete (สำหรับ Concrete เกรด C30/37 คือ f_ctm = 2,896 MPa) ไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดแบบสองเส้นตรงที่มีสาขาพลาสติกแนวนอนสำหรับทั้งเหล็กเสริมและ Concrete ถูกใช้ในการคำนวณ

M_c - โมเมนต์ดัดเมื่อถึงกำลังรับแรงอัดของ Concrete

จากขั้นตอนก่อนหน้า เส้นใย Concrete ที่ถูกใช้งานมากที่สุดในการรับแรงอัดจะถูกระบุ สำหรับเส้นใยนี้ ความเครียดที่กำลังสูงสุดของ Concrete (f_ck/E_cm สำหรับระยะสั้น, f_ck/E_ceff สำหรับระยะยาว และ f_cd/E_cm สำหรับไดอะแกรม ULS) จะถูกกำหนด จากนั้นกระบวนการวนซ้ำเพื่อหาระนาบความเครียดจะถูกดำเนินการโดยอิงจากแรงตามแนวแกนที่กำหนดและทิศทางของโมเมนต์ดัด เพื่อหาสมดุลระหว่างการตอบสนองของหน้าตัดและแรงตามแนวแกนที่กำหนด  ไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดแบบสองเส้นตรงที่มีสาขาพลาสติกแนวนอนสำหรับทั้งเหล็กเสริมและ Concrete ถูกใช้ในการคำนวณ

M_s - โมเมนต์ดัดเมื่อถึงกำลังครากในเหล็กเสริมที่ถูกใช้งานมากที่สุด

จุดลักษณะเฉพาะอีกจุดหนึ่งของไดอะแกรม N-M-κ คือสถานะความเค้นของหน้าตัดเมื่อถึงกำลังครากในเหล็กเสริมที่ถูกใช้งานมากที่สุด (ความเครียดของเหล็กเสริมเท่ากับ f_yk/E_s สำหรับไดอะแกรมระยะสั้นและระยะยาว, f_yd/E_s สำหรับไดอะแกรม ULS) กระบวนการวนซ้ำหาสมดุลของแรงตามแนวแกนในหน้าตัดโดยการหมุนระนาบความเครียดรอบจุดที่กำหนดโดยตำแหน่งของเหล็กเสริมที่ถูกใช้งานมากที่สุด ไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดแบบสองเส้นตรงที่มีสาขาพลาสติกแนวนอนสำหรับทั้งเหล็กเสริมและ Concrete ถูกใช้ในการคำนวณ

M_u - โมเมนต์ดัดที่สภาวะขีดจำกัดสูงสุด

นี่คือความสามารถรับภาระสูงสุดของหน้าตัดในการดัด เมื่อหน้าตัดถูกกระทำโดยแรงตามแนวแกนการออกแบบที่กำหนด N_ed สำหรับการคำนวณความสามารถของหน้าตัด สมมติว่ากำลังรับแรงอัดในเส้นใย Concrete ที่ถูกใช้งานมากที่สุดและกำลังรับแรงดึงในเหล็กเสริมที่ถูกใช้งานมากที่สุดถูกบรรลุ (ความเครียดสูงสุดสำหรับ Concrete ε_cu = 0,1 และสำหรับเหล็กเสริม ε_s,max = 0,5) ไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดแบบสองเส้นตรงที่มีสาขาพลาสติกแนวนอนสำหรับเหล็กเสริมและไดอะแกรมพาราโบลา-สี่เหลี่ยมสำหรับ Concrete ถูกใช้ในการคำนวณ

ความแข็งแกร่งและความโค้งที่ได้จากการรวมกันของแรงตามแนวแกนและโมเมนต์ดัดที่ผู้ใช้กำหนด (Md) จะถูกคำนวณโดยใช้การประมาณค่าเชิงเส้นของจุดลักษณะเฉพาะแต่ละจุดของไดอะแกรม N-M-κ

การคำนวณความแข็งแกร่งและความโค้ง

ความแข็งแกร่งและความโค้งสำหรับแต่ละสถานะความเค้นของหน้าตัด (M_r, M_c, M_s หรือ M_u) ถูกคำนวณโดยตรงจากการหมุนของระนาบความเครียด 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    ความแข็งแกร่งตามแนวแกนของชิ้นส่วน

N . .   .   . แรงตามแนวแกนที่กำหนด

ε_x .   .   .  ความเครียดตามแนวแกนที่จุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด Concrete

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   ความแข็งแกร่งในการดัดของชิ้นส่วน

M .   .   .    โมเมนต์ดัดที่คำนวณได้ M_r, M_c, M_s หรือ M_u

κ .   .   .   . ความโค้งของชิ้นส่วน คำนวณจากแทนเจนต์ของมุมระหว่างระนาบความเครียดและแกนตามยาวของชิ้นส่วน

ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

หน้าตัด Concrete (เกรด C30/37) เสริมด้วยเหล็กเสริม ϕ32 (เกรด B500B) การรวมกันแบบกึ่งถาวรที่กำหนดคือ N = -730 kN และ M_y = 557 kNm

ระนาบความเครียดสำหรับจุดลักษณะเฉพาะ M_s ถูกกำหนดโดย IDEA RCS ดังนี้:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

ไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดที่ใช้ในการคำนวณ

เหล็กเสริม - M_r, M_c, M_s และ M_u

Concrete - M_r, M_c, M_s

Concrete - M_u

วรรณกรรม

[1] Bradáč Betonové konstrukce (concrete structures), 1.part: Dimensioning of members from reinforced and plainconcrete, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, inc. change NA ed. A (2007) and revision 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010