Die Bemessung und Bewertung von Betonbauteilen erfolgt in der Regel auf der Ebene des Querschnitts (1D-Element) oder des Punktes (2D-Element). Dieses Verfahren ist in allen Normen für die Tragwerksbemessung beschrieben, z. B. in EN 1992-1-1 oder ACI 318-19, und wird in der täglichen Tragwerksplanungspraxis angewendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder wird nicht immer beachtet, dass das Verfahren nur in Bereichen anwendbar ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (sogenannte B-Bereiche). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitäts- oder gestörte Bereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D-Bereiche von 1D-Elementen sind in (Abb. 1) dargestellt. Dies sind z. B. Auflagerbereiche, Bereiche mit konzentrierten Lasteinleitungen, Stellen mit abrupten Querschnittsänderungen, Öffnungen usw. Bei der Bemessung von Betonkonstruktionen begegnen wir vielen weiteren D-Bereichen wie Wänden, Brückenquerträgern, Konsolen usw.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

In der Vergangenheit wurden für die Bemessung von Diskontinuitätsbereichen halbempirische Bemessungsregeln verwendet. Glücklicherweise wurden diese Regeln in den letzten Jahrzehnten weitgehend durch Strebe-und-Zugband-Modelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) abgelöst, die in aktuellen Bemessungsnormen verankert sind und von Tragwerksplanern heute häufig verwendet werden. Diese Modelle sind mechanisch konsistente und leistungsfähige Werkzeuge. Es sei darauf hingewiesen, dass Spannungsfelder im Allgemeinen kontinuierlich oder diskontinuierlich sein können und dass Strebe-und-Zugband-Modelle einen Sonderfall diskontinuierlicher Spannungsfelder darstellen.

Trotz der Weiterentwicklung von Berechnungswerkzeugen in den letzten Jahrzehnten werden Strebe-und-Zugband-Modelle im Wesentlichen noch immer als Handberechnungen verwendet. Ihre Anwendung für reale Tragwerke ist mühsam und zeitaufwendig, da Iterationen erforderlich sind und mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Darüber hinaus ist diese Methode nicht geeignet, um Gebrauchstauglichkeitskriterien (Verformungen, Rissbreiten usw.) nachzuweisen.

Das Interesse der Tragwerksplaner an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug zur Bemessung von D-Bereichen führte zur Entscheidung, das neue Kompatible Spannungsfeldverfahren zu entwickeln – eine Methode zur computergestützten Spannungsfeldbemessung, die die automatische Bemessung und Bewertung von Stahlbetonbauteilen unter Scheibenbelastung ermöglicht.

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) ist eine kontinuierliche FE-basierte Spannungsfeldanalysemethode, bei der klassische Spannungsfelllösungen durch kinematische Betrachtungen ergänzt werden, d. h. der Dehnungszustand wird im gesamten Tragwerk ausgewertet. Daher kann die effektive Druckfestigkeit des Betons automatisch auf der Grundlage des Querdehungszustands berechnet werden, ähnlich wie bei Druckfeldanalysen, die die Druckerweichung berücksichtigen (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998), sowie der EPSF-Methode (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM die Zugverfestigung, wodurch den Bauteilen realistische Steifigkeiten zugewiesen werden, und deckt alle Bemessungsnormvorschriften ab (einschließlich Gebrauchstauglichkeits- und Verformungskapazitätsaspekte), die von früheren Ansätzen nicht konsistent behandelt wurden. Das CSFM verwendet einachsige Werkstoffgesetze, die von Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung bereitgestellt werden. Diese sind in der Bemessungsphase bekannt, was die Anwendung des Teilsicherheitsbeiwertverfahrens ermöglicht. Daher müssen Tragwerksplaner keine zusätzlichen, oft willkürlichen Materialeigenschaften angeben, wie sie typischerweise für nichtlineare FE-Analysen erforderlich sind, was die Methode für die Ingenieurpraxis bestens geeignet macht.

Um die Verwendung computergestützter Spannungsfelder durch Tragwerksplaner zu fördern, sollten diese Methoden in benutzerfreundlichen Softwareumgebungen implementiert werden. Zu diesem Zweck wurde das CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert – einer neuen benutzerfreundlichen kommerziellen Software, die gemeinsam von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des DR-Design Eurostars-10571-Projekts entwickelt wurde.

1.2 Hauptannahmen und Einschränkungen für CSFM in 2D

CSFM berücksichtigt die maximale Hauptdruckspannung im Beton (σ_c₂_r) und die Bewehrungsspannungen (σ_sr) an den Rissen, während die Betonzugfestigkeit vernachlässigt wird (σ_c₁_r = 0), mit Ausnahme ihres Versteifungseffekts auf die Bewehrung. Die Berücksichtigung der Zugverfestigung ermöglicht die Simulation der mittleren Bewehrungsdehnungen (ε_m). Es werden fiktive, rotierende, spannungsfreie Risse berücksichtigt, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a), und das Gleichgewicht an den Rissen zusammen mit den mittleren Dehnungen der Bewehrung wird ebenfalls berücksichtigt.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Trotz ihrer Einfachheit wurde gezeigt, dass ähnliche Annahmen genaue Vorhersagen für bewehrte Bauteile unter Scheibenbelastung liefern (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), sofern die vorhandene Bewehrung Sprödbrüche bei der Rissbildung verhindert. Darüber hinaus ist die Nichtberücksichtigung eines Beitrags der Betonzugfestigkeit zur Traglast konsistent mit den Grundsätzen moderner Bemessungsnormen, die größtenteils auf der Plastizitätstheorie basieren.

Allerdings ist das CSFM nicht für schlanke Bauteile ohne Querbewehrung geeignet, da relevante Mechanismen für solche Bauteile wie Rissreibung, Restzugspannungen an der Rissspitze und Dübelwirkung – die alle direkt oder indirekt von der Betonzugfestigkeit abhängen – vernachlässigt werden. Während einige Bemessungsnormen die Bemessung solcher Bauteile auf Basis halbempirischer Regelungen erlauben, ist das CSFM nicht für diese Art von potenziell spröden Strukturen vorgesehen.

Beton

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druckspannungs-Dehnungs-Gesetzen, die von Bemessungsnormen für die Querschnittsbemessung vorgeschrieben werden und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 2c) wird im CSFM standardmäßig verwendet, aber Tragwerksplaner können auch eine vereinfachte elastisch-ideal-plastische Beziehung wählen. Bei der Bewertung nach dem ACI-Code kann nur das Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramm verwendet werden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie es in der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

Die effektive Druckfestigkeit wird automatisch für gerissenen Beton auf Basis der Hauptdehnung (ε₁) mittels des Abminderungsfaktors k_c₂ bewertet, wie in Abb. 2c und e dargestellt. Die implementierte Abminderungsbeziehung (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags des fib Model Code 2010 für Querkraftnachweise, der einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis der effektiven Betondruckfestigkeit zur Betondruckfestigkeit enthält, der auf andere Lastfälle nicht anwendbar ist.

Das CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., es wird ein unendlich plastischer Ast nach Erreichen der Höchstspannung angenommen). Diese Vereinfachung erlaubt keine Überprüfung der Verformungskapazität von druckversagenden Strukturen. Ihre Traglast wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c₂) gemäß (Abb. 2e) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des Abminderungsfaktors \( \eta_{fc} \) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

k_cder globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit ist

k_c₂ der Abminderungsfaktor infolge vorhandener Querrissbildung ist

f_c die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons ist (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

Es gibt auch eine Reduzierung des k_c₂-Faktors aufgrund der Berechnungsstabilität. Diese Reduzierung beeinflusst nicht die Gesamttragfähigkeit der Bauteile. Unter der Annahme, dass der Wert f_cd die abgeminderte Betondruckfestigkeit (Bemessungswert) darstellt, wird der Wert k_c₂ gemäß den folgenden Regeln reduziert.

σ_c₂_r < 0.11f_cd                                           k_c₂=1.0
0.11f_cd < σ_c₂_r < 0.37f_cd                          k_c₂ ist eine lineare Interpolation zwischen 1,0 und dem aus dem
                                                              Diagramm in Abb. 2f entnommenen Wert
σ_c₂_r > 0.37f_cd                                           k_c₂ wird direkt aus dem Diagramm in Abb. 2f entnommen

Bewehrung

Das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für blanke Bewehrungsstäbe, das üblicherweise von Bemessungsnormen definiert wird (Abb. 2d), wird berücksichtigt. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften in der Bemessungsphase (Festigkeit und Duktilitätsklasse). Eine benutzerdefinierte Spannung-Dehnung-Beziehung kann ebenfalls definiert werden.

Die Zugverfestigung wird berücksichtigt, indem die Eingangs-Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

Verbundmodell

Der Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton wird im Finite-Elemente-Modell durch die vereinfachte starr-ideal-plastische Materialbeziehung gemäß Abb. 2f eingeführt, wobei f_bd der Bemessungswert (abgeminderter Wert) der maßgebenden Verbundspannung ist, der von der Bemessungsnorm für die jeweiligen Verbundbedingungen festgelegt wird.

Dies ist ein vereinfachtes Modell mit dem alleinigen Zweck, Verbundnachweise gemäß Bemessungsnormen zu überprüfen (d. h. Verankerung der Bewehrung). Die Reduzierung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Definition einer bestimmten Kapazität am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie im Folgenden beschrieben wird.

1.3 Bemessungswerkzeuge für die Bewehrung

Arbeitsablauf und Ziele

Das Ziel der Bewehrungsbemessungswerkzeuge im CSFM ist es, den Tragwerksplanern zu helfen, die Lage und die erforderliche Menge an Bewehrungsstäben effizient zu bestimmen. Die folgenden Werkzeuge stehen zur Verfügung, um den Benutzer in diesem Prozess zu unterstützen / zu leiten: lineare Berechnung und Topologieoptimierung.

Bewehrungsbemessungswerkzeuge verwenden vereinfachtere Materialmodelle als die Modelle, die für die abschließende Überprüfung der Struktur verwendet werden. Daher sollte die Definition der Bewehrung in diesem Schritt als Vorbemessung betrachtet werden, die im abschließenden Nachweisschritt bestätigt/verfeinert werden muss. Die Verwendung der verschiedenen Bewehrungsbemessungswerkzeuge wird anhand des in Abb. 3 dargestellten Modells veranschaulicht, das ein Ende eines einfach gelagerten Trägers mit veränderlicher Höhe unter gleichmäßig verteilter Last darstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Lineare Analyse

Die lineare Analyse berücksichtigt linear-elastische Materialeigenschaften und vernachlässigt die Bewehrung im Betonbereich. Sie ist daher eine sehr schnelle Berechnung, die einen ersten Einblick in die Lage der Zug- und Druckbereiche liefert. Ein Beispiel einer solchen Berechnung ist in Abb. 4 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung ist eine Methode, die darauf abzielt, die optimale Materialverteilung in einem gegebenen Volumen für eine bestimmte Lastkonfiguration zu finden. Die in Idea StatiCa Detail implementierte Topologieoptimierung verwendet ein lineares Finite-Elemente-Modell. Jedes finite Element kann eine relative Dichte von 0 bis 100 % aufweisen, die den relativen Materialanteil darstellt. Diese Elementdichten sind die Optimierungsparameter im Optimierungsproblem. Die resultierende Materialverteilung gilt als optimal für die gegebene Lastkombination, wenn sie die gesamte Formänderungsenergie des Systems minimiert. Per Definition ist die optimale Verteilung auch die Geometrie mit der größtmöglichen Steifigkeit für die gegebenen Lasten.

Der iterative Optimierungsprozess beginnt mit einer homogenen Dichteverteilung. Die Berechnung wird für mehrere Gesamtvolumenanteile (20 %, 40 %, 60 % und 80 %) durchgeführt, sodass der Benutzer das praktischste Ergebnis auswählen kann. Die resultierende Form besteht aus Fachwerken mit Streben und Zugbändern und stellt die optimale Form für die gegebenen Lastfälle dar (Abb. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\% effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2 Analysemodell von IDEA StatiCa Detail

3 Finite-Elemente Implementierung

3.1 Einleitung

Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die konkreten 2D-Finite Elemente eingebettet, sondern ausdrücklich modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand berücksichtigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelliert werden können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als zugeschnittenes Ende bezeichnet). Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den zugeschnittenen Trägerenden erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone (beschrieben in Abschnitt 3.3), die eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Detailbereich gewährleistet.

3.2 Auflager und Komponenten zur Lastübertragung

Zur Modellierung der meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses stehen in der CSFM viele Auflagertypen (Abb. 9) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 10) zur Verfügung.

3.2.1 Auflager

Das Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 9a), das die Last an der Bauteilkante gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Eine Bereichslagerung dagegen (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten wirksamen Radius platziert werden. Sie wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um die Bereichslagerung herum zu definieren.

Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für Punktauflager. Zum einen gibt es ein Punktauflager mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), mit der Transportanker oder Transportbolzen modelliert werden können.

Das Linienauflager (Abb. 9c) kann an einer Kante (durch Angabe ihrer Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Ebenso ist es möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Auflager bei Druck/Zug oder nur bei Druck).

3.2.2 Komponenten zur Lastübertragung

Das Einbringen von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last über eine Stahlplatte mit festgelegter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. Bereichslasten (Abb. 10b und Abb. 11) werden mit einem bestimmten wirksamen Radius im Beton platziert und durch starre Elemente mit den Knoten benachbarter Bewehrungsstäbe verbunden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Transportanker oder Transportdübel können durch eine Aufhängung modelliert werden (Abb. 10c). Der Anwender kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 10d) verwenden, die eine Erhöhung der Tragfähigkeit von Druckbeton nach Eurocode ermöglicht (diese Komponente der Lastübertragung kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch durch Linienlasten an den Kanten belastet werden, durch allgemeine Polylinien oder durch Flächenlasten, die z.B. das Eigengewicht darstellen (Das bei der Analyse nicht automatisch berücksichtigt wird).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars; (c) load transferred through concrete.}}}\]

3.3 Lastübertragung an zugeschnittenen Trägerenenden

In vielen Fällen müssen nur einige Details (Teile) eines Bauteils modelliert werden, z.B. Trägerstütze, Öffnung in der Trägermitte usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die in IDEA StatiCa Detail instabil, aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Abschnitt zu modellieren, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. beim Modellieren der Auflager von Trägern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übertragungszone erstellt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übertragungszone wird als die Hälfte der Abschnittstiefe ermittelt. Da das einzige Ziel der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine angemessene Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und keine Stop-Kriterien werden hier berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das zugeschnittene Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d.h. es kann sich drehen, muss jedoch eben liegen. Dies geschieht durch Verbinden aller FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten in der Trägheitsmitte des Abschnitts unter Verwendung eines Starrkörperelements (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann auf diesen Knoten angewendet werden, wie in Abb. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

3.4 Geometrische Bearbeitung von Querschnitten

Bei Vouten-Geometrien wird die Breite der zur Modellierung der Voute verwendeten Wandelemente im Vergleich zur ursprünglichen Breite verringert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem Winkel von 45 ° von der Wand ausdehnen würde (siehe Abb. 13), so dass die zuvor erwähnte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass sich die in der CSFM implementierte Methode zur Bestimmung des wirksamen Flansches von der in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird der auf Eurocode basierende, wirksame Breitenflansch deutlich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

Bei in horizontaler Ebene liegenden Vouten (Abb. 14) ist jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b) FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

3.5 Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare FEA-Modell wird durch verschiedene Typen von Finite-Elemente erzeugt, die zum Modellieren von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mithilfe von Mehrpunktkopplungen (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, in Bezug zum Beton, relative Position einnehmen. Soll die Überprüfung der Verankerungslänge berechnet werden, werden Verbund- und Federelemente für das Verankerungsende zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

3.5.1 Beton

Beton wird unter Verwendung der viereckigen und dreieckigen Schalenelemente CQUAD4 und CTRIA3 modelliert; diese Elemente können durch vier bzw. drei Knoten definiert sein. Es wird angenommen, dass in diesen Elementen nur ebene Spannungen vorhanden sind, d.h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt

Jedes Element hat vier oder drei Integrationspunkte, die ca. 1/4 seiner Größe haben. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₃ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c₁, σ_c₃ und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Abb. 2 ausgewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Auswirkung der Druckentfestigung das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung gekoppelt wird.

3.5.2 Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stabelemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifheit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbundelementen“ verbunden, die entwickelt wurden, um das Gleitverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Multi-Point Constraint) mit dem Netz, das den Beton darstellt, verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

3.5.3 Überprüfung der Verankerungslänge: Verbundelemente

Die Überprüfung der Verankerungslänge erfolgt durch Implementieren der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4): Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine Schersteifigkeit ungleich Null zwischen den beiden oberen und zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die Beton darstellen.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Abb. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul des Verbund-Schlupf-Verhältnisses G_b ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

wo:

k_g - Koeffizient abhängig von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g= 0.2)

E_c – E-Modul des Betons, angenommen als E_cm

Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes

Zur Überprüfung der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte der finalen Verbundschubspannung f_bd verwendet, die in den jeweils ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 (2015) oder ACI 318-04 angegeben sind. Die Wiederverfestigung des plastischen Zweigs wird standardmäßig mit G_b/10⁵berechnet.

3.5.4 Verifizierung der Verankerungslänge: Federelemente

Die Einstellung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d.h. Biegungen, Haken, Schlaufen…), die die Vorschriften der Bemessungsnormen erfüllen, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die verfügbaren Verankerungstypen in der CSFM umfassen einen geraden Stab (d.h. Keine Reduzierung des Ankerendes), eine Biegung, einen Haken, eine Schlaufe, einen geschweißten Querstab, einen perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Abb. 17 und für Längsbewehrung und in Abb. 18 für Bügel dargestellt. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen nur drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% bei normaler Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende bei einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, der durch den Koeffizienten der Verankerungsreduktion gegeben ist, wie in Abb. 19a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge ist im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Abb. 15) enthalten, das durch das in Abb. 19b dargestellte Werkstoffmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), ist definiert durch:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

wo:

β – Verankerungsfaktor, basierend auf dem Verankerungstyp

A_s – Querschnitt des Bewehrungsstabes

f_yd – Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.

3.6 Vernetzung

Die im vorherigen Kapitel beschriebenen finiten Elemente werden intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine erfahrene Interaktion durch den Anwender erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

3.6.1 Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Von der Anwendung wird eine empfohlene Elementgröße automatisch, basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabes, berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass mindestens 4 Elemente in dünnen Teilen der Struktur. wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

3.6.2 Bewehrung

Die Bewehrung ist in Elemente unterteilt, die in etwa der Länge der Größe der Betonelemente entsprechen. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

3.6.3 Lagerplatten

Hilfsbauteile, wie Lagerplatten, sind unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Netzes für die Lagerplatte werden dann unter Verwendung von Interpolationskopplungselementen (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

3.6.4 Lasten und Auflager

Bereichslasten und Bereichslager werden nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 dargestellt; daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Linienauflager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen, basierend auf der festgelegten Breite oder dem festgelegten wirksamen Radius, mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist anti- proportional zum Abstand vom Auflager- oder Lastimpuls.

3.7 Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM Problems wird ein vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus verwendet.The implementation is almost identical to the one presented in.

Generell konvergiert der NR-Algorithmus nicht oft, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt angewendet wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last nacheinander in mehreren Steigerungsstufen anzuwenden und das Ergebnis des vorherigen Laststufe zu verwenden, um die Newton-Lösung einer nachfolgenden Laststufe zu starten. Zu diesem Zweck wurde über dem Newton-Raphson ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird die aktuelle Laststufe auf die Hälfte ihres Werts reduziert und die NR-Iterationen werden wiederholt.

Ein weiterer Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung besteht darin, die kritische Last zu ermitteln, die mit bestimmten „Stop-Kriterien“ übereinstimmt - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stop-Kriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse der letzten Laststufe verworfen und eine neue Steife von der halben Größe der vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last, mit einer bestimmten Fehlertoleranz, ermittelt ist.

Für Beton wurde das Stop-Kriterium standardmäßig auf eine Druckspannung von 5% (d.h. um eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung des Betons) und eine Zugspannung von 7% an den Integrationspunkten der Schalenelemente eingestellt. Unter Zug wurde der Wert so eingestellt, dass zuerst die Grenzdehnung in der Bewehrung erreicht werden kann, die normalerweise bei ca. 5% liegt, ohne die Zugversteifung zu berücksichtigen. Bei Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen ausgewählt, die groß genug sind, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme bei der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Für Bewehrung wird in Bezug auf Spannungen das Stop-Kriterium definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Zugkriterium der Zugfestigkeit der Bewehrung, die den Sicherheitskoeffizienten berücksichtigt.

Das Stop-Kriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α · δ_umax, wobei δ_umax der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

3.8 Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da eine Darstellung der Daten auf diese Weise jedoch nicht praktikabel ist, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie beispielsweise der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an auf Druck belasteten Bauteilkanten lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Tiefe der Druckzone ähnlich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Concrete finite element with integration points and nodes: presentation of the results for concrete in nodes and}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finite elements.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z.B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente wie Elemente von Lagerplatten werden nur Verformungen dargestellt.

2.2 Auflager und lastübertragende Bauteile

Um die meisten Situationen während des Bauprozesses zu modellieren, stehen im CSFM viele Arten von Auflagern (Abb. 7) und Bauteilen zur Lastübertragung (Abb. 8) zur Verfügung.

Auflager

Ein Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass Spannungen nicht in einem Punkt konzentriert, sondern über eine größere Fläche verteilt werden. Die erste Möglichkeit ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 7a), das die Last am Rand des Bauteils gleichmäßig über die angegebene Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Das Flächenauflager (Abb. 7d) hingegen kann nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten Wirkungsradius platziert werden. Es wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskorb um das Flächenauflager zu definieren.

Für die genauere Modellierung bestimmter realer Szenarien stehen zwei weitere Optionen für Punktauflager zur Verfügung. Erstens gibt es ein Punktauflager mit einer Auflagerplatte definierter Breite und Dicke (Abb. 7b). Das Material der Auflagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Auflagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zweitens steht ein Hängeauflager (Abb. 7e) zur Verfügung, das zur Modellierung von Hebeankern oder Hebestiften verwendet werden kann.

Ein Linienauflager (Abb. 7c) kann an einer Kante (durch Angabe seiner Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Es ist auch möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten (Auflager auf Druck/Zug oder nur auf Druck) festzulegen.

Detaillierte Beschreibungen finden Sie unter Auflagertypen in IDEA StatiCa Detail

Lastübertragende Bauteile

Die Einleitung von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Einzellasten kann eine Auflagerplatte (Abb. 8a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last dank einer Stahlplatte mit definierter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Die Einzellast kann entweder direkt auf die Oberfläche der Struktur mit einem definierten Wirkungsradius aufgebracht werden (Last wird auf die Betonelemente aufgebracht) oder über eine spezielle Übertragungseinrichtung, die als Flächenlast (Abb. 8b und Abb. 9) bezeichnet wird. Die Flächenlast ermöglicht die direkte Übertragung der Last auf die definierte Bewehrung innerhalb des Bereichs des Wirkungsradius. Um die korrekte Funktionalität der Flächenlast sicherzustellen, ist es notwendig, eine Gruppe von Bewehrungsstäben zu definieren, die mit der Last verbunden werden (in den Bewehrungseigenschaften). Wenn die verbundene Bewehrung nicht definiert ist, ist der Lastübertragungsmechanismus derselbe wie bei einer Einzellast auf einer Bauteiloberfläche, und die Last wird durch die Randbedingungen auf die Betonelemente übertragen, nicht direkt auf die Bewehrung.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}\]

Hängeanker oder Hebestifte können durch eine Hängelast (Abb. 8c) modelliert werden. Der Anwender kann eine teilweise belastete Fläche (Abb. 8d) verwenden, die eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons gemäß Eurocode ermöglicht (diese Art von lastübertragendem Bauteil kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch mit Linienlasten an den Kanten, durch eine allgemeine Polylinie oder durch Flächenlasten belastet werden. Die Detail-Anwendung ist in der Lage, das Eigengewicht in der Berechnung automatisch zu berücksichtigen.

Lastabtragung an ausgeklinkten Enden von Trägern

In vielen Fällen müssen wir nur ein Detail (einen Teil) eines Bauteils modellieren, wie z.B. eine Balkenauflage, eine Öffnung in der Mitte des Balkens, etc. In solchen Fällen ist es jedoch notwendig, auch den Abschnitt zu modellieren, der den Anschluss an den angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen in diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. bei der Modellierung von Balkenauflagern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen der B-Region und dem untersuchten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Transferzone erzeugt, um eine realistische Spannungsverteilung in dem untersuchten Bereich zu gewährleisten. Die Breite der Transferzone wird auf die Hälfte der Tiefe des Querschnitts festgelegt. Da der einzige Zweck der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine korrekte Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und es werden hier keine Abbruchkriterien berücksichtigt.

Die Kante der Saint-Venant-Zone, die das ausgeklinkte Ende des Trägers darstellt, wird als starr modelliert, d. h. sie kann sich drehen, muss aber in der Ebene ruhen. Dazu werden alle FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten im Trägheitszentrum des Querschnitts über ein Starrkörperelement (RBE2) verbunden. An diesem Knoten können dann die Schnittgrößen des Elements angesetzt werden, wie in Abb. 12 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 12\qquad Übertragung von Schnittgrößen an einem ausgeklinkten Ende.}}}\]

Geometrische Änderung von Querschnitten

Bei Geometrien mit Vouten wird die Breite der Wandelemente, die zur Modellierung der Voute verwendet werden, im Vergleich zur ursprünglichen Breite reduziert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies beruht auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem 45°-Winkel von der Wand aus ausdehnt (siehe Abb. 13), so dass die vorgenannte reduzierte Breite die maximale Breite ist, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass die in CSFM implementierte Methode zur Bestimmung der effektiven Flanschbreite sich von der in 5.3.2.1 DIN EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird die nach Eurocode ermittelte effektive Flanschbreite explizit von den Spannweiten und den Randbedingungen eines Bauwerks beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 13\qquad Breitenreduzierung eines Querschnitts: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - automatisch ermittelte reduzierte Flanschbreite}}}\]

Bei Vouten, die in der horizontalen Ebene liegen (Abb. 14), wird jede Voute in fünf Abschnitte entlang ihrer Länge unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit einer konstanten Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 14\qquad Horizontale Voute: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - eine automatisch in fünf Abschnitte unterteilte Voute}}}\]

Bemessungsgrundlagen: Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare Finite-Elemente-Analysemodell besteht aus mehreren Arten von Finite-Elementen, die zur Modellierung des Betons, der Bewehrung und des Verbunds zwischen diesen Elementen verwendet werden. Die Beton- und Betonstahlelemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mit Hilfe von Multi-Point-Constraints (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, relative Position zum Beton einnehmen. Soll der Nachweis der Verankerungslänge berechnet werden, werden zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen Verbund- und Verankerungsendfederelemente eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente, die unter Verwendung von MPC-Elementen und Verbundelementen auf ein Betonnetz abgebildet werden.}}}\]

Beton

Beton wird mit vier- und dreiseitigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Bei diesen Elementen wird nur von ebenen Spannungen ausgegangen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element hat vier bzw. drei Integrationspunkte, die bei etwa 1/4 seiner Größe platziert sind. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂berechnet. In diesen beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c₁, σ_c₂ und die Steifigkeiten E₁, E₂ nach dem vorgegebenen Betonspannungs-Dehnungs-Diagramm gemäß Abb. 2 bewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Druckentlastung wegen der Betonrissbildung berücksichtigt wird.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stab"-Elemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifigkeit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen "Bond"-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Verbundverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend über MPC-Elemente (Multi-Point-Constraint) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung untereinander später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Der Nachweis der Verankerungslänge erfolgt durch die Implementierung der Verbundspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungselementen (1D) in das Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ "Verbund" entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ist ähnlich der eines Schalenelements (CQUAD4). Es ist ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat aber im Gegensatz zur Schale nur zwischen den beiden oberen und den beiden unteren Knoten eine Schersteifigkeit ungleich Null. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die den Beton darstellen. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b, als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und dem unteren Knoten δ_u, beschrieben, siehe Abb. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) konzeptionelle Darstellung der Verformung eines Verbundelements; (b) eine Spannungs-Verformungs-Funktion.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul der Bond-Slip-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

mit:

k_g Koeffizient in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig kg = 0,2)

E_c Elastizitätsmodul des Betons (im Fall von EN als E_cm angenommen)

Ø Durchmesser des Bewehrungsstabs

Für den Nachweis der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte (faktorisierte Werte) der Verbundspannung f_bdverwendet, die in den jeweils gewählten Bemessungsnormen angegeben sind. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Das Anbringen von Verankerungen an den Bewehrungsstäben (z. B. Haken, Schlaufen...), die den Vorschriften der Bemessungsregeln entsprechen, ermöglicht die Verringerung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als "Verankerungskoeffizient" bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die vorgesehene Reduzierung in l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabes an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, die durch den Verankerungsabnahmekoeffizienten gegeben ist, wie in Abb. 15a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Modell für die Reduzierung der Verankerungslänge:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Verankerungskraft entlang der Verankerungslänge des Bewehrungsstabs; (b) Zusammenhang zwischen Schlupf und Verankerungskraft.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende berücksichtigt (Abb. 15), das durch das in Abb. 15b dargestellte konstitutive Modell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), beträgt:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

mit :

β der Verankerungskoeffizient auf der Grundlage der Verankerungsart,

A_s der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd der Bemessungswert (faktorisierter Wert) der Streckgrenze der Bewehrung.

2.6 Vernetzung

Die finiten Elemente sind intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch ohne profunde Benutzerinteraktion generiert. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile werden gemeinsam vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird von der Anwendung automatisch auf Basis der Größe und Form der Struktur berechnet, wobei der Durchmesser des größten Bewehrungsstabs berücksichtigt wird. Darüber hinaus gewährleistet die empfohlene Elementgröße, dass in dünnen Bereichen der Struktur, wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, mindestens 4 Elemente erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen sicherzustellen. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert ist jedoch ausreichend, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Tragwerksplaner können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße wählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße anpassen.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente mit annähernd gleicher Länge wie die Betonelementgröße unterteilt. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze generiert sind, werden sie mit Verbundelementen miteinander verbunden, wie in Abb. 13 dargestellt.

Auflagerplatten

Konstruktive Hilfsbauteile, wie Auflagerplatten, werden unabhängig vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird als 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Auflagerplatten-Netzes werden dann über Interpolations-Randbedingungselemente (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

Lasten und Lager

Flächenlasten und Flächenlager sind nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 16 dargestellt. Daher ist es notwendig, die Bewehrung um diese herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des effektiven Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Linienlager und Linienlasten werden über RBE3-Elemente basierend auf der angegebenen Breite oder dem effektiven Radius mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist umgekehrt proportional zum Abstand vom Lager oder Lastimpuls.

Lesen Sie mehr über die Verbindung zwischen einzelnen Lasten und dem Netz in Allgemeine Beschreibung der Lastimpulse in der Detail-Anwendung

2.7 Lösungsmethode und Laststeuerungsalgorithmus

Ein standardmäßiger vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus wird verwendet, um die Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems zu finden.

Im Allgemeinen konvergiert der NR-Algorithmus häufig nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Ein übliches Vorgehen, das auch hier angewendet wird, besteht darin, die Last schrittweise in mehreren Inkrementen aufzubringen und das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements als Ausgangspunkt für die Newton-Lösung des nächsten zu verwenden. Zu diesem Zweck wurde ein Laststeuerungsalgorithmus auf Basis des Newton-Raphson-Verfahrens implementiert. Falls die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Wertes reduziert und die NR-Iterationen werden erneut durchgeführt.

Ein zweiter Zweck des Laststeuerungsalgorithmus besteht darin, die kritische Last zu finden, die bestimmten „Abbruchkriterien" entspricht – insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit dem Bisektionsverfahren ermittelt. Falls das Abbruchkriterium an einer Stelle im Modell überschritten wird, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen und ein neues Inkrement mit der halben Größe des vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden wird.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium auf eine Dehnung von 5 % unter Druck (d. h. etwa eine Größenordnung größer als die tatsächliche Bruchdehnung von Beton) und 7 % unter Zug an den Integrationspunkten der Schalenelemente festgelegt. Unter Zug wurde der Wert so gewählt, dass die Grenzdehnung der Bewehrung, die üblicherweise bei etwa 5 % liegt – ohne Berücksichtigung der Zugverfestigung – zuerst erreicht werden kann. Unter Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen so gewählt, dass er groß genug ist, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar sind, aber klein genug, um keine zu großen Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Für die Bewehrung wird das Abbruchkriterium in Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium unter Zug der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitskoeffizienten. Derselbe Wert wird für das Kriterium unter Druck verwendet.

Das Abbruchkriterium in Verbundelementen und Verankerungsfedern ist α·δu_max, wobei δu_max der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

2.8 Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden für Beton- und Bewehrungselemente getrennt dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in den Knoten präsentiert, beispielsweise als Maximalwert der Druckspannung aus benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 18). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an gedrückten Rändern von Bauteilen lokal unterschätzen kann, wenn die Finite-Element-Größe ähnlich wie die Tiefe der Druckzone ist.

Abb. 18 - Finites Betonelement mit Integrationspunkten und Knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und in finiten Elementen.

Die Ergebnisse für die finiten Bewehrungselemente sind entweder konstant für jedes Element (ein Wert – z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte – für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente, wie Elemente von Auflagerplatten, werden nur Verformungen dargestellt.

3 Modellverifikation

3.1 Grenzzustände und Rissbreitenberechnung

Die Bewertung der Struktur mit dem CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Bemessungslastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit. Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse setzt voraus, dass das Verhalten des Bauteils im Grenzzustand der Tragfähigkeit zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei Gebrauchslastniveaus nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Materialmodelle (mit einem linearen Ast des Spannung-Dehnung-Diagramms für Beton) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird empfohlen, den nachfolgend dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit

Die verschiedenen, von spezifischen Bemessungsnormen geforderten Nachweise werden anhand der direkt vom Modell gelieferten Ergebnisse bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Bauteil effizient bemessen ist, wird dringend empfohlen, eine Vorabanalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

Auswahl der maßgebenden Lastkombinationen.
Berechnung ausschließlich der Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit (GZT).
Verwendung eines groben Netzes (durch Erhöhung des Multiplikators der Standard-Netzgröße in den Einstellungen (Abb. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Ein solches Modell berechnet sehr schnell und ermöglicht es den Tragwerksplanern, die Konstruktionsdetails des Bauteils effizient zu überprüfen und die Analyse so lange erneut durchzuführen, bis alle Nachweisanforderungen für die maßgebenden Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Vorabanalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit einzubeziehen und eine feine Netzgröße zu verwenden (die vom Programm empfohlene Netzgröße). Der Benutzer kann die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Abb. 19).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. der berechnete Wert/Grenzwert aus der Norm) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden mittels verschiedener Darstellungen angezeigt, wobei Druck im Allgemeinen in Rot und Zug in Blau dargestellt wird. Globale Mindest- und Höchstwerte für die gesamte Struktur können hervorgehoben werden, ebenso wie Mindest- und Höchstwerte für jeden benutzerdefinierten Teil. In einem separaten Programmreiter können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugverfestigung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Darüber hinaus können Lasten und Auflagerkräfte für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Nachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß der anwendbaren Norm in ähnlicher Weise wie für den GZT nachgewiesen.

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Materialmodelle, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein vollständiger Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Darüber hinaus wird der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von Normen gefordert). Daher sind die vereinfachten Modelle für die Gebrauchstauglichkeit nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

Rissbreitenberechnung und Zugverfestigung

Rissbreitenberechnung

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten – stabilisierte und nicht-stabilisierte Rissbildung. Anhand des geometrischen Bewehrungsgrads in jedem Bereich der Struktur wird entschieden, welches Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Rissbildung und POM für nicht-stabilisierte Rissbildung).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Während das CSFM für die meisten Nachweise ein direktes Ergebnis liefert (z. B. Bauteilkapazität, Durchbiegungen…), werden Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt durch die FE-Analyse bereitgestellt werden, gemäß der in Abb. 20 beschriebenen Methodik. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reines Rissöffnen) angenommen (Abb. 20a), was mit den grundlegenden Annahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s= θ_e). Gemäß (Abb. 20b) kann die Rissbreite (w) in die Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu folgendem Ausdruck führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

wobei θ_b die Stabneigung ist.

Bitte beachten Sie, dass das Programm Werte von θ_r und θ_b < π/2 anzeigt. Das bedeutet, dass die vorherige Gleichung für Fälle gilt, bei denen die Bewehrung und der Riss durch verschiedene Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verlaufen, wie in Abb. 20 dargestellt, wo die Bewehrung durch den I. und III. Quadranten und der Riss durch den II. und IV. Quadranten verläuft. Für Fälle, bei denen die Bewehrung und der Riss durch dieselben Quadranten verlaufen, muss die Gleichung wie folgt angepasst werden:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Die Komponente w_b wird konsistent auf Basis der Zugverfestigungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für Bereiche mit vollständig ausgebildetem Rissbild werden die berechneten mittleren Dehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt über den Rissabstand (s_r) integriert, wie in (Abb. 20c) angegeben. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Position der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

An konkaven Ecken der berechneten Struktur werden besondere Situationen beobachtet. In diesem Fall legt die Ecke die Position eines einzelnen Risses fest, der sich vor der Entstehung weiterer benachbarter Risse nicht-stabilisiert verhält. Diese zusätzlichen Risse entstehen im Allgemeinen nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was es rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als wären sie nicht-stabilisiert (Abb. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Zugverfestigung

Die Implementierung der Zugverfestigung unterscheidet zwischen stabilisierten und nicht-stabilisierten Rissbildern. In beiden Fällen wird der Beton standardmäßig als vor der Belastung vollständig gerissen angenommen.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Stabilisierte Rissbildung

Bei vollständig ausgebildeten Rissbildern wird die Zugverfestigung mithilfe des Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Abb. 22a – eingeführt, das trotz seiner Einfachheit hervorragende Vorhersagen des Tragverhaltens liefert (Burns 2012). Das TCM setzt eine gestufte, starr-ideal-plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τ_b= τ_b₀ =2 f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b =τ_b₁ = f_ctm für σ_s> f_y voraus. Indem jeder Bewehrungsstab als Zugstab behandelt wird – Abb. 22b und Abb. 22a – kann die Verteilung der Verbundschubspannungen, der Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder -dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für s_r = s_r₀ kann ein neuer Riss entstehen oder auch nicht, da in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c₁ = f_ct gilt. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h. s_r = λs_r₀, mit l = 0,5…1,0. Unter Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die mittlere Dehnung des Zugstabs (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrungsstäbe, das standardmäßig im CSFM verwendet wird, ergeben sich folgende geschlossene analytische Ausdrücke (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

wobei:
E_sh der Verfestigungsmodul des Stahls E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø Durchmesser des Bewehrungsstabs,

s_rRissabstand,

σ_sr Bewehrungsspannungen an den Rissen,

σ_s tatsächliche Bewehrungsspannungen,

f_yStreckgrenze der Bewehrung.

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail verwendet standardmäßig den mittleren Rissabstand bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse. Der mittlere Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands angenommen (λ = 0,67), was den Empfehlungen auf Basis von Biege- und Zugversuchen folgt (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es ist zu beachten, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) verwendet wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, daher ist die Zuordnung einer geeigneten, zwischen den Rissen auf Zug beanspruchten Betonfläche zu jedem Bewehrungsstab entscheidend. Ein automatisches numerisches Verfahren wurde entwickelt, um den entsprechenden effektiven Bewehrungsgrad (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich schräger Bewehrung, zu definieren (Abb. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Nicht-stabilisierte Rissbildung

Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr, d. h. dem Mindestbewehrungsgrad, bei dem die Bewehrung die Risslast ohne Fließen aufnehmen kann, entstehen entweder durch nicht-mechanische Einwirkungen (z. B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

wobei:

f_y Streckgrenze der Bewehrung,

f_ct Betonzugfestigkeit,

n Verhältnis der Elastizitätsmoduli, n = E_s / E_c .

Für üblichen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρ_cr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr wird die Rissbildung als nicht-stabilisiert betrachtet, und die Zugverfestigung wird mithilfe des Pull-Out-Modells (POM) implementiert, das in Abb. 22b beschrieben ist. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses ohne mechanische Wechselwirkung zwischen separaten Rissen, vernachlässigt die Verformbarkeit des Betons auf Zug und setzt dieselbe gestufte, starr-ideal-plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung voraus, die auch im TCM verwendet wird. Dies ermöglicht es, die Bewehrungsdehnungsverteilung (ε_s) in der Umgebung des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu bestimmen. Da der Rissabstand bei einem nicht vollständig ausgebildeten Rissbild unbekannt ist, wird die mittlere Dehnung (ε_m) für jeden Lastzustand über den Abstand zwischen den Punkten mit null Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit (f_t) am Riss erreicht (l_ε,_avg in Abb. 22b), was zu folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens von verbundbewehrten Stäben, das schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugverfestigung) für den gebräuchlichsten europäischen Bewehrungsstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5 %) ist in Abb. 22c-d dargestellt.

4 Tragwerksnachweise nach Eurocode

Die Bewertung der Struktur mit dem CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Bemessungslastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit. Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse setzt voraus, dass das Tragverhalten des Bauteils im Grenzzustand der Tragfähigkeit zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Gebrauchstauglichkeitsniveau nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Stoffgesetze (mit einem linearen Ast des Beton-Spannung-Dehnung-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern.

4.1 Materialmodelle (EN)

Beton - GZT

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druck-Konstitutivgesetzen, die in EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten vorgeschrieben sind und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das in EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (1) festgelegte Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 24a) wird standardmäßig im CSFM verwendet, aber Tragwerksplaner können auch eine vereinfachtere elastisch-ideal-plastische Beziehung gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (2) (Abb. 24b) wählen. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es bei der klassischen Stahlbetonstruktur-Bemessung üblich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_cu₂ (ε_cu₃) mit dem Wert 5 % angenommen, während EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt keine Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die unter Druck versagen. Die Grenztragfähigkeit f_cd gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.3 wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn neben dem Faktor für gerissenen Beton (k_c₂, definiert in (Abb. 25)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit durch den Abminderungsfaktor \(\eta_{fc}\) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

α_cc der Beiwert ist, der die Langzeitauswirkungen auf die Druckfestigkeit und ungünstige Auswirkungen aus der Art der Lastaufbringung berücksichtigt. Er wird gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.6 (1) festgelegt. Der Standardwert beträgt 1,0.

k_cist der globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit

k_c₂ ist der Abminderungsfaktor infolge vorhandener Querrissbildung

f_ck ist die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}\]

Beton - GZG

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Konstitutivmodelle, die für die Analyse im Grenzzustand der Tragfähigkeit verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langzeiteffekte

Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse werden die Langzeiteffekte des Betons mithilfe eines effektiven unendlichen Kriechbeiwertes (\(\varphi\), standardmäßig mit dem Wert 2,5 angenommen) berücksichtigt, der den Sekantenelastizitätsmodul des Betons (E_cm) gemäß EN 1992-1-1, Abschn. 3.1.4 (3) bzw. 7.4.3 (5) wie folgt modifiziert:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Bei der Berücksichtigung von Langzeiteffekten wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten unter Berücksichtigung des Kriechbeiwertes (d. h. unter Verwendung des effektiven Elastizitätsmoduls des Betons, E_c,eff) berechnet, anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet (d. h. unter Verwendung von E_cm). Zur Durchführung von Kurzzeitnachweisen wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Abb. 26 dargestellt.

Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert und sind gemäß EN 1992-1-1, Bild 3.1 zu berechnen.

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für blanke Bewehrungsstäbe gemäß EN 1992-1-1, Abschn. 3.2.7 (Abb. 27) verwendet. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften während der Bemessungsphase (Festigkeit und Duktilitätsklasse). Sofern bekannt, kann die tatsächliche Spannung-Dehnung-Beziehung der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, vergütet und selbstanlassend, …) berücksichtigt werden. Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden, in diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannung-Dehnung-Diagramms mit einem horizontalen oberen Ast erlaubt keine Überprüfung der konstruktiven Dauerhaftigkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der normativen Duktilitätsanforderungen erforderlich.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Zugverfestigung (Abb. 28) wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabes modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

4.2 Sicherheitsbeiwerte

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren ist konform mit modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle ausschließlich standardmäßige Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwert-Format ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Einwirkungen mit Lastfaktoren multipliziert und die charakteristischen Materialeigenschaften mithilfe der jeweiligen, in den Bemessungsnormen vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerte abgemindert – genau wie bei der konventionellen Betonbemessung. Die in EN 1992-1-1 Abschn. 2.4.2.4 vorgeschriebenen Materialsicherheitsbeiwerte sind standardmäßig eingestellt, der Benutzer kann die Sicherheitsbeiwerte jedoch in den Norm- und Berechnungseinstellungen ändern (Abb. 29).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Lastsicherheitsbeiwerte müssen vom Benutzer in den Kombinationsregeln für jede nichtlineare Kombination von Lastfällen definiert werden (Abb. 30). Für alle in Idea StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind Teilsicherheitsbeiwerte bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Durch die Verwendung geeigneter benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsbeiwerten können Benutzer mit dem CSFM auch nach der globalen Widerstandsfaktormethode (Navrátil et al. 2017) rechnen; dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen die Verwendung der globalen Widerstandsfaktormethode für nichtlineare Analysen. Bei vereinfachten nichtlinearen Analysen (wie dem CSFM), die nur jene Materialeigenschaften erfordern, die auch bei konventionellen Handberechnungen verwendet werden, ist es jedoch nach wie vor vorzuziehen, das Teilsicherheitsformat zu verwenden.

4.3 Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit

Die verschiedenen, von EN 1992-1-1 geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Betonfestigkeit auf Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c= σ_c₂, die aus der FE-Analyse gewonnen wird, und dem Grenzwert σ_c,lim = f_cd bewertet.

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim bewertet:

\(σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

wobei:

f_yk Streckgrenze der Bewehrung gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.2.3,

k das Verhältnis der Zugfestigkeit f_tk zur Streckgrenze,
\(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_sist der Teilsicherheitsbeiwert für die Bewehrung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der Verbundspannung τ_b, die durch die FE-Analyse berechnet wird, und der maßgebenden Verbundfestigkeit f_bd_, gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 8.4.2 bewertet:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

wobei:

f_ctd der Bemessungswert der Betonzugfestigkeit gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.6 (2) ist. Aufgrund der zunehmenden Sprödigkeit von höherfestem Beton wird f_ctk,0.05auf den Wert für C60/75 gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 8.4.2 (2) begrenzt

η₁ ist ein Beiwert, der sich auf die Verbundqualität und die Lage des Stabs während des Betonierens bezieht (Bild 31).

η₁ = 1,0 bei „guten" Verbundbedingungen und

η₁ = 0,7 in allen anderen Fällen und für Stäbe in Bauteilen, die im Gleitschalungsverfahren hergestellt werden, sofern nicht nachgewiesen werden kann, dass „gute" Verbundbedingungen vorliegen

η₂ bezieht sich auf den Stabdurchmesser:

η₂ = 1,0 für Ø ≤ 32 mm

η₂ = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

In IDEA StatiCa Detail werden die Verbundbedingungen gemäß Bild 31 c) und d) berücksichtigt. Die Betonierrichtung kann in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt festgelegt werden.

Diese Nachweise werden unter Berücksichtigung der entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur durchgeführt (d. h., obwohl jeweils nur eine Güte für Beton und Bewehrungsmaterial vorhanden ist, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Zugverfestigung und Druckerweichung).

Es gibt auch die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und σ_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_aund der Verbundkraft F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Grenztragfähigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

wobei F_lim,add die Zusatzkraft ist, die aus dem Betrag des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die verfügbaren Verankerungsarten im CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Abminderung der Verankerungslänge), Abwinkelung, Haken, Schlaufe, angeschweißten Querstab, vollständigen Verbund und durchgehenden Stab. Alle diese Typen sowie die jeweiligen Verankerungsbeiwerte β sind in Bild 32 für Längsbewehrung und in Bild 33 für Bügel dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungsbeiwerte entsprechen EN 1992-1-1 Abschn. 8.4.4 Tab. 8.2. Es ist zu beachten, dass das CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Abminderung der Verankerungslänge, (ii) eine Abminderung um 30 % der Verankerungslänge bei normierter Verankerung und (iii) vollständiger Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Um EN 1992-1-1 zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, sodass der Anwender beim Festlegen der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden muss.

4.4 Teilbelastete Flächen (PLA)

Bei der Bemessung von Betonkonstruktionen begegnen wir zwei großen Gruppen von teilbelasteten Flächen (PLA) – die erste umfasst Auflager, während die andere Verankerungsbereiche umfasst. Gemäß den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur EN 1992-1-1 Kap. 6.7 (Abb. 34) sind für teilbelastete Flächen lokales Quetschen des Betons und Querzugkräfte zu berücksichtigen. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c0 kann die Drucktragfähigkeit des Betons je nach Bemessungsverteilungsfläche A_c1 um bis zum Dreifachen erhöht werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

Die teilbelastete Fläche muss ausreichend mit Querbewehrung bewehrt sein, die so bemessen ist, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltzugkräfte überträgt. Für die Bemessung der Querbewehrung in teilbelasteten Flächen wird gemäß Eurocode das Strebe-und-Zugband-Verfahren verwendet. Ohne die erforderliche Querbewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons in Betracht zu ziehen.

Teilbelastete Flächen im CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Mit dem CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten, wobei der Einfluss der erhöhten Druckfestigkeit des Betons in teilbelasteten Flächen berücksichtigt wird. Da das CSFM ein Scheiben- (2D-) Modell ist und teilbelastete Flächen eine räumliche (3D-) Aufgabe darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Wenn die Funktion „teilbelastete Flächen" aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden für die angegebene Betonbauteilgeometrie und die Abmessungen jeder PLA vollständig in 3D gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der teilbelasteten Fläche erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, was hauptsächlich daran lag, dass die Zuordnung von Eigenschaften zum Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegel-Geometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Abb. 35 und Abb. 37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last über die PLA schrittweise auf die Bemessungsverteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist in jedem Teil des Kegels variabel und fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A_c0) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) hinzugefügt (wobei A_real die im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist), und diese Fläche nimmt linear bis auf null zur Bemessungsverteilungsfläche (A_c1) hin ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Die Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis der Bemessungsverteilungsfläche zur belasteten Fläche gemäß EN 1992-1-1 (6.7) erhöht. Es ist zu beachten, dass es sich hierbei um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einer teilbelasteten Fläche nicht exakt beschreiben kann, da der tatsächliche Verlauf wesentlich komplizierter ist. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche. Darüber hinaus werden Querspannungen in diesem Bereich korrekt eingeführt.

Bei der Verwendung der Funktion „Teilbelastete Flächen" zur Simulation der Erhöhung der Betondrucktragfähigkeit ist der Normnachweis separat gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 6.7 (2) zu führen. Die durch die Bewehrung übertragenen Querzugkräfte (Spaltzugkräfte) werden automatisch überprüft.

4.5 Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Nachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß EN 1992-1-1 auf ähnliche Weise wie für den GZT überprüft.

Spannungsbegrenzung

Die Druckspannung im Beton ist zu begrenzen, um Längsrisse zu vermeiden. Gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 7.2 (2) können Längsrisse auftreten, wenn das Spannungsniveau unter der charakteristischen Lastkombination einen Wert k₁f_ck überschreitet. Die Betondruckspannung wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c = σ_c₂aus der FE-Analyse für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und dem Grenzwert σ_c,lim ausgewertet. Dann gilt:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

wobei:

f_ck charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons,

k₁ =0,6.

Wenn die Spannung im Beton unter den quasi-ständigen Lasten kleiner als k₂f_ck gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 7.2(3) ist, darf lineares Kriechen angenommen werden. Wenn die Betonspannung k₂f_ck überschreitet, sollte nichtlineares Kriechen berücksichtigt werden (siehe EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kann nur lineares Kriechen gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.4 (3) angenommen werden (siehe Materialmodelle (EN)).

Unzulässige Rissbildung oder Verformung kann als vermieden angesehen werden, wenn unter der charakteristischen Lastkombination die Zugspannung in der Bewehrung den Wert k₃f_yk nicht überschreitet (EN 1992-1-1 Abschn. 7.2 (5)). Die Tragfähigkeit der Bewehrung wird als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_s = σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim ausgewertet:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} = k_3\cdot f_{yk}\]

wobei:

f_yk Streckgrenze der Bewehrung,

k₃ =0,8.

Durchbiegung

Durchbiegungen können nur für Wände oder isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Träger beurteilt werden. In diesen Fällen wird der Absolutwert der Durchbiegungen berücksichtigt (verglichen mit dem Ausgangszustand vor der Belastung), und der maximal zulässige Wert der Durchbiegungen muss vom Anwender festgelegt werden. Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht überprüft werden, da es sich dabei im Wesentlichen um instabile Strukturen handelt, bei denen das Gleichgewicht durch das Hinzufügen von Endkräften erfüllt wird und die Durchbiegungen daher unrealistisch sind. Kurzzeitige u_z,st oder langzeitige u_z,lt Durchbiegungen können berechnet und mit benutzerdefinierten Grenzwerten verglichen werden:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

wobei:

u_z kurz- oder langzeitige Durchbiegung, berechnet durch FE-Analyse,

u_z,lim Grenzwert der Durchbiegung, definiert durch den Anwender.

Rissbreite

Rissbreiten und -richtungen werden nur für Langzeiteinwirkungen (unter Verwendung von E_c,eff) für Kombinationen berechnet, bei denen die Rissbreitenauswertung aktiviert ist. Nachweise auf Basis benutzerdefinierter Grenzwerte gemäß Eurocode werden wie folgt dargestellt:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

wobei:

w Rissbreite, berechnet durch FE-Analyse,

w_lim Grenzwert der Rissbreite, definiert durch den Anwender.

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten (abgeschlossene und nicht abgeschlossene Rissbildung). Im allgemeinen Fall (abgeschlossene Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird dann aus den drei nächstgelegenen (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung) Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

5 Tragwerksnachweise nach ACI 318-19

Die Bewertung der Struktur mit dem CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Bemessungslastkombinationen der Tragfähigkeit. Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse setzt voraus, dass das Verhalten unter Bemessungslasten zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Gebrauchstauglichkeitsniveau nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Stoffgesetze (mit einem linearen Ast des Beton-Spannung-Dehnung-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern.

Das CSFM entspricht ACI 318-19, Abschnitt 6.8.1.1. Um die Anforderungen aus ACI 318-19, Abschnitt 6.8.1.2 zu erfüllen, wurden umfangreiche Verifikationsversuche an verschiedenen Universitäten durchgeführt. Einzelne Artikel, die die Ergebnisse der Verifikation und Validierung zusammenfassen, sind unter folgendem Link zu finden.

Verifikationen: Detail 2D

5.1 Materialmodelle (ACI)

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannung-Dehnung-Kurve für Beton, die auf der parabolischen Spannung-Dehnung-Kurve der Portland Cement Association basiert und in den PCA-Anmerkungen zu den ACI 318-99 Anforderungen an den Bau von Stahlbetonstrukturen, Abbildung 6-8, beschrieben ist. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es beim klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c₀ mit einem Maximalwert von 5 % angenommen, während ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungskapazität von druckversagenden Strukturen zu überprüfen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn neben dem Faktor für gerissenen Beton (k_c₂, definiert in (Abb. 39)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit durch den \(\eta_{fc}\) Abminderungsfaktor berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

α₁ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist, definiert in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms ist es erforderlich, die maximale Druckspannung um diesen Faktor zu reduzieren. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem abfallenden plastischen Ast berechnet wird.

Φ_cist der Festigkeitsabminderungsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 (b)(f) festgelegt.

k_c₂ ist der Abminderungsfaktor infolge des Vorhandenseins von Querrissen.

f'_c ist die Betonzylinderdruckfestigkeit (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen basiert wie der Knotenzonenkoeffizient β_n gemäß ACI 318-19 Tabelle 23.9.2, mit dem Unterschied, dass im CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element überprüft wird (nicht nur für Knoten des Strebe-und-Zugband-Modells).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von ACI gefordert). Daher sind die vereinfachten Modelle für die Gebrauchstauglichkeit nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langzeiteffekte

Das Langzeitverhalten der Struktur, wie z. B. Langzeitdurchbiegungen oder die Berechnung von Rissbreiten infolge von Dauerlasten, wird durch das Kriechen des Betons beeinflusst. ACI 318-19 in Abschnitt 24.2.4.1.3 definiert den zeitabhängigen Faktor für Dauerlasten – ξ, der den Kriecheffekt für eine bestimmte Dauerlastdauer darstellt.

In der Detail-Anwendung wird der Elastizitätsmodul E_c angepasst, um das Langzeitverhalten der Struktur durch den Faktor ξ zu bestimmen. Der angepasste Elastizitätsmodul wird als E_c,eff bezeichnet – siehe Abbildung 40.

Unter der Annahme, dass die Verformung des Bauteils durch die Dehnung ausgedrückt wird, kann geschrieben werden:

\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]

wobei:

ε₀ die Kurzzeitdehnung (ohne Kriecheinfluss) ist und ε_creep die durch Kriechen verursachte Dehnung ist.

Mit dem Hookeschen Gesetz kann geschrieben werden:

\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]

Durch Einsetzen von \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) und \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\) ergibt sich:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]

Die Dauerlastdauer zur Bestimmung des Faktors ξ kann für jede Gebrauchstauglichkeits-Langzeitkombination individuell festgelegt werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}\]

Die zeitabhängigen Durchbiegungen, Spannungen und Rissbreiten werden dann mit einem modifizierten Materialmodell berechnet, bei dem der Effekt der Druckverfeinerung durch die Art der FE-Analyse automatisch berücksichtigt wird. Es ist daher nicht erforderlich, diese zusätzlich mit dem in 24.2.4.1.1 definierten Faktor zu multiplizieren.

Kurzzeiteffekte

Für Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den zeitabhängigen Faktor für Dauerlasten berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Abb. 40 dargestellt.

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem definierten Fließpunkt angenommen, siehe ACI 319-19 CL. 20.2.1. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, in diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

wobei:

Φ_sder Festigkeitsabminderungsfaktor für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

10 % wird als Grenzdehnung gewählt, bei der die Berechnung abgebrochen wird. Dies gilt als sicher auf Grundlage von ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.

Die Zugverfestigung (Abb. 43) wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingangs-Spannung-Dehnung-Beziehung des freien Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

5.2 Festigkeitsabminderung und Lastbeiwerte

Die Werte der Festigkeitsabminderungsfaktoren sind in ACI 318-19 Abschn. 21.2 vorgeschrieben. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung werden auf der Grundlage der Annahme gewählt, dass das typische in der Anwendung gelöste Beispiel querkraftgesteuert ist (basierend auf Tabelle 21.2.1 (b), (f), (g)). Es ist jedoch möglich, jeden Bauteiltyp zu modellieren. Wenn daher ein druck- oder zuggesteuertes Bauteil bewertet wird, hat der Benutzer die Möglichkeit, den Festigkeitsabminderungsfaktor in den Einstellungen zu ändern.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Lastbeiwerte für Bemessungskombinationen sind gemäß ACI 318-19 Tabelle 5.3.1 zu definieren.

Sofern in Kapitel 34 nichts anderes angegeben ist, sind Lastkombinationen auf Gebrauchslastniveau in ACI 318-19 nicht definiert. Es wird empfohlen, Kombinationsregeln basierend auf Anhang C von ASCE/SEI 7-16 zu verwenden. Für alle Vorlagen sind Lastbeiwerte bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

5.3 Festigkeitsnachweise

Die verschiedenen von ACI 318-19 geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Betonfestigkeit auf Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c (auch σ₂ in den Hilfsergebnissen), die aus der FE-Analyse gewonnen wird, und dem Grenzwert f'_c,lim bewertet.

Die Bewehrungsfestigkeit wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim bewertet.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu bewertet.

Der ACI-Standard befasst sich jedoch nicht explizit mit der Verbundfestigkeit, sondern arbeitet mit der Berechnung der sogenannten Verankerungslänge, die in Abschnitt 25.4.2 beschrieben wird. Da die Verbundfestigkeit ein grundlegender Eingangsparameter für die Bestimmung der Verankerungslänge ist, siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966, kann die Verbundfestigkeit wie folgt berechnet werden:

Es wird angenommen, dass wenn die Bewehrungsstange bis zur Verankerungslänge l_d oder darüber hinaus in einen Betonblock eingebettet wird, das Herausziehen der Bewehrung zum Bruch der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies kann mit folgender Formel ausgedrückt werden.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

wobei:

d_b der Durchmesser der Bewehrungsstange ist, l_d die Verankerungslänge ist, f_bu die Verbundfestigkeit ist, f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist und A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist.

Aus dem Vorstehenden lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Die Verankerungslänge l_d wird dann gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

wobei:

C = 25 (2,1 für metrisch) für Stäbe Nr. 6 und kleiner sowie gerippte Drähte, C = 20 (1,7 für metrisch) für Stäbe Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e_, ψ_g werden gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 bestimmt.

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte (feuerverzinkte) Bewehrung unterstützt, daher gilt ψ_e = 1,0. ψ_g wird automatisch aus der Bewehrungsgüte bestimmt, und ψ_t wird automatisch aus der Position der Bewehrung im Modell und aus der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt festgelegt werden kann.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}\]

Diese Nachweise werden unter Berücksichtigung der entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur durchgeführt (d. h., obwohl eine einheitliche Güte sowohl für Beton- als auch für Bewehrungsmaterial vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Zugverfestigung und Druckerweichung).

Es gibt auch die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Methode der finiten Elemente und kann auf zwei Arten definiert werden.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_aund der Verbundkraft F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus dem Betrag des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die verfügbaren Verankerungstypen in CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Reduzierung des Verankerungsendes), einen 90-Grad-Haken, einen 180-Grad-Haken, vollständigen Verbund und einen durchgehenden Stab. Alle diese Typen sowie die jeweiligen Verankerungskoeffizienten β sind in Bild 48 für Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungskoeffizienten werden aus dem Vergleich der Gleichung aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.3.1 und den Gleichungen aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduzierung der Verankerungslänge, (ii) eine Reduzierung um 30 % der Verankerungslänge im Fall einer normierten Verankerung und (iii) vollständiger Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Der Verankerungskoeffizient für Bügel beträgt stets β = 1,0.

Um ACI zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den β-Koeffizienten modifiziert, sodass der Anwender bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss.

5.4 Auflager- und Verankerungszonen – Teilweise belastete Bereiche

Bei der Bemessung von Betonkonstruktionen begegnen wir zwei großen Gruppen von teilweise belasteten Bereichen (TBB) – die erste umfasst Auflager, während die andere aus Verankerungszonen besteht.

Gemäß den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur ACI 318-19 Kap. 22.8 sind für Auflager lokales Quetschen von Beton und Querzugkräfte zu berücksichtigen. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c1 kann die Drucktragfähigkeit des Betons in Abhängigkeit von der Bemessungsverteilungsfläche A_c2 um bis zum Zweifachen erhöht werden. Siehe ACI 318-19 Tabelle 22.8.3.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}\]

Für vorgespannte Verankerungszonen ist ACI 318-19 Kap. 25.9 zu beachten.

Der teilweise belastete Bereich muss ausreichend mit Querbewehrung bewehrt sein, die so bemessen ist, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltzugkräfte überträgt. Ohne die erforderliche Querbewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons zu berücksichtigen.

Teilweise belastete Bereiche in CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Mit CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten, wobei der Einfluss der erhöhten Drucktragfähigkeit des Betons in teilweise belasteten Bereichen berücksichtigt wird. Da CSFM ein Wandmodell (2D) ist und die teilweise belasteten Bereiche eine räumliche (3D) Aufgabe darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 50). Wenn die Funktion „teilweise belastete Bereiche" aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß ACI (Abb. 49) erstellt. Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die angegebene Betonbauteilgeometrie und die Abmessungen jedes TBB gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell des teilweise belasteten Bereichs erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, was hauptsächlich daran lag, dass die Zuordnung von Eigenschaften zum Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegel-Geometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Abb. 51 und Abb. 52). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last vom TBB schrittweise auf die Bemessungsverteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Druckstreben ist in jedem Teil des Kegels variabel und fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A_c1) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis \(\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}\) hinzugefügt (wobei A_real die im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist), und diese Fläche nimmt linear bis auf null zur Bemessungsverteilungsfläche (A_c2) hin ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}} - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Die Tragfähigkeit des teilweise belasteten Bereichs wird gemäß dem Verhältnis der Bemessungsverteilungsfläche zur belasteten Fläche erhöht, wie in ACI 318-19 Kap. 22.8 festgelegt. Es ist zu beachten, dass es sich um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einem teilweise belasteten Bereich, dessen tatsächlicher Verlauf wesentlich komplizierter ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit des teilweise belasteten Bereichs. Darüber hinaus werden in diesem Bereich korrekt Querspannungen eingeführt, um die Bewehrung für Spaltzugkräfte korrekt zu bemessen.

Die zulässige Auflager-Druckspannung von 0,85f_c' ist in Tabelle 22.8.3.2 aufgeführt. Die Dichte ist so begrenzt, dass die in der Formel in Tabelle 22.8.3.2(b) angegebene maximale doppelte Tragfähigkeit nicht überschritten wird.

Für die Verankerungszonen wird TBB in der Anwendung auf die gleiche Weise wie für Auflager verwendet. Daher müssen die in ACI 318-19 Kapitel 25.9 definierten lokalen Zonen gemäß ACI 318-19 25.9.3 manuell nachgewiesen werden. Der TBB wird daher nur verwendet, um ein Überschreiten des Dehnungskriteriums in der lokalen Zone und damit ein vorzeitiges Abbrechen der Berechnung zu vermeiden. Andererseits kann gemäß ACI 318-19, Abschn. 25.9.4.3.1 (b) die Bewehrung, die den Aufweit- und Abplatzspannungen in der Ebene widersteht, direkt und vorteilhaft in der Anwendung nachgewiesen werden.

5.5 Nachweise der Gebrauchstauglichkeit

Gebrauchstauglichkeitsnachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß ACI 318-19 auf ähnliche Weise wie für die Tragfähigkeit überprüft.

Spannungsbegrenzung

Zulässige Betondruckspannungen unter Gebrauchslast sind für vorgespannte Bauteile der Klasse U und T nachzuweisen. Gemäß Tabelle R24.5.2.1 ist kein Spannungsbegrenzungsnachweis für Beton erforderlich, der als gerissen angenommen wird. Der Benutzer muss die Klasse des vorgespannten Bauteils in den Bemessungsbauteileinstellungen festlegen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}\]

Die zulässige Druckspannung für Bauteile unter veränderlichen Lasten wird durch ACI 318-19 24.5.4.1 mit 0,6f_c' festgelegt. Der Druckspannungsgrenzwert von 0,45f_c' wurde eingeführt, um die Versagenswahrscheinlichkeit vorgespannter Betonbauteile infolge wiederholter Belastung zu verringern. Dieser Grenzwert erschien auch sinnvoll, um übermäßige Kriechverformungen auszuschließen. Bei höheren Spannungswerten nehmen die Kriechdehnungen mit zunehmender Spannung schneller zu.

Die Betondruckspannung wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c = σ_c₂aus der FE-Analyse für die Gebrauchstauglichkeit und dem Grenzwert bewertet, der auf Grundlage von Tabelle 24.5.4.1 festgelegt wird.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

In der Anwendung wird Vorspannung plus Dauerlast als Langzeitkombination und Vorspannung plus Gesamtlast als Kurzzeitkombination behandelt.

Durchbiegung

Abhängig vom gewählten Kombinationstyp (Langzeit oder Kurzzeit) wird entweder die Langzeit- oder die Kurzzeitdurchbiegung ausgewertet. Der maximal zulässige Durchbiegungswert ist vom Benutzer festzulegen und gemäß ACI 138-19 24.2 zu berücksichtigen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

In der Anwendung können die Durchbiegungen aus Eigengewicht Δ_DL und Nutzlast Δ_LL separat sowie die Gesamtdurchbiegung Δ_Tot(Eigengewicht + Nutzlast) angezeigt werden, jeweils zusammen mit der verformten Gestalt.

Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht nachgewiesen werden.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden für Gebrauchstauglichkeits-Kurzzeitkombinationen oder Langzeitkombinationen berechnet. Da ACI keine direkten Grenzrissbreiten vorschreibt, muss der Benutzer eine Grenzrissbreite w_lim festlegen.

Die Nachweise werden wie folgt dargestellt:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

wobei:

w Kurzzeit- oder Langzeit-Rissbreite, berechnet durch FE-Analyse,

w_lim vom Benutzer definierter Grenzwert der Rissbreite.

Die in der Anwendung verwendete Methode zur Berechnung der Rissbreiten, die auch in diesem Dokument ausführlicher beschrieben wird, entspricht ACI 224R-01. Es ist daher möglich, Tabelle 4.1 aus ACI 224R-01 zur Bestimmung des Grenzwerts der Rissbreiten zu verwenden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}\]

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten (stabilisierte und nicht stabilisierte Rissbildung). Im allgemeinen Fall (stabilisierte Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird dann aus den drei nächstgelegenen (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung) Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

6 Tragwerksnachweise nach AASHTO

6.1 Materialmodelle (AASHTO)

Beton - Tragfähigkeit

Das für Tragfähigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den AASHTO LRFD-Bemessungsannahmen für die Tragfähigkeit hinsichtlich Gleichgewicht und Dehnungskompatibilität. Gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 wird die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c₀ mit einem Maximalwert von 5 % angenommen, während AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt keine Überprüfung der Verformungskapazität von Bauteilen, die unter Druck versagen. Die Tragfähigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c₂, definiert in (Abb. 57)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des Abminderungsfaktors \(\eta_{fc}\) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

α₁ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist, definiert in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.2. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms ist die maximale Druckspannung um diesen Faktor zu reduzieren. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_cist der Widerstandsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

k_c₂ ist der Abminderungsfaktor infolge vorhandener Querrissbildung.

f'_c ist die Betonzylinderdruckfestigkeit (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen basiert wie der Betoneffizienzfaktor ν gemäß AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a und Tabelle 5.8.2.5.3a-1, mit dem Unterschied, dass im CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element überprüft wird (nicht nur für Knoten des Strebe-und-Zugband-Modells).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Tragfähigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast des Spannung-Dehnung-Diagramms des Betons unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (konsistent mit dem AASHTO LRFD-Ansatz für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit). Daher sind die vereinfachten Modelle für die Gebrauchstauglichkeit nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langzeiteffekte

Das Langzeit-Stoffgesetz (die rote Kurve in Abb. 59) wird für die Rissbreitenberechnung, die Gesamtdurchbiegung und die Spannungsbegrenzung von vorgespannten Bauteilen verwendet, wenn der Langzeiteffekt im oberen Menüband ausgewählt ist. In der Detail-Anwendung wird für den Langzeitnachweis der effektive Elastizitätsmodul verwendet, wie in AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1 erwähnt.

\[E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}\]

wobei:
E_c der Elastizitätsmodul ist, definiert in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.4
ψ der Kriechbeiwert ist, definiert in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.3.2

Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert.

Kurzzeiteffekte

Für Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Abb. 59 dargestellt.

Bewehrung

Es wird ein vollständig elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem definierten Fließpunkt für die schlaffe Bewehrung angenommen, siehe AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.3. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

wobei:

Φ_sder Widerstandsfaktor für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

10 % wird als Grenzdehnung gewählt, bei der die Berechnung abgebrochen wird. Dies gilt als sicher gemäß ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.

Zugverfestigung (Abb. 61) wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingangs-Spannung-Dehnung-Beziehung des freien Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

6.2 Widerstands- und Lastbeiwerte

Die Werte der Widerstandsbeiwerte sind in AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4 festgelegt. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung werden konservativ gewählt, basierend auf der Annahme, dass das typische Berechnungsbeispiel ein D-Bereich ist – ein typischer Anwendungsfall für die Strebe-und-Zugband-Methode. Es ist jedoch möglich, jeden Elementtyp zu modellieren. Wenn daher ein druck- oder zuggesteuertes Bauteil bewertet wird, hat der Anwender die Möglichkeit, den Wert des Abminderungsbeiwertes in den Einstellungen zu ändern.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Lastbeiwerte und Lastkombinationen sind gemäß AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 und Tabellen 3.4.1-1 bis 3.4.1-6 festzulegen. AASHTO LRFD legt explizit die Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (Strength I bis Strength V) sowie die Lastkombinationen auf Gebrauchslastniveau (Service I bis Service IV) einschließlich der entsprechenden Lastbeiwerte für jeden Fall fest.

Für jede Vorlage enthält das Programm vordefinierte Grundkombinationen, die je nach dem zu bearbeitenden Bauteil zu vervollständigen sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

6.3 Grenzzustand der Tragfähigkeit

Die verschiedenen von AASHTO geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim bewertet.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu bewertet.

Da die Verbundfestigkeit in AASHTO jedoch nicht explizit definiert ist, muss ihr Wert mithilfe der Gleichungen bestimmt werden, die die Verankerungslänge definieren. Die Verbundfestigkeit ist tatsächlich die primäre Eingangsgröße zur Bestimmung der Verankerungslänge; siehe beispielsweise AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 oder NCHRP Report 733, Attachment E Seite E-9.

Die in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 und 5.10.8.2.2 beschriebene Berechnung, die Kenntnisse des maximalen Achsabstands der Querbewehrung innerhalb von l_d, der Anzahl der entlang der Spaltebene verankerten Stäbe oder Drähte, der gesamten Querschnittsfläche aller Querbewehrungselemente und anderer geometrischer Größen erfordert, die im Detail-Anwendungsmodell für allgemeine Eingaben nicht zuverlässig bestimmt werden können, wurde ein Ansatz aus AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 auf folgende Weise übernommen:

Es wird angenommen, dass wenn ein Bewehrungsstab bis zur Verankerungslänge l_d oder darüber hinaus in einen Betonblock verankert wird, das Herausziehen der Bewehrung zum Bruch der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies kann mit folgender Formel ausgedrückt werden.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}\]

wobei:

d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist
l_d die Verankerungslänge ist
f_bu die Verbundfestigkeit ist
f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist
A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist

Aus dem Vorstehenden lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten.

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Die grundlegende Verankerungslänge auf Zug l_db wird in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 wie folgt bestimmt:

Für Stäbe Nr. 11 und kleiner: \(l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)\)

Für Stäbe Nr. 14: \(l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}\)

Für Stäbe Nr. 18: \(l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}\)

wobei:

A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist (in²)
f_y die festgelegte Streckgrenze der Bewehrung ist (ksi)
f'_c die festgelegte Druckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen, sofern kein anderes Alter angegeben ist (ksi)
d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist (in)

Durch Multiplikation der grundlegenden Verankerungslänge l_db mit den in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 und 5.11.2.1.3 beschriebenen Faktoren wird die Verankerungslänge l_d als Eingangsgröße bestimmt.

Modifikationsfaktoren, die die Verankerungslänge gemäß 5.11.2.1.3 verringern, sind in der Anwendung stets gleich 1,0. Der Modifikationsfaktor für obere horizontale oder nahezu horizontale Bewehrung ist für „schlechte" Verbundbedingungen gemäß der folgenden Abbildung gleich 1,4:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a) b) 'good' bond conditions for all bars; c) d) unhatched zone – 'good' bond conditions, hatched zone – 'poor' bond conditions}}}\]

Die Betonierrichtung kann in der Anwendung eingestellt werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}\]

Alle anderen in 5.11.2.1.2 bestimmten Faktoren sind gleich 1,0, da nur normalgewichtiger Beton und nur unbeschichtete Bewehrung unterstützt werden.

Die Verbundschubspannung und die Verbundfestigkeit von Stäben auf Druck werden analog zu Stäben auf Zug berechnet, jedoch werden Gleichungen aus AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 verwendet.

Es gibt auch eine Option zur Modellierung von glatten Bewehrungsstäben. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

\[F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}\]

wobei A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_aund der Verbundkraft F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus dem Betrag des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die verfügbaren Verankerungstypen in CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Reduzierung des Verankerungsendes), einen 90-Grad-Haken, einen 180-Grad-Haken, vollständigen Verbund und einen durchgehenden Stab. Alle diese Typen sowie die jeweiligen Verankerungskoeffizienten β sind in Abb. 67 für Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungskoeffizienten werden aus dem Vergleich der Gleichung aus Abschnitt AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 und den Gleichungen aus Abschnitt AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduzierung der Verankerungslänge, (ii) eine Reduzierung von 30 % der Verankerungslänge im Fall einer normierten Verankerung und (iii) vollständiger Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Der Verankerungskoeffizient für Bügel (verfügbar für Trägerelemente) ist stets β = 1,0.

Um AASHTO zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den β-Koeffizienten modifiziert, sodass der Anwender bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss.

6.4 Widerstand von Auflagerzonen und Verankerungszonen – Teilflächenbelastung

Bei der Bemessung von Betonkonstruktionen begegnen wir zwei großen Gruppen von Teilflächenbelastungen (TFB) – die erste umfasst Auflager, während die andere aus Verankerungszonen besteht.

Gemäß den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstrukturen sollten lokales Quetschen des Betons und Querzugkräfte für Auflager berücksichtigt werden. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A₁ kann die Drucktragfähigkeit des Betons in Abhängigkeit von der Bemessungsverteilungsfläche A₂ um bis zum Zweifachen erhöht werden. Siehe AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}\]

Für vorgespannte Verankerungszonen ist AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.8.4.4 zu beachten.

Die Teilfläche muss ausreichend mit Querbewehrung bewehrt sein, die so bemessen ist, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltzugkräfte überträgt. Ohne die erforderliche Querbewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons in Betracht zu ziehen.

Teilflächenbelastungen in CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Mit CSFM ist es möglich, Stahlbetonstrukturen zu bemessen und zu bewerten, wobei der Einfluss des erhöhten Druckwiderstands des Betons in Teilflächenbereichen berücksichtigt wird. Da CSFM ein Wandmodell (2D) ist und Teilflächenbelastungen eine räumliche (3D) Aufgabe darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Fig. 69). Wenn die Funktion „Teilflächenbelastungen" aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß ACI (Fig. 68) erstellt. Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die angegebene Betonbauteilgeometrie und die Abmessungen jeder TFB gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der Teilflächenbelastung erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, hauptsächlich weil die Zuordnung von Eigenschaften zum Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegel-Geometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Fig. 70 und Fig. 71). Diese Druckstreben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Druckstreben, die die Last schrittweise von der TFB auf die Bemessungsverteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Druckstreben ist in jedem Teil des Kegels variabel und addiert eine fiktive Betonfläche in Lastrichtung. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A₁) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis \(\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}\) hinzugefügt (wobei A_real die im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist), und diese Fläche nimmt linear bis auf null zur Bemessungsverteilungsfläche (A₂) hin ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}} - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Der Widerstand der Teilfläche wird gemäß dem Verhältnis der Bemessungsverteilungsfläche zur belasteten Fläche erhöht, wie in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5 festgelegt. Es ist zu beachten, dass es sich hierbei um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einer Teilfläche nicht exakt beschreiben kann, da der tatsächliche Verlauf wesentlich komplizierter ist. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit der Teilfläche. Darüber hinaus werden in diesem Bereich korrekt Querspannungen eingeführt, um die Bewehrung für Spaltzugkräfte korrekt zu bemessen.

Die zulässige Auflager-Druckspannung von 0,85f_c' ist in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.8.4.4 angegeben. Die Dichte ist so begrenzt, dass die in Formel 5.6.5-3 angegebene maximale doppelte Tragfähigkeit nicht überschritten wird.

Für die Verankerungszonen wird TFB in der Anwendung auf die gleiche Weise wie für Auflager verwendet. Daher müssen die Druckspannungen in den lokalen und globalen Zonen, die in den Artikeln 5.8.4.4 und 5.8.4.5 definiert sind, manuell überprüft werden. Die TFB wird daher nur verwendet, um ein Überschreiten des Dehnungskriteriums in der lokalen Zone und damit ein vorzeitiges Abbrechen der Berechnung zu vermeiden. Andererseits kann die Bewehrung, die den Aufweitungskräften, den Abplatzungskräften in der Ebene und den Randspannungen in allgemeinen Zonen (definiert in Artikel 5.8.4.5) widersteht, direkt und vorteilhaft in der Anwendung nachgewiesen werden.

6.5 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Gebrauchstauglichkeitsnachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß AASHTO LRFD auf ähnliche Weise wie für die Tragfähigkeit überprüft.

Spannungsbegrenzung

Die Betondruckspannung wird nur für vorgespannte Bauteile ausgewertet (wenn der Vorspannungslastfall im Modell vorhanden ist), als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c = σ_c₂aus der FE-Analyse für die Gebrauchstauglichkeit und den Grenzwerten, die auf Grundlage von AASHTO LRFD Tabelle 5.9.2.3.2a-1 festgelegt werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

In der Anwendung wird Vorspannung plus ständige Last als Dauerbelastung behandelt und Vorspannung, ständige und veränderliche Last als Gesamtbelastung.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}\]

Darüber hinaus ist es stets möglich, eine Analyse sowohl für Kurzzeiteffekte als auch für Langzeiteffekte durchzuführen, unter Verwendung von Materialmodellen, die den Kriechbeiwert berücksichtigen oder nicht berücksichtigen – siehe Abschnitt „Materialmodelle (AASHTO)".

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}\]

Durchbiegung

Sofortige Durchbiegungen und Gesamtdurchbiegungen werden für jede Kombination ausgewertet, für die die Durchbiegungsauswertung aktiviert ist.

Für sofortige Durchbiegungen wird der Elastizitätsmodul E_c gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.4 verwendet.
Für Gesamtdurchbiegungen wird der effektive Elastizitätsmodul E_c,eff gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel C5.12.5.3.6 verwendet.

Siehe Kapitel 'Materialmodelle (AASHTO) - Beton – Gebrauchstauglichkeit' in diesem Dokument.

Der Durchbiegungsnachweis selbst wird im oberen Menüband aktiviert. Der Anwender legt die Durchbiegungsgrenzwerte gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 2.5.2.6.2 fest, abhängig vom Typ des analysierten Bauteils.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht nachgewiesen werden.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden nur für Langzeiteffekte berechnet (unter Verwendung von E_c,eff gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel C5.12.5.3.6) für Kombinationen, bei denen die Rissbreitenauswertung aktiviert ist. Nachweise auf Basis benutzerdefinierter Grenzwerte erfolgen wie folgt:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

wobei:

w aus der FE-Analyse berechnete Rissbreite,

w_lim vom Benutzer definierter Grenzwert der Rissbreite.

Der Grenzwert w_lim ist auf Grundlage des Bauteiltyps und der Expositionsklasse gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.7 und dessen Kommentar zu bestimmen.

7 Tragwerksnachweise nach australischer Norm AS 3600 (2018)

Die Bewertung der Struktur mit dem CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Bemessungslastkombinationen der Tragfähigkeit. Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse setzt voraus, dass das Verhalten unter Bemessungslasten zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Gebrauchstauglichkeitsniveau nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Stoffgesetze (mit einem linearen Ast des Beton-Spannung-Dehnung-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern.

Das CSFM ist ein Tragwerksanalyseverfahren, das die allgemeinen Regeln in den Abschnitten 6.1.1 und 6.1.2 erfüllt und als (f) nichtlineare Spannungsanalyse in Abschnitt 6.1.3 – weiterführend in Abschnitt 6.6 – definiert ist.

Die Analyse mit dem CSFM berücksichtigt alle relevanten nichtlinearen und inelastischen Effekte (außer Schwinden), die in 6.6.3 definiert sind.

Um die Anforderungen der Abschnitte 6.6.4 und 6.6.5 zu erfüllen – weitere Informationen finden sich in AS3600:2018 Sup 1:2022, Abschnitt C6.6 – wurden Verifikationen und Validierungen des Verfahrens an verschiedenen Universitäten durchgeführt. Einzelne Artikel, die die Ergebnisse der Verifikation und Validierung zusammenfassen, sind unter folgendem Link zu finden.

Verifikationen: Detail 2D

Da IDEA StatiCa Detail ein praxisorientiertes Bemessungsprogramm ist, wird für die Berechnungen die abgeminderte charakteristische Zylinderdruckfestigkeit nach 28 Tagen f'_c verwendet, wie im nächsten Kapitel beschrieben.

7.1 Materialmodelle (AS 3600)

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannung-Dehnung-Kurve. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es bei der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Maximalspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c₀ mit einem Maximalwert von 5 % angenommen, während AS 3600 Cl. 8.3.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt keine Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die unter Druck versagen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c₂, definiert in (Abb. 77)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des Abminderungsfaktors \(\eta_{fc}\) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

α₂ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit gemäß AS 3600 Cl. 8.3.1 ist
Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms ist es erforderlich, die maximale Druckspannung um diesen Faktor zu reduzieren. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckkraft kleiner oder gleich der Druckkraft ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem abfallenden plastischen Ast berechnet wird. Ein analoges Vorgehen ist für den Rechteck-Spannungsblock in Kapitel 8.1.3 definiert.

Φ_sist der Spannungsabminderungsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß AS 3600 Tabelle 2.2.3 festgelegt.

β ist der Abminderungsfaktor infolge des Vorhandenseins von Querrissen (in diesem Text auch als k_c₂ bezeichnet)

f'_c ist die Betonzylinderdruckfestigkeit (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 77\qquad The compression softening law.}}}\]

β ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Grundsätzen basiert wie ein effektiver Druckfestigkeitsfaktor, der in Kapitel 2.2.3 definiert ist. Die Literatur, auf deren Grundlage dieser Faktor bestimmt wird, ist (einschließlich des Kontexts der Norm AS3600) in AS3600:2018 Sup 1:2022 CL. C2.2.3 zu finden.

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von AS3600 gefordert). Daher sind die vereinfachten Modelle für die Gebrauchstauglichkeit nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 78\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langzeiteffekte

Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse werden die Langzeiteffekte des Betons mithilfe des Bemessungskriechbeiwertes gemäß AS 3600 CL 3.1.8 (φ_cc, standardmäßig mit dem Wert 2,5 angesetzt) berücksichtigt, der den Sekantenelastizitätsmodul des Betons (E_c) wie folgt modifiziert:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\varphi_{cc}}\]

Lastinkremente werden sequenziell in der Reihenfolge berechnet: Vorspannung – Ständige Last – Veränderliche Last, wobei für jedes Inkrement der entsprechende effektive Elastizitätsmodul gemäß Abb. 78 verwendet wird. Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert und sind gemäß AS 3600 CL 3.1.8.3 zu berechnen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 79\qquad Definition of the design creep factor}}}\]

Kurzzeiteffekte

Bewehrung

Es wird ein vollständig elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem definierten Fließpunkt für die nicht vorgespannte Bewehrung angesetzt, siehe AS 3600 Abschnitt 3.2. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Bewehrungseigenschaften – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 80 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

wobei:

Φ_sder Festigkeitsabminderungsfaktor für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß AS 3600 Tabelle 2.2.3 festgelegt.

f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist

E_s der Elastizitätsmodul der Bewehrung ist

Die Zugverfestigung (Abb. 81) wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingangs-Spannung-Dehnung-Beziehung des unbewehrten Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 81\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

7.2 Spannungsreduzierung und Lastfaktoren

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht den modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle ausschließlich standardmäßige Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwert-Format ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten mit Lastfaktoren multipliziert und die charakteristischen Materialeigenschaften mithilfe der jeweiligen Spannungsreduzierungsfaktoren abgemindert – genau wie bei der konventionellen Betonbemessung.

Die Werte der Spannungsreduzierungsfaktoren sind in AUS 3600 Abschn. 2.2.3 festgelegt. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung werden gemäß Tabelle 2.2.3 festgelegt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 82\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Lastfaktoren für Tragfähigkeitskombinationen sind gemäß AS 3600 Abschn. 4.2.2 zu definieren. Lastfaktoren für Gebrauchstauglichkeitskombinationen sind gemäß Tabelle 4.1 zu bestimmen. Für alle Vorlagen sind die Lastfaktoren bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 83\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

7.4 Nachweise der Gebrauchstauglichkeit

Gebrauchstauglichkeitsnachweise werden für Rissbreiten und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt.

Durchbiegung

Abhängig vom gewählten Kombinationstyp (Langzeit oder Kurzzeit) wird entweder die Langzeit- oder die Kurzzeitdurchbiegung ausgewertet. Der maximal zulässige Durchbiegungswert ist vom Anwender festzulegen und gemäß AS 3600 Cl. 2.3.2 zu berücksichtigen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 87\qquad Maximum allowable deflection values}}}\]

In der Anwendung können die Durchbiegungen aus ständiger Last Δ_PL und veränderlicher Last Δ_IL separat sowie die Gesamtdurchbiegung Δ_Tot(ständig + veränderlich) angezeigt werden, jeweils zusammen mit der verformten Gestalt.

Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht nachgewiesen werden.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden für Gebrauchstauglichkeits-Kurzzeitkombinationen oder Langzeitkombinationen berechnet. Die Methode zur direkten Berechnung von Rissbreiten in der Anwendung entspricht der Methode gemäß AS 3600 8.6.2.3 (basiert darauf).

Die Nachweise werden wie folgt dargestellt:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

wobei:

w kurz- oder langfristige Rissbreite, berechnet durch FE-Analyse,

w_lim Grenzwert der Rissbreite, vom Anwender festgelegt.

Empfohlene maximale Rissbreiten sind in AS3600:2018 Sup 1:2022 Tabelle C2.3.3.1 zu finden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 88\qquad Recommended final design crack widths}}}\]

Alternativ dazu, gemäß AS3600:2018 Sup 1:2022 Cl. C8.6.1 – Für Bauwerke, die Langzeit-Gebrauchslasten ausgesetzt sind, werden folgende Empfehlungswerte für w_lim angegeben:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 89\qquad Recommended values for the limit value of the crack width for beams based on exposure classes}}}\]

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten (stabilisierte und nicht-stabilisierte Rissbildung). Im allgemeinen Fall (stabilisierte Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird dann aus den drei nächstgelegenen Integrationspunkten (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung) der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

8 Vorspannung – Modellbeschreibung

8 Einführung und Materialmodelle

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) ist eine Berechnungsmethode auf Basis von 2D-Ebenenzuständen, bei der Beton mit 2D-Finiten Elementen modelliert wird, an die 1D-Bewehrungselemente über Randbedingungen angeschlossen sind. Dem Modell können auch spezielle 1D-Elemente hinzugefügt werden, die vorgespannte Bewehrung darstellen, welche als Vorspannung im Verbund (Vorspannung vor dem Betonieren) oder als Nachspannen modelliert werden kann.

Vorgespannte Bewehrung wird ähnlich wie konventionelle Bewehrung mit linearen Elementen modelliert, die die Normalkraft übertragen. Jedes einzelne vorgespannte Bewehrungselement ist durch seine Querschnittsfläche und Materialeigenschaften charakterisiert. Diese Eigenschaften werden durch die charakteristische Materialkurve gemäß der verwendeten Norm (EN 1992-1-1, ACI 318-19 usw.) definiert.

EUROCODE

Spannung-Dehnung-Diagramm der Spannbewehrung: a) Spannung-Dehnung-Diagramm gemäß EN 1992-1-1; b) Anfangsdehnung für vorgespannte Bewehrung (Vorspannung vor dem Betonieren)

ACI

Spannung-Dehnung-Diagramm der Spannbewehrung: a) Spannung-Dehnung-Diagramm; b) Anfangsdehnung für vorgespannte Bewehrung (Vorspannung vor dem Betonieren)

Die Bewehrungselemente sind über ein Verbundmodell mit den 2D-Elementen des Betonmodells verbunden, ebenso wie die klassische Betonbewehrung.

Lesen Sie Finite-Element-Typen

Die Verbundmodellelemente ermöglichen die relative Verformung der Spannbewehrung und des Betons mit geeigneten nichtlinearen Eigenschaften. Dies modelliert korrekt den Verbund der Bewehrung mit dem Beton sowie das Verankerungsmodell der vorgespannten Bewehrung (Vorspannung vor dem Betonieren). Die Endausbildungen der nachgespannten Bewehrung, z. B. die Ankerplatte, werden durch ein Element mit einer Steifigkeit modelliert, die dem Anker am Ende der Spannbewehrung entspricht, und die Endvorspannkraft wird als Flächenlast über eine Fläche entsprechend der Ankerplattengröße in das Betonmodell eingetragen. Das Modell kann den lokalen dreiachsigen Spannungszustand im Bereich unterhalb des Ankers nicht korrekt beschreiben; dieser Bereich muss gesondert betrachtet werden.

Die Zugverfestigung der Bewehrung infolge von Betonwechselwirkungen wird bei der Spannbewehrung nicht berücksichtigt, da der Beton in der Umgebung der Spannbewehrung als druckbeansprucht angenommen wird.

Vorspannung vor dem Betonieren

Die Bewehrung wird vor dem Betonieren des Bauteils vorgespannt; die Spannbewehrung wird dabei nahezu immer geradlinig geführt, sodass keine Reibungsvorspannverluste auftreten. Sobald die erforderliche Betondruckfestigkeit erreicht ist, wird die Bewehrung von den Ankerbänken gelöst, wodurch die Spannbewehrung aktiviert und die Kräfte von der Bewehrung auf den Beton übertragen werden. Dieser Effekt ist physikalisch äquivalent zur Unterkühlung der Bewehrung und wird durch eine Anfangsdehnung ähnlich der thermischen Beanspruchung modelliert. Dies ergibt ein Spannung-Dehnung-Diagramm der Spannbewehrung, wie in der obigen Abbildung unter b) dargestellt. Das Berechnungsmodell berechnet automatisch die Verformungsantwort der Struktur auf die aufgebrachte Vorspannung und bestimmt damit direkt die Vorspannverluste durch elastische Dehnung des Bauteils.

Da die Vorspannkraft und damit auch die Vorspannspannung σ_pmo bekannt sind, wird das Materialdiagramm der Bewehrung für die Spannungsabhängigkeit von der Verformung verwendet und kann wie folgt geschrieben werden:

\[{{σ}_{p}}=~{{f}}({{ε}}-{{ε}_{0}})\]

Unter der Annahme, dass die Vorspannung in der Bewehrung unterhalb der Streckgrenze liegt (d. h. die in EN 1992-1-1, Abschnitt 5.10.3 definierten Bedingungen erfüllt sind), kann die Anfangsverformung auch wie folgt berechnet werden:

\[{{ε}_{0}}=\frac{{{σ}_{pm0}}}{{{E}_{p}}}\]

ε₀ - Anfangsdehnung aus der Vorspannung
σ_pm0 - Spannung unmittelbar vor dem Lösen
E_p - Elastizitätsmodul der Spannbewehrung

Die Vorspannung vor dem Betonieren ist dadurch gekennzeichnet, dass die Verankerung der Enden durch verschiedene Mechanismen erfolgt – Adhäsion zwischen Bewehrung und Beton auf molekularer Ebene, die an der Grenzfläche zwischen Bewehrungsoberfläche und Beton entstehende Reibung, das mechanische Eindrücken der spiralförmigen Bewehrung in den Beton sowie die Zunahme des Durchmessers der Spannbewehrung, bekannt als Keilmechanismus oder Hoyer-Effekt. Die genannten Effekte werden im CSFM-Berechnungsmodell durch Modifikation der Eigenschaften des Verankerungsmodells im Endbereich der vorgespannten Bewehrung berücksichtigt.

Wechselwirkung zwischen vorgespannter Bewehrung und Beton: a) spiralförmige Bewehrung, die sich in den Beton eindrückt; b) Hoyer-Effekt

Nachspannen

Die Spannbewehrung wird nach dem Betonieren der Struktur vorgespannt. Das Spanngerät stützt sich direkt in der Struktur ab, wodurch die Verluste durch elastische Verformung der Struktur infolge der Vorspannung entfallen. Sobald die gewünschte Vorspannkraft erreicht ist, wird die Bewehrung verankert und anschließend werden die Hüllrohre verpresst, wodurch ein Verbund der Bewehrung mit der Struktur hergestellt wird. Bei der Modellierung nachgespannter Bewehrung wird die Berechnung daher in mehrere Lastschritte unterteilt – Vorspannen, Aufbringen weiterer ständiger Lasten und Aufbringen veränderlicher Lasten.

Finite-Elemente-Betonvernetzung mit angeschlossenen 1D-Spannbewehrungselementen:

Lastschritt „Vorspannen"

Beim Vorspannen der Bewehrung wird die Steifigkeit der Bewehrung nicht in die Steifigkeit der Struktur einbezogen. In diesem Lastschritt wird die Steifigkeit des linearen Elements im Modell nicht berücksichtigt; die Bewehrungselemente werden durch eine Ersatzlast ersetzt, die der Vorspannspannung und der Bewehrungsquerschnittsfläche entspricht, wie in der obigen Abbildung dargestellt. Nach Erreichen der vollen Last aus der Vorspannung und Konvergenz dieses Lastschritts wird die Verformung des jeweiligen linearen Elements ausgelesen; anhand der Verformung wird die Anfangsdehnung ε₀ der einzelnen linearen Elemente der Spannbewehrung bestimmt.

Die Vorspannspannung kann manuell entlang der Bewehrungslänge definiert oder automatisch auf Basis der Bewehrungsgeometrie berechnet werden. Wird die automatische Verlustberechnung gewählt, werden Reibungsverluste (gemäß EN 1992-1-1, 5.10.5.2, oder ACI 318-19, 20.3.2) sowie der Bewehrungsschlupf (Einpressen der Ankerkeile) beim Verankern berücksichtigt. Da alle Spannbewehrungen in einem Schritt aufgebracht werden, werden Verluste durch sukzessives Vorspannen nicht berücksichtigt.

Nachfolgende Lastschritte mit aktivierter Spannbewehrung

In den folgenden Lastschritten (Aufbringen weiterer ständiger und veränderlicher Lasten) wird dasselbe Vorgehen wie bei der Vorspannung vor dem Betonieren angewendet. Die volle Steifigkeit der Spannbewehrung wird berücksichtigt, der Verbund zwischen der Bewehrung und dem umgebenden Beton wird berücksichtigt, und das Spannung-Dehnung-Diagramm der Spannbewehrung wird durch die Anfangsdehnung ε₀ modifiziert. Diese Dehnung ist für jedes Element unterschiedlich und wurde aus dem vorherigen Lastschritt „Vorspannen" gewonnen. Aufgrund des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton wird die Änderung der Vorspannung infolge der elastischen Verformung der Struktur durch die äußere Last im Modell korrekt berücksichtigt.

Kostenlosen Test starten

Literaturverzeichnis

ACI Committee 318. 2019. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-19) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. "The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete." The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. "Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members." ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. "Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model." IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. "On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete." ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. "Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany."AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. "Structural Concrete: Cracked Membrane Model." Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. "Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces." Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. "Truss Models in Detailing." Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. "Tension Chord Model for Structural Concrete." Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. "Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera)." PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. "Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke." Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. "Toward a Consistent Design of Structural Concrete." PCI Journal 32 (3): 74–150.

Standards Australia. 2018. Concrete Structures (AS 3600:2018). Sydney, NSW: Standards Australia.

Standards Australia. 2022. Concrete Structures – Commentary (Supplement 1 to AS 3600:2018). Sydney, NSW: Standards Australia.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. "The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear." ACI Journal 83 (2): 219–31.

IDEA StatiCa Detail - Statische Bemessung von Betondiskontinuitäten

Navigation

Tragwerksbezogene Bemessung von Betonunstetigkeiten in IDEA StatiCa Detail

1 Einführung in die CSFM-Methode