IDEA StatiCa RCS – 1D 콘크리트 부재의 구조 설계

EN 1992-1-1 및 EN 1992-2에 따른 철근 콘크리트 단면 설계.

휨
전단력
비틀림
상호작용
응력 제한 검토
균열 제어
N-M-κ 선도
문헌

휨

단면 내력 검토 방법

1D 콘크리트 부재의 극한 한계 상태를 검토하는 데 두 가지 잘 알려진 방법을 사용할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 상호작용 영역 또는 상호작용 다이어그램(한 방향 휨 모멘트의 경우) 형태로 단면의 극한 강도를 제공합니다. 단면 내력은 작용 내력과 한계 상태 내력의 비율로 결정할 수 있습니다. 두 번째 방법은 단면에서의 평형을 찾는 것으로, 하중을 받는 단면의 실제 거동, 응력 측면에서의 재료 활용도, 그리고 단면의 취약점에 대한 통찰을 파악합니다.

극한 한계 상태에 대한 일반 설계 가정 및 계산 가정 

1. 철근 및 콘크리트의 변형률 ε은 중립축으로부터의 거리에 직접 비례한다고 가정합니다(평면 단면은 평면을 유지).
2. 철근과 콘크리트의 상호작용은 슬립 없이 콘크리트와 철근의 상호작용으로 확보됩니다(변형률 ε은 인접한 콘크리트 섬유의 변형률과 동일).
3. 콘크리트의 인장 강도는 무시합니다(모든 인장 응력은 철근이 전달).
4. 압축 구역의 콘크리트 압축 응력은 응력-변형률 다이어그램으로부터 계산된 변형률에 따라 산정합니다.
5. 철근 응력은 응력-변형률 다이어그램의 변형률에 따라 산정합니다.
6. 극한 변형률 한계 ε_cu2(압축 하의 콘크리트에 대한 포물선-직사각형 다이어그램) 및 ε_cu3 (이선형 응력-변형률 관계)를 갖는 콘크리트 압축 변형률, [2].
7. 철근의 압축 변형률은 수평 소성 상단 분기의 경우 제한이 없으며, 경사 소성 상단 분기의 경우 변형률은 ε_ud로 제한됩니다,[2].
8. 재료 중 하나 이상의 상태가 극한 한계 변형률을 초과할 때 한계 상태로 간주합니다(εu가 제한되지 않는 경우, 압축 콘크리트가 지배).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

상호작용 다이어그램

첫 번째 옵션은 상호작용 곡면 (또는 상호작용 다이어그램)으로 단면을 검토하는 것입니다. 아래 그림의 예시에서 철근 정사각형 단면에 대한 상호작용 곡면 샘플을 통해 설명을 제공합니다. 상호작용 곡면에는 검토 단면의 극한 한계 상태를 정의하는 점들이 위치합니다. 상호작용 곡면은 재료 중 하나에서 극한 한계 변형률에 도달한 단면에서의 응력 적분으로 결정되는 점(N, My, Mz)으로부터 작성됩니다. 3D 상호작용의 경우, 곡면은 2D 상호작용 다이어그램으로부터 유도될 수 있으며, 이는 지속적으로 회전하는 중립축의 응력에 해당하는 폐곡선입니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

y축에 대해 대칭인 단면의 경우, 상호작용 다이어그램은 N-M_y 평면에 대해 대칭입니다. 마찬가지로, z축에 대해 대칭인 단면의 경우, 상호작용 다이어그램은 N-M_z 평면에 대해 대칭입니다. 단면 한쪽에만 철근이 배치된 경우 상호작용 다이어그램은 납작한 형태를 나타냅니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

극한 한계 상태를 정의하는 점들은 응력 적분으로부터 산출됩니다.  아래 그림은 극한 한계 상태에서의 변형률을 나타냅니다.

극한 한계 상태에서의 변형률 분포 ([2]에서 인용).

상호작용 다이어그램은 축력 및 휨 모멘트 하에서의 단면 파괴를 나타냅니다. [1]

2D 다이어그램 문제(상호작용 곡면 위에 놓인 폐곡선)를 고려하면, 변형률 평면이 중립축과 임계점 [y, z, ε]을 통과하며, 이를 임계점 R로 간주합니다.  점 [y, z]는 극한 한계 상태에서의 변형률 ε 값을 갖는 단면 내의 점을 정의합니다. 중립축의 경사는 2D 다이어그램의 모든 점에 대해 일정합니다.

콘크리트의 압축 응력이 설계에 지배적인 경우, 점 R은 가장 먼 압축 콘크리트 섬유 또는 한계점 C에 해당합니다. 그러나 이는 단면이 하나의 콘크리트 종류로만 구성된 경우에만 적용할 수 있으며, 혼합 단면에는 적용되지 않습니다.   

철근의 인장 응력이 설계에 지배적인 경우(하나 이상의 철근에서 극한 한계 상태의 변형률 ε_ud가 초과된 경우), 주어진 변형률 평면에 대해 다른 어떤 철근에서도 ε_ud 가 초과되지 않는 조건이 충족되어야 합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

위의 그림은 다이어그램이 두 부분으로 나뉠 수 있음을 보여줍니다: 인장력에 의해 파괴가 발생하는 부분과 압축력에 의해 파괴되는 부분. 한계점은 위의 경우에 해당하며, 변형률 평면의 극단적인 경사도 확인할 수 있습니다. 상호작용 다이어그램을 작성할 때 단면의 평면 변형률 경사는 이 범위 내에서 변화하며, 점 R을 찾습니다(위 참조). 그렇게 정의된 평면을 기반으로 극한 한계 상태에서의 응력을 구하기 위해 적분을 수행합니다.

축력 및 휨 모멘트를 받는 단면 검토

축력 및 휨 모멘트를 받는 단면의 검토는 검토 대상 응력 조합(N_d, M_yd, M_zd)이 상호작용 영역의 내부 또는 표면에 위치함을 증명하는 것입니다. 이를 위해 다양한 방법을 사용할 수 있습니다. 다음 예시는 N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm의 힘을 받는 직사각형 단면의 검토를 보여줍니다.

NuMuMu 방법

단면의 저항을 정의하기 위해 상호작용 곡면이 형성될 때까지 모든 내력 성분이 비례적으로 변화한다고 가정합니다(축력의 편심은 일정하게 유지). 관련 내력의 변화는 좌표계의 원점(0,0,0)과 내력(N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z)으로 정의된 점을 연결하는 직선을 따라 이동하는 것으로 해석할 수 있습니다. 이 직선과 상호작용 곡면의 두 교점은 극한 한계 상태에서의 두 가지 내력 집합을 나타냅니다. 각 교점에서 프로그램은 한계 상태에서의 세 가지 힘을 결정합니다: 설계 축력 저항 N_Rd 및 이에 대응하는 설계 저항 모멘트 M_Rdy, M_Rdz.

NuMM 방법 

단면의 저항을 정의하기 위해 상호작용 곡면이 형성될 때까지 축력은 일정하게 유지(작용 설계 축력과 동일)하고 휨 모멘트는 비례적으로 변화한다고 가정합니다. 관련 내력의 변화는 점(N_Ed,0,0)과 작용 내력(N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z)으로 정의된 점을 연결하는 직선을 따라 수평 평면 내에서 이동하는 것으로 해석할 수 있습니다. 이 직선과 상호작용 곡면의 두 교점은 극한 한계 상태에서의 두 가지 내력 집합을 나타냅니다. 각 교점에서 프로그램은 한계 상태에서의 세 가지 힘을 결정합니다: 설계 저항 모멘트 M_Rdy, M_Rdz 및 (이에 대응하는) 작용 설계 축력 N_Ed.

NMuMu 방법 

단면의 저항을 정의하기 위해 상호작용 곡면이 형성될 때까지 축력은 일정하게 유지(작용 설계 축력과 동일)하고 휨 모멘트는 비례적으로 변화한다고 가정합니다. 관련 내력의 변화는 점(N_Ed,0,0)과 작용 내력(N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z)으로 정의된 점을 연결하는 직선을 따라 수평 평면 내에서 이동하는 것으로 해석할 수 있습니다. 이 직선과 상호작용 곡면의 두 교점은 극한 한계 상태에서의 두 가지 내력 집합을 나타냅니다. 각 교점에서 프로그램은 한계 상태에서의 세 가지 힘을 결정합니다: 설계 저항 모멘트 M_Rdy, M_Rdz, 및 (이에 대응하는) 작용 설계 축력 N_Ed.

단면 응답 산정

단면을 검토하는 또 다른 방법은 단면 응답(즉, 작용 내력으로부터의 변형률 및 응력 분포)을 산정하는 것입니다. 이 방법은 한계 변형 방법으로도 알려져 있습니다. 각 섬유(평면 휨의 경우 각 층)에서의 작용 응력 수준과 각 철근봉에서의 응력은 재료의 응력-변형률 다이어그램의 변형률에 따라 계산됩니다.
단면 응답 산정은 [6]에 명시된 수치 방법을 사용하여 계산됩니다. 원리는 전달되지 않은 힘의 불균형 성분에 의해 단면에 점진적으로 하중을 증가시키는 것입니다. 이는 응력-변형률 다이어그램을 사용하여 단면에 걸쳐 응력을 적분함으로써 산출됩니다. 응력-변형률 다이어그램에서 변형률에 대한 응력값을 찾을 수 있는 경우, 아래 그림 (a) 참조, 선형 탄성 재료를 가정하면 계산된 응력은 정확합니다. 경우 (b)와 (c)에서는 선형 계산에 의한 응력이 비현실적인 값에 도달하며, 일부 (b) 또는 전체 값 (c)이 재료에 의해 전달될 수 없습니다. 전달되지 않은 응력을 적분하면 전달되지 않은 내력을 얻을 수 있으며, 그 합력은 변동 하중의 내력에 추가되어야 합니다. 

응력-변형률 다이어그램에서 전달되지 않은 응력. [4]

전달되지 않은 내력. [4]

이 계산 방법은 단면 면적에 걸쳐 응력을 적분하고 단면에서의 평형 방정식의 비선형 해석을 위해 수치 방법의 사용이 필요합니다. 반복 계산은 수렴 기준이 충족될 때 종료됩니다.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

여기서 

F_e 는 단면 하중,

F_i 는 단면 응답(변형률 평면을 기반으로 계산된 내력)입니다.

a가 근사값이고 b가 정확한(참) 값인 경우, 절대 편차는 다음 식으로 표현됩니다.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

상대 편차는 다음 식으로 표현됩니다:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

대부분의 프로그램에서 이러한 수렴 기준을 설정할 수 있습니다(기본값은 상대 오차 1%, 축력의 절대 오차 100 N, 모멘트의 절대 오차 100 Nm). 

따라서 N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm을 입력값으로 하고 반복 계산 후 적분된 내력이 N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm인 경우, 평가는 다음과 같습니다. N과 Mz가 0임을 고려하여 절대 편차로 비교할 수 있습니다:

축력 값 100N> | 70 | N
휨 모멘트 Mz 값 100Nm> | 20 | Nm
휨 모멘트 My 값

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

응답에 의한 단면 검토

단면에서 평형을 찾는 경우, 평면 변형률이 알려져 있습니다. 평면 변형률로부터 단면의 어느 위치에서든 변형률을 계산할 수 있으며, 이후 재료의 응력-변형률 다이어그램을 사용하여 철근봉, 단면 또는 그 부분에서의 응력 또는 내력을 계산할 수 있습니다. 계산된 응력 및 변형률 값은 사용된 재료의 응력-변형률 다이어그램으로부터 얻은 한계 변형률 값과 비교합니다.
이 방법의 장점은 단면에 작용하는 내력에 대한 단면의 응력 및 변형률 값의 완전한 정보를 얻을 수 있다는 것입니다.

전단력

취성 파괴와 관련하여 전단력 검토는 철근 콘크리트 단면의 중요한 검토 항목 중 하나입니다.

계산 절차

전단력 저항 계산은 여러 기본 단계로 구성됩니다. 먼저 검토 위치에서 휨에 의한 균열 발생 여부를 분석해야 합니다. 균열이 발생한 경우, EN 1992-1-1 [2] 조항 6.2.2 (1)에 따라 계산을 수행합니다. 균열이 없는 경우, 무근 콘크리트인지 또는 철근이 적게 배근된 콘크리트인지 판단한 후 EN 1992-1-1 조항 12.6.3에 따라 진행합니다. 

비균열 철근 콘크리트(전단 철근 없음)의 경우 EN 1992-1-1 조항 6.2.2 (2)에 따라 검토합니다. 전단 철근이 필요한 부재의 경우 조항 6.2.3 [2]에 따라 검토합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

전단 철근이 없는 부재의 전단력 저항

균열 휨 구간 부재의 전단력 저항 (조항 6.2.2 (1) [2])

전단 철근이 없고 휨 모멘트를 받는 철근 콘크리트 부재의 전단력 저항은 다음과 같이 주어집니다:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

이 식은 전단력에 의한 파괴 시 대표적인 수의 단순 보에 대해 수행된 실험을 기반으로 정의되었습니다. 위의 저항값은 종방향 철근(r_l)이 없는 부재에서 0이 될 수 있으므로, 철근이 적게 배근된 부재에 대한 식이 도출되었습니다. 위의 저항값은 종방향 철근(r_l)이 없는 부재에서 0이 될 수 있으므로, 철근이 적게 배근된 부재에 대해서는 다음 식으로 결정됩니다.

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

축력의 영향을 고려한 전단력 저항은 다음 식으로 결정됩니다.

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

EN 1992-1-1 조항 6.2.2 (1)에 해당하는 완전한 표현식의 전단력 저항

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

최솟값은 다음과 같습니다.

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

여기서  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          단면 높이 계수 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      종방향 철근의 철근비

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        재령 28일 콘크리트의 특성 압축 실린더 강도

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        인장 영역에서 단면의 최소 폭

d          단면의 유효 깊이

υ_min      최소 등가 전단 강도 υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

비균열 휨 구간 부재의 전단력 저항 (조항 6.2.2 (2) [2])

비균열 휨 구간 부재의 전단력 저항은 모어 원으로부터 결정할 수 있습니다. 다음 식에

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

σ_x = σ_cp 및 τ_z = V_Rd,c S / (I b_w)를 대입하여 V_Rd,c를 구하면 EN 1992-1-1 조항 6.2.2 (2)에 주어진 식에 해당하는 방정식을 얻습니다.

여기서  

I           단면 2차 모멘트,

b_w        도심축에서의 단면 폭

S          도심축 위 및 도심축에 대한 단면 1차 모멘트,

f_ctd        콘크리트의 설계 축 인장 강도 (MPa),

 s_cp       하중 및/또는 프리스트레스에 의한 도심축에서의 콘크리트 압축 응력,

a_l         전달 길이 계수, 일반적으로 1,0.

위와 관련하여, 휨 균열이 없는 구간에서의 저항 V_Rd ,c 는 조항 6.2.2 (1) [2]에 따른 균열 구간보다 현저히 높을 수 있음을 유의해야 합니다. 아래 그림은 전단력이 극값(균열을 발생시키지 않는)에서 검토되더라도, 보 전체 길이에 걸쳐 전달이 보장되지 않을 수 있음을 명확히 보여줍니다. 이는 콘크리트 전단력 저항 계산 방법의 변화에 기인합니다. 안전 측면에서, 균열이 발생하지 않는 위치에서도 조항 6.2.2 (1) [2]에 따라 전단력 저항을 고려할 수 있습니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

조항 6.2.2 (2)[2]에 따른 V_Rd, c 의 표현과 관련하여, 일반적인 경우 법선 압축 응력 구간에서 콘크리트 극단 주 인장 응력이 발생하는 섬유에서 검토해야 하며, 단면의 도심에서 검토하는 것이 아님을 유의해야 합니다. 이 지점에서 단면 특성(S 및 b_W)을 계산해야 합니다. IDEA RCS 프로그램에서 최대 주 응력 s₁을 결정하기 위해 합성 전단력 방향으로 도심을 통과하는 선을 그립니다. 이 선을 20개 구간으로 나눕니다. 이 선 위에 주요 특성점(단면 다각형의 꼭짓점, 도심, 중립축)을 표시합니다. 이 점들 사이에서 S, b_w, σ_x, τ_yz 및 σ₁을 계산합니다. 최대 주 인장 응력 지점에서 전단력 저항을 계산합니다.

조항 6.2.2 (6)에서 요구하는 저감 계수 b를 적용하기 전의 전단력은 다음 추가 조건을 만족해야 합니다.

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

여기서 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

철근이 없거나 적게 배근된 부재의 전단력 저항 (조항 12.6.3 [2])

무근 콘크리트 또는 철근이 적게 배근된 콘크리트의 전단력 저항은 다음 식으로 결정할 수 있습니다.

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

여기서

τ_cp를 다음으로 대체합니다.

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

또는

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

위 식에 사용된 부분 값들은 다음과 같이 주어집니다:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

여기서  

f_cd,pl     무근 콘크리트 또는 철근이 적게 배근된 콘크리트의 설계 압축 강도,

f_ctd,pl    무근 콘크리트 또는 철근이 적게 배근된 콘크리트의 설계 축 인장 강도,

f_cvd       콘크리트 압축 하에서의 설계 전단 저항.

전단 철근이 있는 부재의 저항 (조항 6.2.3 [2])

전단 철근이 있는 철근 콘크리트 부재의 저항 계산은 가변 각도 대각재를 사용하는 트러스 유추법을 기반으로 합니다. 이 방법의 기본은 스트럿 힘(대각재), 전단 철근 힘(스터럽) 및 종방향 철근 힘에 의해 결정되는 삼각형 내의 힘 평형입니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

전단 하중을 받는 단면은 각도 θ로 균열이 발생하며, 이로 인해 전단력과 동일한 각도의 콘크리트 대각재가 전단력에 저항합니다. 대각재의 압축력은 V_ed/sinθ로 표현할 수 있습니다. 이 힘은 압축 대각재에 수직인 콘크리트 면 b_wzcosθ에 의해 전달되어야 합니다. 압축 대각재에서의 콘크리트 인장 응력은 다음과 같습니다:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

\[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\] 와 \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\]를 대입하고 \[{{V}_{Rd,max}}\]를 표현하면 대각재의 전단 저항에 대한 식을 얻습니다:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

압축 대각재의 수직 힘 성분을 평형시키기 위해 전단 철근이 사용됩니다. 수직 힘의 크기는 하나의 스터럽에 해당하는 콘크리트 면적의 대각재 압축 응력을 기반으로 합니다 - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. 스터럽의 한계 힘은 \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]로 주어집니다. 

σ_c를 대입하고 철근의 한계 힘과 비교하여 수정하면 다음을 얻습니다:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

V_ed를 V_RDs로 표현하면 수직 전단 철근이 있는 단면의 저항을 얻습니다:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

종방향 전단력은 종방향 철근에 의해 전달되며 V_edcotgθ로 결정할 수 있습니다. 위 식의 유도는 [4]에서 찾을 수 있습니다.

IDEA RCS 프로그램을 사용하면 수직 전단 철근이 있는 부재만 검토할 수 있습니다. 일반적으로 다음 식을 사용할 수 있습니다:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

여기서  

A_sw      전단 철근의 단면적,

s           스터럽의 간격,

f_ywd      전단 철근의 설계 항복 강도,

b_w        인장 및 압축 현재 사이의 최소 폭. V_Rd,max를 계산할 때, 케이블 덕트로 인해 단면이 약화된 경우 단면 폭 값을 소위 공칭 단면 폭으로 줄여야 합니다.

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ 그라우팅된 금속 덕트의 경우

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ 그라우팅되지 않은 금속 덕트의 경우           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa 또는  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       압축 현재의 응력 상태를 고려하는 계수.

하중	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
계수 acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

표 1‑1 계수 α_cw 결정

각도 θ는 콘크리트 압축 스트럿과 전단력에 수직인 보 축 사이의 각도입니다. cotθ의 한계값은 각 국가의 국가 부속서에서 찾을 수 있습니다. 권장 한계값은 다음 식으로 주어집니다:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

각도 θ의 크기 선택은 저항값에 영향을 줄 수 있습니다. 저항의 의존성은 그림 1.15에서 확인할 수 있습니다. 그림은 각도 θ가 증가함에 따라 저항 V_Rd,max는 증가하고 저항 V_Rd,s는 감소함을 보여줍니다. 저항 V_Rd,c는 트러스 유추법을 기반으로 하므로 일정합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

전단에 대한 단면 특성 계산

전단력을 계산하기 위해서는 전단 저항에 영향을 미치는 단면 변수를 계산하는 것이 중요합니다. 이러한 변수에는 주로 전단 저항 단면 폭 b_w, 유효 깊이 d 및 모멘트 팔 z가 포함됩니다. 설계 기준 [2]은 실제 휨 응력과 직접적으로 연관된 이 값들을 제시합니다. 그러나 합성 휨 모멘트의 방향(또는 더 정확하게는 단면 저항의 합력 방향)이 합성 전단력의 방향과 현저히 다를 때 이 값들을 결정하는 것이 문제가 됩니다. 이 경우 EC2 설계 기준은 어떠한 권고 사항도 제공하지 않습니다.

전단에 저항하는 단면 폭 b_w

IDEA RCS 프로그램은 전단력의 합력에 수직인 방향으로 전단에 저항하는 단면 폭을 계산합니다. 유로코드의 조항에 따라 이 폭은 다음과 같이 계산됩니다:
-  조항 6.2.2 (a) 및 6.2.3 (1)에 대해 전단력의 합력에 수직인 방향으로 콘크리트 압축 합력과 인장 철근 사이의 최소 단면 폭
- 조항 6.2.2 (2)에 따라 검토 지점에서 전단력의 합력에 수직인 방향의 단면 폭

단면의 유효 깊이

유효 깊이는 일반적으로 가장 많이 압축된 콘크리트 섬유에서 철근의 도심까지의 거리로 정의됩니다. 이는 휨과 직접적으로 관련되어 있으므로, 거리는 평면 변형률의 중력선에 대한 수직 투영으로 주어집니다. 

이 정의는 인장 철근의 도심 대신 철근 합력의 위치를 사용하도록 명확히 할 수 있습니다. IDEA RCS 프로그램 개발 과정에서 다음 문제가 해결되었습니다: 휨 하중의 평면이 합성 전단력의 방향과 일치하지 않는 단면의 유효 깊이를 어떻게 정의할 것인가. 따라서 유효 깊이는 가장 많이 압축된 콘크리트 섬유에서 인장 철근의 합력(휨 응력 기반)까지의 거리로, 합성 전단력의 방향으로 정의됩니다. 그림 1.17을 참조하십시오.

압축 섬유 또는 인장 철근의 합력을 결정할 수 없는 예외적인 경우가 발생할 수 있습니다. 이 경우 0.9 h(합성 전단력 방향의 단면 깊이의 90%) 값을 사용하는 것을 권장합니다. 이 값은 사용자가 IDEA RCS 프로그램의 설계 기준 변수 설정을 통해 정의할 수 있습니다.

내력의 모멘트 팔

내력의 모멘트 팔은 6.2.3 (3) [2]에 정의되어 있으며 "인장 현재와 압축 현재 사이의 거리"로 정의됩니다. 설계 기준은 작용 휨 모멘트의 평면이 합성 전단력의 방향과 다를 때 어떻게 진행할지 정의하지 않습니다. 따라서 유효 깊이의 경우와 마찬가지로, 합성 전단력의 방향으로 거리를 정의합니다. 여기서도 유사한 예외적인 경우, 예를 들어 전체 단면이 압축 상태에 있는 경우 등이 발생할 수 있습니다. 이 경우 0.9 d(유효 단면 높이의 90%) 값을 사용합니다. 이 값은 사용자가 IDEA RCS 프로그램의 설계 기준 변수 설정을 통해 설정할 수 있습니다.

휨 평면 경사와 전단력 합력 사이의 의존성은 그림 1.18 및 그림 1.19에서 명확하게 확인할 수 있습니다. 경사가 증가함에 따라 유효 높이, 모멘트 팔 및 관련 저항값이 감소합니다. 한계 상태는 90°입니다. 이 경사에서는 내력의 모멘트 팔을 계산할 수 없으므로 모멘트 팔은 0이 됩니다. 이 경우 설계 기준 변수 설정에서 지정된 값이 고려됩니다. 이로 인해 차트 끝에서 급격한 변화가 발생합니다. 이 연구는 경사의 권장 최대값이 약 20°임을 증명합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

RCS 애플리케이션 테스트의 일환으로, 축력 변화에 따른 전단 저항의 의존성에 관한 연구가 수행되었습니다. 저항 V_Rd,max는 계수 α_cw에 의해서만 영향을 받습니다. 그림 1.20을 참조하십시오. 그림 1.21은 저항 V_Rds의 일정한 값을 보여줍니다. V_Rdc 저항의 경우, 축력 증가로 인해 감소가 발생합니다. 그림 1.21의 파란색 곡선은 균열의 영향을 무시한 저항 V_Rdc를 나타내며, 조항 6.2.2 (1) [2]의 식을 사용하여 계산되었습니다. 압축과 인장 사이의 전환에서의 급격한 변화는 기여하는 인장 철근에 의해 발생합니다. 빨간색 곡선은 조항 6.2.2 (2) [2]의 식을 사용하여 계산됩니다. 첫 번째 균열 발생 후 의존성 곡선은 6.2.2 (1) [2]의 경우와 동일합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

비틀림

계산 가정

비틀림을 받는 철근콘크리트 단면의 거동은 균열 발생 전과 후의 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다. 균열 발생 전에는 단면이 탄성 재료로 거동합니다. 비틀림 응력은 다음 식으로 표현할 수 있습니다.  

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

여기서 W_t는 비틀림에 대한 단면 계수입니다.

주 인장 비틀림 응력에 의한 무근 부재의 균열은 극한 한계 상태에 해당합니다. 비틀림을 받는 철근콘크리트 단면의 거동은 아래 그림과 같이 얇은 벽 폐단면을 기반으로 설명할 수 있습니다. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

계산 절차

비틀림에 대한 철근콘크리트 규정 검토 과정은 전단력 검토와 매우 유사합니다. 먼저 콘크리트 저항을 검토합니다. 콘크리트 검토가 만족되면 철근은 상세 규정을 사용하여 설계할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우에는 계산을 통해 철근과 압축 사재의 저항을 검증해야 합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

저항

비틀림을 받는 얇은 벽 단면의 벽체에서 전단 흐름은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

얇은 벽 단면의 벽체에서 전단력은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

여기서 

τ          벽체의 전단 흐름,

t_ef         유효 벽 두께,

z           벽체의 측면 길이,

T_Ed       비틀림 모멘트,

A_k        내부 중공 영역을 포함하여 연결 벽체의 중심선으로 둘러싸인 면적.

비틀림 균열 모멘트는 이전 식에 f_ctd를 대입하여 결정할 수 있습니다. 이를 통해 비틀림 철근이 없는 경우의 비틀림 저항에 대한 식을 얻습니다.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

여기서  f_ctd       콘크리트의 설계 축 인장 강도

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

비틀림 철근이 있는 부재의 저항은 트러스 유추법을 기반으로 하는 압축 콘크리트 사재의 저항으로 구성됩니다. 사재의 압축 응력은 고려 중인 벽면에서 얇은 벽 단면의 벽체 전단력을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

σ_c=σ_cwf_cd 및 T_Ed=T_Rd,max를 대입하고 T_Rd,max를 표현하면 압축 사재 저항에 대한 식을 얻습니다.

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

여기서  

ν          = 0,6 (f_ck ≤ 60MPa인 경우) 또는 f_ck > 60MPa인 경우

α_cw       압축 현재의 압축 응력 상태를 고려하는 계수

f_cd        콘크리트 압축 강도의 설계값

비틀림을 받는 전단 철근 저항은 다시 압축 사재의 응력을 기반으로 합니다. 스터럽 힘은 해당 스터럽 선에 대응하는 면적에서 압축 사재의 응력과 같습니다. 즉,

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

T_Ed=T_Rd,s를 대입하고 T_Rd,s를 표현하면 다음 식을 얻습니다:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

종방향 철근과 전단 철근의 양을 알고 있으면 다음 식으로 각도 θ를 정의할 수 있습니다.

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

T_Rd,s에 대입하면 다음을 얻습니다.

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

여기서

A_sw      전단 철근 면적

s           전단 철근 스터럽의 간격

f_ywd      전단 철근의 유효 설계 강도

A_sl       종방향 철근 면적

u_k         단면의 외부 둘레

f_ywd      종방향 철근의 유효 설계 강도

종방향 철근의 힘은 순수 비틀림 모멘트를 받는 단면의 벽체에서 전단력으로부터 다음과 같이 도출할 수 있습니다:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

그 힘을 종방향으로 변환하면 다음을 얻습니다:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

각도 θ의 허용 범위는 전단력 검토와 유사하게 1 < cot θ < 2,5입니다. 저항 간의 관계는 아래 그림에서 확인할 수 있습니다. 이 다이어그램은 각도 θ가 증가함에 따라 저항 T_Rd,max는 증가하고, 저항 T_Rd.s는 감소하며, 저항 T_Rd,c는 트러스 유추법에 기반하지 않으므로 일정하게 유지됨을 보여줍니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

비틀림에 대한 단면 특성 계산

비틀림에 대한 단면 검토를 위해서는 소위 등가 얇은 벽 폐단면을 설정해야 합니다. 등가 얇은 벽 단면의 치수를 결정할 때 직사각형 형상을 가정합니다. 직사각형의 실제 면적은 A = b×h이고 직사각형의 둘레는 u =2 (b +h)입니다. 이 두 식을 사용하여 원래 단면의 등가 얇은 직사각형 형상의 면적과 둘레를 구할 수 있습니다. 두 개의 미지수를 가진 두 방정식을 풀면 다음을 얻습니다:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

유효 단면의 벽 두께는 둘레와 단면 면적으로부터 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

그러면 유효 단면의 중심선으로 정의되는 면적과 둘레는 다음과 같습니다:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

이 방법의 문제점은 전체 면적과 둘레를 사용하여 치수를 계산할 때(이 플레이트를 포함하여) 넓은 플레이트를 가진 T형 단면의 경우입니다. 향후 버전의 IDEA RCS 프로그램에서는 비틀림 검토에 사용될 가장 큰 단면 부분의 선택이 가능하게 될 것입니다.

상호작용

전단력과 비틀림의 상호작용 - 전단 철근

전단력에 의한 전단 철근의 힘 산정. 

계산은 EN 1992-1-1에 정의된 전단 철근의 저항력 산정 공식을 기반으로 합니다. 식 6.13 (6.2.3 (4)절)에 따라 스터럽 한 가닥의 내력은 다음과 같이 유도됩니다:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . 검토 단면에서 전단력에 저항하는 스터럽 한 가닥의 단면적

s .  .  .  .  . 부재 종축 방향의 전단 철근 간격 

a_sw,V .  .  . 단위 길이당 전단 철근의 단면적

z .  .  .  .  . 내부 모멘트 팔 길이. 등단면 부재의 경우, 검토 요소의 휨 모멘트에 해당하는 값. 축력이 없는 철근콘크리트의 전단 해석에서는 일반적으로 근사값 z = 0.9d를 사용할 수 있습니다.

f_ywd .  .  .  전단 철근의 설계 항복강도

θ .  .  .  .  . 콘크리트 압축 스트럿과 전단력에 수직인 부재 축 사이의 각도

α .  .  .  .  . 전단 철근과 전단력에 수직인 부재 축 사이의 각도

β .  .  .  .  . 작용 전단력의 합력에 대한 스터럽 가닥의 경사각

전단력은 철근의 각도와 각 스터럽 가닥의 축 강성을 기반으로 전단력에 저항하는 개별 철근에 균등하게 분배됩니다.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

또한, 합력 전단력 방향으로 고려된 평균 철근 변형률은 다음과 같이 유도됩니다:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

i번째 철근의 실제 변형률은 다음과 같이 계산됩니다:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

해당 철근 가닥의 인장 응력:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

비틀림에 의한 개별 스터럽의 힘 산정

단면의 비틀림 저항력은 폐쇄 전단 흐름에 의해 평형이 만족되는 얇은 벽 폐단면을 기반으로 계산할 수 있습니다. 솔리드 단면은 등가 얇은 벽 단면으로 모델링할 수 있습니다. 비솔리드 단면의 경우, 등가 벽 두께는 실제 벽 두께를 초과해서는 안 됩니다.

비틀림에 의한 얇은 벽 폐단면 벽체의 전단 흐름은 다음과 같이 계산됩니다:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

특정 벽체의 전단력은 다음과 같습니다:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . 검토 벽체 중심선의 길이

복부의 전단력 - 복부 중심선의 길이는 모멘트 팔 "z" 값으로 대체할 수 있습니다.

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

부재 단위 길이당 비틀림에 저항하는 스터럽의 힘:

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

개별 스터럽에 대한 힘의 분해

모든 스터럽에 동일한 재료가 정의된 경우, 각 스터럽 가닥에서 비틀림으로 인한 응력은 일정합니다. 이 경우:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

여기서 a_sw,T는 단위 길이당 비틀림에 저항하는 스터럽의 총 면적입니다.

개별 스터럽의 재료가 서로 다른 경우, 각 철근의 축 강성을 고려해야 합니다.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . 비틀림에 저항하는 철근 가닥(철근 그룹)의 수

F_si,T .  .  . 단위 길이당 비틀림으로 인한 i번째 철근 그룹의 힘

a_si,T .  .  . 단위 길이당 비틀림에 저항하는 전단 철근의 단면적 

E_si,T .  .  . 비틀림에 저항하는 i번째 철근 그룹의 탄성계수

ε_sw,T .  .  비틀림으로 인한 철근의 변형률

작용 비틀림에 의한 각 스터럽의 결과 응력은 다음과 같이 계산됩니다:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T 상호작용

전단력과 비틀림에 의한 스터럽의 응력 계산은 각 하중 성분에 의한 응력의 합산으로 이루어집니다. 

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

i번째 철근의 합력:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

종방향 철근에 대한 전단력, 비틀림 및 휨의 상호작용

축력 및 휨 모멘트에 의한 각 종방향 철근의 힘 산정

RCS 애플리케이션은 축력과 휨 모멘트의 조합에 의한 단면 응답을 계산하여 개별 종방향 철근 및 프리스트레스 철근의 응력과 변형률을 산정하는 데 사용됩니다.

전단력에 의한 개별 종방향 철근의 힘 산정

전단력으로 인한 종방향 철근의 인장력 증분 ΔF_td는 스트럿-타이 모델의 기하학적 형상에 따라 달라집니다. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  전단력으로 인한 종방향 철근의 인장력 증분

V_ed .  .  .  . 검토 단면에 작용하는 전단력의 설계값

θ .  .  .  .  . 콘크리트 압축 스트럿과 부재 축 사이의 각도 

α .  .  .  .  . 전단 철근과 부재 축 사이의 각도

인장 플랜지에 위치한 종방향 철근의 경우, N+M+V 조합에 의한 종방향 철근의 합력 F_t는 M_Ed,max/z를 초과하지 않아야 합니다 (여기서 M_Ed,max는 보 전체에서의 최대 모멘트).

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

힘 ΔF_td는 전단력에 저항하는 단면 부분(I형 단면의 경우 복부)에 위치한 모든 부착된 프리스트레스 텐던 및 철근에 의해 전달됩니다. 안전측으로, 프리스트레스 철근의 기여는 0으로 간주할 수 있습니다. 계산의 가정은 전단력에 저항하는 개별 종방향 철근의 축 변형률 증분이 일정하다는 것입니다 (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). 이 유도는 수평 소성 분기를 가진 이선형 철근 작업 선도에 대해 유효합니다. 경사 분기를 가진 선도의 경우, 계산을 수정해야 합니다.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . 전단력으로 인한 종방향 철근의 변형률 증분

n_s,V .  .  .  . 전단력에 저항하는 종방향 철근의 수

A_sl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 종방향 철근의 면적

E_sl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 종방향 철근의 탄성계수

n_p,V .  .  .  . 전단력에 저항하는 텐던의 수

A_pl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 텐던의 면적

E_pl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 텐던의 탄성계수

ΔF_td 힘의 값을 산정한 후, 평균 철근 변형률 Δε_V를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

작용 전단력으로 인한 개별 종방향 철근의 응력 증분:

철근의 경우 \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

텐던의 경우 \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

비틀림에 의한 각 종방향 철근의 힘 산정

비틀림에 저항하는 종방향 철근을 파악하는 것이 매우 중요합니다. 이는 비틀림에 저항하는 등가 얇은 벽 단면 내에 위치한 철근입니다.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

EN 1992-1-1에 따르면, 종방향 비틀림 저항 철근에 대해 다음 조건들이 충족되어야 합니다:

- 철근은 길이 z_i를 따라 균등하게 분포되어야 하지만, 소형 단면의 경우 철근을 스터럽 모서리에 집중 배치할 수 있습니다.

- 종방향 철근의 최대 축 간격은 350mm입니다.

EN 1992-1-1에 따르면 프리스트레스 철근의 기여는 고려하지 않습니다.

EN 1992-2에서는 프리스트레스 철근의 기여를 고려할 수 있으나, 프리스트레스 철근의 최대 응력 증분은 Δσ_p ≤ 500MPa를 초과해서는 안 된다고 규정합니다. 이 경우 공식은 다음과 같이 수정됩니다:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

그러나 프리스트레스 철근의 증분을 고려할 수 있지만, 이는 사용자의 선택에 달려 있습니다. 현재 계산에서는 프리스트레스 철근을 고려하지 않습니다. 

계산의 가정은 전단력에 저항하는 각 종방향 철근의 축 변형률 증분이 일정하다는 것입니다 (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). 이 유도는 수평 소성 분기를 가진 이선형 철근 작업 선도에 대해 유효합니다. 증가 분기를 가진 선도의 경우, 계산을 수정해야 합니다.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . 검토 단면에 작용하는 비틀림 모멘트의 설계값

θ .  .  .  .  . 보의 종축에 대한 압축 대각선의 경사각 (전단력에 대한 값과 동일)

u_k .  .  .  .  면적 A_k의 둘레

A_f .  .  .  .  등가 중공 얇은 벽 단면의 중심선으로 정의되는 면적

n_s,T .  .  .  .비틀림에 저항하는 종방향 콘크리트 철근의 수

A_sl,i,T .  .  . 비틀림에 저항하는 i번째 종방향 콘크리트 철근의 면적

Δε_T .  .  .  .비틀림 모멘트로 인한 종방향 철근 변형의 변화량

Δσ_s,i,T .  .  비틀림 모멘트로 인한 i번째 종방향 철근의 응력 변화량

E_sl,i,T .  .  . 비틀림에 저항하는 i번째 종방향 콘크리트 철근의 탄성계수

작용 비틀림 모멘트로 인한 각 종방향 철근의 응력 증분:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

응력 제한 검토

이 검토는 단면의 두 가지 상태를 해석하는 일반적인 가정에 기반합니다: 비균열 단면(콘크리트의 인장 강도를 무시하지 않음)과 완전 균열 단면(콘크리트의 인장 강도를 무시함). 콘크리트 인장 강도를 무시한 해는 EN 1992-1-1 제7.1조 (2)의 가정에 따라 고려됩니다.

응력 및 처짐을 계산할 때, 휨에 의한 인장 응력이 f_ct, eff를 초과하지 않으면 비균열 단면으로 간주합니다. f_ct, eff 값은 f_ctm 또는 f_ctm,fl로 고려할 수 있습니다. 균열 폭 및 인장 강성 효과 계산 시에는 f_ctm 값이 사용됩니다.

이 검토의 일환으로, 응력 한계 측면에서 네 가지 기본 경우를 다룹니다.

• 7.2 (2) 노출 등급 XD, XF 및 XS 환경에 노출된 부재의 압축 응력은 다음으로 제한되어야 합니다:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) 준영구 하중 하에서 콘크리트의 응력은 다음으로 제한됩니다:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) 특성 하중 조합 하에서 철근의 인장 응력은 다음으로 제한되어야 합니다:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) 응력이 강제 변형에 의해 발생하는 경우, 인장 응력은 다음을 초과하지 않아야 합니다:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

각 국가에서 사용하는 k₁, k₂, k₃, k₄ 값은 해당 국가 부속서에서 확인할 수 있습니다. 권장값은 각각 0,8; 1 및 0,75이며, 철근의 특성 항복 응력, f_ck 는 28일에 결정된 특성 원주 강도 f_ck입니다.

균열

균열의 형성

휨 또는 인장 응력을 받는 철근 콘크리트 구조물의 특징적인 현상은, 콘크리트의 인장 응력이 콘크리트의 인장 강도를 초과하는 지점에서 균열 파괴가 발생한다는 것입니다. 구조물의 내구성과 미관을 위해, 발생하는 균열이 가능한 한 작게 유지되도록 하는 것이 중요합니다. 균열 폭의 계산 및 각 노출 등급에 허용되는 최대 폭은 EN 1992-1-1, 7.3장에 규정되어 있습니다.

계산의 첫 번째 단계에서는 단면이 균열 상태인지 여부를 판단합니다. 균열 폭 자체는 항상 준영구 또는 빈번 하중 조합(국가 부속서에 따라 다름)으로부터 계산되지만, 균열 형성은 모든 규정된 SLS 조합에 대해 검토되어야 합니다. 따라서 두 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

• 어떠한 하중 조합(준영구 M_E,qp, 빈번 M_E,fr, 또는 특성값 M_E,k)에서도 콘크리트 섬유의 최대 인장 응력이 콘크리트의 인장 강도를 초과하지 않는 경우, 단면은 비균열 상태로 간주합니다.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• 어떠한 조합(준영구, 빈번, 또는 특성값)에서 균열이 발생하는 경우, 즉 고려된 하중 조합에서 발생한 휨 모멘트가 임계 모멘트 M_cr보다 큰 경우, 해당 하중 조합에서 단면은 균열 상태이며, 균열 단면의 특성 및 균열 폭을 계산해야 합니다.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   어떤 SLS 하중 조합에서 구한 휨 모멘트. 따라서 M_E,qp, M_E,fr, 또는 M_E,k일 수 있습니다. 

f_ct,ef   .   .  고려 시점에서의 콘크리트 인장 강도. 콘크리트 재령이 28일을 초과하는 경우, f_ctm과 동일한 강도를 적용합니다.

균열 폭 계산

휨 하중을 받는 부재에서 균열 형성은 2가지 현상으로 구분됩니다:

• 균열 형성 단계 (그림 1의 단계 2)
• 안정화된 균열 발전 (그림 1의 단계 3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

균열 발전 단계

이 단계는 부재의 인장 부분 전체에 걸쳐 균열이 대략 균등하게 분포될 때까지 개별 균열이 점진적으로 나타나는 초기 과정입니다. 인장 스트립의 힘이 임계 인장력 N_r(아래의 임계 인장력 참조)을 초과할 때 첫 번째 균열이 형성되며, 인장 스트립의 힘이 약 1.3N_cr에 해당하는 하중 수준까지 추가 균열이 발전합니다(그림 1의 단계 2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

발전하는 균열은 1차 균열과 2차 균열의 2가지 유형으로 구분됩니다. 1차 균열은 콘크리트의 유효 인장 강도(f_ct,eff)에 도달할 때 인장 섬유에서 발생합니다. 1차 균열은 최초 균열 패턴을 나타냅니다(그림 2). 이후 1차 균열 사이에 더 짧은 2차 균열이 형성됩니다(그림 3). 약 1.2~1.5 σ_sr에 해당하는 응력(일반적으로 평균값 1.3 σ_sr을 적용하며, 여기서 σ_sr은 콘크리트 인장 구역에서 1차 균열 형성 시 철근의 응력)에서 2차 균열의 발전도 완료됩니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

균열 형성 단계에서의 균열 폭은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

안정화된 균열 단계

인장 구역의 임계력의 약 1.3배를 초과한 후에는 새로운 균열이 형성되지 않으며, 부재 내 균열 수가 안정화되고 추가 하중에 따라 기존 균열의 폭만 증가합니다(그림 1의 단계 3).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

안정화된 발전 단계에서의 균열 폭은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

임계 인장력

계산은 인장 코드 모델(TCM)을 기반으로 합니다. 기본 고려 사항은 유효 단면적 A_s,eff의 철근봉과 이를 둘러싼 유효 인장 콘크리트 단면적 A_c,eff로 구성된 철근 콘크리트 스트립의 극한 내력을 계산하는 것으로, 인장 강도 f_ct,eff가 초과될 때까지 인장 응력에 저항할 수 있습니다(일반적으로 f_ctm을 적용). 철근과 콘크리트 사이의 완전 부착을 가정하면, 첫 번째 균열이 발생하기 전까지 철근과 주변 콘크리트의 변형이 동일하다고 볼 수 있습니다. 그러면 첫 번째 균열 직전 인장 스트립의 최대 힘 N_r을 다음과 같이 결정할 수 있습니다:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

다음의 치환을 도입하면

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

다음을 얻습니다:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

첫 번째 균열 형성 직후, 전체 힘 N_r은 철근에 의해 전달되며, 따라서 방금 형성된 균열을 통과하는 철근의 응력은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

EC 1992-1-1에 따른 균열 폭 계산

철근 콘크리트 부재의 균열 폭 계산에는 다음 식이 사용됩니다:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   최대 균열 간격

ε_sm  .   .   .   .   인장 강성 효과를 포함한 하중 조합에 의한 철근의 평균 변형률.

ε_cm  .   .   .   .   균열 사이 콘크리트의 평균 변형률

변형률 차이의 계산

균열 사이 철근과 콘크리트의 변형률 차이는 다음 식으로 구할 수 있습니다:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   고려 중인 하중 조합에서 균열 내 철근의 응력

k_t      .   .   .   .   하중 지속 시간에 따른 평균 변형률을 고려하는 경험적 계수. 단기 해석의 경우 0.6의 값을 취할 수 있습니다. 장기 해석의 경우, 복합 단면의 강성이 약 70%로 감소하는 것을 고려하여 값은 0.4이며, 이는 시간에 따른 철근과 콘크리트 사이의 부착 저하율을 포함합니다.

α_e     .   .   .   . 유효 탄성계수 비

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   유효 철근비

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   철근을 둘러싼 인장 콘크리트의 유효 단면적 (아래의 A_c,eff 결정 참조)

A_s,_eff .   .   .   .   A_c,_eff 영역 내에 위치한 부착 철근의 단면적

A_p´    .   .   .   .   A_c,_eff 내의 프리텐션 또는 포스트텐션 텐던의 단면적

ξ₁  .   .   .   .   .   프리스트레싱 강재와 철근의 직경 차이를 고려한 조정된 부착 강도 비:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . 프리스트레싱 강재와 철근의 부착 강도 비 (표 6.2)

ϕ_s   .   .  철근의 최대 철근봉 직경

ϕ_p   .   .  프리스트레싱 강재의 직경 또는 등가 직경

다발 강연선의 경우, A_p는 텐던 내 철근의 단면적입니다

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

φ_wire가 소선 직경인 단일 7선 강연선의 경우

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

φ_wire가 소선 직경인 단일 3선 강연선의 경우

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

균열 방지를 위해 프리스트레싱 철근만 사용하는 경우, 다음을 고려해야 합니다.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

프리스트레스트 부재에서는 특성 하중 조합 및 프리스트레싱력의 특성값 하에서 어떠한 섬유의 인장 응력도 콘크리트의 인장 강도 f_ct,eff를 초과하지 않는 한, 최소 부착 철근량은 요구되지 않습니다. (자세한 내용은 EN 1992-1-1 7.3.2절 참조)

인장 콘크리트의 유효 단면적

계산에서 중요하면서도 가장 복잡한 단계는 철근을 둘러싼 인장 콘크리트의 유효 단면적을 결정하는 것입니다. 유로코드와 모델 코드 모두 철근 콘크리트 부재가 단축 휨 또는 인장을 받는 단순 하중 모드를 고려합니다. 유효 높이의 값은 다음과 같이 결정됩니다:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

일반적으로 h_c,eff = 2,5(h-d) 값이 지배적입니다. 인장 부재의 경우 상한값은 h/2이며, 휨 부재의 경우 (h-x)/3입니다. 그러나 A_c,eff는 식 5(c+ϕ/2)로 결정되는 폭에 의해서도 제한됩니다. 철근 간격이 5(c+ϕ/2)보다 큰 경우, 개별 철근봉에 대해 폭 5(c+ϕ/2)의 인장 콘크리트 유효 단면적을 적용합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

최대 균열 간격

최대 균열 간격 s_r,max를 계산할 때 두 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

• 부착 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하지 않는 경우 - 그림 9a
• 부착 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하는 경우 - 그림 9b

철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하지 않는 경우의 최대 균열 간격 s_r,max 계산은 다음과 같이 정의됩니다:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   mm 단위의 콘크리트 피복 값. 피복 값은 수평 및 수직 모서리에 대한 단부 철근에 따라 다를 수 있으므로, 고려 중인 철근에서 발견된 최대 피복 값을 적용하는 것이 권장됩니다.

ϕ     .   .   .   .   부착 철근의 직경. 철근 직경이 다른 경우, EN 1992-1-1 식 7.12에 따라 등가 직경을 계산해야 합니다.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . 부착 철근의 부착 특성을 고려하는 계수

• k₁ = 0,8 고부착 철근봉의 경우
• k₁ = 1,6 유효 평활 표면을 가진 철근봉의 경우 (예: 프리스트레싱 텐던)

k₂ .   .   .   . 변형률 분포를 고려하는 계수

• k₂ = 1,0 휨의 경우
• k₂ = 0,5 순수 인장의 경우

편심 인장 또는 국부 영역의 경우, 다음 관계식으로 계산할 수 있는 k₂의 중간값을 사용해야 합니다:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  균열 근처 영역에서 콘크리트와 철근 사이의 부착이 파괴된 길이를 나타내는 계수. 기본 EC 권장값 k₃ = 3,4는 국가 부속서에 의해 수정될 수 있습니다. 

k₄      .   .   .   .   콘크리트의 부착 강도와 인장 강도 사이의 관계를 나타내는 계수. 기본 EC 권장값 k4 = 0.425는 국가 부속서에 의해 조정될 수 있습니다.

철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하는 경우의 최대 균열 간격 s_r,max 계산은 다음과 같이 정의됩니다:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

다음 식에 따른 최대 균열 간격 값

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

은 항상 다음 식으로 결정된 값보다 커야 합니다

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

그렇지 않은 경우, 위의 식에서 구한 더 큰 간격을 적용하는 것이 권장됩니다. 콘크리트/철근의 변형률 식은 철근의 축 간격이 큰 경우에도 수정되지 않습니다. 균열 폭이 제어되는 영역에서 개별 철근의 축 간격은 5(c+ϕ/2)를 초과하지 않아야 합니다.

RCS에 구현된 균열 폭 계산

유효 단면적 A_c,eff 결정

균열 저항 종방향 철근으로 고려할 수 있는 철근을 결정하는 것이 간단하지 않으므로, A_c,eff는 다음의 반복 과정을 통해 결정됩니다.

• 인장력을 받는 모든 철근 중에서 인장력 중심 C_g,s,1을 결정합니다. 철근의 유효 깊이 d는 C_g,s와 합성 휨 모멘트 방향으로 계산된 최대 압축 콘크리트 섬유 사이의 거리입니다. 동시에 중립축의 위치와 균열 단면에 대한 압축 영역의 높이 x를 결정합니다. 이를 통해 유효 높이 h_c,eff를 결정할 수 있습니다:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• A_c,eff,1 외부에 위치한 모든 철근을 제외함으로써, 새로운 철근 중심 C_g,s,2와 새로운 철근 유효 깊이 d를 결정하고, 유효 높이 h_c,eff는 변경된 입력값으로 이전 단계와 동일한 방법으로 결정됩니다.

다시 한번, 고려 중인 모든 인장 철근이 A_c,eff,2 내에 위치하는지 확인합니다. 이 조건이 충족되면 반복을 종료할 수 있으며, h_c,eff,2, A_c,eff,2 및 A_s,eff,2의 값이 IDEA StatiCa RCS의 결과값으로 표시됩니다.

균열 폭 계산의 가능한 경우

일반적으로 균열 폭 계산 시 세 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

• 인장 철근이 A_c,eff 영역 내에 위치하고, 개별 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2) 미만인 경우. 이때 계산에 다음 정의를 사용합니다:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• 인장 철근이 A_c,eff 내에 위치하고, 개별 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하는 경우. 이때 계산에 다음 정의를 사용합니다:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• 인장 철근이 A_c,eff 내에 위치하지 않는 경우 (예를 들어 두꺼운 피복으로 인해 발생할 수 있음). 

이 경우 균열 폭을 계산하는 것이 불가능합니다. 따라서 유효 높이 h_c,eff의 계산은 다음과 같이 수정됩니다:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

동시에 다음의 부적합 사항이 표시됩니다:

깊이 h_c,eff의 철근 또는 프리스트레싱 텐던을 둘러싼 인장 콘크리트의 유효 단면적으로, h_c,eff는 2.5(h – d) 또는 h/2 중 작은 값입니다. (h – x)/3을 값으로 고려할 때, 철근이 인장 콘크리트의 유효 영역 밖에 위치하므로 7.3.4절에 따른 균열 폭 계산이 불가능합니다.

N-M-κ 다이어그램

N-M-κ 다이어그램은 적용된 휨 모멘트와 축력의 함수로서 요소의 곡률(휨 강성)을 나타냅니다. N-M-κ 다이어그램에는 세 가지 유형이 있습니다:
- 단기,
- 장기
- ULS.
이 다이어그램들은 계산에 사용되는 응력-변형률 다이어그램의 유형에 따라 구분됩니다(아래에서 설명).

N-M-κ 다이어그램을 결정하기 위해 단면의 선택된 특성 상태에 대한 강성 계산이 사용됩니다. 일반적으로, 이는 응답이 계산되고 휨 강성과 곡률이 도출되는 임의의 단면 상태일 수 있습니다. IDEA RCS에서는 네 가지 특성점(M_r, M_c, M_s 및 M_u)을 고려합니다.

M_r - 균열 모멘트 

단면에 사용자 정의 축력이 작용하며, 콘크리트 섬유에서 콘크리트의 극한 인장 강도에 도달할 때까지 변형률 평면이 (지정된 휨 모멘트 방향으로) 회전하기 시작합니다(콘크리트 등급 C30/37의 경우 f_ctm = 2,896 MPa). 계산에는 철근과 콘크리트 모두에 대해 수평 소성 분기를 가진 이선형 응력-변형률 다이어그램이 사용됩니다.

M_c - 콘크리트 압축 강도에 도달할 때의 휨 모멘트

이전 단계에서 압축 방향으로 가장 많이 이용된 콘크리트 섬유가 식별됩니다. 이 섬유에 대해 콘크리트 극한 강도에서의 변형률(단기의 경우 f_ck/E_cm, 장기의 경우 f_ck/E_ceff, ULS 다이어그램의 경우 f_cd/E_cm)이 설정됩니다. 정의된 축력과 휨 모멘트 방향을 기반으로, 단면의 응답과 정의된 축력 사이의 평형을 찾기 위해 변형률 평면을 구하는 반복 과정이 실행됩니다. 계산에는 철근과 콘크리트 모두에 대해 수평 소성 분기를 가진 이선형 응력-변형률 다이어그램이 사용됩니다.

M_s - 가장 많이 이용된 철근에서 항복 강도에 도달할 때의 휨 모멘트

N-M-κ 다이어그램의 또 다른 특성점은 가장 많이 이용된 철근에서 항복 강도에 도달할 때의 단면 응력 상태입니다(단기 및 장기 다이어그램의 경우 철근 변형률은 f_yk/E_s, ULS 다이어그램의 경우 f_yd/E_s). 반복 과정은 가장 많이 이용된 철근의 위치로 지정된 점을 중심으로 변형률 평면을 회전시켜 단면 내 축력의 평형을 찾습니다. 계산에는 철근과 콘크리트 모두에 대해 수평 소성 분기를 가진 이선형 응력-변형률 다이어그램이 사용됩니다.

M_u - 극한 한계 상태에서의 휨 모멘트

이는 단면에 정의된 설계 축력 N_ed가 작용할 때 휨에 대한 단면의 극한 내하력입니다. 단면 내력 계산 시, 콘크리트의 가장 많이 이용된 섬유에서 압축 강도에 도달하고 가장 많이 이용된 철근에서 인장 강도에 도달한다고 가정합니다(콘크리트의 최대 변형률 ε_cu = 0,1, 철근의 경우 ε_s,max = 0,5). 계산에는 철근에 대해 수평 소성 분기를 가진 이선형 응력-변형률 다이어그램과 콘크리트에 대해 포물선-직사각형 다이어그램이 사용됩니다.

사용자 정의 축력과 휨 모멘트 조합(Md)에 의한 결과 강성 및 곡률은 N-M-κ 다이어그램의 개별 특성점에 대한 선형 보간을 사용하여 계산됩니다.

강성 및 곡률 계산

각 단면 응력 상태(M_r, M_c, M_s 또는 M_u)에 대한 강성 및 곡률은 변형률 평면의 회전으로부터 직접 계산됩니다. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    요소의 축 강성

N . .   .   . 지정된 축력

ε_x .   .   .  콘크리트 단면의 무게 중심에서의 축 변형률

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   요소의 휨 강성

M .   .   .    계산된 휨 모멘트 M_r, M_c, M_s 또는 M_u

κ .   .   .   . 요소의 곡률, 변형률 평면과 요소 종축 사이의 각도의 탄젠트로 계산됨

실용적인 예제

콘크리트 단면(콘크리트 등급 C30/37)에 ϕ32 철근(등급 B500B)이 배근되어 있습니다. 정의된 준영구 조합은 N = -730 kN, M_y = 557 kNm입니다.

특성점 M_s에 대한 변형률 평면은 IDEA RCS에 의해 다음과 같이 결정됩니다:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

계산에 사용된 응력-변형률 다이어그램

철근 - M_r, M_c, M_s 및 M_u

콘크리트 - M_r, M_c, M_s

콘크리트 - M_u

문헌

[1] Bradáč Betonové konstrukce (콘크리트 구조물), 1부: 철근 및 무근 콘크리트 부재의 설계, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: 콘크리트 구조물 설계 - 제1-1부: 일반 규칙 및 건축물 규칙, 국가 부속서 개정 A판(2007) 및 개정 1(2009) 포함

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010