IDEA StatiCa RCS – 1D betonarme elemanların yapısal tasarımı

EN 1992-1-1 ve EN 1992-2'ye göre betonarme kesitlerin tasarımı.

Eğilme
Kesme
Burulma
Etkileşim
Gerilme sınırlama kontrolü
Çatlak kontrolü
N-M-κ diyagramı
Kaynakça

Eğilme

Kesit kapasitesi kontrolü için yöntemler

1D betonarme elemanlar için nihai sınır durumunu kontrol etmek amacıyla iki iyi bilinen yöntem kullanılabilir. Birinci yöntem, bize bir etkileşim alanı veya bir etkileşim diyagramı (tek yönlü eğilme momenti durumunda) biçiminde kesit nihai dayanımını verir. Kesit kapasitesi, etkiyen iç kuvvetlerin sınır durum kuvvetlerine oranı olarak belirlenebilir. İkinci yöntem ise kesitte denge bulmaktır; burada yüklü kesitin gerçek davranışını, malzemelerin gerilmeler açısından kullanımını ve kesitin zayıf noktalarına ilişkin bilgileri araştırırız.

Nihai Sınır Durumu için genel tasarım varsayımları ve hesap varsayımları 

1. Donatı ve betondaki gerinim ε, tarafsız eksenden uzaklıkla doğru orantılı kabul edilir (düzlem kesitler düzlem kalır).
2. Donatı ve beton etkileşimi, kayma olmaksızın beton ve donatı etkileşimiyle sağlanır (gerinim ε, bitişik beton liflerindeki gerinimle aynıdır).
3. Betonun çekme dayanımı ihmal edilir (tüm çekme gerilmeleri donatı tarafından taşınır).
4. Basınç bölgesindeki beton basınç gerilmeleri, gerilme-gerinim diyagramlarından hesaplanan gerinime bağlı olarak hesaplanır.
5. Donatı gerilmeleri, gerilme-gerinim diyagramlarından elde edilen gerinime bağlı olarak hesaplanır.
6. Nihai gerinim sınırı ε_cu2 (basınç altındaki beton için Parabol-dikdörtgen diyagramı) ve ε_cu3 (İki doğrulu gerilme-gerinim bağıntısı) ile betonun basınç gerinimı, [2].
7. Donatının basınç gerinimı, yatay plastik üst dal durumunda sınırsızdır; eğimli plastik üst dal durumunda gerinim ε_ud ile sınırlandırılır, [2].
8. Malzemelerden en az birinin durumu nihai sınır gerinimini aştığında sınır durum oluşmuş sayılır (εu sınırsızsa, basınçtaki beton belirleyicidir).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Etkileşim diyagramı

Birinci seçenek, kesitin bir etkileşim yüzeyi (veya etkileşim diyagramı) ile kontrol edilmesidir. Aşağıdaki şekildeki örnekten alınan donatılı kare kesit için etkileşim yüzeyleri örneği üzerinde bir açıklama sunulmaktadır. Etkileşim yüzeyi üzerinde, incelenen kesitin nihai sınır durumunu tanımlayan noktalar yer almaktadır. Etkileşim yüzeyi, malzemelerden birinde nihai sınır geriniminin aşıldığı kesitteki gerilme integrasyonuyla belirlenen (N, My, Mz) noktalarından çizilir. 3D etkileşim için yüzey, sürekli döndürülen tarafsız eksene karşılık gelen kapalı bir eğri olan 2D etkileşim diyagramından türetilebilir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

y ekseni etrafında simetrik kesit durumunda, etkileşim diyagramı N-M_y düzlemi etrafında simetriktir. Benzer şekilde, z ekseni etrafında simetrik kesit durumunda, etkileşim diyagramı N-M_z düzlemi etrafında simetriktir. Tek taraflı donatılı kesit, etkileşim diyagramının basık bir şeklini ortaya çıkarır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Nihai sınır durumunu tanımlayan noktalar, gerilme integrasyonundan elde edilir.  Aşağıdaki şekil, nihai sınır durumundaki gerinimı göstermektedir.

Nihai sınır durumundaki gerinim dağılımları ([2]'den alınmıştır).

Etkileşim diyagramı, normal kuvvet ve eğilme momentleri altında kesit göçmesini göstermektedir. [1]

2D diyagram problemine (etkileşim yüzeyi üzerinde yer alan kapalı eğri) göre, gerinim düzleminin tarafsız eksenden ve kritik nokta [y, z, ε]'den geçtiği anlaşılabilir; bu nokta R kritik noktası olarak kabul edilir.  [y, z] noktası, nihai sınır durumundaki ε gerinim değeriyle kesitteki bir noktayı tanımlar. Tarafsız eksenin eğimi, 2D diyagramın tüm noktaları için sabittir.

Tasarım için betondaki basınç gerilmesinin belirleyici olduğu durumda, R noktası en uzak basınçtaki beton lifine veya sınırlayıcı C noktasına karşılık gelir. Ancak bu, yalnızca kesitin tek tip betondan oluşması durumunda uygulanabilir - karma kesit gibi durumlarda değil.   

Donatıdaki çekme gerilmesinin tasarım için belirleyici olduğu durumda (bir veya daha fazla çubukta nihai sınır durumunda ε_ud aşılıyorsa), verilen gerinim düzlemi için ε_ud değerinin başka hiçbir çubukta aşılmadığı koşulunun sağlanması gerekir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Yukarıdaki şekil, diyagramın iki bölüme ayrılabileceğini göstermektedir: göçmenin çekme kuvvetinden kaynaklandığı bölüm ve basınç kuvvetiyle göçen bölüm. Sınır noktaları, gerinim düzleminin aşırı eğiminin de görülebildiği yukarıdaki duruma karşılık gelir. Bir etkileşim diyagramı çizilirken kesitin düzlem gerinim eğimi bu aralıkta değişirken R noktası aranır (yukarıya bakınız). Tanımlanan bu düzleme dayanarak, nihai sınır durumundaki gerilmeyi elde etmek için integrasyon yapılır.

Eksenel kuvvet ve eğilme momentine maruz kesitin kontrolü

Eksenel kuvvet ve eğilme momentine maruz bir kesitin kontrolü, kontrol edilen gerilmelerin (N_d, M_yd, M_zd kombinasyonu) etkileşim alanının içinde veya yüzeyinde yer aldığının kanıtlanmasına dayanır. Bunu farklı yöntemler yapabilir. Aşağıdaki örnek, N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm kuvvetlerine maruz dikdörtgen bir kesitin kontrolünü göstermektedir.

NuMuMu Yöntemi

Bir kesitin dayanımını tanımlamak için, etkileşim yüzeyi oluşturulana kadar tüm iç kuvvet bileşenlerinde orantılı değişimler varsayılır (normal kuvvetin dışmerkezliği sabit kalır). İlgili iç kuvvetlerin değişimi, başlangıç koordinat sistemini (0,0,0) ve iç kuvvetler tarafından tanımlanan noktayı (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) birleştiren bir doğru boyunca hareket olarak yorumlanabilir. Bu doğrunun etkileşim yüzeyiyle bulunan iki kesişim noktası, nihai sınır durumundaki iki kuvvet setini temsil eder. Her kesişim noktasında program, sınır durumundaki üç kuvveti belirler: tasarım eksenel kuvvet dayanımı N_Rd ve buna karşılık gelen tasarım moment dayanımları M_Rdy, M_Rdz.

NuMM Yöntemi

Kesitin dayanımını tanımlamak için, sabit normal kuvvet (etkiyen tasarım normal kuvvetine eşit) ve etkileşim yüzeyi oluşturulana kadar eğilme momentlerinde orantılı değişimler varsayılır. İlgili iç kuvvetlerin değişimi, (N_Ed,0,0) noktasını ve etkiyen iç kuvvetler tarafından tanımlanan  noktayı (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) birleştiren doğru boyunca yatay bir düzlemde hareket olarak yorumlanabilir. Bu doğrunun etkileşim yüzeyiyle bulunan iki kesişim noktası, nihai sınır durumundaki iki kuvvet setini temsil eder. Her kesişim noktasında program, sınır durumundaki üç kuvveti belirler: tasarım dayanım momentleri M_Rdy, M_Rdz ve (buna karşılık gelen) etkiyen tasarım normal kuvveti N_Ed.

NMuMu Yöntemi

Kesitin dayanımını tanımlamak için, sabit normal kuvvet (etkiyen tasarım normal kuvvetine eşit) ve etkileşim yüzeyi oluşturulana kadar eğilme momentlerinde orantılı değişimler varsayılır. İlgili iç kuvvetlerin değişimi, (N_Ed,0,0) noktasını ve etkiyen iç kuvvetler tarafından tanımlanan noktayı (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) birleştiren doğru boyunca yatay bir düzlemde hareket olarak yorumlanabilir. Bu doğrunun etkileşim yüzeyiyle bulunan iki kesişim noktası, nihai sınır durumundaki iki kuvvet setini temsil eder. Her kesişim noktasında program, sınır durumundaki üç kuvveti belirler: tasarım dayanım momentleri M_Rdy, M_Rdz, ve (buna karşılık gelen) etkiyen tasarım normal kuvveti N_Ed.

Kesit tepkisinin bulunması

Kesitin kontrol edilmesinin bir diğer yolu, kesit tepkisinin bulunmasıdır (yani etkiyen iç kuvvetlerden kaynaklanan gerinim ve gerilme dağılımı). Bu yöntem, sınır deformasyon yöntemi olarak da bilinir. Her liftteki (düzlemsel eğilme durumunda her tabakadaki) ve her donatı çubuğundaki etkiyen gerilme düzeyi, malzemenin gerilme-gerinim diyagramındaki gerinime bağlı olarak hesaplanır.
Kesit tepkisinin bulunması, [6]'da belirtilen sayısal yöntem kullanılarak hesaplanır. İlke, aktarılamayan kuvvetlerin dengesiz bileşenleriyle kesitin kademeli yük artışından oluşur. Bunlar, gerilme-gerinim diyagramları kullanılarak kesit üzerindeki gerilmenin integrasyonuyla elde edilir. Gerilme-gerinim diyagramında gerinim için gerilme değeri bulunabiliyorsa, aşağıdaki Şekil (a)'ya bakınız, doğrusal elastik malzeme varsayımıyla hesaplanan gerilme doğrudur. (b) ve (c) durumlarında, doğrusal hesap için gerilme gerçekçi olmayan değerlere ulaşır ve (b) kısmı veya tüm değer (c) malzeme tarafından aktarılamaz. Aktarılamayan gerilmelerin integrasyonuyla aktarılamayan iç kuvvetler elde edilir ve bunların bileşkeleri değişken yüklerin iç kuvvetlerine eklenmelidir. 

Gerilme-gerinim diyagramlarında aktarılamayan gerilmeler. [4]

Aktarılamayan iç kuvvetler. [4]

Bu hesap yöntemi, kesit alanı üzerindeki gerilmenin integrasyonu ve kesitteki denge denklemlerinin doğrusal olmayan analizi için sayısal yöntemlerin kullanılmasını gerektirir. İterasyon, yakınsama kriterlerinin sağlandığı anda sonlandırılır.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

burada 

F_e kesit yüküdür,

F_i kesit tepkisidir (gerinim düzlemine dayalı olarak hesaplanan iç kuvvetler).

Eğer a yaklaşık (tahmin edilen) değer ve b tam (gerçek) değer ise, mutlak sapma aşağıdaki denklemle verilir.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Bağıl sapma aşağıdaki formülle verilir:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Çoğu programda bu yakınsama kriterlerini ayarlayabilirsiniz (varsayılan değerler: bağıl hata için %1, normal kuvvet ve momentlerin mutlak hatası için 100 N, 100 Nm). 

Dolayısıyla N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm girişi ve iterasyon sonrası entegre kuvvetler N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm olduğunda, değerlendirme aşağıdaki gibi olacaktır. N ve Mz'nin 0'a eşit olduğu göz önünde bulundurularak mutlak sapma ile karşılaştırma yapılabilir:

Normal kuvvet değeri 100N> | 70 | N
Eğilme momenti Mz değeri 100Nm> | 20 | Nm
Eğilme momenti My değeri

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Tepkiye göre kesit kontrolü

Kesitte denge bulunması durumunda, düzlem gerinim bilinmektedir. Düzlem gerinimden, kesitteki herhangi bir noktadaki gerinimi, ardından malzemelerin gerilme-gerinim diyagramlarını kullanarak donatı çubuklarındaki, kesitteki veya kesit parçalarındaki gerilme ya da iç kuvvetleri hesaplayabiliriz. Hesaplanan gerilme ve gerinim değerlerini, kullanılan malzemelerin gerilme-gerinim diyagramlarındaki sınır gerinim değerleriyle karşılaştırırız.
Bu yöntemin avantajı, kesit üzerinde etkiyen iç kuvvetlerin kesitindeki gerilme ve gerinim değerlerine ilişkin eksiksiz bir görüntü elde etmemizi sağlamasıdır.

Kesme

Gevrek göçme açısından kesme kontrolü, betonarme bir kesitin önemli kontrollerinden biridir.

Hesap prosedürü

Kesme dayanımının hesabı birkaç temel bölümden oluşmaktadır. İlk olarak, kontrol edilen konumda eğilmeden kaynaklanan çatlakların oluşup oluşmadığı analiz edilmelidir. Çatlak varsa, EN 1992-1-1 [2], Madde 6.2.2 (1)'e göre hesap uygulanır. Aksi takdirde, grobeton mu yoksa az donatılı betonarme mi olduğu belirlenir ve EN 1992-1-1 Madde 12.6.3'e göre devam edilir.

Donatılı çatlamamış betonarme için (kesme donatısı olmaksızın) EN 1992-1-1 Madde 6.2.2 (2)'ye göre kontrol yapılır. Kesme donatısı gerektiren elemanlar için Madde 6.2.3 [2]'ye göre kontrol yapılır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Kesme donatısı olmayan elemanların kesme dayanımı

Çatlak eğilme bölgelerindeki elemanların kesme dayanımı (mad. 6.2.2 (1) [2])

Kesme donatısı olmayan ve eğilme momentine maruz betonarme elemanların kesme dayanımı aşağıdaki formülle verilir:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Bu formül, kesme kuvveti ile göçme durumunda temsili sayıda basit kiriş üzerinde gerçekleştirilen deneyler esas alınarak tanımlanmıştır. Yukarıdaki dayanım, boyuna donatısı (r_l) olmayan elemanlar için sıfır olabileceğinden, az donatılı elemanlar için denklemler türetilmiştir. Yukarıdaki dayanım, boyuna donatısı (r_l) olmayan elemanlar için sıfır olabileceğinden, az donatılı elemanlar için dayanım aşağıdaki denklemle belirlenmiştir:

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Normal kuvvetin etkisiyle kesme dayanımı aşağıdaki denklemle belirlenmiştir:

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

EN 1992-1-1 mad. 6.2.2 (1) ile uyumlu tam ifadesiyle kesme dayanımı:

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Minimum değer olarak:

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

burada  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          kesit yüksekliği faktörü 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      boyuna donatı için donatı oranı

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        betonun 28 günlük karakteristik basınç silindir dayanımı

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        çekme bölgesindeki kesitin en küçük genişliği

d          kesitin faydalı yüksekliği

υ_min      minimum eşdeğer kesme dayanımı υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Çatlamamış eğilme bölgelerindeki elemanların kesme dayanımı (mad. 6.2.2 (2) [2])

Çatlamamış eğilme bölgelerindeki elemanların kesme dayanımı Mohr çemberinden belirlenebilir. Aşağıdaki denkleme:

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

σ_x = σ_cp ve τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) değerleri yerleştirilerek V_Rd,c çözülür ve EN 1992-1-1 mad. 6.2.2 (2)'deki formüle karşılık gelen denklem elde edilir.

burada  

I           ikinci alan momentidir,

b_w        ağırlık merkezindeki kesit genişliğidir,

S          ağırlık merkezinin üzerindeki ve etrafındaki birinci alan momentidir,

f_ctd        betonun tasarım eksenel çekme dayanımı, MPa cinsinden,

 s_cp       yükleme ve/veya öngerme nedeniyle ağırlık merkezindeki beton basınç gerilmesidir,

a_l         aktarma uzunluğu faktörü, genellikle 1,0.

Yukarıdakiyle bağlantılı olarak şunu belirtmek gerekir: eğilme çatlağı olmayan bölgelerde V_Rd ,c dayanımı, Madde 6.2.2 (1) [2]'e göre çatlak bölgelere kıyasla önemli ölçüde daha yüksek olabilir. Aşağıdaki şekil açıkça göstermektedir ki, kesme kuvveti en uç değerinde kontrol edilse de (çatlak oluşturmayan), bu durum kuvvetin tüm kiriş boyunca aktarılacağını garanti etmez. Bu durum, betonun kesme dayanımının hesaplanma yöntemindeki değişiklikten kaynaklanmaktadır. Güvenli tarafta kalmak adına, çatlak oluşmayacak yerlerde de kesme dayanımı Madde 6.2.2 (1) [2]'e göre dikkate alınabilir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Madde 6.2.2 (2) [2]'ye göre V_Rd, c ifadesiyle ilgili olarak şunu da belirtmek gerekir: genel durumda, normal basınç gerilmesi bölgesinde en büyük asal beton çekme gerilmesinin oluştuğu liften hareketle kontrol yapılmalıdır; kesitin ağırlık merkezinden değil. Bu noktada kesit karakteristiklerinin (S ve b_W) hesaplanması gerekmektedir. IDEA RCS programında maksimum asal gerilme s₁'i belirlemek için ağırlık merkezinden bileşke kesme kuvvetleri doğrultusunda bir doğru çizilir. Bu doğru 20 sektöre bölünür. Bu doğru üzerinde daha fazla karakteristik nokta (kesit poligonunun noktaları, ağırlık merkezi, tarafsız eksen) sunulur. Bu noktalar arasında S, b_w, σ_x, τ_yz ve σ₁ hesaplanır. Maksimum asal çekme gerilmesi noktasında kesme dayanımı hesaplanır.

Madde 6.2.2 (6) tarafından istenen β azaltma faktörü uygulanmadan önceki kesme kuvveti, aşağıdaki ek koşulu sağlamalıdır:

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

burada 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Donatısız veya az donatılı elemanların kesme dayanımı (mad. 12.6.3 [2])

Grobeton veya az donatılı betonarme için kesme dayanımı aşağıdaki ifadeden belirlenebilir:

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Burada

τ_cp yerine aşağıdaki ifade kullanılır:

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

veya

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Yukarıdaki formülde kullanılan kısmi değerler aşağıdaki şekilde verilmiştir:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

burada  

f_cd,pl     Grobeton veya az donatılı betonarme için tasarım basınç dayanımı,

f_ctd,pl    Grobeton veya az donatılı betonarmenin tasarım eksenel çekme dayanımı,

f_cvd       Beton basıncı altında tasarım kesme dayanımı.

Kesme donatılı elemanların dayanımı (mad. 6.2.3 [2])

Kesme donatılı betonarme elemanların dayanım hesabı, değişken açılı diyagonallere sahip kafes analojisi yöntemine dayanmaktadır. Bu yöntemin temeli, basınç çubuğu kuvveti (diyagonal), kesme donatısı kuvveti (etriye) ve boyuna donatı kuvveti tarafından belirlenen üçgendeki kuvvetlerin dengesidir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Kesme yüküne maruz kesit, θ açısında çatlaklarla bölünür; bu nedenle kesme kuvvetleriyle aynı açıdaki beton diyagonali kesme kuvvetine karşı koyar. Diyagonalin basınç kuvveti V_ed/sinθ olarak ifade edilebilir. Bu kuvvet, basınç diyagonaline dik beton yüzeyi b_wzcosθ tarafından aktarılmalıdır. Basınç diyagonalindeki beton çekme gerilmesi şuna eşittir:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

\[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  ve \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] yerine koyarak ve \[{{V}_{Rd,max}}\] ifade edilerek diyagonalin kesme dayanımı için denklem elde edilir:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Basınç diyagonalindeki düşey kuvvet bileşenini dengelemek için kesme donatısı kullanılır. Düşey kuvvetin büyüklüğü, tek bir etriyeye karşılık gelen beton alanındaki diyagonal basınç gerilmesine dayanır - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Sınır etriye kuvveti \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\] olarak verilir. 

σ_c yerleştirilerek, donatıdaki sınır kuvvetiyle karşılaştırılarak ve düzenlemeler yapıldıktan sonra elde edilir:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Ardından V_ed yerine V_RDs yazılarak düşey kesme donatılı kesitin dayanımı elde edilir:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Boyuna kesme kuvveti boyuna donatı tarafından aktarılır ve V_edcotgθ olarak belirlenebilir. Yukarıdaki formüllerin türetilmesi [4]'te bulunabilir.

IDEA RCS programı kullanılarak yalnızca düşey kesme donatılı elemanlar kontrol edilebilir. Genel olarak aşağıdaki denklemler kullanılabilir:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Burada  

A_sw      kesme donatısının kesit alanıdır,

s           etriye aralığıdır,

f_ywd      kesme donatısının tasarım akma dayanımıdır,

b_w        çekme ve basınç başlıkları arasındaki minimum genişliktir. V_Rd,max dayanımının hesaplanmasında, kablo kanalları nedeniyle kesit zayıflamışsa kesit genişliği değeri sözde nominal kesit genişliğine indirilmelidir:

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ enjeksiyonlu metal kanallar için

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ enjeksiyonsuz metal kanallar için           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa veya  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       basınç başlığındaki gerilme durumunu dikkate alan katsayıdır.

Yük	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Katsayı acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 α_cw katsayısının belirlenmesi

θ açısı, beton basınç çubuğu ile kesme kuvvetine dik kiriş ekseni arasındaki açıdır. cotθ için kullanılacak sınır değerler ülkenin Ulusal Ekinde bulunabilir. Önerilen sınırlar aşağıdaki ifadeyle verilmiştir:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

θ açısının büyüklüğünün seçimi dayanım değerlerini etkileyebilir. Dayanımların bağımlılığı Şekil 1.15'te görülmektedir. Şekil, θ açısının artmasıyla V_Rd,max dayanımının arttığını, V_Rd,s dayanımının ise azaldığını göstermektedir. V_Rd,c dayanımı sabittir; zira kafes analojisi yöntemine dayanmaktadır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Kesme için kesit karakteristiklerinin hesabı

Kesme hesabı için kesme dayanımını etkileyen kesit değişkenlerinin hesaplanması önemlidir. Bu değişkenler başta kesmeye karşı koyan kesit genişliği b_w, faydalı yükseklik d ve kol uzunluğu z'yi kapsamaktadır. Yönetmelik [2], bu değerleri doğrudan gerçek eğilme gerilmesiyle ilişkilendirerek vermektedir. Ancak sorun, bileşke eğilme momentlerinin yönü (ya da daha doğrusu kesit dayanımı bileşkesinin yönü) bileşke kesme kuvvetlerinin yönünden önemli ölçüde farklı olduğunda bu değerlerin belirlenmesindedir. Bu durumda EC2 yönetmeliği herhangi bir öneri sunmamaktadır.

Kesmeye karşı koyan kesit genişliği b_w

IDEA RCS programı, kesme kuvvetleri bileşkesine dik doğrultuda kesmeye karşı koyan kesit genişliğini hesaplar. Eurocode'daki ilgili maddeye bağlı olarak bu genişlik şu şekilde hesaplanır:
-  Madde 6.2.2 (a) ve 6.2.3 (1) için, kesme kuvvetleri bileşkesine dik doğrultuda beton basınç bileşkesi ile çekme donatısı arasındaki en küçük kesit genişliği
- Madde 6.2.2 (2)'ye göre, kontrol edilen noktada kesme kuvvetleri bileşkesine dik doğrultudaki kesit genişliği

Kesitin faydalı yüksekliği

Faydalı yükseklik genellikle en çok sıkışan beton lifinden donatının ağırlık merkezine olan mesafe olarak tanımlanır. Doğrudan eğilmeyle ilişkili olduğundan, bu mesafe düzlem şekil değiştirmenin ağırlık doğrusuna dik projeksiyon olarak verilir.

Bu tanım, çekme donatısının ağırlık merkezi yerine donatı kuvvetleri bileşkesinin konumunun kullanılması şeklinde açıklanabilir. IDEA RCS programının geliştirilmesi sürecinde şu sorun çözülmüştür: eğilme yüklerinin düzleminin kesme kuvvetleri bileşkesinin yönüyle örtüşmediği durumlarda kesitin faydalı yüksekliği nasıl tanımlanacaktır. Bu nedenle faydalı yükseklik, en çok sıkışan beton lifinden çekme donatısındaki kuvvetler bileşkesine (eğilme gerilmesine göre) ve kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünde olan mesafe olarak tanımlanmıştır; bkz. Şekil 1.17.

Sıkışan lifi veya çekme donatısındaki bileşkeyi belirleyemediğimiz durumlarda istisnai haller ortaya çıkacaktır. Bu durumda 0,9 h değerinin (kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünde kesit yüksekliğinin %90'ı) kullanılması önerilir. Bu değer, kullanıcı tarafından IDEA RCS programında yönetmelik değişkenleri ayarından tanımlanabilir.

İç kuvvetlerin kol uzunluğu

İç kuvvetlerin kol uzunluğu 6.2.3 (3) [2]'de yer almakta olup "çekme ve basınç başlıkları arasındaki mesafe" olarak tanımlanmaktadır. Yönetmelik, etkiyen eğilme momentinin düzleminin kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünden farklı olduğu durumlarda nasıl devam edileceğini tanımlamamaktadır. Bu nedenle, faydalı yükseklik durumunda olduğu gibi, mesafeyi kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünde tanımlarız. Burada da benzer istisnai durumlarla karşılaşılabilir; örneğin tüm kesitin basınç altında olması vb. Bu durumda 0,9 d değeri (faydalı kesit yüksekliğinin %90'ı) alınır. Bu değer, kullanıcı tarafından IDEA RCS programında yönetmelik değişkenleri ayarından belirlenebilir.

Eğilme düzlemi eğimi ile kesme kuvveti bileşkesi arasındaki bağımlılık Şekil 1.18 ve Şekil 1.19'da açıkça görülmektedir. Eğimin artmasıyla faydalı yükseklik, kol uzunlukları ve ilgili dayanım değerleri azalmaktadır. Sınır durum 90°'dir. Bu eğim için iç kuvvetlerin kol uzunluğu hesaplanamaz ve dolayısıyla kol uzunluğu sıfıra eşit olur. Bu durumda yönetmelik değişkenleri ayarında belirtilen değer dikkate alınır. Bu nedenle grafiğin sonunda bir sıçrama oluşur. Bu çalışma, eğim için önerilen maksimum değerin yaklaşık 20° olduğunu kanıtlamaktadır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

RCS uygulamasının test sürecinin bir parçası olarak, kesme dayanımının normal kuvvet değişimine bağımlılığına ilişkin bir çalışma yürütülmüştür. V_Rd,max dayanımı yalnızca α_cw katsayısından etkilenmektedir; bkz. Şekil 1.20. Şekil 1.21, V_Rds dayanımının sabit değerini göstermektedir. V_Rdc dayanımında ise normal kuvvetin artması azalmaya neden olmaktadır. Şekil 1.21'deki mavi eğri, çatlakların etkisi göz ardı edilerek hesaplanan V_Rdc dayanımını göstermekte olup madde 6.2.2 (1) [2]'deki formül kullanılarak hesaplanmıştır. Basınç ile çekme arasındaki geçişteki sıçrama, katkıda bulunan çekme donatısından kaynaklanmaktadır. Kırmızı eğri, madde 6.2.2 (2) [2]'deki formül kullanılarak hesaplanmıştır. İlk çatlak oluştuktan sonra bağımlılık eğrisi, 6.2.2 (1) [2] için olanla aynıdır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Burulma

Hesap varsayımları

Burulmaya maruz kalan betonarme bir kesitin davranışı iki kategoriye ayrılabilir - çatlakların ilk kez oluşmasından önce ve sonra. Çatlak oluşmadan önce kesit elastik malzeme gibi davranır. Burulma gerilmesi aşağıdaki formülle ifade edilebilir   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

burada W_t burulmadaki kesit modülüdür.

Donatısız elemanda asal çekme burulma gerilmesinden kaynaklanan çatlaklar da nihai sınır durumudur. Burulmaya maruz kalan betonarme bir kesitin davranışı, ince cidarlı kapalı kesit esasına göre tanımlanabilir, bkz. aşağıdaki Şekil. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Hesap prosedürü

Burulma için betonarme yönetmelik kontrolü süreci, kesme için yapılan kontrole çok benzerdir. Her şeyden önce, betonarme direncini kontrol ederiz. Betonarme kontrolü sağlanıyorsa, donatı detaylandırma kuralları kullanılarak tasarlanabilir. Aksi takdirde, donatıyı ve basınçlı diyagonal direncini hesaplamayla doğrulamamız gerekir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Direnç

Burulma altındaki ince cidarlı bir kesitin cidarındaki kesme akısı şu şekilde ifade edilebilir:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

İnce cidarlı bir kesitin cidarındaki kesme kuvveti şu şekilde ifade edilebilir:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Burada 

τ          Cidardaki kesme akısı,

t_ef         etkin cidar kalınlığıdır,

z           cidarın kenar uzunluğudur,

T_Ed       burulma momentidir,

A_k        iç boşluk alanları dahil, bağlantı cidarlarının eksen çizgileriyle çevrelenen alandır.

Burulma çatlama momenti, f_ctd önceki ifadeye yerleştirilerek belirlenebilir. Böylece burulma donatısı olmaksızın burulmadaki direnç ifadesini elde ederiz.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

burada  f_ctd       betonun tasarım eksenel çekme dayanımı

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Burulma donatılı elemanın direnci, kafes analojisi yöntemine dayanan basınçlı beton diyagonallerinin direncinden oluşur. Diyagonaldeki basınç gerilmesi, göz önünde bulundurulan cidar yüzeyindeki ince cidarlı kesitin cidarındaki kesme kuvveti yardımıyla ifade edilebilir, yani

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

σ_c=σ_cwf_cd ve T_Ed=T_Rd,max yerine koyarak ve T_Rd,max ifade edilerek basınçlı diyagonal direnci için denklem elde edilir

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

burada  

ν          = 0,6 f_ck ≤ 60MPa için veya f_ck > 60MPa için

α_cw       basınç başlığındaki basınç gerilmesi durumunu dikkate alan katsayı

f_cd        betonun basınç dayanımının tasarım değeri

burulmaya maruz kesme donatısı direnci yine basınç diyagonalindeki gerilmeye dayanır. Etriye kuvveti, belirli etriye hattına karşılık gelen alandaki sıkışmış diyagonaldeki gerilmeye eşittir, yani

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

T_Ed=T_Rd,s yerine koyarak ve T_Rd,s ifade edilerek denklem elde edilir:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Boyuna ve kesme donatısı miktarı biliniyorsa, θ açısı aşağıdaki ifadeyle tanımlanabilir

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

T_Rd,s yerine koyarak elde edilir

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Burada

A_sw      kesme donatısı alanı

s           kesme donatısı etriyelerinin radyal aralığıdır

f_ywd      kesme donatısının etkin tasarım dayanımıdır

A_sl       boyuna donatı alanı

u_k         kesitin dış çevresidir

f_ywd      boyuna donatının etkin tasarım dayanımıdır

Boyuna donatıdaki kuvvet, saf burulma momentine maruz bir kesitin cidarındaki kesme kuvvetinden türetilebilir ve şu şekilde verilir:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Bu kuvvet boyuna yöne dönüştürüldüğünde elde edilir:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

θ açısı için izin verilen değer aralığı kesme kontrolüne benzerdir, yani 1 < cot θ < 2,5. Dirençler arasındaki bağımlılık aşağıdaki Şekil'de görülebilir. Diyagram, θ açısının artmasıyla T_Rd,max direncinin arttığını, T_Rd.s direncinin azaldığını ve T_Rd,c direncinin sabit kaldığını göstermektedir; zira bu direnç kafes analojisi yöntemine dayanmamaktadır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Burulma için kesit özelliklerinin hesabı

Kesitin burulma açısından kontrol edilebilmesi için eşdeğer ince cidarlı kapalı bir kesit oluşturulması gerekmektedir. Eşdeğer ince cidarlı kesitin boyutları dikdörtgen şekil varsayılarak belirlenir. Dikdörtgenin gerçek alanı A = b×h ve dikdörtgenin çevresi u =2 (b +h) olarak alınır. Bu iki denklem kullanılarak orijinal kesitin eşdeğer ince dikdörtgen şeklindeki alanı ve çevresi elde edilebilir. İki bilinmeyenli iki denklem çözülerek elde edilir:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Etkin kesitin cidar kalınlığı çevre ve kesit alanından şu şekilde tanımlanabilir:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Ardından etkin kesitin eksen çizgisiyle tanımlanan alan ve çevre:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Bu yöntemin sorunu, boyutların hesaplanmasında genel alan ve çevrenin (bu plak dahil) kullanıldığı geniş plakalı T tipi kesitler için geçerlidir. IDEA RCS programının gelecekteki sürümlerinde, burulma kontrolünde kullanılacak en kütleli kesit parçasının seçimi mümkün kılınacaktır.

Etkileşim

Kesme kuvveti ve burulmanın kesme donatısı üzerindeki etkileşimi

Kesme kuvvetinden kaynaklanan kesme donatısındaki kuvvetin belirlenmesi. 

Hesaplama, EN 1992-1-1'de tanımlanan kesme donatısı direncinin hesaplanmasına ilişkin formüle dayanmaktadır. Denklem 6.13'e (bölüm 6.2.3 (4)) göre, bir etriye kolunun taşıma kapasitesi şu şekilde türetilebilir:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . dikkate alınan kesitteki kesmeye karşı koyan bir etriye kolunun kesit alanı

s .  .  .  .  . boyuna eleman ekseni doğrultusunda kesme donatısının aralığı 

a_sw,V .  .  . birim uzunluk başına kesme donatısının kesit alanı

z .  .  .  .  . iç kol uzunluğu. Sabit derinlikli bir eleman için, dikkate alınan elemanın eğilme momentine karşılık gelir. Eksenel kuvvet olmaksızın betonarme kesme hesabında, yaklaşık z = 0,9d değeri genellikle kullanılabilir.

f_ywd .  .  .  kesme donatısının tasarım akma dayanımı

θ .  .  .  .  . betonarme basınç çubuğu ile kesme kuvvetine dik eleman ekseni arasındaki açı

α .  .  .  .  . kesme donatısı ile kesme kuvvetine dik eleman ekseni arasındaki açı

β .  .  .  .  . etriye kolunun uygulanan kesme kuvvetinin bileşkesine göre eğimi

Kesme kuvveti, donatının açısına ve bireysel etriye kollarının eksenel rijitliğine bağlı olarak kesme kuvvetine karşı koyan bireysel donatılar arasında eşit şekilde dağıtılır.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Ayrıca, bileşke kesme kuvveti doğrultusunda dikkate alınan ortalama donatı gerinimi türetilebilir:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

i-inci donatının gerçek gerinimi şu şekilde hesaplanabilir:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Belirli bir donatı kolundaki çekme gerilmesi:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Burulmadan kaynaklanan bireysel etriyelerdeki kuvvetin belirlenmesi

Bir kesitin burulma direnci, dengenin kapalı bir kayma akışıyla sağlandığı ince cidarlı kapalı bir kesit esas alınarak hesaplanabilir. Dolu kesitler, eşdeğer ince cidarlı kesitlerle modellenebilir. Dolu olmayan kesitlerde, eşdeğer duvar kalınlığı gerçek duvar kalınlığını aşmamalıdır.

Burulmadan kaynaklanan ince cidarlı kapalı bir kesitin duvarlarındaki kayma akışı şu şekilde hesaplanabilir:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Belirli bir duvardaki kesme kuvveti ise:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . dikkate alınan duvarın eksen çizgisinin uzunluğu

Gövdedeki kesme kuvveti - gövde eksen çizgisinin uzunluğu, "z" kol uzunluğu değeriyle ikame edilebilir.

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Eleman uzunluğunun bir metresine (birim uzunluk başına) burulmaya karşı koyan etriyelerdeki kuvvet:

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Bireysel etriyeler için kuvvetlerin ayrıştırılması

Tüm etriyeler için aynı malzeme tanımlanmışsa, her etriye kolundaki burulmadan kaynaklanan gerilme sabittir. Bu durumda:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

burada a_sw,T, birim uzunluk başına burulmaya karşı koyan etriyelerin toplam alanıdır.

Bireysel etriyelerin farklı malzemelere sahip olması durumunda, bireysel çubukların eksenel rijitliği dikkate alınmalıdır.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . burulmaya karşı koyan donatı kollarının (donatı gruplarının) sayısı

F_si,T .  .  . birim uzunluk başına burulmadan kaynaklanan i-inci donatı grubundaki kuvvet

a_si,T .  .  . birim uzunluk başına burulmaya karşı koyan kesme donatısının kesit alanı 

E_si,T .  .  . burulmaya karşı koyan i-inci donatı grubunun elastisite modülü

ε_sw,T .  .  burulmadan kaynaklanan donatıdaki gerinim

Uygulanan burulmadan kaynaklanan her etrijedeki sonuç gerilmesi şu şekilde hesaplanır:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T etkileşimi

Kesme ve burulmadan kaynaklanan etriyelerdeki gerilmelerin hesabı, bireysel yük bileşenlerinden kaynaklanan gerilmelerin toplamıdır.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

i-inci donatıdaki sonuç kuvveti:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Boyuna donatı için kesme, burulma ve eğilmenin etkileşimi

Normal kuvvet ve eğilme momentinden kaynaklanan her boyuna donatıdaki kuvvetin belirlenmesi

RCS uygulaması, bireysel boyuna çubuklar ve öngerilmeli donatıdaki gerilme ve gerinimi belirlemek amacıyla normal kuvvet ve eğilme momenti kombinasyonundan kaynaklanan kesit tepkisini hesaplamak için kullanılır.

Kesme kuvvetinden kaynaklanan bireysel boyuna donatıdaki kuvvetin belirlenmesi

Kesme kuvvetinden kaynaklanan boyuna donatıdaki çekme kuvveti artışı ΔF_td, Çubuk model yöntemi modelinin geometrisine bağlıdır. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  kesme kuvvetinden kaynaklanan boyuna donatıdaki çekme kuvveti artışı

V_ed .  .  .  . dikkate alınan kesitte etkiyen kesme kuvvetinin tasarım değeri

θ .  .  .  .  . betonarme basınç çubuğu ile eleman ekseni arasındaki açı 

α .  .  .  .  . kesme donatısı ile eleman ekseni arasındaki açı

Çekme başlığında yer alan boyuna donatı için, N+M+V kombinasyonundan kaynaklanan boyuna donatıdaki sonuç kuvveti F_t, M_Ed,max/z değerini aşmamalıdır (burada M_Ed,max, kiriş boyunca maksimum momenttir)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

ΔF_td kuvveti, kesmeye karşı koyan kesit bölümünde (I-profil durumunda gövde) yer alan tüm aderanslı öngerilme telleri ve donatılar tarafından taşınır. Güvenli tarafta kalmak adına, öngerilme donatısının katkısı 0 olarak kabul edilebilir. Hesabın varsayımı, kesmeye karşı koyan bireysel boyuna donatıların eksenel gerinim artışının sabit olduğudur (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = sabit). Türetme, yatay plastik dallı bilineer donatı çalışma diyagramı için geçerlidir. Eğimli dallı bir diyagram durumunda, hesap değiştirilmelidir.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . kesme kuvvetinden kaynaklanan boyuna donatıdaki gerinim artışı

n_s,V .  .  .  . kesme kuvvetine karşı koyan boyuna donatıların sayısı

A_sl,i,V .  .  . kesme kuvvetine karşı koyan i-inci boyuna donatının alanı

E_sl,i,V .  .  . kesme kuvvetine karşı koyan i-inci boyuna donatının elastisite modülü

n_p,V .  .  .  . kesme kuvvetine karşı koyan kiriş tellerinin sayısı

A_pl,i,V .  .  . kesme kuvvetine karşı koyan i-inci kiriş telinin alanı

E_pl,i,V .  .  . kesme kuvvetine karşı koyan i-inci kiriş telinin elastisite modülü

ΔF_td kuvvetinin değeri belirlendikten sonra, ortalama donatı gerinimi Δε_V hesaplanabilir.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Uygulanan kesme kuvvetinden kaynaklanan bireysel boyuna çubuklardaki gerilme artışı:

donatı çubuğu için \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

kiriş teli için \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Burulmadan kaynaklanan her boyuna donatıdaki kuvvetin belirlenmesi

Burulmaya karşı koyan boyuna donatıların belirlenmesi son derece önemlidir. Bunlar, burulmaya karşı koyan alternatif etkili ince cidarlı kesitte yer alan donatılardır.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

EN 1992-1-1'e göre, boyuna burulma dirençli donatı için birkaç koşulun sağlanması gerekmektedir:

- donatı z_i uzunluğu boyunca eşit şekilde dağıtılmalıdır; ancak küçük kesitlerde donatı etriyenin köşelerinde yoğunlaştırılabilir

- boyuna donatının maksimum eksenel aralığı 350 mm'dir

Öngerilme donatısının katkısı EN 1992-1-1'e göre dikkate alınmamaktadır.

EN 1992-2 standardı, öngerilme donatısının katkısının dikkate alınabileceğini, ancak öngerilme donatısındaki maksimum gerilme artışının Δσ_p ≤ 500MPa'yı aşmaması gerektiğini belirtmektedir. Bu durumda formül şu şekilde değiştirilebilir:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Ancak öngerilme donatısının artışı dikkate alınabilse de bu kullanıcının tercihine bırakılmıştır. Şu anda hesaplamada öngerilme donatısı dikkate alınmamaktadır. 

Hesabın varsayımı, kesmeye karşı koyan her boyuna donatının eksenel gerinim artışının sabit olduğudur (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = sabit). Türetme, yatay plastik dallı bilineer donatı çalışma diyagramı için geçerlidir. Artan dallı bir diyagram durumunda, hesap değiştirilmelidir.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . dikkate alınan kesitte uygulanan burulma momentinin tasarım değeri

θ .  .  .  .  . kirişin boyuna eksenine göre basınç diyagonallerinin eğimi (kesme kuvveti için kullanılanla aynı)

u_k .  .  .  .  A_k alanının çevresi

A_f .  .  .  .  yedek içi boş ince cidarlı kesitin eksen çizgisiyle tanımlanan alan

n_s,T .  .  .  .burulmaya karşı koyan boyuna betonarme donatıların sayısı

A_sl,i,T .  .  . burulmaya karşı koyan i-inci boyuna betonarme donatının alanı

Δε_T .  .  .  .burulma momentinden kaynaklanan boyuna donatı deformasyonundaki değişim

Δσ_s,i,T .  .  burulma momentinden kaynaklanan i-inci boyuna donatıdaki gerilme değişimi

E_sl,i,T .  .  . burulma momentine karşı koyan i-inci boyuna betonarme donatının elastisite modülü

Uygulanan burulma momentinden kaynaklanan her boyuna donatıdaki gerilme artışı:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Gerilme sınırlama kontrolü

Kontrol, kesit için iki durumun çözüldüğü genel varsayımlara dayanmaktadır: çatlamamış kesit (betonun çekme dayanımı göz ardı edilmez) ve tamamen çatlamış kesit (betonun çekme dayanımı göz ardı edilir). Beton çekme dayanımının göz ardı edildiği çözüm, EN 1992-1-1 Madde 7.1 (2) varsayımları kapsamında değerlendirilir.

Gerilme ve sehim hesaplanırken, eğilmedeki çekme gerilmesi f_ct, eff değerini aşmıyorsa kesit çatlamamış olarak kabul edilir. f_ct, eff değeri f_ctm veya f_ctm,fl olarak alınabilir. Çatlak genişliği ve çekme rijitliği hesaplanırken f_ctm değeri kullanılır.

Bu kontrolün bir parçası olarak, gerilme sınırı açısından dört temel durum ele alınmaktadır.

• 7.2 (2) XD, XF ve XS maruziyet sınıflarındaki ortamlara maruz kalan elemanlardaki basınç gerilmesi sınırlandırılmalıdır:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) Yarı kalıcı yükler altında betondaki gerilme sınırlandırılır:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Karakteristik yük kombinasyonu altında donatıdaki çekme gerilmeleri sınırlandırılmalıdır:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Gerilmenin zorunlu bir deformasyondan kaynaklandığı durumlarda, çekme gerilmesi şu değeri aşmamalıdır:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Bir ülkede kullanılacak k₁, k₂, k₃, k₄ değerleri o ülkenin Ulusal Ekinde bulunabilir. Önerilen değerler sırasıyla 0,8; 1 ve 0,75'tir; donatının karakteristik akma gerilmesi, f_ck 28 günde belirlenen karakteristik silindir dayanımı f_ck.

Çatlaklar

Çatlak oluşumu

Eğilme veya çekme gerilmesi altındaki betonarme yapıların karakteristik bir özelliği, betondaki çekme gerilmesinin betonun çekme dayanımını aştığı noktalarda çatlak göçmesinin meydana gelmesidir. Yapının dayanıklılığı ve aynı zamanda estetiği açısından, oluşan çatlakların mümkün olduğunca küçük olmasını sağlamak önemlidir. Çatlak genişliklerinin hesabı ile farklı maruziyet sınıfları için izin verilen maksimum genişlikler EN 1992-1-1, Bölüm 7.3'te verilmektedir.

Hesabın ilk adımında, kesitin çatlamış olup olmadığı belirlenir. Çatlak genişliğinin kendisi her zaman yarı-kalıcı veya sık yük kombinasyonundan (ulusal eke bağlı olarak) hesaplanır; ancak çatlak oluşumu tüm belirtilen SLS kombinasyonlarından kontrol edilmelidir. Bu nedenle iki durum ortaya çıkabilir:

• Beton liflerindeki maksimum çekme gerilmesi, hiçbir yük kombinasyonundan (yarı-kalıcı M_E,qp, sık M_E,fr veya karakteristik M_E,k) betonun çekme dayanımını aşmayacak ve dolayısıyla kesiti çatlaksız olarak değerlendiririz.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Herhangi bir kombinasyon için çatlaklar oluşursa (yarı-kalıcı, sık veya karakteristik), yani dikkate alınan yük kombinasyonundan oluşan eğilme momenti kritik moment M_cr'den büyükse, kesit o yük kombinasyonundan çatlamış kabul edilir ve çatlamış kesitin karakteristikleri ile çatlak genişliği hesaplanmalıdır.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   herhangi bir SLS yük kombinasyonundan elde edilen eğilme momenti. Dolayısıyla M_E,qp, M_E,fr veya M_E,k olabilir. 

f_ct,ef   .   .  dikkate alınan zamandaki betonun çekme dayanımı. Beton 28 günden daha eski ise f_ctm'ye eşit bir dayanım dikkate alınır.

Çatlak genişliği hesabı

Eğilme yüklü bir elemanda çatlak oluşumu 2 olguya ayrılır:

• Çatlak oluşum aşaması (Şekil 1'de aşama numarası 2)
• Kararlı çatlak gelişimi (Şekil 1'de aşama numarası 3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Çatlak gelişim aşaması

Bu, elemanın çekme bölgesinin tamamı boyunca yaklaşık olarak eşit dağılmış çatlaklardan etkilenene kadar bireysel çatlakların hâlâ kademeli olarak ortaya çıktığı sürecin başlangıç kısmıdır. İlk çatlak, gerilen şeritteki kuvvetin kritik kuvvet N_r değerini (aşağıya bakınız, Kritik çekme kuvveti) aştığında oluşur ve gerilen şeritteki kuvvetin yaklaşık 1,3N_cr'ye eşit olduğu yük seviyesine kadar daha fazla çatlak gelişir (Şekil 1'de aşama numarası 2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Gelişen çatlaklar 2 türe ayrılır - birincil ve ikincil çatlaklar. Birincil çatlaklar, betonun etkin çekme dayanımına (f_ct,eff) ulaşıldığında çekme liflerinde meydana gelir. Birincil çatlaklar ilk çatlak örüntüsünü temsil eder (Şekil 2). Daha kısa ikincil çatlaklar daha sonra birincil çatlaklar arasında oluşur (Şekil 3). Yaklaşık 1,2 ila 1,5 σ_sr'ye karşılık gelen gerilmelerde (genellikle 1,3 σ_sr'nin ortalama değeri dikkate alınır; burada σ_sr, betonun çekme bölgesindeki birincil çatlakların oluşumunda donatıdaki gerilmedir), ikincil çatlakların gelişimi de tamamlanır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Çatlak oluşum aşamasındaki çatlak genişliği aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Kararlı çatlak aşaması

Çekme bölgesindeki kritik kuvvetin yaklaşık 1,3 katının aşılmasının ardından yeni çatlaklar oluşmaz, elemandaki çatlak sayısı kararlı hale gelir ve yalnızca mevcut çatlakların genişliği daha fazla yüklemeyle artar (Şekil 1'de aşama numarası 3).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Kararlı gelişim sırasındaki çatlak genişliği şu şekilde hesaplanabilir:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritik çekme kuvveti

Hesap, Gerilme Çubuğu Modeli'ne (TCM) dayanmaktadır. Temel düşünce, A_s,eff alanına sahip bir donatı çubuğunun etrafını saran A_c,eff etkin çekme betonu alanından oluşan ve çekme dayanımı f_ct,eff aşılana kadar (normalde f_ctm dikkate alınır) çekme gerilmesine karşı koyabilen bir betonarme şeridin nihai kapasitesini hesaplamaktır. Donatı ile beton arasında tam aderans varsayıldığında, ilk çatlak oluşana kadar donatının ve çevresindeki betonun yeniden şekillenmesinin özdeş olduğu kabul edilebilir. Ardından ilk çatlaktan hemen önce çekme şeridindeki maksimum kuvvet N_r belirlenebilir:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Aşağıdaki değişken dönüşümü yapılarak

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

elde edilir:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

İlk çatlağın oluşumundan hemen sonra, N_r kuvvetinin tamamı donatı tarafından taşınır ve dolayısıyla yeni oluşan çatlaktan geçen donatıdaki gerilme şu şekilde hesaplanabilir:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

EC 1992-1-1'e göre çatlak genişliği hesabı

Betonarme elemanlardaki çatlak genişliğini hesaplamak için aşağıdaki denklem kullanılır:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maksimum çatlak aralığı

ε_sm  .   .   .   .   çekme rijitliği etkileri dahil olmak üzere yük kombinasyonundan elde edilen donatının ortalama gerinimі.

ε_cm  .   .   .   .   çatlaklar arasındaki betonun ortalama gerinimі

Gerinim farkının hesabı

Çatlaklar arasındaki donatı ve beton gerinim farkı aşağıdaki denklemden elde edilebilir:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   dikkate alınan yük kombinasyonundan çatlaktaki donatıdaki gerilme

k_t      .   .   .   .   yükün süresine bağlı olarak ortalama gerinimі dikkate alan ampirik bir katsayı. Kısa süreli analiz için 0,6 değerini alabilir. Uzun süreli analiz için, kompozitin rijitliğinin yaklaşık %70'e düşürülmesi dikkate alınır; dolayısıyla değeri 0,4'tür ve bu değer, zamanla donatı ile beton arasındaki aderansın bozulma hızını içerir.

α_e     .   .   .   . elastisite modüllerinin etkin oranı

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   etkin donatı oranı

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   donatıyı çevreleyen çekme bölgesindeki betonun etkin alanı (A_c,eff'nin belirlenmesi aşağıda verilmiştir)

A_s,_eff .   .   .   .   A_c,_eff alanında bulunan aderanslı donatının alanı

A_p´    .   .   .   .   A_c,_eff içindeki ön veya ardgermeli kiriş tellerinin alanıdır

ξ₁  .   .   .   .   .   öngerme ve donatı çeliğinin farklı çaplarını dikkate alan, düzeltilmiş aderans dayanımı oranıdır:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . öngerme ve donatı çeliğinin aderans dayanımı oranı (Tablo 6.2)

ϕ_s   .   .  donatı çeliğinin en büyük çubuk çapı

ϕ_p   .   .  öngerme çeliğinin çapı veya eşdeğer çapı

Demetler için A_p, kiriş telindeki donatının alanıdır

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

φ_wire'ın tel çapı olduğu tek yedi telli demetler için

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

φ_wire'ın tel çapı olduğu tek üç telli demetler için

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Çatlamayı önlemek için yalnızca öngerme donatısı kullanılıyorsa, aşağıdaki husus dikkate alınmalıdır.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Öngerilmeli elemanlarda, karakteristik yük kombinasyonu ve öngerme kuvvetinin karakteristik değeri altında herhangi bir lifteki çekme gerilmesi betonun çekme dayanımı f_ct,eff'yi aşmadığı sürece minimum aderanslı donatı alanı gerekmez. (daha fazla ayrıntı için bkz. EN 1992-1-1 md. 7.3.2)

Çekme bölgesindeki betonun etkin alanı

Hesabın önemli ancak aynı zamanda en karmaşık adımı, donatıyı çevreleyen çekme betonunun etkin alanının belirlenmesidir. Hem Eurocode hem de Model Code, betonarme elemanın tek eksenli eğilme veya çekme ile yüklendiği basit yükleme durumlarını dikkate alır. Etkin yüksekliğin değeri şu şekilde belirlenir:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Genellikle h_c,eff = 2,5(h-d) değeri belirleyicidir. Çekme elemanları için üst sınır h/2 iken, eğilmeli elemanlar için (h-x)/3'tür. Ancak A_c,eff alanı aynı zamanda 5(c+ϕ/2) denkleminden belirlenen genişlikle de sınırlandırılır. Donatılar arasındaki aralık 5(c+ϕ/2)'den büyükse, bireysel çubuklar için 5(c+ϕ/2) genişliğindeki gerilen betonun etkin alanı dikkate alınır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maksimum çatlak aralığı

Maksimum çatlak aralığı s_r,max hesaplanırken iki durum ortaya çıkabilir:

• Aderanslı donatının eksenel aralığı 5(c+ϕ/2) mesafesini aşmıyor - Şekil 9a
• Aderanslı donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2)'den büyük - Şekil 9b

Donatıların eksenel aralıklarının 5(c+ϕ/2) değerini aşmadığı durum için maksimum çatlak aralığı s_r,max hesabı aşağıdaki şekilde tanımlanır:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   mm cinsinden beton örtü değeri. Örtü değeri, kenar donatısı için hem yatay hem de düşey kenarlara göre farklı olabileceğinden, dikkate alınan donatı için bulunan maksimum örtü değerinin esas alınması önerilir.

ϕ     .   .   .   .   aderanslı donatının çapı. Farklı donatı çapları söz konusu olduğunda, eşdeğer çap EN 1992-1-1 Denklem 7.12'ye göre hesaplanmalıdır.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . aderanslı donatının aderans özelliklerini dikkate alan bir katsayıdır

• k₁ = 0,8 yüksek aderanslı çubuklar için
• k₁ = 1,6 etkin düz yüzeyli çubuklar için (örn. öngerme kiriş telleri)

k₂ .   .   .   . gerinim dağılımını dikkate alan bir katsayıdır

• k₂ = 1,0 eğilme için
• k₂ = 0,5 saf çekme için

Dışmerkezli çekme veya yerel bölgeler için, aşağıdaki bağıntıdan hesaplanabilecek k₂'nin ara değerleri kullanılmalıdır:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  beton ile donatı arasındaki aderansın bozulduğu çatlak yakınındaki bölgenin uzunluğunu ifade eden katsayı. Temel EC k₃ = 3,4 önerilen değeri Ulusal Ek tarafından değiştirilebilir. 

k₄      .   .   .   .   betonun aderans ve çekme dayanımı arasındaki ilişkiyi ifade eden katsayı. Temel EC k4 = 0,425 önerilen değeri Ulusal Ek tarafından düzenlenebilir.

Donatıların eksenel aralıklarının 5(c+ϕ/2) değerini aştığı durum için maksimum çatlak aralığı s_r,max hesabı aşağıdaki şekilde tanımlanır:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Denkleme göre maksimum çatlak aralığı değerleri

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

her zaman aşağıdaki denklemle belirlenen değerlerden büyük olmalıdır

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

aksi takdirde yukarıdaki denklemlerden elde edilen daha büyük aralığın dikkate alınması önerilir. Beton/donatı gerinimіne ilişkin denklem, donatının büyük eksenel aralığı durumu için değiştirilmez. Çatlak genişliklerinin kontrol edildiği bölgelerde, bireysel donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2)'den büyük olmamalıdır.

RCS'de uygulanan çatlak genişliği hesabı

Etkin alan A_c,eff'nin belirlenmesi

Hangi donatının boyuna çatlak direnci donatısı olarak değerlendirilebileceğini belirlemek o kadar kolay olmadığından, A_c,eff aşağıdaki yinelemeli süreç kullanılarak belirlenir.

• Çekme etkisindeki tüm donatılardan çekme kuvveti merkezi C_g,s,1 belirlenir. Donatının etkin derinliği d, C_g,s ile bileşke eğilme momenti yönünde hesaplanan en çok sıkışan beton lifi arasındaki mesafedir. Aynı zamanda, çatlamış kesitin tarafsız ekseninin konumu ve sıkışan bölgenin yüksekliği x belirlenir. Bu, etkin yükseklik h_c,eff'nin belirlenmesini mümkün kılar:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• A_c,eff,1 dışında kalan tüm donatılar hariç tutularak yeni donatı merkezi C_g,s,2 belirlenir; yeni donatı etkin derinliği d ile birlikte etkin yükseklik h_c,eff, yalnızca değiştirilmiş giriş değerleriyle bir önceki adımla aynı şekilde belirlenir.

Dikkate alınan tüm gerilen donatıların A_c,eff,2 içinde yer aldığı yeniden kontrol edilir. Bu koşul sağlanırsa yineleme sonlandırılabilir ve h_c,eff,2, A_c,eff,2 ve A_s,eff,2 değerleri IDEA StatiCa RCS'de sonuç değerleri olarak görüntülenir.

Çatlak genişliği hesabının olası durumları

Genel olarak, çatlak genişlikleri hesaplanırken üç durum ortaya çıkabilir:

• Çekme donatısı A_c,eff bölgesinde yer almakta olup bireysel donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2)'den küçüktür. Bu durumda hesap için aşağıdaki tanımlar kullanılır:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Çekme donatısı A_c,eff içinde yer almakta olup bireysel donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2) mesafesini aşmaktadır. Bu durumda hesap için aşağıdaki tanımlar kullanılır:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Çekme donatısı A_c,eff içinde yer almamaktadır (bu durum örneğin kalın örtüden kaynaklanabilir). 

Bu durumda çatlak genişliğinin hesaplanması mümkün olmayacaktır. Bu nedenle etkin yükseklik h_c,eff hesabı aşağıdaki şekilde değiştirilir:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Aynı zamanda aşağıdaki uygunsuzluk görüntülenir:

h_c,eff derinliğindeki donatıyı veya öngerme kiriş tellerini çevreleyen çekme bölgesindeki etkin beton alanı; burada h_c,eff, 2,5(h – d) veya h/2'nin küçük olanıdır. (h – x)/3 değeri dikkate alındığında, donatı çekme bölgesindeki betonun etkin alanı dışında kalmakta olup bu nedenle madde 7.3.4'e göre çatlak genişliğinin hesaplanması mümkün olmayacaktır.

N-M-κ diyagramı

N-M-κ diyagramı, bir elemanın eğriliğini (eğilme rijitliği) uygulanan eğilme momenti ve normal kuvvetin bir fonksiyonu olarak gösterir. Üç tür N-M-κ diyagramı vardır:
- kısa süreli,
- uzun süreli
- ULS.
Bu diyagramlar, hesapta kullanılan gerilme-gerinim diyagramlarının türlerine göre farklılık gösterir (aşağıda açıklanmıştır).

N-M-κ diyagramını belirlemek için kesit kesitinin seçilmiş karakteristik durumlarına yönelik rijitlik hesabı kullanılır. Genel olarak, tepkinin hesaplandığı ve eğilme rijitliği ile eğriliğin türetildiği herhangi bir kesit durumu olabilir. IDEA RCS'de dört karakteristik nokta dikkate alınır (M_r, M_c, M_s ve M_u)

M_r - çatlama momenti 

Kesit, kullanıcı tanımlı normal kuvvete maruz bırakılır ve gerinim düzlemi, bir beton lifinde betonun nihai çekme dayanımına ulaşılana kadar (belirtilen eğilme momenti yönünde) dönmeye başlar (C30/37 beton sınıfı için bu değer f_ctm = 2,896 MPa'dır). Hesap için hem donatı hem de beton için yatay plastik dallı bilineer gerilme-gerinim diyagramı kullanılır.

M_c - betonun basınç dayanımına ulaşıldığındaki eğilme momenti

Önceki adımdan, basınçta en fazla kullanılan beton lifi belirlenir. Bu lif için, betonun nihai dayanımındaki gerinim (kısa süreli için f_ck/E_cm, uzun süreli için f_ck/E_ceff ve ULS diyagramı için f_cd/E_cm) belirlenir. Tanımlanan normal kuvvet ve eğilme momenti yönüne bağlı olarak, kesitin tepkisi ile tanımlanan normal kuvvet arasında denge bulmak için gerinim düzlemini bulmaya yönelik iterasyon süreci başlatılır.  Hesap için hem donatı hem de beton için yatay plastik dallı bilineer gerilme-gerinim diyagramı kullanılır.

M_s - en fazla kullanılan donatı çubuğunda akma dayanımına ulaşıldığındaki eğilme momenti

N-M-κ diyagramının bir diğer karakteristik noktası, en fazla kullanılan donatı çubuğunda akma dayanımına ulaşıldığındaki kesitin gerilme durumudur (donatı gerinimleri kısa ve uzun süreli diyagramlar için f_yk/E_s, ULS diyagramı için f_yd/E_s'ye eşittir). İterasyon süreci, gerinim düzlemini en fazla kullanılan donatı çubuğunun konumu tarafından belirlenen nokta etrafında döndürerek kesitteki normal kuvvetlerin dengesini bulur. Hesap için hem donatı hem de beton için yatay plastik dallı bilineer gerilme-gerinim diyagramı kullanılır.

M_u - nihai sınır durumundaki eğilme momenti

Bu, kesitin tanımlanan tasarım normal kuvveti N_ed'e maruz kaldığı durumdaki eğilmedeki nihai taşıma kapasitesidir. Kesit kapasitesinin hesabında, betonun en fazla kullanılan lifindeki basınç dayanımına ve en fazla kullanılan donatı çubuğundaki çekme dayanımına ulaşıldığı varsayılır (beton için maksimum gerinim ε_cu = 0,1 ve donatı için ε_s,max = 0,5). Hesap için donatı için yatay plastik dallı bilineer gerilme-gerinim diyagramı ve beton için parabolik-dikdörtgen diyagram kullanılır.

Kullanıcı tanımlı normal kuvvet ve eğilme momenti (Md) kombinasyonundan kaynaklanan rijitlik ve eğrilik, N-M-κ diyagramının bireysel karakteristik noktalarının doğrusal interpolasyonu kullanılarak hesaplanır.

Rijitlik ve eğriliklerin hesabı

Her kesit gerilme durumu (M_r, M_c, M_s veya M_u) için rijitlikler ve eğrilikler, gerinim düzleminin dönmesinden doğrudan hesaplanır. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    elemanın eksenel rijitliği

N . .   .   . belirtilen normal kuvvet

ε_x .   .   .  beton kesitinin ağırlık merkezindeki eksenel gerinim

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   elemanın eğilme rijitliği

M .   .   .    hesaplanan eğilme momenti M_r, M_c, M_s veya M_u

κ .   .   .   . elemanın eğriliği; gerinim düzlemi ile boyuna eleman ekseni arasındaki açının tanjantı olarak hesaplanır

Pratik örnek

Bir betonarme kesit (C30/37 beton sınıfı), ϕ32 donatı (B500B sınıfı) ile donatılmıştır. Tanımlanan yarı-kalıcı kombinasyon N = -730 kN ve M_y = 557 kNm'dir.

M_s karakteristik noktası için gerinim düzlemi IDEA RCS tarafından aşağıdaki şekilde belirlenir:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Hesapta kullanılan gerilme-gerinim diyagramları

Donatı - M_r, M_c, M_s ve M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Literatür

[1] Bradáč Betonové konstrukce (beton yapılar), 1. bölüm: Betonarme ve grobeton elemanların boyutlandırılması, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Beton yapıların tasarımı - Bölüm 1-1: Genel kurallar ve binalara ilişkin kurallar, NA ed. A (2007) değişikliği ve revizyon 1 (2009) dahil

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Sayısal Yöntemler ile Doğrusal Olmayan Beton Tasarımı, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, çevrimiçi kitap http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010