Krouticí momenty a kroucení

Prvky s nenulovým sektorovým momentem setrvačnosti, \(I_w\), které jsou zatíženy jinak než dvěma stejnými krouticími momenty na svých koncích, se při namáhání kroucením deplanují.

Prvky v IDEA StatiCa Connection mají své výrobní operace a za nimi standardně 1,25*h skořepinových prvků + 4*h kondenzovaných prvků; viz článek o automatické délce prvku. Jejich délka tedy není zanedbatelná a dosahuje přibližně třetiny typického rozpětí ocelového prvku.

Při působení kroucení – ať už přímým zadáním Mx, nebo aplikací posouvající síly na nesymetrický průřez, např. U-profil nebo úhelník – vznikají napětí od deplanace.

Kroucení způsobuje:

• Sv. Venantovo kroucení, \(T_t\) 
• Vázané kroucení, \(T_w\)
• Bimoment, \(B\)

A ty následně způsobují napětí:

• Smykové napětí od Sv. Venantova kroucení, \(\tau_{t}\)
• Smykové napětí od vázaného kroucení, \(\tau_w\)
• Normálové napětí od bimomentu, \(\sigma_w\)

Silové účinky lze stanovit řešením diferenciální rovnice:

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

kde:

• \(E\) – modul pružnosti v tahu a tlaku
• \(G\) – modul pružnosti ve smyku
• \(I_w\) – sektorový moment setrvačnosti
• \(I_t\) – torzní konstanta
• \(\varphi\) – pootočení
• \(m\) – krouticí moment

Řešení jsou známa pro ideální okrajové podmínky, např. vetknutý nebo volný konec.

Horní mez normálového napětí od bimomentu pro prvky v IDEA StatiCa Connection odpovídá podmínce vetknutého konce a volného konce, kde je přiloženo zatížení (kroucení).

Pro tuto podmínku platí:

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

kde:

• \(M\) – krouticí moment přiložený na konci prvku (Mx zadaný v IDEA StatiCa Connection, nebo posouvající síla V násobená vzdáleností středu smyku od těžiště průřezu)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – délka prvku (konzoly)

Zde je příklad skutečně tuhého přípoje:

Sloup je zatížen krouticím momentem \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Přestože je patní deska velmi silná, vlivem deplanace sloupu se stále mírně deformuje. To způsobuje tahové síly v kotvách a tlakové napětí v betonu. Zamezení deplanace tedy stále není dokonalé. V reálném světě však nelze něco takového očekávat.

Pomocí analýzy únavy lze vykreslit normálová a smyková napětí v blízkosti koutového svaru (ve vzdálenosti 0,5násobku tloušťky hrdla svaru):

Porovnejme napětí s analytickým řešením. Pomocí výše uvedených vzorců jsou silové účinky:

Odpovídající napětí v pásnici sloupu lze vypočítat:

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

Maximální normálové napětí způsobené deplanací v místě patní desky (osa prvku = 0 v grafech) dosahuje 314 MPa, což je mírně vyšší než výsledky získané v IDEA StatiCa. Tento rozdíl je způsoben nedokonalým zamezením deplanace. Smyková napětí v místě přípoje prvku (v tomto případě patní deska sloupu) jsou zanedbatelná. 

Rozložení napětí po průřezu od kroucení a deplanace lze zobrazit v editoru obecného průřezu:

Reálný příklad může být obtížnější na vysvětlení. Změňme tloušťku patní desky na 30 mm a použijme pouze čtyři kotvy M36 8.8:

Nyní se patní deska výrazně deformuje, napětí v betonu není zanedbatelné a síla v kotvě je skutečně velká – téměř 140 kN (srovnejte s \(N_{Rd,s} = 370{,}4\, \textrm{kN}\) stanoveným podle EN 1992-4). Normálová napětí od deplanace již nejsou lineární jako v analytickém řešení, a to vlivem deformace patní desky. Poněkud překvapivě je maximální napětí 314 MPa shodné s analytickým řešením.

Závěr

Inženýři mají tendenci ignorovat účinky kroucení, zejména deplanaci, nebo se jim vyhýbají, např. použitím uzavřených průřezů. Je třeba poznamenat, že software využívající 1D prvky má obvykle šest stupňů volnosti (3 posuny, 3 pootočení), a pro zachycení deplanace by byl potřeba sedmý. 1D prvky se sedmi stupni volnosti jsou dostupné např. v LTBeam nebo Consteel. I tak je obtížné stanovit, jak je deplanace přenášena přípoji z jednoho prvku na druhý. Přesto je deplanace reálným jevem a otevřené průřezy jsou vůči jejím účinkům velmi náchylné. 

Buďte opatrní při aplikaci kroucení na prvky s otevřeným průřezem. Pokud takový prvek nevyhoví v IDEA StatiCa Connection, mělo by to být pro inženýra varovným signálem. Kroucení včetně deplanace by mělo být posouzeno v návrhu prvku, např. pomocí IDEA StatiCa Member se skutečnou délkou prvku a silami přiloženými ve správných místech.