Momenti torcenti e ingobbamento

Gli elementi con costante di ingobbamento non nulla, \(I_w\), e caricati in modo diverso da due momenti torcenti identici alle estremità, subiscono ingobbamento quando soggetti a torsione.

Gli elementi in IDEA StatiCa Connection hanno le loro operazioni di lavorazione e poi, per impostazione predefinita, 1,25*h di elementi shell + 4*h di elementi condensati; vedere l'articolo sulla lunghezza automatica degli elementi. Pertanto la loro lunghezza non è trascurabile e raggiunge circa un terzo della luce tipica di un elemento in acciaio.

Quando viene applicata la torsione — che può avvenire direttamente inserendo Mx oppure applicando una forza di taglio a un elemento non simmetrico, ad esempio un profilo a C o a L — si sviluppano tensioni di ingobbamento.

La torsione provoca:

• Torsione di St. Venant, \(T_t\) 
• Torsione di ingobbamento, \(T_w\)
• Bimomento, \(B\)

E questi, a loro volta, generano tensioni:

• Tensione tangenziale dovuta alla torsione di St. Venant, \(\tau_{t}\)
• Tensione tangenziale dovuta alla torsione di ingobbamento, \(\tau_w\)
• Tensione normale dovuta al bimomento, \(\sigma_w\)

Le forze possono essere determinate risolvendo l'equazione differenziale:

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

dove:

• \(E\) – modulo di elasticità a trazione e compressione
• \(G\) – modulo di elasticità a taglio
• \(I_w\) – costante di ingobbamento
• \(I_t\) – costante torsionale
• \(\varphi\) – rotazione
• \(m\) – momento torcente

Le soluzioni sono note per condizioni al contorno ideali, ad esempio estremità incastrata o estremità libera.

Il limite superiore della tensione normale dovuta al bimomento per gli elementi di IDEA StatiCa Connection è la condizione di estremità incastrata e estremità libera in cui viene applicato il carico (torsione).

Per questa condizione:

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

dove:

• \(M\) – momento torcente applicato all'estremità dell'elemento (Mx impostato in IDEA StatiCa Connection, oppure forza di taglio V moltiplicata per la distanza tra il centro di taglio e il centro di gravità)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – lunghezza dell'elemento (mensola)

Ecco un esempio di un collegamento molto rigido:

La colonna è caricata da un momento torcente \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Sebbene la piastra di base sia molto spessa, si deforma comunque leggermente a causa dell'ingobbamento della colonna. Ciò provoca forze di trazione negli ancoraggi e tensioni di compressione nel calcestruzzo. Ciò significa che il vincolo di ingobbamento non è ancora perfetto. Tuttavia, non ci si può aspettare nulla di simile nella realtà.

Utilizzando l'analisi a fatica, è possibile tracciare le tensioni normali e tangenziali in prossimità della saldatura di testa (a una distanza pari a 0,5 volte lo spessore di gola della saldatura):

Confrontiamo le tensioni con la soluzione analitica. Utilizzando le formule sopra riportate, le forze sono:

E le corrispondenti tensioni al piatto dell'ala della colonna possono essere calcolate:

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

La tensione normale di picco causata dall'ingobbamento in corrispondenza della piastra di base (asse longitudinale dell'elemento = 0 nei grafici) raggiunge 314 MPa, valore leggermente superiore ai risultati ottenuti in IDEA StatiCa. Questa differenza è causata dall'imperfetto vincolo di ingobbamento. Le tensioni tangenziali al collegamento dell'elemento (in questo caso la piastra di base della colonna) sono trascurabili. 

La distribuzione delle tensioni lungo la sezione trasversale dovuta a torsione e ingobbamento può essere visualizzata nell'editor generale della sezione trasversale:

Un esempio reale può essere più difficile da spiegare. Modifichiamo lo spessore della piastra di base a 30 mm e utilizziamo solo quattro ancoraggi M36 8.8:

In questo caso, la piastra di base si deforma significativamente, la tensione nel calcestruzzo non è trascurabile e la forza nell'ancoraggio è effettivamente elevata, quasi 140 kN (da confrontare con \(N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}\) determinato dalla EN 1992-4). Le tensioni normali dovute all'ingobbamento non sono più lineari come nella soluzione analitica a causa della deformazione della piastra di base. Sorprendentemente, la tensione di picco di 314 MPa risulta uguale alla soluzione analitica.

Conclusione

Gli ingegneri tendono a ignorare gli effetti della torsione, in particolare l'ingobbamento, oppure a evitarli, ad esempio utilizzando sezioni chiuse. Si noti che i software che utilizzano elementi 1D hanno generalmente sei gradi di libertà (3 traslazioni, 3 rotazioni) e, per cogliere l'ingobbamento, avrebbero bisogno di un settimo. Gli elementi 1D con sette gradi di libertà sono disponibili ad esempio in LTBeam o Consteel. Anche in questo caso, è difficile determinare come l'ingobbamento venga trasferito attraverso i collegamenti da un elemento all'altro. Ciononostante, l'ingobbamento è un fenomeno reale e le sezioni aperte sono molto suscettibili ai suoi effetti. 

Prestare attenzione quando si applica la torsione a elementi con sezione trasversale aperta. Quando questo elemento risulta non verificato in IDEA StatiCa Connection, dovrebbe essere un segnale di allarme per l'ingegnere. La torsione, incluso l'ingobbamento, deve essere valutata nella progettazione dell'elemento, ad esempio utilizzando IDEA StatiCa Member con la lunghezza reale dell'elemento e le forze applicate nelle posizioni corrette.