Momentos de torção e empenamento

Os elementos com constante de empenamento não nula, \(I_w\), e carregados de forma diferente de dois momentos de torção idênticos nas extremidades, empena quando sujeitos a torção.

Os elementos no IDEA StatiCa Connection têm as suas operações de fabrico e, por defeito, a seguir a estas, 1,25*h de elementos de casca + 4*h de elementos condensados; ver artigo sobre comprimento automático do elemento. Assim, o seu comprimento não é de facto desprezável, atingindo cerca de um terço do vão típico de um elemento de aço.

Quando é aplicada torção — seja diretamente através da introdução de Mx, seja pela aplicação de uma força de corte a um elemento assimétrico, como um perfil em U ou em L — desenvolvem-se tensões de empenamento.

A torção provoca:

• Torção de St. Venant, \(T_t\) 
• Torção de empenamento, \(T_w\)
• Bimomento, \(B\)

E estes, por sua vez, provocam tensões:

• Tensão de corte devida à torção de St. Venant, \(\tau_{t}\)
• Tensão de corte devida à torção de empenamento, \(\tau_w\)
• Tensão normal devida ao bimomento, \(\sigma_w\)

As forças podem ser determinadas resolvendo a equação diferencial:

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

onde:

• \(E\) – módulo de elasticidade à tração e compressão
• \(G\) – módulo de elasticidade ao corte
• \(I_w\) – constante de empenamento
• \(I_t\) – constante de torção
• \(\varphi\) – rotação
• \(m\) – momento de torção

As soluções são conhecidas para condições de fronteira ideais, como extremidade encastrada ou extremidade livre.

O limite superior da tensão normal devida ao bimomento para os elementos do IDEA StatiCa Connection corresponde à condição de extremidade encastrada e extremidade livre onde é aplicada a carga (torção).

Para esta condição:

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

onde:

• \(M\) – momento de torção aplicado na extremidade do elemento (Mx definido no IDEA StatiCa Connection, ou força de corte V multiplicada pela distância entre o centro de corte e o centro de gravidade)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – comprimento do elemento (consola)

Apresenta-se aqui um exemplo de uma ligação muito rígida:

O pilar é carregado por um momento de torção \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Embora a placa de base seja muito espessa, deforma-se ligeiramente devido ao empenamento do pilar. Isto provoca forças de tração nas âncoras e tensões de compressão no betão. Isso significa que a restrição ao empenamento ainda não é perfeita. No entanto, não podemos esperar algo assim na realidade.

Utilizando a análise de fadiga, podemos representar as tensões normais e de corte junto à soldadura de topo (a uma distância de 0,5 vezes a espessura de garganta da soldadura):

Comparemos as tensões com uma solução analítica. Utilizando as fórmulas apresentadas acima, as forças são:

E as tensões correspondentes no banzo do pilar podem ser calculadas:

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

A tensão normal máxima causada pelo empenamento na localização da placa de base (eixo longitudinal do elemento = 0 nos gráficos) atinge 314 MPa, valor ligeiramente superior aos resultados obtidos no IDEA StatiCa. Esta diferença é causada pela restrição imperfeita ao empenamento. As tensões de corte na ligação do elemento (neste caso, a placa de base de pilar) são desprezáveis. 

A distribuição de tensões ao longo da secção transversal devida à torção e ao empenamento pode ser visualizada no editor geral de secções transversais:

Um exemplo real pode ser mais difícil de explicar. Alteremos a espessura da placa de base para 30 mm e utilizemos apenas quatro âncoras M36 8.8:

Agora, a placa de base deforma-se significativamente, a tensão no betão não é desprezável e a força na âncora é de facto muito elevada, quase 140 kN (compare com \(N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}\) determinado pela EN 1992-4). As tensões normais devidas ao empenamento deixam de ser lineares, como na solução analítica, devido à deformação da placa de base. De forma algo surpreendente, a tensão máxima de 314 MPa é de facto igual à solução analítica.

Conclusão

Os engenheiros tendem a ignorar os efeitos da torção, especialmente o empenamento, ou a evitá-los, por exemplo, utilizando secções fechadas. Note-se que o software que utiliza elementos 1D tem normalmente seis graus de liberdade (3 translações, 3 rotações) e, para capturar o empenamento, necessitaria de um sétimo. Elementos 1D com sete graus de liberdade estão disponíveis, por exemplo, no LTBeam ou no Consteel. Mesmo assim, é difícil determinar como o empenamento é transferido através das ligações de um elemento para outro. Não obstante, o empenamento é um fenómeno real e as secções abertas são muito suscetíveis aos seus efeitos. 

Tenha cuidado ao aplicar torção em elementos com secção transversal aberta. Quando este elemento falha no IDEA StatiCa Connection, deve ser um sinal de alerta para o engenheiro. A torção incluindo o empenamento deve ser avaliada no dimensionamento do elemento, por exemplo, utilizando o IDEA StatiCa Member com o comprimento real do elemento e as forças aplicadas nas localizações corretas.