Moments de torsion et gauchissement

Les éléments dont la constante de gauchissement \(I_w\) est non nulle, et qui sont chargés autrement que par deux moments de torsion identiques à leurs extrémités, se gauchissent lorsqu'ils sont soumis à la torsion.

Les éléments dans IDEA StatiCa Connection comportent leurs opérations de fabrication, puis par défaut 1,25*h d'éléments coques + 4*h d'éléments condensés ; voir l'article sur la longueur automatique des éléments. Leur longueur n'est donc pas négligeable et atteint environ un tiers de la portée typique d'un élément en acier.

Lorsque la torsion est appliquée — que ce soit directement en saisissant Mx ou en appliquant un effort tranchant à un élément non symétrique, par exemple un profilé en U ou en L — des contraintes de gauchissement se développent.

La torsion engendre :

• La torsion de Saint-Venant, \(T_t\) 
• La torsion de gauchissement, \(T_w\)
• Le bimoment, \(B\)

Ces grandeurs engendrent à leur tour des contraintes :

• Contrainte de cisaillement due à la torsion de Saint-Venant, \(\tau_{t}\)
• Contrainte de cisaillement due à la torsion de gauchissement, \(\tau_w\)
• Contrainte normale due au bimoment, \(\sigma_w\)

Les efforts peuvent être déterminés en résolvant l'équation différentielle :

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

où :

• \(E\) – module d'élasticité en traction et en compression
• \(G\) – module d'élasticité en cisaillement
• \(I_w\) – constante de gauchissement
• \(I_t\) – constante de torsion
• \(\varphi\) – rotation
• \(m\) – moment de torsion

Les solutions sont connues pour des conditions aux limites idéales, par exemple encastrement ou extrémité libre.

La borne supérieure de la contrainte normale due au bimoment pour les éléments d'IDEA StatiCa Connection correspond à la condition d'une extrémité encastrée et d'une extrémité libre où la charge (torsion) est appliquée.

Pour cette condition :

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

où :

• \(M\) – moment de torsion appliqué à l'extrémité de l'élément (Mx défini dans IDEA StatiCa Connection, ou effort tranchant V multiplié par la distance entre le centre de cisaillement et le centre de gravité)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – longueur de l'élément (console)

Voici un exemple d'un assemblage particulièrement rigide :

Le poteau est chargé par un moment de torsion \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Bien que la platine de base soit très épaisse, elle se déforme légèrement en raison du gauchissement du poteau. Cela engendre des efforts de traction dans les ancrages et des contraintes de compression dans le béton. Cela signifie que le blocage du gauchissement n'est pas parfait. Toutefois, on ne peut pas s'attendre à un tel comportement dans la réalité.

En utilisant l'analyse à la fatigue, on peut tracer les contraintes normales et de cisaillement à proximité de la soudure bout à bout (à une distance égale à 0,5 fois l'épaisseur de gorge de la soudure) :

Comparons les contraintes avec la solution analytique. En utilisant les formules présentées ci-dessus, les efforts sont :

Les contraintes correspondantes dans la semelle du poteau peuvent être calculées :

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

La contrainte normale maximale due au gauchissement à l'emplacement de la platine de base (axe longitudinal de l'élément = 0 dans les graphiques) atteint 314 MPa, ce qui est légèrement supérieur aux résultats obtenus dans IDEA StatiCa. Cette différence est due au blocage imparfait du gauchissement. Les contraintes de cisaillement à l'assemblage de l'élément (dans ce cas, le pied de poteau) sont négligeables. 

La distribution des contraintes le long de la section transversale due à la torsion et au gauchissement peut être visualisée dans l'éditeur de section transversale générale :

Un exemple réel peut être plus difficile à expliquer. Modifions l'épaisseur de la platine de base à 30 mm et utilisons seulement quatre ancrages M36 8.8 :

À présent, la platine de base se déforme significativement, la contrainte dans le béton n'est plus négligeable et l'effort dans l'ancrage est en réalité très important, proche de 140 kN (à comparer à \(N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}\) déterminé selon EN 1992-4). Les contraintes normales dues au gauchissement ne sont plus linéaires comme dans la solution analytique, en raison de la déformation de la platine de base. De manière quelque peu surprenante, la contrainte maximale de 314 MPa est en réalité égale à la solution analytique.

Conclusion

Les ingénieurs ont tendance à ignorer les effets de la torsion, notamment le gauchissement, ou à les éviter, par exemple en utilisant des sections fermées. Notons que les logiciels utilisant des éléments 1D disposent généralement de six degrés de liberté (3 translations, 3 rotations) ; pour prendre en compte le gauchissement, un septième degré de liberté serait nécessaire. Des éléments 1D à sept degrés de liberté sont disponibles, par exemple dans LTBeam ou Consteel. Même dans ce cas, il est difficile de déterminer comment le gauchissement est transmis d'un élément à l'autre à travers les assemblages. Néanmoins, le gauchissement est un phénomène réel et les sections ouvertes y sont très sensibles. 

Soyez prudent lorsque vous appliquez de la torsion à des éléments à section ouverte. Lorsqu'un tel élément est défaillant dans IDEA StatiCa Connection, cela doit constituer un signal d'alarme pour l'ingénieur. La torsion, y compris le gauchissement, doit être évaluée lors du dimensionnement de l'élément, par exemple en utilisant IDEA StatiCa Member avec la longueur réelle de l'élément et les efforts appliqués aux emplacements corrects.