Momente de torsiune și încovoiere de tip bimoment

Elementele care au constanta de încovoiere de tip bimoment nenulă, \(I_w\), și sunt încărcate altfel decât prin două momente de torsiune identice la capete, se deformează prin încovoiere de tip bimoment atunci când sunt supuse la torsiune.

Elementele din IDEA StatiCa Connection au operațiunile de fabricație și apoi, în mod implicit, 1,25*h de elemente de tip coajă + 4*h de elemente condensate; a se vedea articolul privind lungimea automată a elementului. Astfel, lungimea lor nu este neglijabilă, ci ajunge la aproximativ o treime din deschiderea tipică a unui element metalic.

Când se aplică torsiunea — fie direct prin introducerea Mx, fie prin aplicarea unei forțe tăietoare pe un element nesimetric, de exemplu un profil U sau un cornier — apar tensiuni de bimoment.

Torsiunea produce:

• Torsiune St. Venant, \(T_t\) 
• Torsiune de bimoment, \(T_w\)
• Bimoment, \(B\)

Iar acestea, la rândul lor, produc tensiuni:

• Tensiune de forfecare datorată torsiunii St. Venant, \(\tau_{t}\)
• Tensiune de forfecare datorată torsiunii de bimoment, \(\tau_w\)
• Tensiune normală datorată bimomentului, \(\sigma_w\)

Forțele pot fi determinate prin rezolvarea ecuației diferențiale:

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

unde:

• \(E\) – modulul de elasticitate la întindere și compresiune
• \(G\) – modulul de elasticitate la forfecare
• \(I_w\) – constanta de încovoiere de tip bimoment
• \(I_t\) – constanta de torsiune
• \(\varphi\) – rotație
• \(m\) – moment de torsiune

Soluțiile sunt cunoscute pentru condiții ideale la limită, de exemplu capăt încastrat sau capăt liber.

Limita superioară a tensiunii normale datorate bimomentului pentru elementele din IDEA StatiCa Connection este condiția de capăt încastrat și capăt liber unde se aplică încărcarea (torsiunea).

Pentru această condiție:

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

unde:

• \(M\) – momentul de torsiune aplicat la capătul elementului (Mx introdus în IDEA StatiCa Connection, sau forța tăietoare V înmulțită cu distanța dintre centrul de forfecare și centrul de greutate)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – lungimea elementului (consolei)

Iată un exemplu de îmbinare cu rigiditate foarte mare:

Stâlpul este încărcat cu momentul de torsiune \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Deși placa de bază este foarte groasă, aceasta se deformează ușor din cauza încovoierii de tip bimoment a stâlpului. Aceasta produce forțe de întindere în ancore și tensiuni de compresiune în beton. Aceasta înseamnă că blocarea încovoierii de tip bimoment nu este perfectă. Cu toate acestea, nu ne putem aștepta la ceva similar în realitate.

Folosind analiza la oboseală, putem reprezenta tensiunile normale și de forfecare în apropierea sudurii cap la cap (la o distanță de 0,5 ori grosimea gâtului de sudură):

Să comparăm tensiunile cu soluția analitică. Folosind formulele prezentate mai sus, forțele sunt:

Iar tensiunile corespunzătoare la talpa stâlpului pot fi calculate:

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

Tensiunea normală maximă cauzată de încovoierea de tip bimoment la locul plăcii de bază (axa longitudinală a elementului = 0 în grafice) atinge 314 MPa, ceea ce este ușor mai mare decât rezultatele obținute în IDEA StatiCa. Această diferență este cauzată de blocarea imperfectă a încovoierii de tip bimoment. Tensiunile de forfecare la îmbinarea elementului (în acest caz placa de bază pentru stâlp) sunt neglijabile. 

Distribuția tensiunilor de-a lungul secțiunii transversale datorată torsiunii și încovoierii de tip bimoment poate fi vizualizată în editorul general de secțiuni transversale:

Un exemplu din viața reală poate fi mai dificil de explicat. Să modificăm grosimea plăcii de bază la 30 mm și să folosim doar patru ancore M36 8.8:

Acum, placa de bază se deformează semnificativ, tensiunea în beton nu este neglijabilă, iar forța în ancoră este de fapt foarte mare, aproape 140 kN (comparativ cu \(N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}\) determinat conform EN 1992-4). Tensiunile normale datorate încovoierii de tip bimoment nu mai sunt liniare, ca în soluția analitică, din cauza deformării plăcii de bază. Oarecum surprinzător, tensiunea maximă de 314 MPa este de fapt egală cu soluția analitică.

Concluzie

Inginerii tind să ignore efectele torsiunii, în special încovoierea de tip bimoment, sau să le evite, de exemplu prin utilizarea secțiunilor închise. De remarcat că software-ul care utilizează elemente 1D are de obicei șase grade de libertate (3 translații, 3 rotații), iar pentru a capta încovoierea de tip bimoment ar fi necesar un al șaptelea. Elementele 1D cu șapte grade de libertate sunt disponibile, de exemplu, în LTBeam sau Consteel. Chiar și în acest caz, este dificil de determinat modul în care încovoierea de tip bimoment se transferă prin îmbinări de la un element la altul. Cu toate acestea, încovoierea de tip bimoment este un fenomen real, iar secțiunile deschise sunt foarte susceptibile la efectele sale. 

Fiți atenți când aplicați torsiunea pe elemente cu secțiune transversală deschisă. Când un astfel de element cedează în IDEA StatiCa Connection, acesta ar trebui să constituie un semnal de alarmă pentru inginer. Torsiunea, inclusiv încovoierea de tip bimoment, trebuie evaluată în proiectarea elementului, de exemplu folosind IDEA StatiCa Member cu lungimea reală a elementului și forțele aplicate în locațiile corecte.