Momentos de torsión y alabeo
Los elementos que tienen una constante de alabeo no nula, \(I_w\), y están cargados de manera diferente a dos momentos de torsión idénticos en sus extremos, se alabean cuando están sometidos a torsión.
Los elementos en IDEA StatiCa Connection tienen sus operaciones de fabricación y luego, detrás de estas, por defecto 1.25*h de elementos de lámina + 4*h de elementos condensados; véase el artículo sobre longitud automática de elemento. Por lo tanto, su longitud no es en absoluto despreciable, sino que alcanza aproximadamente un tercio de la luz típica de un elemento de acero.
Cuando se aplica torsión, ya sea directamente introduciendo Mx o aplicando una fuerza cortante a un elemento no simétrico, por ejemplo, un perfil en U o en L, se desarrollan tensiones de alabeo.
La torsión provoca:
- Torsión de St. Venant, \(T_t\)
- Torsión de alabeo, \(T_w\)
- Bimomento, \(B\)
Y estos, a su vez, provocan tensiones:
- Tensión tangencial debida a la torsión de St. Venant, \(\tau_{t}\)
- Tensión tangencial debida a la torsión de alabeo, \(\tau_w\)
- Tensión normal debida al bimomento, \(\sigma_w\)
Las fuerzas pueden determinarse resolviendo la ecuación diferencial:
\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]
donde:
- \(E\) – módulo de elasticidad a tracción y compresión
- \(G\) – módulo de elasticidad a cortante
- \(I_w\) – constante de alabeo
- \(I_t\) – constante de torsión
- \(\varphi\) – rotación
- \(m\) – momento de torsión
Las soluciones son conocidas para condiciones de contorno ideales, por ejemplo, extremo empotrado o extremo libre.
El límite superior de la tensión normal debida al bimomento para los elementos de IDEA StatiCa Connection es la condición de extremo empotrado y extremo libre donde se aplica la carga (torsión).
Para esta condición:
\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]
\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]
\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]
donde:
- \(M\) – momento de torsión aplicado en el extremo del elemento (Mx definido en IDEA StatiCa Connection, o fuerza cortante V multiplicada por la distancia entre el centro de cortante y el centro de gravedad)
- \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
- \(L\) – longitud del elemento (ménsula)
A continuación se muestra un ejemplo de una unión realmente rígida:
El pilar está cargado por un momento de torsión \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Aunque la placa base es realmente gruesa, se deforma ligeramente debido al alabeo del pilar. Esto provoca fuerzas de tracción en los anclajes y tensiones de compresión en el hormigón. Eso significa que la restricción al alabeo todavía no es perfecta. Sin embargo, no podemos esperar algo así en la realidad.
Usando el análisis de fatiga, podemos representar las tensiones normales y tangenciales cerca de la soldadura a tope (a una distancia de 0,5 veces el espesor de garganta de la soldadura):
Comparemos las tensiones con una solución analítica. Usando las fórmulas mostradas anteriormente, las fuerzas son:
Y las tensiones correspondientes en el ala del pilar pueden calcularse:
\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]
\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]
\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]
La tensión normal máxima causada por el alabeo en la ubicación de la placa base (Eje longitudinal del elemento = 0 en los gráficos) alcanza 314 MPa, que es ligeramente superior a los resultados que obtenemos en IDEA StatiCa. Esta diferencia se debe a la restricción imperfecta al alabeo. Las tensiones tangenciales en la unión del elemento (en este caso la placa base de pilar) son despreciables.
La distribución de tensiones a lo largo de la sección transversal debida a la torsión y al alabeo puede verse en el editor general de secciones transversales:
Un ejemplo de la vida real puede ser más difícil de explicar. Cambiemos el espesor de la placa base a 30 mm y usemos solo cuatro anclajes M36 8.8:
Ahora, la placa base se deforma significativamente, la tensión en el hormigón no es despreciable y la fuerza en el anclaje es realmente enorme, casi 140 kN (comparado con \(N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}\) determinado por EN 1992-4). Las tensiones normales debidas al alabeo ya no son lineales como según la solución analítica debido a la deformación de la placa base. Sorprendentemente, la tensión máxima de 314 MPa es en realidad igual a la solución analítica.
Conclusión
Los ingenieros tienden a ignorar los efectos de la torsión, especialmente el alabeo, o a evitarlos, por ejemplo, usando secciones cerradas. Nótese que el software que utiliza elementos 1D generalmente tiene seis grados de libertad (3 traslaciones, 3 rotaciones), y para capturar el alabeo necesitarían un séptimo. Los elementos 1D con siete grados de libertad están disponibles, por ejemplo, en LTBeam o Consteel. Aun así, es difícil determinar cómo se transfiere el alabeo a través de las uniones de un elemento a otro. No obstante, el alabeo es un fenómeno real y las secciones abiertas son muy susceptibles a sus efectos.
Tenga cuidado al aplicar torsión en elementos con sección transversal abierta. Cuando este elemento falla en IDEA StatiCa Connection, debería ser una señal de alarma para el ingeniero. La torsión incluyendo el alabeo debe evaluarse en el diseño del elemento, por ejemplo, usando IDEA StatiCa Member con la longitud real del elemento y las fuerzas aplicadas en las ubicaciones correctas.