Torsionsmomente und Wölbkrafttorsion

Bauteile mit einem von null verschiedenen Wölbwiderstand, \(I_w\), die anders als durch zwei gleiche Torsionsmomente an ihren Enden belastet werden, verwölben sich unter Torsionsbeanspruchung.

Bauteile in IDEA StatiCa Connection haben ihre Fertigungsoperationen und dahinter standardmäßig 1,25*h Schalenelemente + 4*h kondensierte Elemente; siehe Artikel zur automatischen Bauteilänge. Ihre Länge ist daher nicht vernachlässigbar, sondern reicht bis etwa zu einem Drittel einer typischen Stahltragwerksspannweite.

Wenn Torsion aufgebracht wird – entweder direkt durch Eingabe von Mx oder durch Aufbringen einer Querkraft auf ein unsymmetrisches Bauteil, z. B. ein U- oder L-Profil – entstehen Wölbspannungen.

Torsion verursacht:

• St.-Venant-Torsion, \(T_t\) 
• Wölbkrafttorsion, \(T_w\)
• Bimoment, \(B\)

Diese wiederum verursachen Spannungen:

• Schubspannung infolge St.-Venant-Torsion, \(\tau_{t}\)
• Schubspannung infolge Wölbkrafttorsion, \(\tau_w\)
• Normalspannung infolge Bimoment, \(\sigma_w\)

Die Schnittgrößen können durch Lösung der Differentialgleichung bestimmt werden:

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

wobei:

• \(E\) – Elastizitätsmodul (Zug und Druck)
• \(G\) – Schubmodul
• \(I_w\) – Wölbwiderstand
• \(I_t\) – Torsionsträgheitsmoment
• \(\varphi\) – Verdrehung
• \(m\) – Torsionsmoment

Die Lösungen sind für ideale Randbedingungen bekannt, z. B. eingespanntes Ende oder freies Ende.

Die obere Grenze der Normalspannung infolge Bimoment für Bauteile in IDEA StatiCa Connection ist die Bedingung eines eingespannten Endes und eines freien Endes, an dem die Last (Torsion) aufgebracht wird.

Für diese Bedingung gilt:

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

wobei:

• \(M\) – am Bauteilende aufgebrachtes Torsionsmoment (Mx in IDEA StatiCa Connection eingegeben, oder Querkraft V multipliziert mit dem Abstand zwischen Schubmittelpunkt und Schwerpunkt)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – Bauteil- (Kragarm-) Länge

Hier ist ein Beispiel einer sehr steifen Verbindung:

Die Stütze wird durch ein Torsionsmoment \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\) belastet. Obwohl die Fußplatte sehr dick ist, verformt sie sich aufgrund der Stützenverwölbung geringfügig. Dies verursacht Zugkräfte in den Ankern und Druckspannungen im Beton. Das bedeutet, dass die Wölbeinspannung noch nicht vollständig ist. In der Praxis ist jedoch nichts dergleichen zu erwarten.

Mithilfe der Ermüdungsanalyse können Normal- und Schubspannungen in der Nähe der Stumpfnaht (im Abstand des 0,5-fachen der Nahtdicke) dargestellt werden:

Vergleichen wir die Spannungen mit einer analytischen Lösung. Mit den oben gezeigten Formeln ergeben sich folgende Schnittgrößen:

Die entsprechenden Spannungen am Stützenflansch können berechnet werden:

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

Die maximale Normalspannung infolge Wölbung an der Stelle der Fußplatte (Bauteil-Längsachse = 0 in den Diagrammen) erreicht 314 MPa, was geringfügig höher ist als die in IDEA StatiCa ermittelten Ergebnisse. Diese Abweichung ist auf die unvollständige Wölbeinspannung zurückzuführen. Die Schubspannungen an der Bauteilverbindung (in diesem Fall Stützenfuß) sind vernachlässigbar. 

Die Spannungsverteilung über den Querschnitt infolge Torsion und Wölbung kann im allgemeinen Querschnittseditor eingesehen werden:

Ein praxisnahes Beispiel kann schwieriger zu erklären sein. Ändern wir die Fußplattendicke auf 30 mm und verwenden nur vier Anker M36 8.8:

Nun verformt sich die Fußplatte erheblich, die Spannung im Beton ist nicht vernachlässigbar, und die Kraft im Anker ist tatsächlich sehr groß – nahezu 140 kN (zum Vergleich: \(N_{Rd,s} = 370{,}4\, \textrm{kN}\) nach EN 1992-4). Die Normalspannungen infolge Wölbung sind aufgrund der Fußplattenverformung nicht mehr linear wie in der analytischen Lösung. Etwas überraschend ist, dass die Maximalspannung von 314 MPa tatsächlich mit der analytischen Lösung übereinstimmt.

Fazit

Tragwerksplaner neigen dazu, Torsionseffekte – insbesondere die Wölbkrafttorsion – zu vernachlässigen oder zu vermeiden, z. B. durch die Verwendung geschlossener Querschnitte. Es ist zu beachten, dass Software mit 1D-Elementen in der Regel sechs Freiheitsgrade hat (3 Verschiebungen, 3 Verdrehungen); zur Erfassung der Wölbung wäre ein siebter erforderlich. 1D-Elemente mit sieben Freiheitsgraden sind z. B. in LTBeam oder Consteel verfügbar. Selbst dann ist es schwierig zu bestimmen, wie die Wölbung über Verbindungen von einem Bauteil auf ein anderes übertragen wird. Dennoch ist die Wölbkrafttorsion ein reales Phänomen, und offene Querschnitte sind sehr anfällig für ihre Auswirkungen. 

Seien Sie vorsichtig beim Aufbringen von Torsion auf Bauteile mit offenem Querschnitt. Wenn dieses Bauteil in IDEA StatiCa Connection versagt, sollte dies für einen Ingenieur ein Warnsignal sein. Torsion einschließlich Wölbkrafttorsion sollte im Rahmen der Bauteilbemessung bewertet werden, z. B. mit IDEA StatiCa Member mit der tatsächlichen Bauteilänge und den an den richtigen Stellen aufgebrachten Kräften.