Torze

Předpoklady výpočtu

Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze rozdělit do dvou kategorií – před vznikem trhlin a po jejich vzniku. Před vznikem trhliny se průřez chová jako elastický materiál. Napětí od kroucení lze vyjádřit vzorcem   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

kde W_t je průřezový modul v kroucení.

Trhliny v nevyztuženém prvku způsobené hlavním tahovým napětím od kroucení představují také mezní stav únosnosti. Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze popsat na základě tenkostěnného uzavřeného průřezu, viz obr. níže. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Postup výpočtu

Postup normového posouzení železobetonového průřezu na kroucení je velmi podobný posouzení na smyk. Nejprve se ověří únosnost betonu. Pokud je podmínka pro beton splněna, lze vyztužení navrhnout pomocí konstrukčních zásad. V opačném případě je nutné ověřit vyztužení a únosnost tlačených diagonál výpočtem.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Únosnost

Tok smykového napětí ve stěně tenkostěnného průřezu namáhaného kroucením lze vyjádřit jako:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Smyková síla ve stěně tenkostěnného průřezu lze vyjádřit jako:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Kde 

τ          tok smykového napětí ve stěně,

t_ef         je účinná tloušťka stěny,

z           je délka strany stěny,

T_Ed       je moment od kroucení,

A_k        je plocha ohraničená střednicemi spojovacích stěn, včetně vnitřních dutých oblastí.

Moment trhlinového kroucení, který lze stanovit dosazením f_ctd do předchozího výrazu. Tím získáme výraz pro únosnost v kroucení bez vyztužení na kroucení.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

kde  f_ctd       návrhová hodnota osové pevnosti betonu v tahu

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Únosnost prvku s vyztužením na kroucení je složena z únosnosti tlačených betonových diagonál, která je opět založena na metodě příhradové analogie. Tlakové napětí v diagonále lze vyjádřit pomocí smykové síly ve stěně tenkostěnného průřezu na povrchu uvažované stěny, tj.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Dosazením σ_c=σ_cwf_cd a T_Ed=T_Rd,max a vyjádřením T_Rd,max získáme rovnici pro únosnost tlačené diagonály

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

kde  

ν          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa

α_cw       součinitel zohledňující stav tlakového napětí v tlačeném pásu

f_cd        návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku

únosnost smykového vyztužení namáhaného kroucením je opět založena na napětí v tlačené diagonále. Síla ve třmínku se rovná napětí v tlačené diagonále na ploše odpovídající příslušné řadě třmínků, tj.

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Dosazením T_Ed=T_Rd,s a vyjádřením T_Rd,s  získáme rovnici:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Je-li znám počet podélné a smykové výztuže, lze úhel θ definovat výrazem

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Dosazením pro T_Rd,s získáme

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Kde

A_sw      plocha smykové výztuže

s           je osová vzdálenost třmínků smykové výztuže

f_ywd      je účinná návrhová pevnost smykové výztuže

A_sl       plocha podélné výztuže

u_k         je vnější obvod průřezu

f_ywd      je účinná návrhová pevnost podélné výztuže

Sílu v podélné výztuži lze odvodit ze smykové síly ve stěně průřezu namáhaného čistým kroucením, která je dána jako:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Tato síla se transformuje do podélného směru a získáme:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Povolený rozsah hodnot úhlu θ je podobný jako při posouzení na smyk, tj. 1 < cot θ < 2,5. Závislost mezi únosnostmi je patrná z obr. níže. Diagram ukazuje, že se zvyšujícím se úhlem θ únosnost T_Rd,max roste, únosnost T_Rd.s klesá a únosnost T_Rd,c je konstantní, protože není založena na metodě příhradové analogie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Výpočet charakteristik průřezu pro kroucení

Pro normové posouzení průřezu na kroucení je nutné stanovit tzv. náhradní tenkostěnný uzavřený průřez. Při stanovení rozměrů náhradního tenkostěnného průřezu se předpokládá obdélníkový tvar. Pro skutečnou plochu obdélníku platí A = b×h a pro obvod obdélníku u =2 (b +h). Pomocí těchto dvou rovnic lze stanovit plochu a obvod náhradního tenkostěnného obdélníkového průřezu odpovídající původnímu průřezu. Řešením dvou rovnic o dvou neznámých získáme:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Tloušťku stěny účinného průřezu lze definovat z obvodu a plochy průřezu jako:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Poté plocha a obvod definované střednicí účinného průřezu:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Problém s touto metodou nastává u průřezů typu T se širokou deskou, kdy se k výpočtu rozměrů používá celková plocha a obvod (včetně této desky). V budoucích verzích programu IDEA RCS bude umožněn výběr nejtlustší části průřezu, která bude použita pro posouzení na kroucení.