Berechnungsannahmen
Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsion lässt sich in zwei Kategorien unterteilen – vor und nach dem Zeitpunkt, zu dem erstmals Risse erwartet werden können. Vor einem Riss verhält sich der Querschnitt wie ein elastisches Material. Die Torsionsspannung kann durch folgende Formel ausgedrückt werden:
\[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\]
wobei Wt das Widerstandsmoment bei Torsion ist.
Risse im unbewehrten Bauteil infolge der maßgebenden Hauptzugspannung aus Torsion stellen ebenfalls einen Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsion kann auf der Grundlage eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts beschrieben werden, siehe Abb. unten.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]
Berechnungsablauf
Der Ablauf des Normnachweises eines Stahlbetonquerschnitts für Torsion ist dem Nachweis für Querkraft sehr ähnlich. Zunächst wird die Betonwiderstandsfähigkeit überprüft. Wenn der Betonnachweis erfüllt ist, kann die Bewehrung anhand der Konstruktionsregeln bemessen werden. Andernfalls müssen die Bewehrung und die Druckdiagonalentragfähigkeit rechnerisch nachgewiesen werden.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]
Tragfähigkeit
Der Schubfluss in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts unter Torsion kann wie folgt ausgedrückt werden:
\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]
Die Querkraft in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts kann wie folgt ausgedrückt werden:
\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]
Dabei gilt
τ Schubfluss in der Wand,
tef ist die effektive Wanddicke,
z ist die Seitenlänge der Wand,
TEd ist das Torsionsmoment,
Ak ist die von den Mittellinien der verbindenden Wände eingeschlossene Fläche, einschließlich innerer Hohlbereiche.
Das Torsionsrissmoment kann bestimmt werden, indem fctd in den vorherigen Ausdruck eingesetzt wird. Damit ergibt sich der Ausdruck für die Torsionswiderstandsfähigkeit ohne Torsionsbewehrung.
\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]
wobei fctd Bemessungswert der zentrischen Zugfestigkeit des Betons
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]
Die Bauteilwiderstandsfähigkeit mit Torsionsbewehrung setzt sich aus der Tragfähigkeit der Druckbetondiagonalen zusammen, die wiederum auf der Fachwerkanalogiemethod basiert. Die Druckspannung in der Diagonalen kann mithilfe der Querkraft in der Wand eines dünnwandigen Querschnitts an der betrachteten Wandoberfläche ausgedrückt werden, d. h.
\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]
Durch Einsetzen von σc=σcwfcd und TEd=TRd,max und Auflösen nach TRd,max ergibt sich die Gleichung für die Druckdiagonalentragfähigkeit
\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]
wobei
ν = 0,6 für fck ≤ 60MPa oder für fck > 60MPa
αcw Beiwert, der den Spannungszustand im Druckgurt berücksichtigt
fcd Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
Die Querkrafttragfähigkeit der Bewehrung unter Torsion basiert ebenfalls auf der Spannung in der Druckdiagonalen. Die Bügelkraft ist gleich der Spannung in der gedrückten Diagonalen auf der Fläche, die dem jeweiligen Bügelabstand entspricht, d. h.
\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]
Durch Einsetzen von TEd=TRd,s und Auflösen nach TRd,s ergibt sich die Gleichung:
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\]
Wenn die Menge der Längs- und Querbewehrung bekannt ist, kann der Winkel θ durch folgenden Ausdruck bestimmt werden
\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\]
Durch Einsetzen für TRd,s ergibt sich
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]
Dabei gilt
Asw Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
s ist der Abstand der Bügel der Querkraftbewehrung
fywd ist die maßgebende Bemessungsstreckgrenze der Querkraftbewehrung
Asl Querschnittsfläche der Längsbewehrung
uk ist der äußere Umfang des Querschnitts
fywd ist die maßgebende Bemessungsstreckgrenze der Längsbewehrung
Die Kraft in der Längsbewehrung kann aus der Querkraft in einer Wand eines Querschnitts unter reinem Torsionsmoment abgeleitet werden, die wie folgt angegeben wird:
\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]
Diese Kraft wird in Längsrichtung umgerechnet und ergibt:
\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]
Der zulässige Wertebereich für den Winkel θ ist ähnlich wie beim Querkraftnachweis, d. h. 1 < cot θ < 2,5. Die Abhängigkeit zwischen den Tragfähigkeiten ist in der Abb. unten dargestellt. Das Diagramm zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ die Tragfähigkeit TRd,max zunimmt, die Tragfähigkeit TRd.s abnimmt und die Tragfähigkeit TRd,c konstant bleibt, da sie nicht auf der Fachwerkanalogiemethod basiert.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]
Berechnung der Querschnittskennwerte für Torsion
Für den Torsionsnachweis des Querschnitts ist es erforderlich, einen sogenannten äquivalenten dünnwandigen geschlossenen Querschnitt zu ermitteln. Bei der Bestimmung der Abmessungen des äquivalenten dünnwandigen Querschnitts wird eine rechteckige Form angenommen. Für die tatsächliche Fläche des Rechtecks gilt A = b×h und für den Umfang des Rechtecks u =2 (b +h). Mithilfe dieser beiden Gleichungen können die äquivalente dünnwandige Rechteckfläche und der Umfang des ursprünglichen Querschnitts bestimmt werden. Durch Lösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ergibt sich:
\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]
Die Wanddicke des effektiven Querschnitts kann aus dem Umfang und der Querschnittsfläche wie folgt bestimmt werden:
\[t=\text{A}/\text{u}\]
Dann werden die Fläche und der Umfang, definiert durch die Mittellinie des effektiven Querschnitts, wie folgt bestimmt:
\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]
Das Problem bei dieser Methode besteht bei T-förmigen Querschnitten mit einer breiten Platte, wenn die Gesamtfläche und der Gesamtumfang zur Berechnung der Abmessungen herangezogen werden (einschließlich dieser Platte). In zukünftigen Versionen des IDEA RCS-Programms wird die Auswahl des massivsten Querschnittsteils ermöglicht, der für den Torsionsnachweis verwendet wird.