Berekeningsaannames
Het gedrag van een gewapend betonnen doorsnede onderworpen aan torsie kan worden onderverdeeld in twee categorieën - vóór en na het moment waarop scheuren voor het eerst worden verwacht. Vóór een scheur gedraagt de doorsnede zich als een elastisch materiaal. De torsiespanning kan worden uitgedrukt met de formule
\[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\]
waarbij Wt het doorsnede-weerstandsmoment voor torsie is.
Scheuren in de ongewapende staaf als gevolg van de maatgevende hoofdtrekspanning door torsie vormen tevens een grenstoestand. Het gedrag van een gewapend betonnen doorsnede onderworpen aan torsie kan worden beschreven op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, zie onderstaande figuur.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]
Berekeningsmethode
Het proces van een normtoetsing van een gewapend betonnen doorsnede op torsie is zeer vergelijkbaar met de normtoetsing op afschuiving. Allereerst controleren we de betonweerstand. Als de betoncontrole voldoet, kan de wapening worden ontworpen aan de hand van de constructieve detailleringsregels. Anders moeten we de wapening en de weerstand van de drukdiagonaal rekenkundig verifiëren.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]
Weerstand
De schuifstroom in een wand van een dunwandige doorsnede onder torsie kan worden uitgedrukt als:
\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]
De afschuifkracht in een wand van een dunwandige doorsnede kan worden uitgedrukt als:
\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]
Waarbij
τ Schuifstroom in de wand,
tef is de effectieve wanddikte,
z is de zijlengte van de wand,
TEd is het torsie-moment,
Ak is het oppervlak omsloten door de hartlijnen van de verbindende wanden, inclusief inwendige holle gebieden.
Het torsie-scheurmoment kan worden bepaald door fctd in te vullen in de vorige uitdrukking. Zo verkrijgen we de uitdrukking voor de weerstand bij torsie zonder torsiebewapening.
\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]
waarbij fctd rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]
De weerstand van de staaf met torsiebewapening is samengesteld uit de weerstand van de drukdiagonalen in het beton, die eveneens gebaseerd is op de vakwerkanalogie. De drukspanning in de diagonaal kan worden uitgedrukt met behulp van de afschuifkracht in de wand van een dunwandige doorsnede op het beschouwde wandoppervlak, d.w.z.
\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]
Door substitutie van σc=σcwfcd en TEd=TRd,max en het uitdrukken van TRd,max verkrijgen we een vergelijking voor de weerstand van de drukdiagonaal
\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]
waarbij
ν = 0,6 voor fck ≤ 60MPa of voor fck > 60MPa
αcw coëfficiënt die rekening houdt met de toestand van de drukspanning in de drukgordel
fcd rekenwaarde van de betondruksterkte
de weerstand van de beugelbewapening onderworpen aan torsie is eveneens gebaseerd op de spanning in de drukdiagonaal. De beugel kracht is gelijk aan de spanning in de gedrukte diagonaal op het oppervlak dat overeenkomt met de betreffende beugelrij, d.w.z.
\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]
Door substitutie van TEd=TRd,s en het uitdrukken van TRd,s verkrijgen we de vergelijking:
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\]
Als de hoeveelheid langswapening en beugelbewapening bekend is, kunnen we de hoek θ bepalen met de uitdrukking
\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\]
Door substitutie voor TRd,s verkrijgen we
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]
Waarbij
Asw oppervlak van de beugelbewapening
s is de hartafstand van de beugels van de beugelbewapening
fywd is de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de beugelbewapening
Asl oppervlak van de langswapening
uk is de buitenomtrek van de doorsnede
fywd is de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de langswapening
De kracht in de langswapening kan worden afgeleid uit de afschuifkracht in een wand van een doorsnede onderworpen aan een zuiver torsie-moment, die als volgt wordt gegeven:
\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]
Die kracht wordt omgezet naar de langsrichting en we verkrijgen:
\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]
Het toegestane bereik van de waarden voor hoek θ is vergelijkbaar met de afschuivingscontrole, d.w.z. 1 < cot θ < 2,5. De afhankelijkheid tussen de weerstanden is te zien in onderstaande figuur. Het diagram toont dat bij toenemende hoek θ de weerstand TRd,max toeneemt, de weerstand TRd.s afneemt en de weerstand TRd,c constant blijft, omdat deze niet gebaseerd is op de vakwerkanalogie.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]
Berekening van doorsnede-eigenschappen voor torsie
Om de doorsnede te controleren op torsie is het noodzakelijk een zogenaamde equivalente dunwandige gesloten doorsnede op te stellen. Bij het bepalen van de afmetingen van de equivalente dunwandige doorsnede wordt uitgegaan van een rechthoekige vorm. Voor het werkelijke oppervlak van een rechthoek geldt A = b×h en voor de omtrek van een rechthoek u =2 (b +h). Met behulp van deze twee vergelijkingen kan het alternatieve dunwandige rechthoekige oppervlak en de omtrek van de oorspronkelijke doorsnede worden bepaald. Door twee vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen verkrijgen we:
\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]
De wanddikte van de effectieve doorsnede kan worden bepaald uit de omtrek en het doorsnede-oppervlak als:
\[t=\text{A}/\text{u}\]
Vervolgens het oppervlak en de omtrek bepaald door de hartlijn van de effectieve doorsnede:
\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]
Het probleem met deze methode doet zich voor bij een T-vormige doorsnede met een brede plaat, waarbij het totale oppervlak en de omtrek worden gebruikt om de afmetingen te berekenen (inclusief deze plaat). In toekomstige versies van het IDEA RCS programma zal de selectie van het meest massieve doorsnededeel worden mogelijk gemaakt, dat zal worden gebruikt voor de torsiecontrole.