Hipótesis de cálculo
El comportamiento de una sección de hormigón armado sometida a torsión puede dividirse en dos categorías: antes y después del momento en que se espera que aparezcan las primeras fisuras. Antes de la fisuración, la sección transversal se comporta como un material elástico. La tensión de torsión puede expresarse mediante la fórmula
\[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\]
donde Wt es el módulo resistente a torsión de la sección.
Las fisuras en el elemento sin armadura debidas a la tensión principal de tracción por torsión constituyen también un estado límite último. El comportamiento de una sección de hormigón armado sometida a torsión puede describirse a partir de una sección cerrada de pared delgada, véase la figura siguiente.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]
Procedimiento de cálculo
El proceso de verificación normativa de una sección de hormigón armado a torsión es muy similar al de la verificación a cortante. En primer lugar, se comprueba la resistencia del hormigón. Si se satisface la verificación del hormigón, la armadura puede dimensionarse aplicando las reglas de detallado. En caso contrario, es necesario verificar la armadura y la resistencia de la diagonal comprimida mediante cálculo.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]
Resistencia
El flujo de cortante en la pared de una sección de pared delgada sometida a torsión puede expresarse como:
\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]
La fuerza cortante en la pared de una sección de pared delgada puede expresarse como:
\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]
Donde
τ Flujo de cortante en la pared,
tef es el espesor efectivo de la pared,
z es la longitud del lado de la pared,
TEd es el momento torsor,
Ak es el área encerrada por las líneas medias de las paredes conectadas, incluidas las áreas huecas interiores.
El momento torsor de fisuración puede determinarse sustituyendo fctd en la expresión anterior. De este modo se obtiene la expresión de la resistencia a torsión sin armadura de torsión.
\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]
donde fctd valor de cálculo de la resistencia a tracción axial del hormigón
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]
La resistencia del elemento con armadura de torsión se compone de la resistencia de las diagonales comprimidas de hormigón, que se basa de nuevo en el método de la analogía de la celosía. La tensión de compresión en la diagonal puede expresarse con ayuda de la fuerza cortante en la pared de una sección de pared delgada sobre la superficie de la pared considerada, es decir:
\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]
Sustituyendo σc=σcwfcd y TEd=TRd,max y despejando TRd,max se obtiene la ecuación de la resistencia de la diagonal comprimida:
\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]
donde
ν = 0,6 para fck ≤ 60MPa o para fck > 60MPa
αcw coeficiente que tiene en cuenta el estado de tensión de compresión en el cordón comprimido
fcd valor de cálculo de la resistencia a compresión del hormigón
la resistencia de la armadura transversal sometida a torsión se basa de nuevo en la tensión en la diagonal comprimida. La fuerza en el estribo es igual a la tensión en la diagonal comprimida sobre el área que corresponde a la línea de estribos considerada, es decir:
\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]
Sustituyendo TEd=TRd,s y despejando TRd,s se obtiene la ecuación:
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\]
Si se conoce la cuantía de armadura longitudinal y transversal, el ángulo θ puede definirse mediante la expresión:
\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\]
Sustituyendo en TRd,s se obtiene:
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]
Donde
Asw área de la armadura transversal
s es la separación radial de los estribos de la armadura transversal
fywd es la resistencia de cálculo efectiva de la armadura transversal
Asl área de la armadura longitudinal
uk es el perímetro exterior de la sección transversal
fywd es la resistencia de cálculo efectiva de la armadura longitudinal
La fuerza en la armadura longitudinal puede deducirse de la fuerza cortante en la pared de una sección sometida a un momento torsor puro, que se expresa como:
\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]
Esa fuerza se transforma a la dirección longitudinal y se obtiene:
\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]
El rango permitido de valores para el ángulo θ es similar al de la verificación a cortante, es decir 1 < cot θ < 2,5. La dependencia entre las resistencias puede observarse en la figura siguiente. El diagrama muestra que al aumentar el ángulo θ, la resistencia TRd,max crece, la resistencia TRd.s disminuye y la resistencia TRd,c permanece constante, ya que no se basa en el método de la analogía de la celosía.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]
Cálculo de las características de la sección transversal para torsión
Para verificar la sección transversal a torsión es necesario establecer una sección cerrada equivalente de pared delgada. Para determinar las dimensiones de la sección equivalente de pared delgada se asume una forma rectangular. Para el área real de la sección rectangular se tiene A = b×h y para el perímetro del rectángulo u =2 (b +h). Utilizando estas dos ecuaciones se pueden obtener el área y el perímetro equivalentes de la sección original con forma rectangular de pared delgada. Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:
\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]
El espesor de la pared de la sección efectiva puede definirse a partir del perímetro y el área de la sección como:
\[t=\text{A}/\text{u}\]
A continuación, el área y el perímetro definidos por la línea media de la sección efectiva:
\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]
El problema con este método se presenta en secciones transversales de tipo T con una losa ancha, cuando el área total y el perímetro se utilizan para calcular las dimensiones (incluyendo dicha losa). En versiones futuras del programa IDEA RCS se habilitará la selección de la parte más maciza de la sección transversal, que se utilizará para la verificación a torsión.