Pressupostos de cálculo
O comportamento de uma secção de betão armado sujeita a torção pode ser dividido em duas categorias — antes e depois do momento em que se espera que as fissuras possam ocorrer pela primeira vez. Antes da fissuração, a secção transversal comporta-se como um material elástico. A tensão de torção pode ser expressa pela fórmula
\[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\]
onde Wt é o módulo de secção à torção.
As fissuras no elemento não armado devidas à tensão principal de tração por torção constituem também um estado limite último. O comportamento de uma secção de betão armado sujeita a torção pode ser descrito com base numa secção fechada de parede fina, ver Fig. abaixo.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]
Procedimento de cálculo
O processo de verificação normativa de uma secção de betão armado à torção é muito semelhante à verificação ao corte. Em primeiro lugar, verifica-se a resistência do betão. Se a verificação do betão for satisfeita, a armadura pode ser dimensionada utilizando as regras de pormenorização. Caso contrário, é necessário verificar a armadura e a resistência das diagonais comprimidas por cálculo.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]
Resistência
O fluxo de corte numa parede de uma secção transversal de parede fina sob torção pode ser expresso como:
\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]
A força de corte numa parede de uma secção transversal de parede fina pode ser expressa como:
\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]
Onde
τ Fluxo de corte na parede,
tef é a espessura efetiva da parede,
z é o comprimento do lado da parede,
TEd é o momento de torção,
Ak é a área delimitada pelas linhas médias das paredes de ligação, incluindo as áreas ocas interiores.
O momento de fissuração por torção pode ser determinado substituindo fctd na expressão anterior. Obtém-se assim a expressão para a resistência à torção sem armadura de torção.
\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]
onde fctd valor de cálculo da resistência à tração axial do betão
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]
A resistência do elemento com armadura de torção é composta pela resistência das diagonais comprimidas de betão, baseada novamente no método da analogia de treliça. A tensão de compressão na diagonal pode ser expressa com o auxílio da força de corte na parede de uma secção transversal de parede fina na superfície da parede em consideração, ou seja:
\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]
Substituindo σc=σcwfcd e TEd=TRd,max e expressando TRd,max obtém-se a equação para a resistência das diagonais comprimidas
\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]
onde
ν = 0,6 para fck ≤ 60MPa ou para fck > 60MPa
αcw coeficiente que tem em conta o estado de tensão de compressão no banzo comprimido
fcd valor de cálculo da resistência à compressão do betão
a resistência da armadura de corte sujeita a torção baseia-se novamente na tensão na diagonal comprimida. A força no estribo é igual à tensão na diagonal comprimida na área correspondente à linha de estribos em causa, ou seja:
\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]
Substituindo TEd=TRd,s e expressando TRd,s obtém-se a equação:
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\]
Se a quantidade de armadura longitudinal e de corte for conhecida, pode-se definir o ângulo θ pela expressão
\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\]
Substituindo em TRd,s obtém-se
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]
Onde
Asw área da armadura de corte
s é o espaçamento radial dos estribos da armadura de corte
fywd é a resistência de cálculo efetiva da armadura de corte
Asl área da armadura longitudinal
uk é o perímetro exterior da secção transversal
fywd é a resistência de cálculo efetiva da armadura longitudinal
A força na armadura longitudinal pode ser deduzida da força de corte numa parede de uma secção sujeita a um momento de torção puro, que é dada por:
\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]
Essa força é transformada na direção longitudinal e obtém-se:
\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]
O intervalo permitido de valores para o ângulo θ é semelhante ao da verificação ao corte, ou seja 1 < cot θ < 2,5. A dependência entre as resistências pode ser observada na Fig. abaixo. O diagrama mostra que com o aumento do ângulo θ a resistência TRd,max cresce, a resistência TRd.s diminui e a resistência TRd,c é constante, uma vez que não se baseia no método da analogia de treliça.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]
Cálculo das características da secção transversal para a torção
Para verificar a secção transversal à torção é necessário estabelecer uma denominada secção fechada equivalente de parede fina. Na determinação das dimensões da secção transversal equivalente de parede fina assume-se uma forma retangular. Para a área real de um retângulo tem-se A = b×h e para o perímetro do retângulo u =2 (b +h). Utilizando estas duas equações é possível obter a área e o perímetro equivalentes de forma retangular de parede fina da secção transversal original. Resolvendo duas equações com duas incógnitas obtém-se:
\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]
A espessura da parede da secção transversal efetiva pode ser definida a partir do perímetro e da área da secção como:
\[t=\text{A}/\text{u}\]
A área e o perímetro definidos pela linha média da secção transversal efetiva são então:
\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]
O problema com este método ocorre para secções transversais do tipo T com uma laje larga, quando a área e o perímetro totais são utilizados para calcular as dimensões (incluindo essa laje). Em versões futuras do programa IDEA RCS, será possível selecionar a parte mais maciça da secção transversal, que será utilizada para verificar a torção.