Hypothèses de calcul
Le comportement d'une section en béton armé soumise à la torsion peut être divisé en deux catégories - avant et après l'apparition des premières fissures. Avant la fissuration, la section transversale se comporte comme un matériau élastique. La contrainte de torsion peut être exprimée par la formule
\[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\]
où Wt est le module de section en torsion.
Les fissures dans un élément non armé dues à la contrainte principale de traction en torsion constituent également un état limite ultime. Le comportement d'une section en béton armé soumise à la torsion peut être décrit sur la base d'une section fermée à paroi mince, voir la figure ci-dessous.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]
Procédure de calcul
La procédure de vérification normative d'une section en béton armé à la torsion est très similaire à la vérification au cisaillement. Tout d'abord, on vérifie la résistance du béton. Si la vérification du béton est satisfaite, le ferraillage peut être dimensionné en appliquant les règles de disposition constructive. Dans le cas contraire, il est nécessaire de vérifier le ferraillage et la résistance des diagonales comprimées par le calcul.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]
Résistance
Le flux de cisaillement dans une paroi d'une section à paroi mince soumise à la torsion peut être exprimé comme suit :
\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]
L'effort tranchant dans une paroi d'une section à paroi mince peut être exprimé comme suit :
\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]
Où
τ Flux de cisaillement dans la paroi,
tef est l'épaisseur efficace de la paroi,
z est la longueur du côté de la paroi,
TEd est le moment de torsion,
Ak est l'aire délimitée par les lignes médianes des parois de liaison, y compris les zones creuses intérieures.
Le moment de fissuration en torsion peut être déterminé en substituant fctd dans l'expression précédente. On obtient ainsi l'expression de la résistance à la torsion sans ferraillage de torsion.
\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]
où fctd valeur de calcul de la résistance à la traction axiale du béton
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]
La résistance de l'élément avec ferraillage de torsion est composée de la résistance des diagonales comprimées en béton, basée sur la méthode de l'analogie du treillis. La contrainte de compression dans la diagonale peut être exprimée à l'aide de l'effort tranchant dans la paroi d'une section à paroi mince sur la surface de paroi considérée, soit :
\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]
En substituant σc=σcwfcd et TEd=TRd,max et en exprimant TRd,max on obtient l'équation de la résistance des diagonales comprimées :
\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]
où
ν = 0,6 pour fck ≤ 60MPa ou pour fck > 60MPa
αcw coefficient tenant compte de l'état de contrainte de compression dans la membrure comprimée
fcd valeur de calcul de la résistance à la compression du béton
la résistance du ferraillage transversal soumis à la torsion est également basée sur la contrainte dans la diagonale comprimée. La force dans l'étrier est égale à la contrainte dans la diagonale comprimée sur l'aire correspondant à la ligne d'étriers considérée, soit :
\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]
En substituant TEd=TRd,s et en exprimant TRd,s on obtient l'équation :
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\]
Si les quantités de ferraillage longitudinal et transversal sont connues, on peut définir l'angle θ par l'expression suivante :
\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\]
En substituant TRd,s on obtient :
\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]
Où
Asw aire du ferraillage transversal
s est l'espacement radial des étriers du ferraillage transversal
fywd est la valeur de calcul effective de la résistance du ferraillage transversal
Asl aire du ferraillage longitudinal
uk est le périmètre extérieur de la section transversale
fywd est la valeur de calcul effective de la résistance du ferraillage longitudinal
La force dans le ferraillage longitudinal peut être déduite de l'effort tranchant dans une paroi d'une section soumise à un moment de torsion pur, qui est donné par :
\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]
Cette force est transformée dans la direction longitudinale et on obtient :
\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]
La plage admissible des valeurs de l'angle θ est similaire à celle de la vérification au cisaillement, soit 1 < cot θ < 2,5. La dépendance entre les résistances est illustrée dans la figure ci-dessous. Le diagramme montre qu'avec l'augmentation de l'angle θ, la résistance TRd,max croît, la résistance TRd.s décroît et la résistance TRd,c reste constante, car elle n'est pas basée sur la méthode de l'analogie du treillis.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]
Calcul des caractéristiques de la section transversale pour la torsion
Pour vérifier la section transversale à la torsion, il est nécessaire d'établir une section fermée équivalente à paroi mince. Pour déterminer les dimensions de la section équivalente à paroi mince, on suppose une forme rectangulaire. Pour l'aire réelle d'un rectangle, on a A = b×h et pour le périmètre du rectangle u =2 (b +h). En utilisant ces deux équations, on peut obtenir l'aire et le périmètre du rectangle équivalent à paroi mince de la section transversale d'origine. En résolvant deux équations à deux inconnues, on obtient :
\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]
L'épaisseur de paroi de la section efficace peut être définie à partir du périmètre et de l'aire de la section comme suit :
\[t=\text{A}/\text{u}\]
Ensuite, l'aire et le périmètre définis par la ligne médiane de la section efficace :
\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]
\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]
La difficulté avec cette méthode concerne les sections de type T avec une large table lorsque l'aire totale et le périmètre sont utilisés pour calculer les dimensions (y compris cette table). Dans les versions futures du programme IDEA RCS, la sélection de la partie la plus massive de la section transversale sera activée, ce qui permettra de vérifier la torsion.