2.5 ประเภทของ Finite Element

โมเดลการวิเคราะห์ Finite Element แบบไม่เชิงเส้น (inelastic) ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ Finite Element หลายประเภทเพื่อจำลอง Concrete เหล็กเสริม และแรงยึดเหนี่ยวระหว่างกัน อิลิเมนต์ Concrete และเหล็กเสริมจะถูกสร้างตาข่าย (mesh) แยกจากกันก่อน แล้วจึงเชื่อมต่อเข้าด้วยกันโดยใช้อิลิเมนต์ multi-point constraint (MPC) วิธีนี้ทำให้เหล็กเสริมสามารถอยู่ในตำแหน่งสัมพัทธ์ใดๆ ก็ได้เมื่อเทียบกับ Concrete หากต้องคำนวณตรวจสอบความยาวยึดเหนี่ยว จะมีการแทรกอิลิเมนต์ Spring สำหรับแรงยึดเหนี่ยวและปลายยึดเหนี่ยว (bond and anchorage end spring elements) ระหว่างเหล็กเสริมและอิลิเมนต์ MPC

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Concrete

Concrete ถูกจำลองโดยใช้อิลิเมนต์เปลือกบาง (shell elements) รูปสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม คือ CQUAD4 และ CTRIA3 ซึ่งกำหนดโดยจุดต่อ (node) สี่จุดหรือสามจุดตามลำดับ อิลิเมนต์เหล่านี้สมมติให้มีเฉพาะสภาวะความเค้นระนาบ (plane stress) เท่านั้น กล่าวคือไม่พิจารณาความเค้นหรือความเครียดในทิศทาง z

แต่ละอิลิเมนต์มีจุดหาค่าปริพันธ์ (integration point) สี่หรือสามจุด ซึ่งวางอยู่ที่ประมาณ 1/4 ของขนาดอิลิเมนต์ ที่แต่ละจุดหาค่าปริพันธ์ในทุกอิลิเมนต์ จะคำนวณทิศทางของความเครียดหลัก α₁, α₂ ในทั้งสองทิศทางนี้ จะประเมินความเค้นหลัก σ_c1, σ_c2 และค่าความแข็ง E₁, E₂ ตามไดอะแกรมความเค้น-ความเครียดของ Concrete ที่กำหนดไว้ ดังแสดงใน Fig. 2 ควรสังเกตว่าผลของการอ่อนตัวจากแรงอัด (compression softening) จะเชื่อมโยงพฤติกรรมของทิศทางแรงอัดหลักเข้ากับสภาวะจริงของทิศทางหลักอีกทิศทางหนึ่ง

เหล็กเสริม

เหล็กเสริมถูกจำลองโดยอิลิเมนต์ "แท่ง" แบบ 1 มิติที่มีสองจุดต่อ (CROD) ซึ่งมีเฉพาะความแข็งตามแนวแกน (axial stiffness) เท่านั้น อิลิเมนต์เหล่านี้เชื่อมต่อกับอิลิเมนต์ "bond" พิเศษซึ่งพัฒนาขึ้นเพื่อจำลองพฤติกรรมการเลื่อน (slip) ระหว่างเหล็กเสริมและ Concrete โดยรอบ อิลิเมนต์ bond เหล่านี้จะเชื่อมต่อกับตาข่าย (mesh) ที่แทน Concrete ผ่านอิลิเมนต์ MPC (multi-point constraint) วิธีนี้ทำให้สามารถสร้างตาข่าย (mesh) ของเหล็กเสริมและ Concrete แยกจากกันได้อย่างอิสระ ในขณะที่การเชื่อมต่อระหว่างกันจะเกิดขึ้นในภายหลัง

อิลิเมนต์ Bond

ความยาวยึดเหนี่ยวจะถูกตรวจสอบโดยการนำความเค้นเฉือนจากแรงยึดเหนี่ยว (bond shear stress) ระหว่างอิลิเมนต์ Concrete (2 มิติ) และอิลิเมนต์เหล็กเสริม (1 มิติ) มาใช้ในโมเดล Finite Element เพื่อการนี้ จึงได้พัฒนาอิลิเมนต์ Finite Element ประเภท "bond" ขึ้น

คำนิยามของอิลิเมนต์ bond มีลักษณะคล้ายกับอิลิเมนต์เปลือกบาง (CQUAD4) โดยกำหนดด้วย 4 จุดต่อเช่นกัน แต่ต่างจากอิลิเมนต์เปลือกบางตรงที่มีเฉพาะความแข็งเฉือนที่ไม่เป็นศูนย์ระหว่างจุดต่อบนสองจุดและจุดต่อล่างสองจุดเท่านั้น ในโมเดล จุดต่อบนจะเชื่อมกับอิลิเมนต์ที่แทนเหล็กเสริม และจุดต่อล่างจะเชื่อมกับอิลิเมนต์ที่แทน Concrete พฤติกรรมของอิลิเมนต์นี้อธิบายด้วยความเค้นยึดเหนี่ยว τ_b ในรูปฟังก์ชันสองเชิงเส้น (bilinear) ของการเลื่อนระหว่างจุดต่อบนและล่าง δ_u ดูรูปที่ 14

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

ค่ามอดูลัสความแข็งแบบยืดหยุ่น (elastic stiffness modulus) ของความสัมพันธ์ bond-slip คือ G_b ถูกกำหนดดังนี้:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

โดยที่:

k_g            สัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับผิวของเหล็กเสริม (ค่าเริ่มต้น k_g = 0.2)

E_c            มอดูลัสยืดหยุ่นของ Concrete (ใช้ค่า E_cm ในกรณีของ EN)

Ø             เส้นผ่านศูนย์กลางของเหล็กเสริม

ค่าการออกแบบ (ค่าที่คูณตัวประกอบแล้ว) ของความเค้นเฉือนยึดเหนี่ยวประลัย (ultimate bond shear stress) f_bd ที่กำหนดไว้ในมาตรฐานการออกแบบที่เลือก EN 1992-1-1 หรือ ACI 318-19 จะถูกใช้เพื่อตรวจสอบความยาวยึดเหนี่ยว ค่าการเสริมความแข็ง (hardening) ของช่วงพลาสติกคำนวณตามค่าเริ่มต้นเป็น G_b/10⁵

Spring สำหรับการยึดเหนี่ยว

การจัดให้มีปลายยึดเหนี่ยวที่เหล็กเสริม (เช่น การงอ ขอเกี่ยว ห่วง...) ซึ่งเป็นไปตามข้อกำหนดของมาตรฐานการออกแบบ ช่วยให้สามารถลดความยาวยึดเหนี่ยวพื้นฐาน (basic anchorage length) ของเหล็กเสริม (l_b,net) ได้ด้วยตัวประกอบ β หนึ่งค่า (เรียกว่า 'สัมประสิทธิ์การยึดเหนี่ยว' ในที่นี้) ค่าการออกแบบของความยาวยึดเหนี่ยว (l_b) จะคำนวณได้ดังนี้:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

การลดค่า l_b,net ที่ต้องการนั้นเทียบเท่ากับการกระตุ้น (activation) เหล็กเสริมที่ปลายด้วยเปอร์เซ็นต์ของความสามารถรับแรงสูงสุด ตามที่กำหนดโดยสัมประสิทธิ์การลดการยึดเหนี่ยว ดังแสดงในรูปที่ 15a

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

การลดความยาวยึดเหนี่ยวถูกรวมไว้ในโมเดล Finite Element โดยใช้อิลิเมนต์ Spring ที่ปลายของเหล็กเสริม (รูปที่ 15) ซึ่งกำหนดโดยแบบจำลองความสัมพันธ์เชิงองค์ประกอบ (constitutive model) ที่แสดงในรูปที่ 15b แรงสูงสุดที่ส่งผ่านโดย Spring นี้ (F_au) คือ:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

โดยที่ :

β             สัมประสิทธิ์การยึดเหนี่ยวตามประเภทของการยึดเหนี่ยว

A_s            พื้นที่หน้าตัดของเหล็กเสริม

f_yd           ค่าการออกแบบ (ค่าที่คูณตัวประกอบแล้ว) ของกำลังครากของเหล็กเสริม