Obliczenie szerokości rys i tension stiffening

Obliczenie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys - zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego stopnia zbrojenia w każdej części konstrukcji określa się, który model obliczeniowy rys zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane na podstawie wyników odkształceń zbrojenia dostarczanych bezpośrednio przez analizę MES, zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Rozważana jest kinematyka rysy bez poślizgu (czyste rozwarcie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) można rzutować na kierunek pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że powyższe równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla tych obszarów w pełni rozwiniętego rozkładu rys, obliczone odkształcenia średnie (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w narożnikach wklęsłych obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik z góry określa położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy zazwyczaj rozwijają się po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanych i nieustabilizowanych rozkładów rys. W obu przypadkach domyślnie przyjmuje się, że beton jest w pełni zarysowany przed obciążeniem.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Zarysowanie ustabilizowane

W przypadku w pełni rozwiniętego rozkładu rys, tension stiffening jest wprowadzany za pomocą modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który, jak wykazano, daje doskonałe przewidywania odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada schodkową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężenia przyczepności od poślizgu, z τ_b = τ_b0 =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y oraz τ_b =τ_b1 = f_ctm dla σ_s > f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane – Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń przyczepności, stali i betonu, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami, można wyznaczyć dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń (lub odkształceń) stali w rysach.

Dla s_r = s_r0, nowa rysa może się utworzyć lub nie, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c1 = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się różnić o czynnik dwa, tj. s_r = λs_r0, przy l = 0,5…1,0. Zakładając określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla wyidealizowanego bilinowego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych, przyjętego domyślnie w CSFM, otrzymuje się następujące zamknięte wyrażenia analityczne (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

gdzie:
E_sh           moduł umocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            moduł sprężystości zbrojenia,

Ø            średnica pręta zbrojeniowego,

s_r                rozstaw rys,

σ_sr           naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s            rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_y                granica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas przeprowadzania komputerowo wspomaganej analizy pól naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co jest zgodne z zaleceniami sformułowanymi na podstawie badań zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że przy obliczaniu szerokości rys przyjmuje się maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości bezpiecznych (konserwatywnych).

Zastosowanie TCM zależy od stopnia zbrojenia, dlatego kluczowe znaczenie ma przypisanie odpowiedniego pola przekroju betonu działającego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną w celu zdefiniowania odpowiadającego jej efektywnego stopnia zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym stopniu zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie rysujące bez uplastycznienia, powstają w wyniku działań niemechanicznych (np. skurczu) lub propagacji rys kontrolowanej przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia otrzymuje się w następujący sposób:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

gdzie:

f_y              granica plastyczności zbrojenia,

f_ct             wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n              stosunek modułów sprężystości, n = E_s / E_c .

Dla konwencjonalnego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi w przybliżeniu 0,6%.

Dla strzemion o stopniu zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie uznaje się za nieustabilizowane, a tension stiffening jest wdrażany za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy, nie uwzględniając mechanicznego oddziaływania między poszczególnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu przy rozciąganiu i zakładając tę samą schodkową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężenia przyczepności od poślizgu, jaka jest stosowana w TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z warunków równowagi. Ze względu na fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego rozkładu rys, odkształcenie średnie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odcinku między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zbrojenia z przyczepnością, które ostatecznie jest uwzględniane w analizie. Zachowanie to (z uwzględnieniem tension stiffening) dla najbardziej powszechnej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest przedstawione na Rys. 22c-d.