Vincolo all'instabilità flesso-torsionale nella progettazione strutturale

Descrizione del modello

Il vincolo all'instabilità flesso-torsionale è simulato da due rigidezze aggiunte a qualsiasi piastra:

• Laterale (taglio) S [N] applicata nella direzione dell'asse y del sistema di coordinate locale della piastra
• Torsionale C [Nm/m] applicata attorno all'asse x del sistema di coordinate locale della piastra

Gli utenti possono selezionare qualsiasi piastra di un elemento, la lunghezza del vincolo, il tipo (continuo o discreto con passo impostato) e le rigidezze laterale e torsionale.

Sistema di coordinate locale di una piastra con LTR applicato

I nodi degli elementi finiti sono collegati lungo la larghezza della piastra da elementi a corpo rigido di tipo 3 (RBE3) a un punto sull'asse longitudinale della piastra. La rigidezza torsionale è applicata in questo punto da un elemento speciale con una sola rigidezza, la rotazione attorno all'asse x. Questo punto è anche collegato da altri due RBE3 con un elemento speciale tra di essi con una sola rigidezza, lo spostamento nell'asse y. 

La rigidezza laterale è impostata dall'utente come libera, rigida o con rigidezza definita. La rigidezza rigida è sufficientemente elevata, impostata come 1000 volte la rigidezza a taglio della piastra. La rigidezza \(S\) è impostata per unità di lunghezza (un metro) con un'unità di forza [N]. La rigidezza di un elemento \(S_i\) ha un'unità di forza divisa per unità di lunghezza [N/m] ed è quindi:

\[ S_i = \frac{S}{s_d} \]

dove:

•  \(s_d\) – distanza tra due punti [m]

Per il tipo discreto, il passo è impostato direttamente dall'utente. Per il tipo continuo, il passo è sufficientemente piccolo da non influenzare il comportamento della piastra.

Analogamente, la rigidezza torsionale è impostata dall'utente come libera, rigida o con rigidezza definita. La rigidezza rigida è sufficientemente elevata, impostata come 1 000 volte la rigidezza flessionale della piastra. La rigidezza \(C\) è impostata per unità di lunghezza (un metro) con un'unità di momento flettente divisa per unità di lunghezza [Nm/m]. La rigidezza di un elemento \(C_i\) ha un'unità di momento flettente divisa per il quadrato dell'unità di lunghezza [Nm/m²] ed è quindi:

\[ C_i = \frac{C}{s_d} \]

Per una migliore comprensione dei valori di rigidezza, si veda il documento European Recommendations on the Stabilization of Steel Structures by Sandwich Panels.

Gli elementi finiti nascosti e gli RBE3 forniscono rigidezza laterale e torsionale alla piastra dell'elemento

Si noti che gli RBE3 sono solo collegamenti di interpolazione che non forniscono alcuna rigidezza propria.

Verifica

Un modello che fornisce LTR è stato verificato con il software LTBeam, che utilizza elementi a barra (1D) con sette gradi di libertà. Ciò significa che la sezione trasversale non si deforma, ma l'elemento può cogliere il ingobbamento. Il confronto è mostrato su un esempio di sezione trasversale IPE 180 in acciaio S355 con una lunghezza di 6 m. La trave è incastrata ad entrambe le estremità con un carico uniforme di 20 kN/m applicato all'ala superiore. Il software LTBeam è in grado di determinare il momento critico elastico che corrisponde al risultato dell'analisi di instabilità lineare (LBA) in IDEA StatiCa Member.

Confronto tra LTBeam e IDEA StatiCa Member per rigidezza laterale e torsionale 

Il moltiplicatore del carico critico all'instabilità elastica \(\alpha_{cr}\) con rigidezza laterale è molto simile secondo entrambi i software. La rigidezza laterale limite oltre la quale l'instabilità flesso-torsionale ha un effetto fino al solo 5 % della resistenza flessionale della trave è calcolata secondo EN 1993-1-1 come S_lim = 8 589 kN. Tuttavia, i risultati con il vincolo torsionale divergono a livelli più elevati di rigidezza rotazionale. Osservando la forma deformata in IDEA StatiCa Member, la differenza è causata dalla deformazione della sezione trasversale che può essere colta solo dal modello a guscio. LTBeam fornisce moltiplicatori del carico critico irrealisticamente elevati per alta rigidezza torsionale. 

Per verificare questa affermazione, il modello ad elementi guscio ABAQUS è stato creato presso l'università ETH. La trave è nuovamente incastrata ad entrambe le estremità, realizzata in acciaio S355 e con una lunghezza di 6 m. È stata utilizzata la sezione trasversale IPE 240. La rigidezza torsionale limite, ovvero quella per cui l'instabilità flesso-torsionale ha un effetto fino al solo 5 % della resistenza flessionale della trave, è stata calcolata come C_lim = 27,13 kNm/m. Il modello è caricato da una forza a mezzeria sull'ala superiore. 

Confronto tra ABAQUS, LTBeam e IDEA StatiCa Member per la rigidezza torsionale

L'effetto della rigidezza torsionale è molto simile in entrambi i modelli realizzati con elementi guscio e LTBeam diverge. Soprattutto, le resistenze all'instabilità di ABAQUS e IDEA StatiCa Member fornite dalla GMNIA quasi coincidono – le differenze sono fino al 4 %.

Stima della rigidezza

Il vincolo LTR fornito da solai riempiti di calcestruzzo e con azione composita fornita da pioli con testa può essere assunto come rigido almeno nel caso della rigidezza laterale. Le rigidezze fornite da lamiere trapezoidali di pannelli sandwich sono molto più piccole e possono essere determinate mediante esperimenti o calcoli. Nella maggior parte dei casi, i valori di rigidezza laterale e torsionale sarebbero raccomandati dai produttori di pannelli sandwich o altri tipi di rivestimento. 

Il calcolo della rigidezza laterale S [N] fornita da lamiere trapezoidali è previsto in EN 1993-1-3, Capitolo 10:

\[S=1000 \sqrt{t^3} \left ( 50+10 \sqrt[3]{b_{roof}} \right ) \frac{s}{h_w} \]

dove:

• t – spessore di progetto della lamiera trapezoidale [mm]
• b_roof – larghezza della copertura, ovvero per una copertura a falde è la distanza tra il colmo e la gronda [mm]
• s – distanza tra le travi [mm]
• h_w – altezza del profilo della lamiera trapezoidale [mm] 

La formula è valida se la lamiera trapezoidale è collegata alla trave ad ogni nervatura. Se la lamiera è collegata alla trave solo ad ogni seconda nervatura, allora S deve essere sostituita da 0,2 S.

La rigidezza laterale dei pannelli sandwich è descritta nella raccomandazione ECCS. La rigidezza degli elementi di fissaggio è essenziale:

\[S=\frac{k_v}{2B} \sum_{k=1}^{n_k}c_k^2\]

dove:

• k_v – rigidezza a taglio di un elemento di fissaggio
• B – larghezza di un pannello sandwich
• n_k – numero di coppie di elementi di fissaggio per pannello e appoggio
• c_k – distanza tra i due elementi di fissaggio di una coppia

La rigidezza torsionale è più complessa e può essere stimata anche dalla raccomandazione ECCS. Essa comprende il contributo degli elementi di fissaggio, del pannello sandwich e della distorsione della trave. La distorsione della trave può essere trascurata poiché è già inclusa nel modello ad elementi guscio.

Rigidezza torsionale (a sinistra) e laterale (a destra) fornita dai pannelli sandwich (ECCS, 2014)

Nella pratica americana, il vincolo contro l'instabilità flesso-torsionale è tipicamente assunto come completo o trascurabile in base al tipo e all'orientamento del solaio. Ad esempio, la Tabella 8.1 del Manuale di Progettazione Sismica AISC identifica le condizioni di vincolo per le travi soggette a compressione assiale. Tuttavia, ove necessario, la rigidezza laterale può essere derivata dalla rigidezza del diaframma, G', calcolata in conformità con AISI S310. Denavit et al. (2020) presentano un metodo per il calcolo della rigidezza torsionale. 

Riferimenti

• CTICM, LTBeam v. 1.0.11, disponibile su: https://www.cesdb.com/ltbeam.html
• Abaqus. Reference manual, versione 6.16. Simulia, Dassault Systéms. Francia, 2016.
• EN 1993-1-3: Eurocode 3: Progettazione delle strutture in acciaio – Parte 1-3: Regole generali – Regole supplementari per elementi e lastre formati a freddo, CEN, 2006.
• ECCS TC7 – Technical Working Group TWG 7.9 Sandwich Panels and Related Structures, European Recommendations on the Stabilization of Steel Structures by Sandwich Panels, 2^nd edition, 2014. ISBN 978-90-6363-081-2
• Denavit, M.D.; Jacobs, W.P.; Helwig, T.A. (2020). "Continuous Bracing Requirements for Constrained-Axis Torsional Buckling," Engineering Journal, American Institute of Steel Construction, Vol. 57, pp. 69-89.