Trojosé napětí – vliv aktivního příčného tlaku

Úvod

Vliv příčného tlaku v betonových konstrukcích označuje jev, při němž je pevnost a houževnatost betonu výrazně zlepšena v důsledku bočního tlaku (aktivního) nebo sevření okolními materiály (pasivního), jako je ocelové vyztužení nebo vnější obalové prvky. Tento vliv je zvláště důležitý pro zlepšení chování betonu při tlaku, zejména při vysokém zatížení. 

Zde jsou klíčové aspekty vlivu příčného tlaku v betonových konstrukcích:

1. Zvýšená pevnost: Příčný tlak zvyšuje tlakovou pevnost betonu. Při působení bočního tlaku je omezena boční expanze betonu, což umožňuje přenášet vyšší osové síly před porušením.
2. Zvýšená houževnatost: Beton s příčným tlakem vykazuje větší houževnatost, což znamená, že může před porušením podstoupit větší deformace. 
3. Chování při zatížení: Příčný tlak mění způsob porušení betonu z křehkého, náhlého porušení na houževnatější, postupné. Tato změna způsobu porušení je příznivá pro bezpečnost a integritu konstrukcí při extrémních zatěžovacích podmínkách.
4. Návrhové aspekty: Návrh prvků z betonu s příčným tlakem zahrnuje výpočet množství a rozmístění svěrného vyztužení pro dosažení požadované pevnosti a houževnatosti. Normy a předpisy, jako jsou pokyny EN (Eurocode), poskytují vzorce a pokyny pro navrhování betonových prvků s příčným tlakem.
5. Aplikace: Aktivní příčný tlak se uvažuje při navrhování například částečně zatížených ploch, betonových kloubů apod.

Na následujícím obrázku si lze povšimnout, jak se diagram napětí-přetvoření a únosnost mohou lišit pro beton bez příčného tlaku a s příčným tlakem.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Confinement effect and influence on the bearing capacity of structures}}}\]

Než přejdeme k samotnému příkladu, připomeňme si, jak je v aplikaci definován materiál betonu.

Definice materiálu betonu v IDEA StatiCa Detail

3D CSFM definuje chování betonu na základě Mohr-Coulombovy teorie plasticity pro monotónní zatížení.

Obecně platí, že pro daný úhel vnitřního tření betonu, který je přibližně φ = 30°, lze Mohrovy kružnice tahové a tlakové pevnosti betonu sestrojit jako na obrázku 2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Kde f_c je pevnost betonu v tlaku, f_ct je pevnost betonu v tahu, φ je úhel vnitřního tření a σ_c1, σ_c3 jsou hlavní napětí betonu při trojosém tlaku.

Lze si povšimnout, že s rostoucím hlavním napětím σ_c3 roste také maximální možný rozdíl mezi hodnotami σ_c3 a σ_c1, který definujeme jako maximální σ_c,eq (viz níže).

V 3D CSFM implementovaném v IDEA StatiCa Detail se uvažuje úhel vnitřního tření φ = 0°, jak je znázorněno na obrázku 3.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

Praktickým důsledkem této implementace je, že maximální rozdíl mezi σ_c3 a σ_c1 je konstantní s rostoucím σ_c3. 

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní „poškozující" jednoosé napětí pro obecný stav trojosého napětí.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu σ_c,eq lze proto přímo porovnat s mezemi jednoosé pevnosti podle norem.

Porovnáním obrázku 2, kde je použit skutečný úhel vnitřního tření, a obrázku 3, který zobrazuje implementaci Mohr-Coulombovy teorie plasticity s nulovým úhlem vnitřního tření, lze vidět, že přístup zvolený pro výpočty v aplikaci Detail je velmi konzervativní pro posouzení stavu trojosého napětí. Poznamenejme, že model s nulovým úhlem tření se podobá Treskovu modelu s odříznutím tahu.

Více informací naleznete v Konstrukční návrh 3D diskontinuit z betonu v IDEA StatiCa Detail

Trojosý test – příklad aktivního příčného tlaku

V příkladu simulujeme trojosý test, abychom vysvětlili, jak je vliv trojosého tlaku implementován v 3D CSFM v IDEA StatiCa Detail. Půjde tedy o příklad aktivního příčného tlaku. Všechny výpočty budou v charakteristických hodnotách.

Model je typu plného bloku s půdorysnými rozměry 1,0 x 1,0 m a výškou 3,0 m z betonu C30/37, podepřeného tuhým plošným podepřením ve směru Z. Pouze pro zajištění stability výpočetního modelu jsou na plošném podepření zahrnuty také směry X a Y se zanedbatelnou hodnotou tuhosti. Zatížení je aplikováno ve dvou krocích. V prvním kroku je na model aplikován hydrostatický tlak (σ_c,1 = σ_c,2 = σ_c,3) 20 MPa. Tato vysoká hodnota, relativně k pevnosti betonu, byla zvolena především pro demonstraci stability výpočetního modelu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Triaxial test setup - model, load, and boundary conditions}}}\]

Po výpočtu modelu získáme hodnotu σ_c,eq = 0 MPa v celém modelu. To odpovídá předchozí definici implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity v aplikaci Detail.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Equivalent Principal Stress - first calculation step}}}\]

Ve druhém kroku je na horní povrch modelu aplikováno plošné zatížení 50 MPa. Poznamenejme, že toto zatížení je vyšší než uvažovaná osová tlaková pevnost betonu 30 MPa. Cílem testu je prokázat, že v tomto kroku nebude aplikováno žádné zatížení větší než tlaková pevnost betonu. Výpočet by se proto měl zastavit tak, aby aplikované zatížení bylo rovno výsledné hodnotě σ_c,eq.

Podívejme se nyní na výsledky. Jak bylo očekáváno, výpočet byl zastaven, protože bylo překročeno kritérium plastického přetvoření betonu, které činí 5 %.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Calculation result after the second step}}}\]

Pokud projdeme výsledky, zjistíme, že odpovídají výše definovaným předpokladům. To ukazuje, že model betonu v aplikaci Detail funguje správně z hlediska aktivního příčného tlaku.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad a) Applied load in step 2; b) Equivalent principal stress; c) Principal stresses σc,3 a σc,1}}}\]

Špičky napětí, které lze pozorovat na horním a dolním povrchu, jsou způsobeny způsobem aplikace plošného zatížení a plošného podepření na hrany sítě z čtyřstěnných prvků s uzlovými rotacemi. A také skutečností, že v aplikaci Detail jsou vždy zobrazovány maximální uzlové hodnoty ze sousedních konečných prvků. Předmětem tohoto článku však není specifikace této metody, proto se jí dále nebudeme věnovat.

Ověření v ABAQUS

V dalším kroku se podíváme na porovnání s modely vytvořenými v ABAQUS, kde je k definici betonu rovněž použita Mohr-Coulombova teorie plasticity. Porovnáme výsledky z aplikace Detail se skutečným modelem betonu s úhlem vnitřního tření 30°. Tím demonstrujeme konzervativnost přístupu v 3D CSFM.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad ABAQUS model: a) Concrete mesh 2; b) Load definition; c) Principal stresses σc,3}}}\]

V ABAQUS jsme vytvořili model podobný modelu v aplikaci Detail. Definice materiálu, okrajových podmínek a zatížení jsou totožné. Na druhou stranu je síť betonu zjednodušena. Výsledky pro dva výpočty, jeden s použitím φ = 0°; c = 15 MPa a druhý φ = 30°; c = 8,65 MPa, jsou zobrazeny v níže uvedeném grafu spolu s porovnáním s dalšími úhly vnitřního tření φ = 10°, 20°, 40°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Comparison of 3D CSFM, an ABAQUS model with various angles of internal friction }}}\]

Graf ukazuje shodu mezi modely 3D CSFM a ABAQUS pro φ = 0°. Je také jasně znázorněno, že zjednodušení v definici materiálu betonu v 3D CSFM (vodorovná plastická větev diagramu napětí-přetvoření a vodorovná lineární obálka Mohr-Coulomb), která vedou jak k lepší přehlednosti, tak především k rychlejšímu výpočtu, vedou alespoň z hlediska trojosého napětí ke konzervativním výsledkům. 

Na závěr stojí za zmínku, že pokud uvažujeme hydrostatické napětí vyšší než 20 MPa, byl by rozdíl mezi modely φ = 0° a ostatními úhly ještě větší.

Závěr

Bylo prokázáno a vysvětleno, že výpočet v 3D CSFM je v souladu s předpoklady uvedenými v Teoretickém základu. Toto bylo ověřeno porovnáním s modely ABAQUS a byla demonstrována konzervativnost přístupu 3D CSFM k jevu trojosého napětí.