Smyk

S ohledem na křehké porušení je posouzení smyku jedním z důležitých posouzení železobetonového průřezu.

Postup výpočtu

Výpočet smykové únosnosti se skládá z několika základních částí. Nejprve je třeba analyzovat, zda v posuzovaném místě vznikají trhliny od ohybu či nikoli. Pokud ano, použijeme výpočet podle EN 1992-1-1 [2], článek 6.2.2 (1). V opačném případě určíme, zda se jedná o prostý beton nebo slabě vyztužený beton, a postupujeme v souladu s EN 1992-1-1 článek 12.6.3. 

Pro vyztužený neporušený beton (bez smykového vyztužení) posuzujeme podle EN 1992-1-1 článek 6.2.2 (2). Pro prvky, kde je požadováno smykové vyztužení, posuzujeme podle článku 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Smyková únosnost prvků bez smykového vyztužení

Smyková únosnost prvků v trhlinami porušených ohybových zónách (čl. 6.2.2 (1) [2])

Smyková únosnost železobetonových prvků bez smykového vyztužení namáhaných ohybovým momentem je dána vztahem:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Tento vztah byl stanoven na základě zkoušek provedených na reprezentativním počtu prostých nosníků při porušení smykovou silou. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélného vyztužení (r_l), byly pro slabě vyztužené prvky odvozeny rovnice. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélného vyztužení (r_l), pro slabě vyztužené prvky byla stanovena rovnicí

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Pro smykovou únosnost s vlivem normálové síly byla stanovena rovnice

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Smyková únosnost v úplném vyjádření odpovídající EN 1992-1-1 čl. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

S minimem

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

kde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          součinitel výšky průřezu 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      stupeň vyztužení podélnou výztuží

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        charakteristická válcová pevnost betonu v tlaku ve stáří 28 dní

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        nejmenší šířka průřezu v tahové oblasti

d          účinná výška průřezu

υ_min      minimální ekvivalentní smyková pevnost υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Smyková únosnost prvků v neporušených ohybových zónách (čl. 6.2.2 (2) [2])

Smyková únosnost prvků v neporušených ohybových zónách může být stanovena z Mohrovy kružnice. Do rovnice

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Dosadíme σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) a vyjádříme V_Rd,c, čímž získáme rovnici odpovídající vzorci uvedenému v EN 1992-1-1 čl. 6.2.2 (2)

kde  

I           je moment setrvačnosti průřezu,

b_w        je šířka průřezu v těžišťové ose

S          je statický moment plochy nad těžišťovou osou a k ní,

f_ctd        návrhová hodnota pevnosti betonu v osovém tahu v MPa,

 s_cp       je tlakové napětí betonu v těžišťové ose od zatížení a/nebo předpětí,

a_l         součinitel délky přenosu, obvykle 1,0.

V souvislosti s výše uvedeným je třeba poznamenat, že v oblastech bez ohybových trhlin může být únosnost V_Rd ,c  výrazně vyšší než v trhlinami porušených oblastech podle článku 6.2.2 (1) [2]. Níže uvedený obrázek jasně ukazuje, že ačkoli je smyková síla posouzena v místě svého extrému (kde nevznikají trhliny), nemusí to nutně zaručit, že bude přenesena po celé délce nosníku. Je to způsobeno změnou metody výpočtu smykové únosnosti betonu. Na straně bezpečnosti lze samozřejmě smykovou únosnost uvažovat podle článku 6.2.2 (1) [2] i v místech, kde trhliny nevzniknou.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

K vyjádření V_Rd, c  podle článku 6.2.2 (2)[2] je třeba také poznamenat, že v obecném případě je třeba vycházet z posouzení ve vlákně s extrémním hlavním tahovým napětím betonu v zóně normálového tlakového napětí, nikoli v těžišti průřezu. V tomto místě je nutné vypočítat průřezové charakteristiky (S a b_W). Pro stanovení maximálního hlavního napětí s₁ v programu IDEA RCS vedeme přímku těžištěm ve směru výslednice smykových sil. Tuto přímku rozdělíme na 20 úseků. Na této přímce vyznačíme charakteristické body (body polygonu průřezu, těžiště, neutrální osu). V těchto bodech vypočítáme S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  V místě maximálního hlavního tahového napětí vypočítáme smykovou únosnost.

Smyková síla před aplikací redukčního součinitele b požadovaného článkem 6.2.2 (6) musí splňovat dodatečnou podmínku

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

kde 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Smyková únosnost prvků bez vyztužení nebo slabě vyztužených (čl. 12.6.3 [2])

Smyková únosnost pro prostý nebo slabě vyztužený beton může být stanovena z výrazu

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Kde

τ_cp dosadíme za

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

nebo

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Dílčí hodnoty použité ve výše uvedeném vzorci jsou dány:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

kde  

f_cd,pl     Návrhová pevnost v tlaku  pro prostý nebo slabě vyztužený beton,

f_ctd,pl    Návrhová pevnost prostého nebo slabě vyztuženého betonu v osovém tahu,

f_cvd       Návrhová smyková únosnost při tlakovém namáhání betonu.

Únosnost prvků se smykovým vyztužením (čl. 6.2.3 [2])

Výpočet únosnosti železobetonových prvků se smykovým vyztužením je založen na metodě příhradové analogie s proměnným úhlem diagonál. Základem této metody je rovnováha sil v trojúhelníku určeném silou tlaková vzpěry (diagonály), silou smykového vyztužení (třmínku) a silou podélného vyztužení.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Průřez namáhaný smykem je porušen trhlinami pod úhlem θ, z tohoto důvodu betonová diagonála se stejným úhlem jako smykové síly odolává smykové síle. Tlaková síla diagonály může být vyjádřena jako V_ed/sinθ. Tato síla musí být přenesena betonovou plochou kolmou na tlakovou diagonálu b_wzcosθ. Tlakové napětí betonu v tlakové diagonále je pak rovno:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Dosazením \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  a \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] a vyjádřením \[{{V}_{Rd,max}}\] získáme rovnici pro  smykovou únosnost diagonály:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Pro rovnováhu svislé složky síly v tlakové diagonále bude použito smykové vyztužení. Velikost svislé síly vychází z tlakového napětí diagonály v betonové ploše odpovídající jednomu třmínku - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Mezní síla třmínku je dána jako \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Dosazením σ_c, porovnáním s mezní silou ve vyztužení, po úpravách získáme:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Vyjádřením V_ed jako V_RDs získáme únosnost průřezu se svislým smykovým vyztužením:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Podélná smyková síla je přenášena podélnou výztuží a může být stanovena jako V_edcotgθ. Odvození výše uvedených vzorců lze nalézt v [4].

V programu IDEA RCS je možné posuzovat pouze prvky se svislým smykovým vyztužením. Obecně lze použít následující rovnice:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Kde  

A_sw      je průřezová plocha smykového vyztužení,

s           je rozteč třmínků,

f_ywd      je návrhová mez kluzu smykového vyztužení,

b_w        je minimální šířka mezi taženým a tlačeným pásem. Pro výpočet únosnosti V_Rd,max musí být hodnota šířky průřezu redukována na tzv. nominální šířku průřezu v případě, že je průřez oslaben kabelovými kanálky

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pro injektované kovové kanálky

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pro neinjektované kovové kanálky           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       je součinitel zohledňující stav napětí v tlačeném pásu.

Tab. 1‑1 Stanovení součinitele α_cw

Úhel θ je úhel mezi tlakovou vzpěrou betonu a osou nosníku kolmou na smykovou sílu. Mezní hodnoty cotθ pro použití v dané zemi lze nalézt v příslušném národním dodatku. Doporučené meze jsou dány výrazem:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Volba velikosti úhlu θ může ovlivnit hodnotu únosností. Závislost únosností je patrná z obrázku 1.15. Z obrázku je zřejmé, že s rostoucím úhlem θ únosnost V_Rd,max  roste a únosnost V_Rd,s klesá. Únosnost V_Rd,c je konstantní, protože vychází z metody příhradové analogie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Výpočet průřezových charakteristik pro smyk

Pro výpočet smyku je důležité stanovit průřezové veličiny ovlivňující smykovou únosnost. Mezi tyto veličiny patří zejména smykově účinná šířka průřezu b_w, účinná výška d a rameno vnitřních sil z. Norma [2] udává tyto hodnoty, které přímo souvisejí se skutečným ohybovým napětím. Problém však nastává při stanovení těchto hodnot, když směr výslednice ohybových momentů (nebo přesněji směr výslednice odolnosti průřezu) je výrazně odlišný od směru výslednice smykových sil. V tomto případě norma EC2 neposkytuje žádná doporučení.

Šířka průřezu odolávající smyku b_w

Program IDEA RCS vypočítává šířku průřezu odolávající smyku ve směru kolmém na výslednici smykových sil. V závislosti na článku Eurokódu je tato šířka vypočítána jako:
-  Nejmenší šířka průřezu mezi výslednicí tlačeného betonu a tahové výztuže ve směru kolmém na výslednici smykových sil pro článek 6.2.2 (a) a 6.2.3 (1)
- Šířka průřezu ve směru kolmém na výslednici smykových sil v posuzovaném místě podle článku 6.2.2 (2)

Účinná výška průřezu

Účinná výška je obvykle definována jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna od těžiště výztuže. Protože přímo souvisí s ohybem, vzdálenost je dána jako kolmý průmět na těžišťovou přímku roviny přetvoření. 

Tuto definici lze upřesnit tak, že místo těžiště tahové výztuže se použije poloha výslednice sil ve výztuži. Při vývoji programu IDEA RCS byl řešen problém: jak definovat účinnou výšku průřezu, pro který rovina ohybového zatížení neodpovídá směru výslednice smykových sil. Proto je účinná výška definována jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna  od výslednice sil v tahové výztuži  (na základě ohybového napětí) a ve směru výslednice smykových sil, viz obrázek 1.17.

Výjimečné případy nastanou, pokud nelze určit tlačené vlákno nebo výslednici v tahové výztuži. V tomto případě doporučujeme použít hodnotu 0,9 h (90 % výšky průřezu ve směru výslednice smykových sil). Tuto hodnotu může uživatel definovat v programu IDEA RCS prostřednictvím nastavení normových proměnných.

Rameno vnitřních sil

Rameno vnitřních sil je uvedeno v 6.2.3 (3) [2] a je definováno jako „vzdálenost mezi taženým a tlačeným pásem".  Norma nedefinuje, jak postupovat, když  rovina působícího ohybového momentu se liší od směru výslednice smykových sil. Proto, stejně jako v případě účinné výšky, definujeme vzdálenost ve směru výslednice smykových sil. I zde se mohou vyskytnout podobné výjimečné případy, například celý průřez je tlačen apod. V tomto případě uvažujeme hodnotu 0,9 d (90 % účinné výšky průřezu). Tuto hodnotu může uživatel nastavit v programu IDEA RCS prostřednictvím nastavení normových proměnných.

Závislost mezi sklonem roviny ohybu a výslednicí smykové síly je zřetelně patrná z obrázku 1.18 a obrázku 1.19. Se zvyšujícím se sklonem hodnoty účinné výšky, ramen vnitřních sil a příslušných únosností klesají. Mezní stav nastává při 90°. Pro tento sklon nelze rameno vnitřních sil vypočítat, a proto je rameno rovno nule. V tomto případě se uvažuje hodnota zadaná v nastavení normových proměnných. Tím vzniká skok na konci grafu. Tato studie potvrzuje, že doporučený maximální sklon je přibližně 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

V rámci testování aplikace RCS byla provedena studie o závislosti smykové únosnosti na změně normálové síly. Únosnost V_Rd,max je ovlivněna pouze součinitelem α_cw, viz obr. 1.20. Obr. 1.21 ukazuje konstantní hodnotu únosnosti V_Rds. Pro únosnost V_Rdc způsobuje pokles rostoucí normálová síla. Modrá křivka na obr. 1.21 zobrazuje únosnost V_Rdc se zanedbáním vlivu trhlin a byla vypočítána pomocí vzorce v článku 6.2.2 (1) [2]. Skok při přechodu mezi tlakem a tahem je způsoben přispívající tahovou výztuží. Červená křivka je vypočítána pomocí vzorce v článku 6.2.2 (2) [2]. Po vzniku první trhliny je průběh závislosti stejný jako pro 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]