Querkraft

Im Hinblick auf sprödes Versagen ist der Querkraftnachweis einer der wichtigen Nachweise eines Stahlbetonquerschnitts.

Berechnungsverfahren

Die Berechnung des Querkraftwiderstands setzt sich aus mehreren grundlegenden Teilen zusammen. Zunächst ist zu analysieren, ob an der nachgewiesenen Stelle Risse infolge Biegung auftreten oder nicht. Falls ja, wird die Berechnung gemäß EN 1992-1-1 [2], Artikel 6.2.2 (1) angewendet. Andernfalls wird bestimmt, ob es sich um unbewehrten Beton oder schwach bewehrten Beton handelt, und dann gemäß EN 1992-1-1 Artikel 12.6.3 vorgegangen. 

Für bewehrten ungerissenen Beton (ohne Querkraftbewehrung) wird der Nachweis gemäß EN 1992-1-1 Artikel 6.2.2 (2) geführt. Für Bauteile, bei denen eine Querkraft- bewehrung erforderlich ist, wird der Nachweis gemäß Artikel 6.2.3 [2] geführt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Querkraftwiderstand von Bauteilen ohne Querkraftbewehrung

Querkraftwiderstand von Bauteilen in gerissenen Biegezonen (Art. 6.2.2 (1) [2])

Der Querkraftwiderstand von Stahlbetonbauteilen ohne Querkraftbewehrung unter Biegemoment ergibt sich zu:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Dieser Ausdruck wurde auf Grundlage von Versuchen an einer repräsentativen Anzahl einfacher Träger bei Versagen durch Querkraft abgeleitet. Da der oben genannte Widerstand für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null werden kann, wurden für schwach bewehrte Bauteile Gleichungen abgeleitet. Da der oben genannte Widerstand für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null werden kann, wurde für schwach bewehrte Bauteile der Widerstand durch folgende Gleichung bestimmt

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Für den Querkraftwiderstand unter Einfluss einer Normalkraft gilt folgende Gleichung

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Der Querkraftwiderstand in seiner vollständigen Form entsprechend EN 1992-1-1 Art. 6.2.2 (1) lautet

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Mit dem Mindestwert

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

wobei  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          Querschnittshöhenfaktor 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      Bewehrungsgrad der Längsbewehrung

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste Breite des Querschnitts im Zugbereich

d          statische Nutzhöhe des Querschnitts

υ_min      minimale äquivalente Querkrafttragfähigkeit υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Querkraftwiderstand von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen (Art. 6.2.2 (2) [2])

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen kann aus dem Mohrschen Spannungskreis bestimmt werden. In die Gleichung

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

wird σ_x = σ_cp und τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) eingesetzt und V_Rd,c ermittelt; dies ergibt eine Gleichung entsprechend der Formel in EN 1992-1-1 Art. 6.2.2 (2)

wobei  

I           das Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung ist,

b_w        die Breite des Querschnitts in der Schwerachse ist

S          das statische Moment der Fläche oberhalb und bezogen auf die Schwerachse ist,

f_ctd        Bemessungswert der zentrischen Betonzugfestigkeit in MPa,

 s_cp       die Betondruckspannung in der Schwerachse infolge Belastung und/oder Vorspannung ist,

a_l         Übertragungslängenfaktor, in der Regel 1,0.

Im Zusammenhang mit dem Vorstehenden ist anzumerken, dass in Bereichen ohne Biegerisse der Widerstand V_Rd ,c  deutlich höher sein kann als in gerissenen Bereichen gemäß Artikel 6.2.2 (1) [2]. Die nachfolgende Abbildung zeigt deutlich, dass obwohl die Querkraft an ihrem Extremwert nachgewiesen wird (der keine Risse erzeugt), dies nicht zwingend sicherstellt, dass sie über die gesamte Trägerlänge übertragen wird. Dies ist auf eine Änderung der Berechnungsmethode für den Querkraftwiderstand des Betons zurückzuführen. Auf der sicheren Seite kann der Querkraftwiderstand selbstverständlich gemäß Artikel 6.2.2 (1) [2] auch an Stellen angesetzt werden, an denen keine Risse auftreten werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Zum Ausdruck für V_Rd, c  gemäß Artikel 6.2.2 (2)[2] ist ferner anzumerken, dass im allgemeinen Fall der Nachweis an der Faser der maximalen Betonzug-Hauptspannung im Bereich der Normaldruckspannung zu führen ist, nicht im Schwerpunkt des Querschnitts. An diesem Punkt sind die Querschnittskennwerte (S und b_W) zu berechnen. Zur Bestimmung der maximalen Hauptspannung s₁ im Programm IDEA RCS wird eine Linie durch den Schwerpunkt in Richtung der resultierenden Querkräfte gezogen. Diese Linie wird in 20 Abschnitte unterteilt. Auf dieser Linie werden weitere charakteristische Punkte dargestellt (Punkte des Querschnittspolygons, Schwerpunkt, Nulllinie). Innerhalb dieser Punkte werden S, b_w, σ_x, τ_yz und σ₁  berechnet. Am Punkt der maximalen Zughauptspannung wird der Querkraftwiderstand berechnet.

Die Querkraft vor Anwendung des Abminderungsfaktors b gemäß Artikel 6.2.2 (6) muss die zusätzliche Bedingung erfüllen

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

wobei 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Querkraftwiderstand von Bauteilen ohne Bewehrung oder schwach bewehrt (Art. 12.6.3 [2])

Der Querkraftwiderstand für unbewehrten oder schwach bewehrten Beton kann aus folgendem Ausdruck bestimmt werden

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Dabei wird

τ_cp ersetzt durch

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

oder

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Die in der obigen Formel verwendeten Teilwerte sind gegeben durch:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

wobei  

f_cd,pl     Bemessungswert der Druckfestigkeit  für unbewehrten oder schwach bewehrten Beton,

f_ctd,pl    Bemessungswert der zentrischen Zugfestigkeit von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton,

f_cvd       Bemessungswert des Querkraftwiderstands unter Betondruckbeanspruchung.

Widerstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung (Art. 6.2.3 [2])

Die Berechnung des Widerstands von Stahlbetonbauteilen mit Querkraftbewehrung basiert auf der Fachwerkanalogie mit variablem Druckstrebenwinkel. Die Grundlage dieser Methode ist das Kräftegleichgewicht im Dreieck, das durch die Druckstrebenkraft (Diagonale), die Querkraftbewehrungskraft (Bügel) und die Längsbewehrungskraft bestimmt wird.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Der Querschnitt unter Querkraftbeanspruchung wird durch Risse unter dem Winkel θ aufgespalten; aus diesem Grund widersteht die Betondruckstrebe mit demselben Winkel wie die Querkräfte der Querkraft. Die Druckkraft der Diagonalen kann als V_ed/sinθ ausgedrückt werden. Diese Kraft muss durch die Betonfläche senkrecht zur Druckdiagonalen b_wzcosθ übertragen werden. Die Betondruckspannung in der Druckdiagonalen beträgt dann:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Durch Einsetzen von \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  und \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] und Auflösen nach \[{{V}_{Rd,max}}\] ergibt sich die Gleichung für den Querkraftwiderstand der Druckstrebe:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Zum Gleichgewicht der vertikalen Kraftkomponente in der Druckdiagonalen wird die Querkraftbewehrung herangezogen. Die Größe der vertikalen Kraft ergibt sich aus der Druckspannung im Beton in dem Bereich, der einem einzelnen Bügel entspricht - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Die Grenzkraft des Bügels ist gegeben als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Durch Einsetzen von σ_c, Vergleich mit der Grenzkraft in der Bewehrung und nach Umformungen ergibt sich:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Durch Ausdrücken von V_ed als V_RDs ergibt sich der Widerstand des Querschnitts mit vertikaler Querkraftbewehrung:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Die Längskraft wird durch die Längsbewehrung übertragen und kann als V_edcotgθ bestimmt werden. Die Herleitung der obigen Formeln ist in [4] zu finden.

Mit dem Programm IDEA RCS können nur Bauteile mit vertikaler Querkraftbewehrung nachgewiesen werden. Im Allgemeinen können folgende Gleichungen verwendet werden:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Dabei gilt  

A_sw      ist die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung,

s           ist der Bügelabstand,

f_ywd      ist der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung,

b_w        ist die Mindestbreite zwischen Zug- und Druckgurt. Zur Berechnung des Widerstands V_Rd,max muss die Querschnittsbreite auf die sogenannte Nennbreite des Querschnitts reduziert werden, wenn der Querschnitt durch Hüllrohre geschwächt ist

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ für verpresste Metallhüllrohre

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ für nicht verpresste Metallhüllrohre           

υ          = 0,6 für f_ck ≤ 60MPa oder für f_ck > 60MPa,

α_cw       ist ein Beiwert, der den Spannungszustand im Druckgurt berücksichtigt.

Tab. 1‑1 Bestimmung des Beiwerts α_cw

Der Winkel θ ist der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Trägerachse senkrecht zur Querkraft. Die Grenzwerte von cotθ für die Anwendung in einem Land können dem jeweiligen Nationalen Anhang entnommen werden. Die empfohlenen Grenzwerte sind durch folgenden Ausdruck gegeben:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Die Wahl der Größe des Winkels θ kann den Wert der Widerstände beeinflussen. Die Abhängigkeit der Widerstände ist in Abbildung 1.15 dargestellt. Die Abbildung zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ der Widerstand V_Rd,max  zunimmt und der Widerstand V_Rd,s abnimmt. Der Widerstand V_Rd,c ist konstant, da er auf der Fachwerkanalogie basiert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Berechnung der Querschnittskennwerte für die Querkraft

Für die Berechnung der Querkraft ist es wichtig, die querschnittsbezogenen Größen zu berechnen, die den Querkraftwiderstand beeinflussen. Zu diesen Größen gehören vor allem die querkrafttragfähige Querschnittsbreite b_w, die statische Nutzhöhe d und der innere Hebelarm z. Die Norm [2] gibt diese Werte an, die direkt mit der tatsächlichen Biegespannung korrelieren. Das Problem besteht jedoch darin, diese Werte zu bestimmen, wenn die Richtung der resultierenden Biegemomente (oder genauer gesagt die Richtung der Resultierenden des Querschnittswiderstands) sich deutlich von der Richtung der resultierenden Querkräfte unterscheidet. In diesem Fall gibt der EC2 keine Empfehlungen.

Querkrafttragfähige Querschnittsbreite b_w

Das IDEA RCS-Programm berechnet die querkrafttragfähige Querschnittsbreite in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte. Je nach Artikel im Eurocode wird diese Breite wie folgt berechnet:
-  Die kleinste Breite des Querschnitts zwischen der Resultierenden der Betondruckkraft und der Zugbewehrung in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte für Artikel 6.2.2 (a) und 6.2.3 (1)
- Die Querschnittsbreite in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte im nachgewiesenen Punkt gemäß Artikel 6.2.2 (2)

Statische Nutzhöhe des Querschnitts

Die statische Nutzhöhe ist üblicherweise definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonrandfaser zum Schwerpunkt der Bewehrung. Da sie direkt mit der Biegung zusammenhängt, wird der Abstand als senkrechte Projektion auf die Schwerelinie der Ebenendehnung angegeben. 

Diese Definition kann dahingehend präzisiert werden, dass anstelle des Schwerpunkts der Zugbewehrung die Lage der Resultierenden der Bewehrungskräfte verwendet wird. Bei der Entwicklung des IDEA RCS-Programms wurde folgendes Problem gelöst: Wie ist die statische Nutzhöhe des Querschnitts zu definieren, wenn die Ebene der Biegebelastung nicht mit der Richtung der Resultierenden der Querkräfte übereinstimmt. Daher wird die statische Nutzhöhe definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonrandfaser  zur Resultierenden der Kräfte in der Zugbewehrung  (basierend auf der Biegespannung) und in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte, siehe Abbildung 1.17.

Ausnahmefälle treten auf, wenn die gedrückte Randfaser oder die Resultierende in der Zugbewehrung nicht bestimmt werden kann. In diesem Fall wird empfohlen, den Wert 0,9 h (90 % der Querschnittshöhe in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte) zu verwenden. Diesen Wert kann der Benutzer im IDEA RCS-Programm über die Einstellung der Normvariablen festlegen.

Innerer Hebelarm

Der innere Hebelarm ist in 6.2.3 (3) [2] definiert als der „Abstand zwischen Zug- und Druckgurt".  Die Norm legt nicht fest, wie vorzugehen ist, wenn  die Ebene des wirkenden Biegemoments von der Richtung der Resultierenden der Querkräfte abweicht. Daher wird, wie im Fall der statischen Nutzhöhe, der Abstand in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte definiert. Auch hier können ähnliche Ausnahmefälle auftreten, zum Beispiel wenn der gesamte Querschnitt unter Druck steht usw. In diesem Fall wird der Wert 0,9 d (90 % der statischen Nutzhöhe) angesetzt. Diesen Wert kann der Benutzer im IDEA RCS-Programm über die Einstellung der Normvariablen festlegen.

Die Abhängigkeit zwischen der Neigung der Biegeebene und der Resultierenden der Querkraft ist deutlich in Abbildung 1.18 und Abbildung 1.19 dargestellt. Mit zunehmender Neigung nehmen die Werte der statischen Nutzhöhe, der Hebelarme und der zugehörigen Widerstände ab. Der Grenzzustand liegt bei 90°. Bei dieser Neigung kann der innere Hebelarm nicht berechnet werden, folglich ist der Hebelarm gleich null. In diesem Fall wird der in den Normvariablen festgelegte Wert berücksichtigt. Dadurch entsteht ein Sprung am Ende des Diagramms. Diese Untersuchung belegt, dass die empfohlene maximale Neigung etwa 20° beträgt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Im Rahmen der Überprüfung der RCS-Anwendung wurde eine Studie zur Abhängigkeit des Querkraftwiderstands von der Änderung der Normalkraft durchgeführt. Der Widerstand V_Rd,max wird nur durch den Beiwert α_cw beeinflusst, siehe Abb. 1.20. Abb. 1.21 zeigt einen konstanten Wert des Widerstands V_Rds. Beim Widerstand V_Rdc führt eine Zunahme der Normalkraft zu einer Abnahme. Die blaue Kurve in Abb. 1.21 zeigt den Widerstand V_Rdc unter Vernachlässigung des Einflusses von Rissen und wurde mit der Formel aus Abschnitt 6.2.2 (1) [2] berechnet. Der Sprung beim Übergang zwischen Druck und Zug wird durch die mitwirkende Zugbewehrung verursacht. Die rote Kurve wird mit der Formel aus Abschnitt 6.2.2 (2) [2] berechnet. Nach dem Auftreten des ersten Risses ist der Verlauf der Abhängigkeitskurve identisch mit dem für 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]