Taglio

Rispetto alla rottura fragile, la verifica a taglio è una delle verifiche importanti di una sezione in calcestruzzo armato.

Procedura di calcolo

Il calcolo della resistenza a taglio è composto da diverse parti fondamentali. Innanzitutto occorre analizzare se nella sezione verificata si formano o meno fessure dovute alla flessione. In caso affermativo, si utilizza il calcolo secondo EN 1992-1-1 [2], Articolo 6.2.2 (1). In caso contrario, si determina se si tratta di calcestruzzo semplice o di calcestruzzo scarsamente armato, procedendo quindi in conformità con EN 1992-1-1 Articolo 12.6.3.

Per il calcestruzzo armato non fessurato (senza armatura a taglio) si verifica secondo EN 1992-1-1 Articolo 6.2.2 (2). Per gli elementi in cui è richiesta l'armatura a taglio si verifica secondo l'Articolo 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Resistenza a taglio di elementi senza armatura a taglio

Resistenza a taglio di elementi in zone di flessione fessurate (art. 6.2.2 (1) [2])

La resistenza a taglio di elementi in calcestruzzo armato senza armatura a taglio soggetti a momento flettente è data da:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Questa espressione è stata definita sulla base di prove eseguite su un numero rappresentativo di travi semplici in caso di rottura per forza di taglio. Poiché la resistenza sopra indicata può essere nulla per elementi privi di armatura longitudinale (r_l), per gli elementi scarsamente armati sono state derivate apposite equazioni. Poiché la resistenza sopra indicata può essere nulla per elementi privi di armatura longitudinale (r_l), per gli elementi scarsamente armati la resistenza è determinata dall'equazione

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Per la resistenza a taglio con l'influenza della forza normale è determinata dall'equazione

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

La resistenza a taglio nella sua espressione completa, corrispondente a EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Con il minimo di

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

dove  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          fattore di altezza della sezione trasversale 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      rapporto di armatura per l'armatura longitudinale

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        resistenza caratteristica a compressione su cilindro del calcestruzzo a 28 giorni

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        larghezza minima della sezione trasversale nella zona tesa

d          altezza utile della sezione trasversale

υ_min      resistenza a taglio equivalente minima υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Resistenza a taglio di elementi in zone di flessione non fessurate (art. 6.2.2 (2) [2])

La resistenza a taglio di elementi in zone di flessione non fessurate può essere determinata dal cerchio di Mohr. Nell'equazione

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Si sostituisce σ_x = σ_cp e τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) e si ricava V_Rd,c, ottenendo l'equazione corrispondente alla formula riportata in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

dove  

I           è il momento secondo di area,

b_w        è la larghezza della sezione trasversale all'asse baricentrico

S          è il momento statico dell'area al di sopra e rispetto all'asse baricentrico,

f_ctd        valore di progetto della resistenza a trazione assiale del calcestruzzo in MPa,

 s_cp       è la tensione di compressione nel calcestruzzo all'asse baricentrico dovuta ai carichi e/o alla precompressione,

a_l         fattore di lunghezza di trasmissione, generalmente 1,0.

In relazione a quanto sopra, si deve notare che nelle zone prive di fessure da flessione la resistenza V_Rd ,c può essere significativamente superiore rispetto alle zone fessurate secondo l'Articolo 6.2.2 (1) [2]. La figura seguente mostra chiaramente che, sebbene la forza di taglio venga verificata al suo valore estremo (che non produce fessure), ciò non garantisce necessariamente che essa venga trasferita lungo l'intera lunghezza della trave. Ciò è dovuto a una variazione nel metodo di calcolo della resistenza a taglio del calcestruzzo. Dal lato della sicurezza, la resistenza a taglio può naturalmente essere considerata secondo l'Articolo 6.2.2 (1) [2] anche nei punti in cui non si formeranno fessure.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Riguardo all'espressione di V_Rd, c secondo l'Articolo 6.2.2 (2)[2], si deve inoltre notare che nel caso generale la verifica dovrebbe essere basata sulla fibra della massima tensione principale di trazione nel calcestruzzo nella zona di tensione normale di compressione, e non nel baricentro della sezione. In questo punto è necessario calcolare le caratteristiche della sezione trasversale (S e b_W). Per determinare la massima tensione principale s₁ nel programma IDEA RCS si traccia una retta passante per il baricentro nella direzione della risultante delle forze di taglio. Questa retta viene suddivisa in 20 settori. Su questa retta vengono individuati i punti caratteristici più significativi (punti del poligono della sezione trasversale, baricentro, asse neutro). In corrispondenza di questi punti si calcolano S, b_w, σ_x, τ_yz e σ_1.  Nel punto di massima tensione principale di trazione si calcola la resistenza a taglio.

La forza di taglio prima dell'applicazione del fattore di riduzione b richiesto dall'Articolo 6.2.2 (6) deve soddisfare la condizione aggiuntiva

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

dove 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Resistenza a taglio di elementi senza armatura o scarsamente armati (art. 12.6.3 [2])

La resistenza a taglio per calcestruzzo semplice o scarsamente armato può essere determinata dall'espressione

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Dove

τ_cp si sostituisce con

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

oppure

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

I valori parziali utilizzati nella formula precedente sono dati da:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

dove  

f_cd,pl     Resistenza a compressione di progetto per calcestruzzo semplice o scarsamente armato,

f_ctd,pl    Resistenza a trazione assiale di progetto del calcestruzzo semplice o scarsamente armato,

f_cvd       Resistenza a taglio di progetto sotto compressione del calcestruzzo.

Resistenza di elementi con armatura a taglio (art. 6.2.3 [2])

Il calcolo della resistenza di elementi in calcestruzzo armato con armatura a taglio si basa sul metodo dell'analogia reticolare con diagonali ad angolo variabile. La base di questo metodo è l'equilibrio delle forze nel triangolo determinato dalla forza del puntone compresso (diagonale), dalla forza dell'armatura a taglio (staffa) e dalla forza dell'armatura longitudinale.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

La sezione trasversale soggetta a forza di taglio è attraversata da fessure con angolo θ; per questo motivo il puntone compresso in calcestruzzo con lo stesso angolo delle forze di taglio resiste alla forza di taglio. La forza di compressione della diagonale può essere espressa come V_ed/sinθ. Questa forza deve essere trasferita dalla superficie del calcestruzzo, perpendicolare alla diagonale compressa b_wzcosθ. La tensione di compressione nel calcestruzzo nella diagonale compressa è quindi pari a:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Sostituendo \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  e \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] ed esprimendo \[{{V}_{Rd,max}}\] si ottiene l'equazione per la resistenza a taglio della diagonale:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Per equilibrare la componente verticale della forza nella diagonale compressa si utilizza l'armatura a taglio. L'entità della forza verticale si basa sulla tensione di compressione della diagonale nell'area di calcestruzzo corrispondente a una singola staffa - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. La forza limite della staffa è data da \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Inserendo σ_c, confrontando con la forza limite nell'armatura e dopo le opportune modifiche si ottiene:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Esprimendo quindi V_ed come V_RDs si ottiene la resistenza della sezione trasversale con armatura a taglio verticale:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

La forza di taglio longitudinale è trasferita dall'armatura longitudinale e può essere determinata come V_edcotgθ. La derivazione delle formule precedenti può essere trovata in [4].

Utilizzando il programma IDEA RCS è possibile verificare solo elementi con armatura a taglio verticale. In generale possono essere utilizzate le seguenti equazioni:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Dove  

A_sw      è l'area della sezione trasversale dell'armatura a taglio,

s           è l'interasse delle staffe,

f_ywd      è la resistenza di snervamento di progetto dell'armatura a taglio,

b_w        è la larghezza minima tra le membrature tesa e compressa. Per calcolare la resistenza V_Rd,max , il valore della larghezza della sezione deve essere ridotto alla cosiddetta larghezza nominale della sezione trasversale nel caso in cui la sezione sia indebolita da guaine per cavi

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ per guaine metalliche con iniezione

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ per guaine metalliche senza iniezione           

υ          = 0,6 per f_ck ≤ 60MPa oppure per f_ck > 60MPa,

α_cw       è un coefficiente che tiene conto dello stato di tensione nella membratura compressa.

Tab. 1‑1 Determinazione del coefficiente α_cw

L'angolo θ è l'angolo tra il puntone compresso in calcestruzzo e l'asse della trave perpendicolare alla forza di taglio. I valori limite di cotθ da utilizzare in un Paese possono essere indicati nel relativo Allegato Nazionale. I limiti raccomandati sono dati dall'espressione:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

La scelta dell'entità dell'angolo θ può influenzare il valore delle resistenze. La dipendenza delle resistenze è visibile nella Figura 1.15. La figura mostra che all'aumentare dell'angolo θ la resistenza V_Rd,max  aumenta, mentre la resistenza V_Rd,s diminuisce. La resistenza V_Rd,c è costante, poiché si basa sul metodo dell'analogia reticolare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Calcolo delle caratteristiche della sezione trasversale per il taglio

Per il calcolo del taglio è importante determinare le variabili della sezione trasversale che influenzano la resistenza a taglio. Queste variabili includono principalmente la larghezza della sezione resistente a taglio b_w, l'altezza utile d e il braccio della coppia z. La normativa [2] fornisce questi valori che sono direttamente correlati con la tensione flessionale effettiva. Il problema consiste tuttavia nel determinare questi valori quando la direzione della risultante dei momenti flettenti (o più precisamente la direzione della risultante della resistenza della sezione) è significativamente diversa dalla direzione della risultante delle forze di taglio. In questo caso, la normativa EC2 non fornisce alcuna raccomandazione.

Larghezza della sezione trasversale resistente a taglio b_w

Il programma IDEA RCS calcola la larghezza della sezione trasversale resistente a taglio nella direzione perpendicolare alla risultante delle forze di taglio. In funzione dell'articolo dell'Eurocodice, questa larghezza è calcolata come:
-  La larghezza minima della sezione tra la risultante del calcestruzzo compresso e l'armatura tesa nella direzione perpendicolare alla risultante delle forze di taglio per l'articolo 6.2.2 (a) e 6.2.3 (1)
- La larghezza della sezione nella direzione perpendicolare alla risultante delle forze di taglio nel punto verificato secondo l'articolo 6.2.2 (2)

Altezza utile della sezione trasversale

L'altezza utile è generalmente definita come la distanza dalla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa al baricentro dell'armatura. Poiché è direttamente correlata alla flessione, la distanza è data come proiezione perpendicolare alla linea di gravità del piano di deformazione.

Questa definizione può essere precisata in modo che, al posto del baricentro dell'armatura tesa, venga utilizzata la posizione della risultante delle forze nell'armatura. Durante lo sviluppo del programma IDEA RCS è stato affrontato il problema di come definire l'altezza utile della sezione trasversale quando il piano dei carichi flettenti non corrisponde alla direzione della risultante delle forze di taglio. Pertanto, l'altezza utile è definita come la distanza dalla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa alla risultante delle forze nell'armatura tesa (basata sulla tensione flessionale) e nella direzione della risultante delle forze di taglio, vedere Figura 1.17.

Si verificheranno casi eccezionali qualora non sia possibile determinare la fibra compressa o la risultante nell'armatura tesa. In questo caso, si raccomanda di utilizzare il valore 0,9 h (90% dell'altezza della sezione nella direzione della risultante delle forze di taglio). Questo valore può essere definito dall'utente nel programma IDEA RCS tramite l'impostazione delle variabili normative.

Braccio della coppia delle forze interne

Il braccio della coppia delle forze interne è definito in 6.2.3 (3) [2] come la "distanza tra le membrature tesa e compressa". La normativa non definisce come procedere quando il piano del momento flettente agente è diverso dalla direzione della risultante delle forze di taglio. Pertanto, analogamente al caso dell'altezza utile, si definisce la distanza nella direzione della risultante delle forze di taglio. Anche in questo caso si possono verificare casi eccezionali simili, ad esempio l'intera sezione è compressa, ecc. In questo caso si assume il valore 0,9 d (90% dell'altezza utile della sezione). Questo valore può essere impostato dall'utente nel programma IDEA RCS tramite l'impostazione delle variabili normative.

La dipendenza tra l'inclinazione del piano di flessione e la risultante della forza di taglio è chiaramente visibile nelle Figure 1.18 e 1.19. All'aumentare dell'inclinazione, i valori dell'altezza utile, dei bracci della coppia e delle relative resistenze diminuiscono. Lo stato limite è 90°. Per questa inclinazione il braccio della coppia delle forze interne non può essere calcolato, di conseguenza il braccio della coppia è pari a zero. In questo caso viene considerato il valore specificato nell'impostazione delle variabili normative. Ciò determina un salto alla fine del diagramma. Questo studio dimostra che l'inclinazione massima raccomandata è di circa 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Nell'ambito del collaudo dell'applicazione RCS è stato condotto uno studio sulla dipendenza della resistenza a taglio al variare della forza normale. La resistenza V_Rd,max è influenzata solo dal coefficiente α_cw, vedere Fig. 1.20. La Fig. 1.21 mostra un valore costante della resistenza V_Rds. Per la resistenza V_Rdc, le diminuzioni sono causate dall'aumento della forza normale. La curva blu nella Fig. 1.21 mostra la resistenza V_Rdc trascurando l'influenza delle fessure ed è stata calcolata utilizzando la formula della sezione 6.2.2 (1) [2]. Il salto nella transizione tra compressione e trazione è causato dall'armatura tesa contribuente. La curva rossa è calcolata utilizzando la formula della sezione 6.2.2 (2) [2]. Dopo la formazione della prima fessura, la curva di dipendenza è la stessa di quella per 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]