Corte

No que diz respeito à rotura frágil, a verificação ao corte é uma das verificações importantes de uma secção de betão armado.

Procedimento de cálculo

O cálculo da resistência ao corte é composto por várias partes fundamentais. Em primeiro lugar, deve analisar-se se ocorrem ou não fissuras devidas à flexão na secção verificada. Em caso afirmativo, utiliza-se o cálculo de acordo com a EN 1992-1-1 [2], Artigo 6.2.2 (1). Caso contrário, determina-se se se trata de betão simples ou betão com armadura insuficiente, procedendo-se então de acordo com o Artigo 12.6.3 da EN 1992-1-1.

Para betão armado não fendilhado (sem armadura de corte) verifica-se de acordo com o Artigo 6.2.2 (2) da EN 1992-1-1. Para elementos onde é necessária armadura de corte, verifica-se de acordo com o Artigo 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Resistência ao corte de elementos sem armadura de corte

Resistência ao corte de elementos em zonas de flexão fendilhadas (art. 6.2.2 (1) [2])

A resistência ao corte de elementos de betão armado sem armadura de corte sujeitos a momento fletor é dada por:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

A qual foi definida com base em ensaios realizados num número representativo de vigas simples em caso de rotura por força de corte. Uma vez que a resistência acima referida pode ser nula para elementos sem armadura longitudinal (r_l), foram deduzidas equações para elementos com armadura insuficiente. Uma vez que a resistência acima referida pode ser nula para elementos sem armadura longitudinal (r_l), para os elementos com armadura insuficiente foi determinada pela equação

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Para a resistência ao corte com influência da força normal foi determinada pela equação

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

A resistência ao corte na sua expressão completa, correspondente ao art. 6.2.2 (1) da EN 1992-1-1

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Com o mínimo de

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

onde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          fator de altura da secção transversal 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      taxa de armadura longitudinal

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        valor característico da resistência à compressão em cilindro do betão aos 28 dias

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  em MPa

b_w        menor largura da secção transversal na zona tracionada

d          altura útil da secção transversal

υ_min      resistência mínima equivalente ao corte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Resistência ao corte de elementos em zonas de flexão não fendilhadas (art. 6.2.2 (2) [2])

A resistência ao corte de elementos em zonas de flexão não fendilhadas pode ser determinada a partir do círculo de Mohr. Na equação

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Substituímos σ_x = σ_cp e τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) e determinamos V_Rd,c, obtendo a equação correspondente à fórmula da EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

onde  

I           é o segundo momento de área,

b_w        é a largura da secção transversal no eixo centroidal

S          é o primeiro momento de área acima e em relação ao eixo centroidal,

f_ctd        valor de cálculo da resistência à tração axial do betão em MPa,

 s_cp       é a tensão de compressão do betão no eixo centroidal devida às ações e/ou pré-esforço,

a_l         fator do comprimento de transmissão, geralmente 1,0.

Em relação ao exposto, deve notar-se que em zonas sem fissuras de flexão a resistência V_Rd ,c pode ser significativamente superior à das zonas fendilhadas de acordo com o Artigo 6.2.2 (1) [2]. A figura abaixo mostra claramente que, embora a força de corte seja verificada no seu valor extremo (que não produz fissuras), tal não garante necessariamente que seja transferida ao longo de todo o comprimento da viga. Tal deve-se a uma alteração no método de cálculo da resistência ao corte do betão. Do lado da segurança, a resistência ao corte pode naturalmente ser considerada de acordo com o Artigo 6.2.2 (1) [2] também nos locais onde não ocorrerão fissuras.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Relativamente à expressão de V_Rd, c de acordo com o Artigo 6.2.2 (2)[2], deve também notar-se que, no caso geral, a verificação deve basear-se na fibra de tensão principal máxima de tração do betão na zona de tensão normal de compressão, e não no centro de gravidade da secção. Neste ponto, é necessário calcular as características da secção transversal (S e b_W). Para determinar a tensão principal máxima s₁ no programa IDEA RCS, traça-se uma linha através do centro de gravidade na direção da resultante das forças de corte. Esta linha é dividida em 20 sectores. Nesta linha apresentam-se mais pontos característicos (pontos do polígono da secção transversal, centro de gravidade, eixo neutro). Entre estes pontos, calculam-se S, b_w, σ_x, τ_yz e σ_1.  No ponto de tensão principal máxima de tração calcula-se a resistência ao corte.

A força de corte antes da aplicação do fator de redução b exigido pelo Artigo 6.2.2 (6) deve satisfazer a condição adicional

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

onde 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  onde f_ck é em MPa

Resistência ao corte de elementos sem armadura ou com armadura reduzida (art. 12.6.3 [2])

A resistência ao corte para betão simples ou com armadura reduzida pode ser determinada a partir da expressão

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Onde

τ_cp é substituído por

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

ou

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Os valores parciais utilizados na fórmula acima são dados por:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

onde  

f_cd,pl     Valor de cálculo da resistência à compressão para betão simples ou com armadura reduzida,

f_ctd,pl    Valor de cálculo da resistência à tração axial do betão simples ou com armadura reduzida,

f_cvd       Valor de cálculo da resistência ao corte sob compressão do betão.

Resistência de elementos com armadura de corte (art. 6.2.3 [2])

O cálculo da resistência de elementos de betão armado com armadura de corte baseia-se no método da analogia da treliça com diagonais de ângulo variável. A base deste método é o equilíbrio de forças no triângulo determinado pela força da escora comprimida (diagonal), a força da armadura de corte (estribo) e a força da armadura longitudinal.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

A secção transversal sujeita a força de corte é atravessada por fissuras com um ângulo θ; por esta razão, a diagonal de betão com o mesmo ângulo que as forças de corte resiste à força de corte. A força de compressão da diagonal pode ser expressa como V_ed/sinθ. Esta força deve ser transferida pela superfície de betão, perpendicular à diagonal comprimida b_wzcosθ. A tensão de compressão do betão na diagonal comprimida é então igual a:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Substituindo \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  e \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] e expressando \[{{V}_{Rd,max}}\] obtemos a equação para a resistência ao corte da diagonal:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Para equilibrar a componente vertical da força na diagonal comprimida, utiliza-se a armadura de corte. A magnitude da força vertical baseia-se na tensão de compressão diagonal na área de betão correspondente a um único estribo - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. A força limite do estribo é dada por \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Inserindo σ_c, comparando com a força limite na armadura, após modificações obtemos:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Expressando então V_ed como V_RDs obtemos a resistência da secção transversal com armadura de corte vertical:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

A força de corte longitudinal é transferida pela armadura longitudinal e pode ser determinada como V_edcotgθ. A dedução das fórmulas acima pode ser encontrada em [4].

Utilizando o programa IDEA RCS é possível verificar apenas elementos com armadura de corte vertical. Em geral, podem ser utilizadas as seguintes equações:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Onde  

A_sw      é a área da secção transversal da armadura de corte,

s           é o espaçamento dos estribos,

f_ywd      é o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de corte,

b_w        é a largura mínima entre os banzos de tração e de compressão. Para calcular a resistência V_Rd,max , o valor da largura da secção deve ser reduzido para a chamada largura nominal da secção transversal no caso de a secção transversal ser enfraquecida por bainhas de cabos

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ para bainhas metálicas injetadas

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ para bainhas metálicas não injetadas           

υ          = 0,6 para f_ck ≤ 60MPa ou para f_ck > 60MPa,

α_cw       é um coeficiente que tem em conta o estado de tensão no banzo comprimido.

Tab. 1‑1 Determinação do coeficiente α_cw

O ângulo θ é o ângulo entre a escora comprimida de betão e o eixo da viga perpendicular à força de corte. Os valores limite de cotθ para utilização num país podem ser encontrados no respetivo Anexo Nacional. Os limites recomendados são dados pela expressão:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

A escolha do valor do ângulo θ pode influenciar o valor das resistências. A dependência das resistências é visível na Figura 1.15. A figura mostra que com o aumento do ângulo θ a resistência V_Rd,max  aumenta, e a resistência V_Rd,s diminui. A resistência V_Rd,c é constante, uma vez que se baseia no método da analogia da treliça.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Cálculo das características da secção transversal para o corte

Para calcular o corte, é importante determinar as variáveis da secção transversal que influenciam a resistência ao corte. Estas variáveis incluem principalmente a largura da secção resistente ao corte b_w, a altura útil d e o braço do binário z. A norma [2] fornece estes valores que se correlacionam diretamente com a tensão de flexão real. No entanto, o problema consiste em determinar estes valores quando a direção do momento fletor resultante (ou, mais precisamente, a direção da resultante da resistência da secção) é significativamente diferente da direção das forças de corte resultantes. Neste caso, a norma EC2 não fornece quaisquer recomendações.

Largura da secção transversal resistente ao corte b_w

O programa IDEA RCS calcula a largura da secção transversal resistente ao corte na direção perpendicular à resultante das forças de corte. Dependendo do artigo do Eurocódigo, esta largura é calculada como:
-  A menor largura da secção entre a resultante do betão comprimido e a armadura tracionada na direção perpendicular à resultante das forças de corte para o artigo 6.2.2 (a) e 6.2.3 (1)
- A largura da secção na direção perpendicular à resultante das forças de corte no ponto verificado de acordo com o artigo 6.2.2 (2)

Altura útil da secção transversal

A altura útil é geralmente definida como a distância da fibra de betão mais comprimida ao centro de gravidade da armadura. Uma vez que está diretamente relacionada com a flexão, a distância é dada como a projeção perpendicular à linha de gravidade do plano de deformação.

Esta definição pode ser clarificada de modo a que, em vez do centro de gravidade da armadura tracionada, seja utilizada a posição da resultante das forças na armadura. Durante o desenvolvimento do programa IDEA RCS, foi resolvido o seguinte problema: como definir a altura útil da secção transversal quando o plano das ações de flexão não corresponde à direção da resultante das forças de corte. Por conseguinte, a altura útil é definida como a distância da fibra de betão mais comprimida à resultante das forças na armadura tracionada (com base na tensão de flexão) e na direção da resultante das forças de corte, ver Figura 1.17.

Ocorrerão casos excecionais se não for possível determinar a fibra comprimida ou a resultante na armadura tracionada. Neste caso, recomenda-se a utilização do valor 0,9 h (90% da altura da secção na direção da resultante das forças de corte). Este valor pode ser definido pelo utilizador no programa IDEA RCS através da configuração das variáveis normativas.

Braço do binário das forças internas

O braço do binário das forças internas está definido em 6.2.3 (3) [2] como a "distância entre os banzos de tração e de compressão". A norma não define como proceder quando o plano do momento fletor atuante é diferente da direção da resultante das forças de corte. Por conseguinte, tal como no caso da altura útil, define-se a distância na direção da resultante das forças de corte. Também aqui podem ocorrer casos excecionais semelhantes, por exemplo, toda a secção está sob compressão, etc. Neste caso, considera-se o valor 0,9 d (90% da altura útil da secção). Este valor pode ser definido pelo utilizador no programa IDEA RCS através da configuração das variáveis normativas.

A dependência entre a inclinação do plano de flexão e a resultante da força de corte é claramente visível na Figura 1.18 e na Figura 1.19. Com o aumento da inclinação, os valores da altura útil, dos braços do binário e das resistências associadas diminuem. O estado limite é de 90°. Para esta inclinação, o braço do binário das forças internas não pode ser calculado, sendo consequentemente igual a zero. Neste caso, considera-se o valor especificado na configuração das variáveis normativas. Daqui resulta uma descontinuidade no final do gráfico. Este estudo comprova que a inclinação máxima recomendada é de cerca de 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

No âmbito dos testes da aplicação RCS, foi realizado um estudo sobre a dependência da resistência ao corte em função da variação da força normal. A resistência V_Rd,max é afetada apenas pelo coeficiente α_cw, ver Fig. 1.20. A Fig. 1.21 mostra um valor constante da resistência V_Rds. Para a resistência V_Rdc, as reduções são causadas pelo aumento da força normal. A curva azul na Fig. 1.21 mostra a resistência V_Rdc sem considerar a influência das fissuras, calculada utilizando a fórmula da secção 6.2.2 (1) [2]. A descontinuidade na transição entre compressão e tração é causada pela contribuição da armadura tracionada. A curva vermelha é calculada utilizando a fórmula da secção 6.2.2 (2) [2]. Após a ocorrência da primeira fissura, a curva de dependência é igual à da secção 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]