Afschuiving

Met betrekking tot brosse breuk is de afschuivingscontrole een van de belangrijke normtoetsingen van een gewapend betonnen doorsnede.

Berekeningsprocedure

De berekening van de afschuivingsweerstand is samengesteld uit verschillende basisonderdelen. Eerst dient te worden geanalyseerd of scheuren door buiging optreden of niet op de gecontroleerde locatie. Indien van toepassing, gebruik de berekening volgens EN 1992-1-1 [2], Artikel 6.2.2 (1). Anders bepalen we of het ongewapend beton of licht gewapend beton betreft, en gaan we te werk overeenkomstig EN 1992-1-1 Artikel 12.6.3. 

Voor gewapend ongescheurd beton (zonder afschuivingswapening) controleren we volgens EN 1992-1-1 Artikel 6.2.2 (2). Voor elementen waarvoor afschuivingswapening vereist is, controleren we volgens Artikel 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Afschuivingsweerstand van staven zonder afschuivingswapening

Afschuivingsweerstand van staven in gescheurde buigzones (art. 6.2.2 (1) [2])

De afschuivingsweerstand van gewapend betonnen staven zonder afschuivingswapening onderworpen aan een buigend moment wordt gegeven door:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Deze formule is bepaald op basis van proeven uitgevoerd op een representatief aantal enkelvoudige liggers bij bezwijken door afschuifkracht. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor elementen zonder langswapening (r_l), zijn voor licht gewapende staven vergelijkingen afgeleid. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), is voor de licht gewapende staven de weerstand bepaald door de vergelijking

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Voor de afschuivingsweerstand met invloed van normaalkracht werd de vergelijking bepaald door

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

De afschuivingsweerstand in zijn volledige uitdrukking overeenkomstig EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Met als minimum

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

waarbij  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          doorsnedehoogte factor 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      wapeningsverhouding voor langswapening

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van beton op 28 dagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste breedte van de doorsnede in de trekzone

d          nuttige hoogte van een doorsnede

υ_min      minimale equivalente afschuifsterkte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Afschuivingsweerstand van staven in ongescheurde buigzones (art. 6.2.2 (2) [2])

De afschuivingsweerstand van staven in ongescheurde buigzones kan worden bepaald uit de Mohr-cirkel. In de vergelijking

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Substitueren we σ_x = σ_cp en τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) en leiden we V_Rd,c af, wat resulteert in een vergelijking overeenkomstig de formule in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

waarbij  

I           het tweede moment van oppervlak is,

b_w        de breedte van de doorsnede ter hoogte van de zwaartelijnas is

S          het eerste moment van oppervlak boven en ten opzichte van de zwaartelijnas is,

f_ctd        rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton in MPa,

 s_cp       de betondrukspanning ter hoogte van de zwaartelijnas ten gevolge van belasting en/of voorspanning is,

a_l         overdrachtslengtefactor, gewoonlijk 1,0.

In verband met het bovenstaande dient te worden opgemerkt dat in gebieden zonder buigscheuren de weerstand V_Rd ,c  aanzienlijk hoger kan zijn dan in gescheurde gebieden volgens Artikel 6.2.2 (1) [2]. De onderstaande figuur toont duidelijk dat hoewel de afschuifkracht wordt gecontroleerd op zijn extreme waarde (waarbij geen scheuren optreden), dit niet noodzakelijkerwijs garandeert dat deze over de gehele liggerlengte kan worden overgedragen. Dit is te wijten aan een verandering in de methode voor het berekenen van de afschuivingsweerstand van het beton. Aan de veilige kant kan de afschuivingsweerstand uiteraard worden beschouwd volgens Artikel 6.2.2 (1) [2] ook op plaatsen waar geen scheuren zullen optreden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Bij de uitdrukking van V_Rd, c  volgens Artikel 6.2.2 (2)[2] dient ook te worden opgemerkt dat in het algemene geval de normtoetsing dient te worden gebaseerd op de vezel met de grootste hoofdtrekspanning in het beton in de zone met normale drukspanning, maar niet op het zwaartepunt van de doorsnede. Op dit punt is het noodzakelijk de doorsnede-eigenschappen (S en b_W) te berekenen. Om de maximale hoofdspanning s₁ te bepalen in het programma IDEA RCS trekken we een lijn door het zwaartepunt in de richting van de resulterende afschuifkrachten. Deze lijn verdelen we in 20 segmenten. Op deze lijn presenteren we meer karakteristieke punten (punten van het doorsnede-polygoon, zwaartepunt, de neutrale lijn). Binnen deze punten berekenen we S, b_w, σ_x, τ_yz en σ_1.  Op het punt van maximale hoofdtrekspanning berekenen we de afschuivingsweerstand.

De afschuifkracht vóór toepassing van de reductiefactor b vereist door Artikel 6.2.2 (6) moet voldoen aan de extra voorwaarde

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

waarbij 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  waarbij f_ck in MPa

Afschuivingsweerstand van staven zonder wapening of licht gewapend (art. 12.6.3 [2])

De afschuivingsweerstand voor ongewapend of licht gewapend beton kan worden bepaald uit de uitdrukking

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Waarbij

τ_cp wordt vervangen door

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

of

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

De deelwaarden die in de bovenstaande formule worden gebruikt, zijn gegeven door:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

waarbij  

f_cd,pl     Rekenwaarde van de druksterkte  voor ongewapend of licht gewapend beton,

f_ctd,pl    Rekenwaarde van de axiale treksterkte van ongewapend of licht gewapend beton,

f_cvd       Rekenwaarde van de afschuivingsweerstand onder betondruk.

De weerstand van staven met afschuivingswapening (art. 6.2.3 [2])

De berekening van de weerstand van gewapend betonnen staven met afschuivingswapening is gebaseerd op de vakwerk analogiemethode met variabele hoek diagonalen. De basis van deze methode is het evenwicht van krachten in de driehoek bepaald door de drukdiagonaalkracht (diagonaal), de afschuivingswapeningskracht (beugel) en de langswapeningskracht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Een doorsnede onder afschuifbelasting wordt gebroken door scheuren onder een hoek θ, om deze reden weerstaat de betonnen diagonaal met dezelfde hoek als de afschuifkrachten de afschuifkracht. De drukkracht van de diagonaal kan worden uitgedrukt als V_ed/sinθ. Deze kracht moet worden overgedragen door het betonoppervlak, loodrecht op de drukdiagonaal b_wzcosθ. De betondrukspanning in de drukdiagonaal is dan gelijk aan:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Door substitutie van \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  en \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] en het uitdrukken van \[{{V}_{Rd,max}}\] verkrijgen we de vergelijking voor de afschuivingsweerstand van de diagonaal:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Om de verticale krachtcomponent in de drukdiagonaal te balanceren, wordt afschuivingswapening gebruikt. De grootte van de verticale kracht is gebaseerd op de diagonale drukspanning in het betonoppervlak dat overeenkomt met één enkele beugel - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. De grensbeugel kracht is gegeven als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Door σ_c in te vullen, te vergelijken met de grenskracht in de wapening, na aanpassingen verkrijgen we:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Door vervolgens V_ed uit te drukken als V_RDs verkrijgen we de weerstand van de doorsnede met verticale afschuivingswapening:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

De langse afschuifkracht wordt overgedragen door de langswapening en kan worden bepaald als V_edcotgθ. De afleiding van bovenstaande formules is te vinden in [4].

Met het programma IDEA RCS is het alleen mogelijk staven met verticale afschuivingswapening te controleren. In het algemeen kunnen de volgende vergelijkingen worden gebruikt:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Waarbij  

A_sw      de doorsnede-oppervlakte van de afschuivingswapening is,

s           de hartafstand van de beugels is,

f_ywd      de rekenwaarde van de vloeispanning van de afschuivingswapening is,

b_w        de minimale breedte tussen de trek- en drukflens is. Voor de berekening van de weerstand V_Rd,max moet de waarde van de doorsnedebreedte worden gereduceerd tot de zogenaamde nominale breedte van de doorsnede indien de doorsnede is verzwakt door kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ voor injecteerbare metalen kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ voor niet-injecteerbare metalen kabelkanalen           

υ          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa,

α_cw       is een coëfficiënt die rekening houdt met de spanningstoestand in de drukflens.

Tab. 1‑1 Bepaling van coëfficiënt α_cw

Hoek θ is de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas loodrecht op de afschuifkracht. De grenswaarden van cotθ voor gebruik in een land kunnen worden gevonden in de nationale bijlage. De aanbevolen grenzen worden gegeven door de uitdrukking:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

De keuze van de grootte van de hoek θ kan de waarde van de weerstanden beïnvloeden. De afhankelijkheid van de weerstanden is zichtbaar in Figuur 1.15. De figuur toont dat met toenemende hoek θ de weerstand V_Rd,max  toeneemt, en de weerstand V_Rd,s afneemt. Weerstand V_Rd,c is constant, omdat deze gebaseerd is op de vakwerkanalogiemethod.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Berekening van doorsnede-eigenschappen voor afschuiving

Voor de berekening van de afschuiving is het belangrijk de doorsnede-variabelen te berekenen die de afschuivingsweerstand beïnvloeden. Deze variabelen omvatten voornamelijk de afschuiving-weerstandende doorsnedebreedte b_w, de nuttige hoogte d en de inwendige hefboomarm z. De norm [2] geeft deze waarden die direct correleren met de werkelijke buigspanning. Maar het probleem is het bepalen van deze waarden wanneer de richting van de resulterende buigende momenten (of nauwkeuriger de richting van de resultante van de doorsnedeweerstand) aanzienlijk verschilt van de richting van de resulterende afschuifkrachten. In dit geval geeft de EC2 norm geen aanbevelingen.

Doorsnedebreedte die weerstand biedt aan afschuiving b_w

Het IDEA RCS programma berekent de doorsnedebreedte die weerstand biedt aan afschuiving in de richting loodrecht op de resultante van de afschuifkrachten. Afhankelijk van het artikel in de Eurocode wordt deze breedte berekend als:
-  De kleinste breedte van de doorsnede tussen de resultante van de betondruk en de trekwapening in de richting loodrecht op de resultante van de afschuifkrachten voor artikel 6.2.2 (a) en 6.2.3 (1)
- De doorsnedebreedte in een richting loodrecht op de resultante van de afschuifkrachten in het gecontroleerde punt volgens artikel 6.2.2 (2)

Nuttige hoogte van een doorsnede

De nuttige hoogte is gewoonlijk gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel tot het zwaartepunt van de wapening. Omdat dit direct gerelateerd is aan de buiging, wordt de afstand gegeven als de loodrechte projectie op de zwaartelijnas van het vlak van de vlakke doorsnede. 

Deze definitie kan worden verduidelijkt zodat in plaats van het zwaartepunt van de trekwapening de positie van de resultante van de wapeningskrachten wordt gebruikt. Tijdens de ontwikkeling van het IDEA RCS programma werd het probleem opgelost: hoe de nuttige hoogte van de doorsnede te definiëren, waarvoor het vlak van de buigbelastingen niet overeenkomt met de richting van de resulterende afschuifkrachten. Daarom wordt de nuttige hoogte gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel  tot de resultante van de krachten in de trekwapening  (gebaseerd op buigspanning) en in de richting van de resulterende afschuifkrachten, zie Figuur 1.17.

Uitzonderlijke gevallen zullen optreden als we niet in staat zijn de gedrukte vezel of de resultante in de trekwapening te bepalen. In dit geval raden we aan de waarde 0,9 h te gebruiken (90% van de doorsnedehoogte in de richting van de resulterende afschuifkrachten). Deze waarde kan de gebruiker instellen in het IDEA RCS programma via de instelling van de norm variabelen.

Inwendige hefboomarm

De inwendige hefboomarm is in 6.2.3 (3) [2] gedefinieerd als de "afstand tussen de trek- en drukflens".  De norm definieert niet hoe te handelen wanneer  het vlak van het werkende buigend moment verschilt van de richting van de resulterende afschuifkrachten. Daarom, zoals voor het geval van de nuttige hoogte, definiëren we de afstand in de richting van de resulterende afschuifkrachten. Ook hier kunnen we vergelijkbare uitzonderingsgevallen tegenkomen, bijvoorbeeld de gehele doorsnede staat onder druk, enz. In dit geval nemen we de waarde 0,9 d (90% van de nuttige doorsnedehoogte). Deze waarde kan de gebruiker instellen in het IDEA RCS programma via de instelling van de normvariabelen.

De afhankelijkheid tussen de hellingshoek van het buigvlak en de resultante van de afschuifkracht is duidelijk zichtbaar in Figuur 1.18 en Figuur 1.19. Met een toename van de hellingshoek nemen de waarden van de nuttige hoogte, hefboomarmen en gerelateerde weerstanden af. De grenstoestand is 90°. Voor deze hellingshoek kan de inwendige hefboomarm niet worden berekend, bijgevolg is de hefboomarm gelijk aan nul. In dit geval wordt de waarde gespecificeerd in de instelling van de normvariabelen gehanteerd. Hierdoor ontstaat een sprong aan het einde van de grafiek. Deze studie bevestigt dat de aanbevolen maximale hellingshoek ongeveer 20° bedraagt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Als onderdeel van het testen van de RCS applicatie werd een studie uitgevoerd naar de afhankelijkheid van de afschuivingsweerstand bij verandering van de normaalkracht. Weerstand V_Rd,max wordt beïnvloed alleen door de coëfficiënt α_cw, zie Fig. 1.20. Fig. 1.21 toont een constante waarde van weerstand V_Rds. Voor V_Rdc weerstand veroorzaakt de toename van de normaalkracht een afname. De blauwe curve in Fig. 1.21 toont de weerstand V_Rdc waarbij de invloed van scheuren wordt verwaarloosd en werd berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (1) [2]. De sprong in de overgang tussen druk en trek wordt veroorzaakt door de bijdragende trekwapening. De rode curve is berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (2) [2]. Na het optreden van de eerste scheur is de afhankelijkheidscurve gelijk aan die voor 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]