N-M-κ diagram

Diagram N-M-κ zobrazuje křivost průřezu (ohybová tuhost) jako funkci působícího ohybového momentu a normálové síly. Existují tři typy diagramů N-M-κ:
- krátkodobý,
- dlouhodobý
- MSÚ.
Tyto diagramy se liší typy diagramů napětí-přetvoření použitých pro výpočet (vysvětleno níže).

Pro stanovení diagramu N-M-κ se využívá výpočet tuhosti pro vybrané charakteristické stavy průřezu. Obecně se může jednat o libovolný stav průřezu, ze kterého se vypočítá odezva a ze které se odvozuje ohybová tuhost a křivost. V IDEA RCS uvažujeme čtyři charakteristické body (M_r, M_c, M_s a M_u)

M_r - moment vzniku trhlin 

Průřez je zatížen uživatelem definovanou normálovou silou a rovina přetvoření se začíná otáčet (ve směru zadaného ohybového momentu), dokud není v betonovém vlákně dosaženo pevnosti betonu v tahu (pro třídu betonu C30/37 je f_ctm = 2,896 MPa). Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž i beton.

M_c - ohybový moment při dosažení pevnosti betonu v tlaku

Z předchozího kroku je identifikováno nejvíce využité betonové vlákno v tlaku. Pro toto vlákno je nastaveno přetvoření při dosažení pevnosti betonu (f_ck/E_cm pro krátkodobý, f_ck/E_ceff pro dlouhodobý a f_cd/E_cm pro diagram MSÚ). Na základě definované normálové síly a směru ohybového momentu je spuštěn iterační proces hledání roviny přetvoření tak, aby byla nalezena rovnováha mezi odezvou průřezu a definovanou normálovou silou.  Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž i beton.

M_s - ohybový moment při dosažení meze kluzu v nejvíce využité výztuži

Dalším charakteristickým bodem diagramu N-M-κ je napjatostní stav průřezu při dosažení meze kluzu v nejvíce využité výztuži (přetvoření prutu se rovná f_yk/E_s pro krátkodobý a dlouhodobý diagram, f_yd/E_s pro diagram MSÚ). Iterační proces hledá rovnováhu normálových sil v průřezu otáčením roviny přetvoření kolem bodu určeného polohou nejvíce využité výztuže. Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž i beton.

M_u - ohybový moment na mezním stavu únosnosti

Jedná se o mezní únosnost průřezu v ohybu, kdy je průřez zatížen definovanou návrhovou normálovou silou N_ed. Pro výpočet únosnosti průřezu se předpokládá, že je dosaženo pevnosti v tlaku v nejvíce využitém vláknu betonu a pevnosti v tahu v nejvíce využité výztuži (maximální přetvoření betonu ε_cu = 0,1 a výztuže ε_s,max = 0,5). Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž a parabolicko-obdélníkový diagram pro beton.

Výsledná tuhost a křivost pro uživatelem definovanou kombinaci normálové síly a ohybového momentu (Md) jsou poté vypočítány lineární interpolací jednotlivých charakteristických bodů diagramu N-M-κ.

Výpočet tuhostí a křivostí

Tuhosti a křivosti pro každý napjatostní stav průřezu (M_r, M_c, M_s nebo M_u) jsou vypočítány přímo z natočení roviny přetvoření. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    osová tuhost prvku

N . .   .   . zadaná normálová síla

ε_x .   .   .  osové přetvoření v těžišti betonového průřezu

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   ohybová tuhost prvku

M .   .   .    vypočítaný ohybový moment M_r, M_c, M_s nebo M_u

κ .   .   .   . křivost prvku, vypočítaná jako tangens úhlu mezi rovinou přetvoření a podélnou osou prvku

Praktický příklad

Betonový průřez (třída betonu C30/37) je vyztužen výztuží ϕ32 (třída B500B). Definovaná kvazistálá kombinace je N = -730 kN a M_y = 557 kNm.

Rovina přetvoření pro charakteristický bod M_s je určena programem IDEA RCS takto:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagramy napětí-přetvoření použité pro výpočet

Výztuž - M_r, M_c, M_s a M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u