Diagrama N-M-κ

Diagrama N-M-κ prezintă curbura unui element (rigiditatea la încovoiere) în funcție de momentul încovoietor aplicat și forța normală. Există trei tipuri de diagrame N-M-κ:
- pe termen scurt,
- pe termen lung
- SLU.
Aceste diagrame diferă prin tipurile de diagrame efort-deformație utilizate pentru calcul (explicate mai jos).

Calculul rigidității pentru stările caracteristice selectate ale secțiunii transversale este utilizat pentru determinarea diagramei N-M-κ. În general, poate fi orice stare a secțiunii transversale din care se calculează răspunsul și din care se derivă rigiditatea la încovoiere și curbura. În IDEA RCS, se consideră patru puncte caracteristice (M_r, M_c, M_s și M_u)

M_r - momentul de fisurare 

Secțiunea transversală este supusă forței normale definite de utilizator, iar planul de deformație începe să se rotească (în direcția momentului încovoietor specificat) până când rezistența la întindere a betonului este atinsă într-o fibră de beton (pentru clasa de beton C30/37, aceasta este f_ctm = 2,896 MPa). Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală atât pentru armătură, cât și pentru beton.

M_c - momentul încovoietor la atingerea rezistenței la compresiune a betonului

Din pasul anterior, se identifică fibra de beton cea mai solicitată la compresiune. Pentru această fibră, se stabilește deformația la rezistența ultimă a betonului (f_ck/E_cm pentru termen scurt, f_ck/E_ceff pentru termen lung și f_cd/E_cm pentru diagrama SLU). Pe baza forței normale definite și a direcției momentului încovoietor, se rulează procesul iterativ pentru găsirea planului de deformație, în vederea stabilirii echilibrului între răspunsul secțiunii transversale și forța normală definită.  Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală atât pentru armătură, cât și pentru beton.

M_s - momentul încovoietor la atingerea limitei de curgere în bara de armătură cea mai solicitată

Un alt punct caracteristic al diagramei N-M-κ este starea de efort a secțiunii transversale când se atinge limita de curgere în bara de armătură cea mai solicitată (deformația barei este egală cu f_yk/E_s pentru diagramele pe termen scurt și lung, f_yd/E_s pentru diagrama SLU). Procesul iterativ găsește echilibrul forțelor normale în secțiunea transversală prin rotirea planului de deformație în jurul punctului specificat de poziția barei de armătură cea mai solicitată. Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală atât pentru armătură, cât și pentru beton.

M_u - momentul încovoietor la starea limită ultimă

Aceasta reprezintă capacitatea portantă ultimă a unei secțiuni transversale la încovoiere, când secțiunea transversală este supusă forței normale de calcul definite N_ed. Pentru calculul capacității secțiunii transversale se presupune că rezistența la compresiune în fibra de beton cea mai solicitată și rezistența la întindere în bara de armătură cea mai solicitată sunt atinse (deformația maximă pentru beton ε_cu = 0,1 și pentru armătură ε_s,max = 0,5). Pentru calcul se utilizează o diagramă efort-deformație bilineară cu ramură plastică orizontală pentru armătură și o diagramă parabolă-dreptunghi pentru beton.

Rigiditatea și curbura rezultante datorate combinației definite de utilizator de forță normală și moment încovoietor (Md) sunt apoi calculate prin interpolare liniară a punctelor caracteristice individuale ale diagramei N-M-κ.

Calculul rigidităților și curburilor

Rigidităților și curburile pentru fiecare stare de efort a secțiunii transversale (M_r, M_c, M_s sau M_u) sunt calculate direct din rotația planului de deformație. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    rigiditatea axială a elementului

N . .   .   . forța normală specificată

ε_x .   .   .  deformația axială la centrul de greutate al secțiunii transversale din beton

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   rigiditatea la încovoiere a elementului

M .   .   .    momentul încovoietor calculat M_r, M_c, M_s sau M_u

κ .   .   .   . curbura elementului, calculată ca tangenta unghiului dintre planul de deformație și axa longitudinală a elementului

Exemplu practic

O secțiune transversală din beton (clasa de beton C30/37) este armată cu armătură ϕ32 (clasa B500B). Combinația cvasipermanentă definită este N = -730 kN și M_y = 557 kNm.

Planul de deformație pentru punctul caracteristic M_s este determinat de IDEA RCS după cum urmează:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagrame efort-deformație utilizate pentru calcul

Armătură - M_r, M_c, M_s și M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u