Le diagramme N-M-κ représente la courbure (rigidité en flexion) d'un élément en fonction du moment fléchissant appliqué et de l'effort normal. Il existe trois types de diagrammes N-M-κ :
- court terme,
- long terme
- ELU.
Ces diagrammes diffèrent par les types de diagrammes contrainte-déformation utilisés pour le calcul (expliqués ci-dessous).
Le calcul de la rigidité pour des états caractéristiques sélectionnés de la section transversale est utilisé pour déterminer le diagramme N-M-κ. En général, il peut s'agir de n'importe quel état de section à partir duquel la réponse est calculée et dont la rigidité en flexion et la courbure sont déduites. Dans IDEA RCS, nous considérons quatre points caractéristiques (Mr, Mc, Ms et Mu)
Mr - le moment de fissuration
La section transversale est soumise à un effort normal défini par l'utilisateur et le plan de déformation commence à pivoter (dans la direction du moment fléchissant spécifié) jusqu'à ce que la résistance ultime en traction du béton soit atteinte dans une fibre de béton (pour la classe de béton C30/37, cela correspond à fctm = 2,896 MPa). Un diagramme contrainte-déformation bilinéaire avec une branche plastique horizontale est utilisé pour le calcul, aussi bien pour le ferraillage que pour le béton.
Mc - le moment fléchissant lorsque la résistance en compression du béton est atteinte
À partir de l'étape précédente, la fibre de béton la plus sollicitée en compression est identifiée. Pour cette fibre, la déformation à la résistance ultime du béton (fck/Ecm pour le court terme, fck/Eceff pour le long terme et fcd/Ecm pour le diagramme ELU) est fixée. Sur la base de l'effort normal défini et de la direction du moment fléchissant, le processus itératif de recherche du plan de déformation est lancé afin de trouver un équilibre entre la réponse de la section transversale et l'effort normal défini. Un diagramme contrainte-déformation bilinéaire avec une branche plastique horizontale est utilisé pour le calcul, aussi bien pour le ferraillage que pour le béton.
Ms - le moment fléchissant lorsque la limite d'élasticité est atteinte dans la barre de ferraillage la plus sollicitée
Un autre point caractéristique du diagramme N-M-κ est l'état de contrainte de la section transversale lorsque la limite d'élasticité est atteinte dans la barre de ferraillage la plus sollicitée (la déformation de la barre est égale à fyk/Es pour les diagrammes court et long terme, fyd/Es pour le diagramme ELU). Le processus itératif trouve un équilibre des efforts normaux dans la section transversale en faisant pivoter le plan de déformation autour du point défini par la position de la barre de ferraillage la plus sollicitée. Un diagramme contrainte-déformation bilinéaire avec une branche plastique horizontale est utilisé pour le calcul, aussi bien pour le ferraillage que pour le béton.
Mu - le moment fléchissant à l'état limite ultime
Il s'agit de la capacité portante ultime d'une section transversale en flexion, lorsque la section est soumise à l'effort normal de calcul défini Ned. Pour le calcul de la capacité de la section transversale, on suppose que la résistance en compression dans la fibre de béton la plus sollicitée et la résistance en traction dans la barre de ferraillage la plus sollicitée sont atteintes (déformation maximale pour le béton εcu = 0,1 et pour le ferraillage εs,max = 0,5). Un diagramme contrainte-déformation bilinéaire avec une branche plastique horizontale est utilisé pour le ferraillage, et un diagramme parabole-rectangle est utilisé pour le béton.
La rigidité et la courbure résultantes dues à la combinaison définie par l'utilisateur d'effort normal et de moment fléchissant (Md) sont ensuite calculées par interpolation linéaire des points caractéristiques individuels du diagramme N-M-κ.
Calcul des rigidités et des courbures
Les rigidités et les courbures pour chaque état de contrainte de la section transversale (Mr, Mc, Ms ou Mu) sont calculées directement à partir de la rotation du plan de déformation.
\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]
EAx . . rigidité axiale de l'élément
N . . . . l'effort normal spécifié
εx . . . déformation axiale au centre de gravité de la section en béton
\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]
EIy . . . rigidité en flexion de l'élément
M . . . le moment fléchissant calculé Mr, Mc, Ms ou Mu
κ . . . . la courbure de l'élément, calculée comme la tangente de l'angle entre le plan de déformation et l'axe longitudinal de l'élément
Exemple pratique
Une section en béton (classe de béton C30/37) est ferraillée avec des barres ϕ32 (nuance B500B). La combinaison quasi-permanente définie est N = -730 kN et My = 557 kNm.
Le plan de déformation pour le point caractéristique Ms est déterminé par IDEA RCS comme suit :
\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]
\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]
\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]
Diagrammes contrainte-déformation utilisés pour le calcul
Ferraillage - Mr, Mc, Ms et Mu
Béton - Mr, Mc, Ms
Béton - Mu
