N-M-κ diagram

Az N-M-κ diagram egy elem görbületét (hajlítási merevségét) mutatja az alkalmazott hajlítónyomaték és normálerő függvényében. Az N-M-κ diagramoknak három típusa van:
- rövid távú,
- hosszú távú
- ULS.
Ezek a diagramok a számításhoz használt feszültség-alakváltozás diagramok típusában különböznek egymástól (az alábbiakban részletezve).

Az N-M-κ diagram meghatározásához a keresztmetszet kiválasztott jellemző állapotainak merevségszámítása szolgál. Általánosságban ez bármely keresztmetszeti állapot lehet, amelyből a válasz kiszámítható, és amelyből a hajlítási merevség és a görbület levezethető. Az IDEA RCS-ben négy jellemző pontot veszünk figyelembe (M_r, M_c, M_s és M_u)

M_r - a repesztőnyomaték 

A keresztmetszetet a felhasználó által megadott normálerő terheli, és az alakváltozási sík elkezd forogni (a megadott hajlítónyomaték irányában), amíg a beton húzási szilárdsága el nem éri a határértéket egy betonszálban (C30/37 betonosztály esetén ez f_ctm = 2,896 MPa). A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_c - a hajlítónyomaték, amikor a beton nyomószilárdsága eléri a határértéket

Az előző lépésből azonosítjuk a nyomásban legjobban igénybe vett betonszálat. Ennél a szálnál beállítjuk a beton határszilárdságához tartozó alakváltozást (f_ck/E_cm rövid távú, f_ck/E_ceff hosszú távú és f_cd/E_cm az ULS diagram esetén). A megadott normálerő és a hajlítónyomaték iránya alapján iterációs folyamat fut az alakváltozási sík megkeresésére, hogy egyensúlyt találjon a keresztmetszet válasza és a megadott normálerő között.  A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_s - a hajlítónyomaték, amikor a legjobban igénybe vett vasalásban eléri a folyáshatárt

Az N-M-κ diagram egy másik jellemző pontja a keresztmetszet feszültségállapota, amikor a legjobban igénybe vett vasalásban eléri a folyáshatárt (a betonacél alakváltozása egyenlő f_yk/E_s a rövid és hosszú távú diagramok esetén, f_yd/E_s az ULS diagram esetén). Az iterációs folyamat a keresztmetszet normálerőinek egyensúlyát keresi az alakváltozási sík forgatásával a legjobban igénybe vett vasalásrúd helyzetével meghatározott pont körül. A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_u - a hajlítónyomaték a végső határállapotnál

Ez a keresztmetszet végső teherbírása hajlításban, amikor a keresztmetszetet a megadott méretezési normálerő N_ed terheli. A keresztmetszeti teherbírás számításánál feltételezzük, hogy a beton legjobban igénybe vett szálában a nyomószilárdság és a legjobban igénybe vett vasalásrúdban a húzószilárdság egyidejűleg eléri a határértéket (a beton maximális alakváltozása ε_cu = 0,1, a vasalásé ε_s,max = 0,5). A számításhoz a vasalásnál vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot, a betonnál parabolikus-téglalap diagramot alkalmazunk.

Az eredő merevség és görbület a felhasználó által megadott normálerő és hajlítónyomaték kombinációja (Md) alapján az N-M-κ diagram egyes jellemző pontjainak lineáris interpolációjával kerül kiszámításra.

Merevségek és görbületek számítása

Az egyes keresztmetszeti feszültségállapotokhoz (M_r, M_c, M_s vagy M_u) tartozó merevségek és görbületek közvetlenül az alakváltozási sík elfordulásából számíthatók. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    az elem tengelyi merevsége

N . .   .   . a megadott normálerő

ε_x .   .   .  tengelyi alakváltozás a betonkeresztmetszet súlypontjában

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   az elem hajlítási merevsége

M .   .   .    a számított hajlítónyomaték M_r, M_c, M_s vagy M_u

κ .   .   .   . az elem görbülete, amelyet az alakváltozási sík és az elem hossztengelye közötti szög tangenseként számítunk

Gyakorlati példa

Egy betonkeresztmetszetet (C30/37 betonosztály) ϕ32 vasalással (B500B osztály) erősítettünk meg. A megadott kvázi-állandó kombináció N = -730 kN és M_y = 557 kNm.

Az M_s jellemző ponthoz tartozó alakváltozási síkot az IDEA RCS a következőképpen határozza meg:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

A számításhoz használt feszültség-alakváltozás diagramok

Vasalás - M_r, M_c, M_s és M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u