N-M-κ diagram

Het N-M-κ diagram toont de kromming (buigstijfheid) van een element als functie van een aangebracht buigend moment en normaalkracht. Er zijn drie typen N-M-κ diagrammen:
- kortdurend,
- langdurend
- UGT.
Deze diagrammen verschillen in de typen spanning-rek diagrammen die worden gebruikt voor de berekening (hieronder toegelicht).

De stijfheidsberekening voor geselecteerde karakteristieke toestanden van de doorsnede wordt gebruikt om het N-M-κ diagram te bepalen. In het algemeen kan dit elke doorsnedestoestand zijn waaruit de respons wordt berekend en waaruit de buigstijfheid en kromming worden afgeleid. In IDEA RCS worden vier karakteristieke punten beschouwd (M_r, M_c, M_s en M_u)

M_r - het scheurmoment 

De doorsnede wordt belast met een door de gebruiker gedefinieerde normaalkracht en het vlak van rek begint te roteren (in de richting van het opgegeven buigend moment) totdat de uiterste treksterkte van het beton wordt bereikt in een betonvezel (voor betonkwaliteit C30/37 is dit f_ctm = 2,896 MPa). Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_c - het buigend moment waarbij de druksterkte van het beton wordt bereikt

Vanuit de vorige stap wordt de meest belaste betonvezel op druk geïdentificeerd. Voor deze vezel wordt de rek bij de uiterste sterkte van beton ingesteld (f_ck/E_cm voor kortdurend, f_ck/E_ceff voor langdurend en f_cd/E_cm voor het UGT diagram). Op basis van de gedefinieerde normaalkracht en de richting van het buigend moment wordt het iteratieproces uitgevoerd om het vlak van rek te vinden dat evenwicht geeft tussen de respons van de doorsnede en de gedefinieerde normaalkracht.  Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_s - het buigend moment waarbij de vloeigrens in de meest belaste wapeningsstaf wordt bereikt

Een ander karakteristiek punt van het N-M-κ diagram is de spanningstoestand van de doorsnede wanneer de vloeigrens in de meest belaste wapeningsstaf wordt bereikt (rekwaarde wapening is gelijk aan f_yk/E_s voor de kortdurende en langdurende diagrammen, f_yd/E_s voor het UGT diagram). Het iteratieproces vindt een evenwicht van normaalkrachten in de doorsnede door het vlak van rek te roteren rond het punt bepaald door de positie van de meest belaste wapeningsstaf. Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_u - het buigend moment bij de uiterste grenstoestand

Dit is de uiterste draagkracht van een doorsnede op buiging, wanneer de doorsnede wordt belast met de gedefinieerde rekenwaarde normaalkracht N_ed. Voor de berekening van de doorsnedecapaciteit wordt aangenomen dat de druksterkte in de meest belaste betonvezel en de treksterkte in de meest belaste wapeningsstaf worden bereikt (maximale rek voor beton ε_cu = 0,1 en voor wapening ε_s,max = 0,5. Voor de berekening worden een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak voor de wapening en een parabool-rechthoekig diagram voor het beton gebruikt.

De resulterende stijfheid en kromming als gevolg van de door de gebruiker gedefinieerde combinatie van normaalkracht en buigend moment ( Md) worden vervolgens berekend met lineaire interpolatie van de afzonderlijke karakteristieke punten van het N-M-κ diagram.

Berekening van stijfheden en krommingen

De stijfheden en krommingen voor elke doorsnedespanningstoestand (M_r, M_c, M_s of M_u) worden rechtstreeks berekend uit de rotatie van het vlak van rek. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    axiale stijfheid van het element

N . .   .   . de opgegeven normaalkracht

ε_x .   .   .  axiale rek in het zwaartepunt van de betonnen doorsnede

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   buigstijfheid van het element

M .   .   .    het berekende buigend moment M_r, M_c, M_s of M_u

κ .   .   .   . de kromming van het element, berekend als de tangens van de hoek tussen het vlak van de rek en de lengterichting van het element

Praktisch voorbeeld

Een betonnen doorsnede (betonkwaliteit C30/37) is gewapend met ϕ32 wapening (kwaliteit B500B). De gedefinieerde quasi-permanente combinatie is N = -730 kN en M_y = 557 kNm.

Het vlak van rek voor het karakteristieke punt M_s wordt door IDEA RCS als volgt bepaald:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Spanning-rek diagrammen gebruikt voor de berekening

Wapening - M_r, M_c, M_s en M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u