Diagrama N-M-κ

O diagrama N-M-κ mostra a curvatura de um elemento (rigidez à flexão) em função do momento fletor aplicado e da força normal. Existem três tipos de diagramas N-M-κ:
- curto prazo,
- longo prazo
- ULS.
Estes diagramas diferem nos tipos de diagramas tensão-deformação utilizados no cálculo (explicado abaixo).

O cálculo da rigidez para estados característicos selecionados da secção transversal é utilizado para determinar o diagrama N-M-κ. Em geral, pode ser qualquer estado de secção transversal a partir do qual a resposta é calculada e do qual a rigidez à flexão e a curvatura são derivadas. No IDEA RCS, consideramos quatro pontos característicos (M_r, M_c, M_s e M_u)

M_r - o momento de fendilhação 

A secção transversal está sujeita à força normal definida pelo utilizador e o plano de deformação começa a rodar (na direção do momento fletor especificado) até que a resistência última à tração do betão seja atingida numa fibra de betão (para a classe de betão C30/37, f_ctm = 2,896 MPa). Para o cálculo é utilizado um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal tanto para a armadura como para o betão.

M_c - o momento fletor quando a resistência à compressão do betão é atingida

A partir do passo anterior, identifica-se a fibra de betão mais utilizada em compressão. Para esta fibra, é definida a deformação correspondente à resistência última do betão (f_ck/E_cm para curto prazo, f_ck/E_ceff para longo prazo e f_cd/E_cm para o diagrama ULS). Com base na força normal definida e na direção do momento fletor, é executado o processo iterativo para encontrar o plano de deformação que estabelece o equilíbrio entre a resposta da secção transversal e a força normal definida.  Para o cálculo é utilizado um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal tanto para a armadura como para o betão.

M_s - o momento fletor quando a tensão de cedência na barra de armadura mais utilizada é atingida

Outro ponto característico do diagrama N-M-κ é o estado de tensão da secção transversal quando a tensão de cedência na barra de armadura mais utilizada é atingida (a deformação da barra é igual a f_yk/E_s para os diagramas de curto e longo prazo, f_yd/E_s para o diagrama ULS). O processo iterativo encontra o equilíbrio das forças normais na secção transversal rodando o plano de deformação em torno do ponto especificado pela posição da barra de armadura mais utilizada. Para o cálculo é utilizado um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal tanto para a armadura como para o betão.

M_u - o momento fletor no estado limite último

Esta é a capacidade de carga última de uma secção transversal à flexão, quando a secção transversal está sujeita à força normal de cálculo definida N_ed. Para o cálculo da capacidade da secção transversal, assume-se que a resistência à compressão na fibra de betão mais utilizada e a resistência à tração na barra de armadura mais utilizada são atingidas (deformação máxima para o betão ε_cu = 0,1 e para a armadura ε_s,max = 0,5). Para o cálculo são utilizados um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal para a armadura e um diagrama parábola-retângulo para o betão.

A rigidez e a curvatura resultantes devidas à combinação de força normal e momento fletor definida pelo utilizador ( Md) são então calculadas por interpolação linear dos pontos característicos individuais do diagrama N-M-κ.

Cálculo das rigidezes e curvaturas

As rigidezes e curvaturas para cada estado de tensão da secção transversal (M_r, M_c, M_s ou M_u) são calculadas diretamente a partir da rotação do plano de deformação. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    rigidez axial do elemento

N . .   .   . a força normal especificada

ε_x .   .   .  deformação axial no centro de gravidade da secção transversal de betão

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   rigidez à flexão do elemento

M .   .   .    o momento fletor calculado M_r, M_c, M_s ou M_u

κ .   .   .   . a curvatura do elemento, calculada como a tangente do ângulo entre o plano de deformação e o eixo longitudinal do elemento

Exemplo prático

Uma secção transversal de betão (classe de betão C30/37) é armada com armadura ϕ32 (classe B500B). A combinação quase-permanente definida é N = -730 kN e M_y = 557 kNm.

O plano de deformação para o ponto característico M_s é determinado pelo IDEA RCS da seguinte forma:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagramas tensão-deformação utilizados no cálculo

Armadura - M_r, M_c, M_s e M_u

Betão - M_r, M_c, M_s

Betão - M_u