Das N-M-κ-Diagramm zeigt die Krümmung (Biegesteifigkeit) eines Elements als Funktion des aufgebrachten Biegemoments und der Normalkraft. Es gibt drei Arten von N-M-κ-Diagrammen:
- kurzfristig,
- langfristig
- GZT.
Diese Diagramme unterscheiden sich in den für die Berechnung verwendeten Spannung-Dehnung-Diagrammen (nachfolgend erläutert).
Die Steifigkeitsberechnung für ausgewählte charakteristische Zustände des Querschnitts wird zur Bestimmung des N-M-κ-Diagramms verwendet. Im Allgemeinen kann es sich um einen beliebigen Querschnittszustand handeln, aus dem die Reaktion berechnet und aus dem die Biegesteifigkeit und Krümmung abgeleitet werden. In IDEA RCS werden vier charakteristische Punkte berücksichtigt (Mr, Mc, Ms und Mu)
Mr - das Rissmoment
Der Querschnitt wird mit einer benutzerdefinierten Normalkraft beaufschlagt, und die Dehnungsebene beginnt sich zu drehen (in Richtung des angegebenen Biegemoments), bis die Betonzugfestigkeit in einer Betonfaser erreicht wird (für die Betongüte C30/37 gilt fctm = 2,896 MPa). Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton verwendet.
Mc - das Biegemoment beim Erreichen der Betondruckfestigkeit
Aus dem vorherigen Schritt wird die am stärksten ausgenutzte Betonfaser auf Druck ermittelt. Für diese Faser wird die Dehnung bei der Betongrenzfestigkeit (fck/Ecm für kurzfristig, fck/Eceff für langfristig und fcd/Ecm für das GZT-Diagramm) festgelegt. Basierend auf der definierten Normalkraft und der Richtung des Biegemoments wird der Iterationsprozess zur Ermittlung der Dehnungsebene gestartet, um ein Gleichgewicht zwischen der Reaktion des Querschnitts und der definierten Normalkraft zu finden. Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton verwendet.
Ms - das Biegemoment beim Erreichen der Streckgrenze im am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstab
Ein weiterer charakteristischer Punkt des N-M-κ-Diagramms ist der Spannungszustand des Querschnitts, wenn die Streckgrenze im am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstab erreicht wird (Bewehrungsdehnung gleich fyk/Es für die kurz- und langfristigen Diagramme, fyd/Es für das GZT-Diagramm). Der Iterationsprozess findet ein Gleichgewicht der Normalkräfte im Querschnitt, indem die Dehnungsebene um den durch die Position des am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstabs definierten Punkt gedreht wird. Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton verwendet.
Mu - das Biegemoment im Grenzzustand der Tragfähigkeit
Dies ist die maximale Biegetragfähigkeit eines Querschnitts, wenn der Querschnitt mit der definierten Bemessungsnormalkraft Ned beansprucht wird. Für die Berechnung der Querschnittstragfähigkeit wird angenommen, dass die Druckfestigkeit in der am stärksten ausgenutzte Betonfaser und die Zugfestigkeit im am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstab erreicht werden (maximale Dehnung für Beton εcu = 0,1 und für Bewehrung εs,max = 0,5). Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast für die Bewehrung und ein Parabel-Rechteck-Diagramm für den Beton verwendet.
Die resultierende Steifigkeit und Krümmung infolge der benutzerdefinierten Kombination aus Normalkraft und Biegemoment (Md) werden dann mittels linearer Interpolation der einzelnen charakteristischen Punkte des N-M-κ-Diagramms berechnet.
Berechnung von Steifigkeiten und Krümmungen
Die Steifigkeiten und Krümmungen für jeden Querschnittsspannungszustand (Mr, Mc, Ms oder Mu) werden direkt aus der Rotation der Dehnungsebene berechnet.
\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]
EAx . . axiale Steifigkeit des Elements
N . . . . die angegebene Normalkraft
εx . . . axiale Dehnung im Schwerpunkt des Betonquerschnitts
\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]
EIy . . . Biegesteifigkeit des Elements
M . . . das berechnete Biegemoment Mr, Mc, Ms oder Mu
κ . . . . die Krümmung des Elements, berechnet als Tangens des Winkels zwischen der Dehnungsebene und der Längsachse des Elements
Praktisches Beispiel
Ein Betonquerschnitt (Betongüte C30/37) ist mit ϕ32-Bewehrung (Güte B500B) bewehrt. Die definierte quasi-ständige Kombination ist N = -730 kN und My = 557 kNm.
Die Dehnungsebene für den charakteristischen Punkt Ms wird von IDEA RCS wie folgt bestimmt:
\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]
\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]
\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]
Für die Berechnung verwendete Spannung-Dehnung-Diagramme
Bewehrung - Mr, Mc, Ms und Mu
Beton - Mr, Mc, Ms
Beton - Mu
