Geometricky a materiálově nelineární analýza s imperfekcemi (GMNIA) nosníků v ohybu

1. Cíl

Cílem tohoto článku je ověření modulu GMNIA (geometricky a materiálově nelineární analýza s imperfekcemi) aplikace IDEA StatiCa Member. Výsledné únosnosti z IDEA Member jsou porovnány s analytickým řešením podle EN 1993-1-1 [1] pro nosníky v ohybu.

2. Popis modelu

Pro ověření modulu GMNIA bylo analyzováno celkem 18 jednotlivých případů. Všechny sdílejí stejný průřez IPE 240 a stejnou třídu oceli S 235. Byly zkoumány tři různé podmínky zatížení (A – koncové momenty, B – síla uprostřed, C – spojité zatížení). Bylo ověřeno šest hodnot relativní štíhlosti v rozsahu od 0,6 do 1,6.

Obr. 1: Různé zatěžovací případy použité pro ověření

3. Počáteční imperfekce

Pro výpočet počáteční imperfekce nosníku v ohybu byly použity čtyři přístupy, označené A, B, C a D. Přístupy A, B a C používají počáteční imperfekcí pro boulení kolem slabé osy vynásobenou součinitelem k = 0,5, jak je uvedeno v EN 1993-1-1, odstavec 5.3.4 (3) [1]. Počáteční imperfekce podle přístupu D je stanovena přímo pro klopení.

Přístup A – podle EN 1993-1-1:2005, Tabulka 5.1:

Tab. 1: Návrhová hodnota počáteční prohnutí e₀/L pro prvky

Přístup B – podle prEN 1993-1-1:2020, druhý návrh [2], odstavec 5.3.3.1:

\[ \frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta \]

kde:

• e₀ – počáteční imperfekce
• α – součinitel imperfekce závisející na příslušné křivce boulení podle EN 1993-1-1, Tabulka 6.1 [1]
• \( \varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} \)
• f_y – mez kluzu sloupu [MPa]
• β – referenční relativní prohnutí imperfekce podle Tabulky 2
• L – délka prvku

Tab. 2: Referenční relativní prohnutí imperfekce

Přístup C – metoda EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) podle EN 1993-1-1:2005, odstavec 5.3.2 (11) [1]:

\[ e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

kde

• e₀ – počáteční imperfekce
• α – součinitel imperfekce závisející na příslušné křivce boulení podle EN 1993-1-1, Tabulka 6.1 [1]
• \( \bar \lambda \)  – relativní štíhlost prvku
• N_Rk – charakteristická únosnost průřezu v normálové síle
• M_Rk – charakteristická momentová únosnost průřezu

Přístup D – podle [3]:

\[ e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

kde

• e₀ – počáteční imperfekce
• α_LT – součinitel imperfekce z Tabulky 3
• \( \bar \lambda_{LT} \) – relativní štíhlost prvku
• N_Rk – charakteristická únosnost průřezu v normálové síle
• M_Rk – charakteristická momentová únosnost průřezu

Tab. 3: Součinitelé imperfekce pro výpočet e₀

Výsledné hodnoty počátečních imperfekcí jsou shrnuty v níže uvedené tabulce. Poznámka: pro tento průřez a třídu oceli dávají přístupy A a B stejné hodnoty.

Tab. 4: Výsledné hodnoty počátečních imperfekcí

4. Analytické řešení

Pro výpočet únosnosti nosníku při boulení je použit následující postup podle EN 1993-1-1, odstavce 6.3.2.1 a 6.3.2.2 [1]:

\[ \bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}} \]

\[ \phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right] \]

\[ \chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}} \]

\[ M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}} \]

5. Výsledky

Mezní únosnosti (pro počáteční imperfekce A = B, C a D) z IDEA Member jsou porovnány s analytickými hodnotami pro válcovaný průřez (EN) a také pro jeho reprezentaci bez zaoblení stojiny a pásnice (Ew). Dále jsou uvedeny výsledky ze softwaru ANSYS (A) [4], využívající počáteční imperfekce podle přístupu C.

Tab. 5: Výsledné hodnoty momentové únosnosti

Graf 1: Výsledné hodnoty momentové únosnosti

Graf 2: Porovnání výsledných momentových únosností

Výsledky GMNIA jsou konzervativní ve srovnání s řešením podle Eurokódu. Částečně je to způsobeno modelováním průřezu v IDEA Member; tento vliv se pohybuje mezi 5–10 %, jak je patrné z hodnot modrých sloupců ve výše uvedeném grafu.

Při porovnání dvou oranžových sloupců (Member a ANSYS) je zřejmá dobrá shoda s numerickým řešením v ANSYS.

Volba počáteční imperfekce hraje zásadní roli ve výsledné únosnosti. Při použití počátečních imperfekcí A nebo B jsou výsledné momentové únosnosti o 10–30 % nižší ve srovnání s Eurokódem. Metody C a D jsou pouze mírně konzervativní (< 10 %) ve srovnání s analytickým řešením podle Eurokódu pro skutečný válcovaný průřez. Jsou však velmi blízké očekávané hodnotě vypočtené analyticky pro průřez bez zaoblení stojiny a pásnice.

Obr. 2: Deformovaný tvar při mezní únosnosti a plastické přetvoření modelu B_4

6. Literatura a reference

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, second draft, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.