Geometrisch en materieel niet-lineaire analyse met imperfecties (GMNIA) van balken op buiging

1. De doelstelling

Het doel van dit artikel is de verificatie van de GMNIA (geometrisch en materieel niet-lineaire analyse met imperfecties) module van de IDEA StatiCa Member applicatie. De resulterende weerstanden uit IDEA StatiCa Member worden vergeleken met de analytische oplossing volgens EN 1993-1-1 [1] voor balken op buiging.

2. Modelbeschrijving

In totaal werden 18 afzonderlijke gevallen geanalyseerd om de GMNIA-module te verifiëren. Ze hebben allemaal hetzelfde dwarsprofiel IPE 240 en dezelfde staalsoort S 235. Drie verschillende belastingscondities werden onderzocht (A – eindmomenten, B – kracht in het midden, C – gelijkmatig verdeelde belasting). Zes waarden van de relatieve slankheid werden geverifieerd, variërend van 0,6 tot 1,6.

Afb. 1: Verschillende belastinggevallen gebruikt voor verificatie

3. Initiële imperfecties

Vier benaderingen werden gebruikt om de initiële imperfectie van een balk op buiging te berekenen. Deze worden aangeduid als A, B, C en D. De benaderingen A, B en C gebruiken de initiële imperfectie voor knik om de zwakke as, vermenigvuldigd met een factor k = 0,5; zoals gespecificeerd in EN 1993-1-1 Clausule 5.3.4 (3) [1]. De initiële imperfectie volgens benadering D wordt rechtstreeks bepaald voor kip.

Benadering A – volgens EN 1993-1-1:2005, Tabel 5.1:

Tab. 1: Rekenwaarde van de initiële boogimperfectie e₀/L voor staven

Benadering B – volgens prEN 1993-1-1:2020, tweede concept [2], Clausule 5.3.3.1:

\[ \frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta \]

waarbij:

• e₀ – initiële imperfectie
• α – imperfectiefactor afhankelijk van de relevante knikcurve volgens 1993-1-1, Tabel 6.1 [1]
• \( \varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} \)
• f_y – vloeigrens van de kolom [MPa]
• β – referentie relatieve boogimperfectie volgens Tabel 2
• L – staaflengte

Tab. 2: Referentie relatieve boogimperfectie

Benadering C – EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) methode volgens EN 1993-1-1:2005, Clausule 5.3.2 (11) [1]:

\[ e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

waarbij

• e₀ – initiële imperfectie
• α – imperfectiefactor afhankelijk van de relevante knikcurve volgens 1993-1-1, Tabel 6.1 [1]
• \( \bar \lambda \)  – relatieve slankheid van de staaf
• N_Rk – karakteristieke weerstand tegen normaalkracht van een dwarsdoorsnede
• M_Rk – karakteristieke momentweerstand van een dwarsdoorsnede

Benadering D – volgens [3]:

\[ e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

waarbij

• e₀ – initiële imperfectie
• α_LT – imperfectiefactor uit Tabel 3
• \( \bar \lambda_{LT} \) – relatieve slankheid van de staaf
• N_Rk – karakteristieke weerstand tegen normaalkracht van een dwarsdoorsnede
• M_Rk – karakteristieke momentweerstand van een dwarsdoorsnede

Tab. 3: Imperfectiefactoren voor de berekening van e₀

De resulterende waarden van de initiële imperfectie zijn samengevat in de onderstaande tabel. Merk op dat voor dit dwarsprofiel en deze staalsoort de benaderingen A en B dezelfde waarden geven.

Tab. 4: Resulterende waarden van de initiële imperfectie

4. Analytische oplossing

De volgende benadering volgens EN 1993-1-1, Clausules 6.3.2.1 en 6.3.2.2 [1] wordt gebruikt om de kipweerstand van de balk te berekenen:

\[ \bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}} \]

\[ \phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right] \]

\[ \chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}} \]

\[ M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}} \]

5. Resultaten

De uiterste weerstanden (voor initiële imperfecties A = B, C en D) uit IDEA StatiCa Member worden vergeleken met analytische waarden voor een gewalst dwarsprofiel (EN) en voor de representatie ervan zonder de lijf-flensradii (Ew). Tot slot worden resultaten uit de ANSYS software (A) [4] gepresenteerd, waarbij gebruik wordt gemaakt van de initiële imperfecties op basis van benadering C.

Tab. 5: Resulterende momentweerstandswaarden

Grafiek 1: Resulterende momentweerstandswaarden

Grafiek 2: Vergelijking van resulterende momentweerstanden

De resultaten van GMNIA zijn conservatief ten opzichte van de Eurocode-oplossing. Dit wordt deels veroorzaakt door de dwarsdoorsnede-modellering in IDEA StatiCa Member; deze invloed bedraagt 5–10 % zoals te zien is aan de blauwe kolomwaarden in de bovenstaande grafiek.

Bij vergelijking van de twee oranje kolommen (Member en ANSYS) is een goede overeenkomst met de numerieke oplossing in ANSYS duidelijk zichtbaar.

De keuze van de initiële imperfectie speelt een belangrijke rol in de resulterende weerstand. Bij gebruik van de initiële imperfecties A of B zijn de resulterende momentweerstanden 10–30 % lager vergeleken met de Eurocode. Methoden C en D zijn slechts licht conservatief (< 10 %) ten opzichte van de analytische Eurocode-oplossing voor een werkelijk gewalst dwarsprofiel. Ze liggen echter zeer dicht bij de verwachte waarde die analytisch is berekend voor een dwarsdoorsnede zonder de lijf-flensradii.

Afb. 2: Vervormde vorm bij de uiterste weerstand en plastische rek van het B_4 model

6. Literatuur en referenties

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Ontwerp van staalconstructies – Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Ontwerp van staalconstructies – Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, tweede concept, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.