Analyse géométriquement et matériellement non linéaire avec imperfections (GMNIA) de poutres en flexion

1. Objectif

L'objectif de cet article est la vérification du module GMNIA (analyse géométriquement et matériellement non linéaire avec imperfections) de l'application IDEA Member. Les résistances obtenues avec IDEA Member sont comparées à la solution analytique de l'EN 1993-1-1 [1] pour des poutres en flexion.

2. Description du modèle

Un total de 18 cas individuels a été analysé pour vérifier le module GMNIA. Tous partagent la même section transversale IPE 240 et la même nuance d'acier S 235. Trois conditions de chargement différentes ont été étudiées (A – moments d'extrémité, B – force au milieu, C – charge continue). Six valeurs d'élancement relatif ont été vérifiées, allant de 0,6 à 1,6.

Fig. 1 : Différents cas de charge utilisés pour la vérification

3. Imperfections initiales

Quatre approches ont été utilisées pour calculer l'imperfection initiale d'une poutre en flexion. Elles sont désignées A, B, C et D. Les approches A, B et C utilisent l'imperfection initiale pour le flambement selon l'axe faible, multipliée par un facteur k = 0,5, comme spécifié dans l'EN 1993-1-1, clause 5.3.4 (3) [1]. L'imperfection initiale selon l'approche D est déterminée directement pour le déversement.

Approche A – selon l'EN 1993-1-1:2005, Tableau 5.1 :

Tab. 1 : Valeur de calcul de l'imperfection initiale en arc e₀/L pour les éléments

Approche B – selon le prEN 1993-1-1:2020, deuxième projet [2], clause 5.3.3.1 :

$$\frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta$$

où :

• e₀ – imperfection initiale
• α – facteur d'imperfection dépendant de la courbe de flambement pertinente selon l'EN 1993-1-1, Tableau 6.1 [1]
• $\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}$
• f_y – limite d'élasticité du poteau [MPa]
• β – imperfection en arc relative de référence selon le Tableau 2
• L – longueur de l'élément

Tab. 2 : Imperfection en arc relative de référence

Approche C – méthode EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) selon l'EN 1993-1-1:2005, clause 5.3.2 (11) [1] :

$$e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

où

• e₀ – imperfection initiale
• α – facteur d'imperfection dépendant de la courbe de flambement pertinente selon l'EN 1993-1-1, Tableau 6.1 [1]
• $\bar \lambda$  – élancement relatif de l'élément
• N_Rk – résistance caractéristique à l'effort normal d'une section transversale
• M_Rk – résistance caractéristique au moment d'une section transversale

Approche D – selon [3] :

$$e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

où

• e₀ – imperfection initiale
• α_LT – facteur d'imperfection issu du Tableau 3
• $\bar \lambda_{LT}$ – élancement relatif de l'élément
• N_Rk – résistance caractéristique à l'effort normal d'une section transversale
• M_Rk – résistance caractéristique au moment d'une section transversale

Tab. 3 : Facteurs d'imperfection pour le calcul de e₀

Les valeurs d'imperfection initiale obtenues sont résumées dans le tableau ci-dessous. Notez que pour cette section transversale et cette nuance d'acier, les approches A et B donnent les mêmes valeurs.

Tab. 4 : Valeurs d'imperfection initiale obtenues

4. Solution analytique

L'approche suivante, selon l'EN 1993-1-1, clauses 6.3.2.1 et 6.3.2.2 [1], est utilisée pour calculer la résistance au flambement de la poutre :

$$\bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}}$$

$$\phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right]$$

$$\chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}}$$

$$M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}}$$

5. Résultats

Les résistances ultimes (pour les imperfections initiales A = B, C et D) obtenues avec IDEA Member sont comparées aux valeurs analytiques pour une section transversale laminée (EN) et pour sa représentation sans les rayons d'raccordement âme-semelle (Ew). Enfin, les résultats du logiciel ANSYS (A) [4] sont présentés, en utilisant les imperfections initiales basées sur l'approche C.

Tab. 5 : Valeurs de résistance au moment obtenues

Graphique 1 : Valeurs de résistance au moment obtenues

Graphique 2 : Comparaison des résistances au moment obtenues

Les résultats du GMNIA sont conservatifs par rapport à la solution de l'Eurocode. Ceci est en partie dû à la modélisation de la section transversale dans IDEA Member ; cette influence se situe entre 5 et 10 %, comme on peut le voir sur les valeurs des colonnes bleues dans le graphique ci-dessus.

En comparant les deux colonnes orange (Member et ANSYS), une bonne concordance avec une solution numérique dans ANSYS est évidente.

Le choix de l'imperfection initiale joue un rôle majeur dans la résistance obtenue. En utilisant les imperfections initiales A ou B, les résistances au moment obtenues sont 10 à 30 % inférieures par rapport à l'Eurocode. Les méthodes C et D ne sont que légèrement conservatives (< 10 %) par rapport à la solution analytique de l'Eurocode pour une section transversale laminée réelle. Cependant, elles sont très proches de la valeur attendue calculée analytiquement pour une section transversale sans les rayons de raccordement âme-semelle.

Fig. 2 : Forme déformée à la résistance ultime et déformation plastique du modèle B_4

6. Bibliographie et références

[1] EN 1993-1-1 : Eurocode 3 : Calcul des structures en acier – Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1 : Eurocode 3 : Calcul des structures en acier – Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments, deuxième projet, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.