Analisi geometricamente e materialmente non lineare con imperfezioni (GMNIA) di travi inflesse

1. Obiettivo

L'obiettivo di questo articolo è la verifica del modulo GMNIA (analisi geometricamente e materialmente non lineare con imperfezioni) dell'applicazione IDEA Member. Le resistenze risultanti da IDEA Member sono confrontate con la soluzione analitica di EN 1993-1-1 [1] per travi inflesse.

2. Descrizione del modello

Un totale di 18 casi individuali è stato analizzato per verificare il modulo GMNIA. Tutti condividono la stessa sezione trasversale IPE 240 e lo stesso acciaio S 235. Sono state investigate tre diverse condizioni di carico (A – momenti agli estremi, B – forza a metà campata, C – carico continuo). Sono stati verificati sei valori di snellezza relativa compresi tra 0,6 e 1,6.

Fig. 1: Vari casi di carico utilizzati per la verifica

3. Imperfezioni iniziali

Quattro approcci sono stati utilizzati per calcolare l'imperfezione iniziale di una trave inflessa. Questi sono denominati A, B, C e D. Gli approcci A, B e C utilizzano l'imperfezione iniziale per l'instabilità sull'asse debole moltiplicata per un fattore k = 0,5; come specificato in EN 1993-1-1 Clausola 5.3.4 (3) [1]. L'imperfezione iniziale secondo l'approccio D è determinata direttamente per l'instabilità flesso-torsionale.

Approccio A – secondo EN 1993-1-1:2005, Tabella 5.1:

Tab. 1: Valore di progetto dell'imperfezione iniziale di freccia e₀/L per gli elementi

Approccio B – secondo prEN 1993-1-1:2020, seconda bozza [2], Clausola 5.3.3.1:

\[ \frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta \]

dove:

• e₀ – imperfezione iniziale
• α – fattore di imperfezione dipendente dalla curva di instabilità rilevante secondo EN 1993-1-1, Tabella 6.1 [1]
• \( \varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} \)
• f_y – tensione di snervamento del pilastro [MPa]
• β – imperfezione di freccia relativa di riferimento secondo la Tabella 2
• L – lunghezza dell'elemento

Tab. 2: Imperfezione di freccia relativa di riferimento

Approccio C – metodo EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) secondo EN 1993-1-1:2005, Clausola 5.3.2 (11) [1]:

\[ e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

dove

• e₀ – imperfezione iniziale
• α – fattore di imperfezione dipendente dalla curva di instabilità rilevante secondo EN 1993-1-1, Tabella 6.1 [1]
• \( \bar \lambda \)  – snellezza relativa dell'elemento
• N_Rk – resistenza caratteristica a forza normale della sezione trasversale
• M_Rk – resistenza caratteristica a momento della sezione trasversale

Approccio D – secondo [3]:

\[ e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

dove

• e₀ – imperfezione iniziale
• α_LT – fattore di imperfezione dalla Tabella 3
• \( \bar \lambda_{LT} \) – snellezza relativa dell'elemento
• N_Rk – resistenza caratteristica a forza normale della sezione trasversale
• M_Rk – resistenza caratteristica a momento della sezione trasversale

Tab. 3: Fattori di imperfezione per il calcolo di e₀

I valori risultanti delle imperfezioni iniziali sono riassunti nella tabella seguente. Si noti che per questa sezione trasversale e questo acciaio, gli approcci A e B forniscono gli stessi valori.

Tab. 4: Valori risultanti delle imperfezioni iniziali

4. Soluzione analitica

Il seguente approccio secondo EN 1993-1-1, Clausole 6.3.2.1 e 6.3.2.2 [1] è utilizzato per calcolare la resistenza all'instabilità della trave:

\[ \bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}} \]

\[ \phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right] \]

\[ \chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}} \]

\[ M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}} \]

5. Risultati

Le resistenze ultime (per le imperfezioni iniziali A = B, C e D) di IDEA Member sono confrontate con i valori analitici per una sezione trasversale laminata (EN) e per la sua rappresentazione senza i raccordi anima-flangia (Ew). Infine, sono presentati i risultati del software ANSYS (A) [4], utilizzando le imperfezioni iniziali basate sull'approccio C.

Tab. 5: Valori risultanti della resistenza a momento

Grafico 1: Valori risultanti della resistenza a momento

Grafico 2: Confronto delle resistenze a momento risultanti

I risultati della GMNIA sono conservativi rispetto alla soluzione Eurocode. Ciò è in parte causato dalla modellazione della sezione trasversale in IDEA Member; questa influenza è compresa tra il 5 e il 10%, come si può osservare dai valori della colonna blu nel grafico sopra.

Confrontando le due colonne arancioni (Member e ANSYS), è evidente un buon accordo con la soluzione numerica in ANSYS.

La scelta dell'imperfezione iniziale svolge un ruolo fondamentale nella resistenza risultante. Utilizzando le imperfezioni iniziali A o B, le resistenze a momento risultanti sono inferiori del 10–30% rispetto all'Eurocode. I metodi C e D sono solo leggermente conservativi (< 10%) rispetto alla soluzione analitica dell'Eurocode per una sezione trasversale laminata reale. Tuttavia, sono molto vicini al valore atteso calcolato analiticamente per una sezione trasversale senza i raccordi anima-flangia.

Fig. 2: Forma deformata alla resistenza ultima e deformazione plastica del modello B_4

6. Bibliografia e riferimenti

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, second draft, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.