Ohýbání

Metody posouzení průřezové únosnosti

Pro posouzení mezního stavu únosnosti 1D betonových prvků lze použít dvě dobře známé metody. První z nich poskytuje průřezovou mezní únosnost ve formě interakční plochy nebo interakčního diagramu (v případě ohybového momentu v jednom směru). Průřezová únosnost může být stanovena jako poměr působících vnitřních sil k silám na mezním stavu. Druhá metoda spočívá v hledání rovnováhy v průřezu, kde hledáme skutečné chování zatíženého průřezu, využití materiálů z hlediska napětí a pohled na slabá místa průřezu.

Obecné návrhové předpoklady a výpočetní předpoklady pro mezní stav únosnosti 

1. Přetvoření ε ve výztuži a betonu se předpokládá přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy (rovinné průřezy zůstávají rovinné).
2. Spolupůsobení výztuže a betonu je zajištěno interakcí betonu a výztuže bez prokluzu (přetvoření ε výztuže a přilehlých vláken betonu jsou stejná).
3. Tahová pevnost betonu se zanedbává (veškerá tahová napětí přenáší výztuž).
4. Tlaková napětí betonu v tlačené zóně se vypočítávají v závislosti na přetvoření stanoveném z diagramů napětí-přetvoření.
5. Napětí ve výztuži se vypočítávají v závislosti na přetvoření z diagramů napětí-přetvoření.
6. Tlakové přetvoření betonu s mezní hodnotou přetvoření ε_cu2 (parabolický diagram pro beton v tlaku) a ε_cu3 (bilineární vztah napětí-přetvoření), [2].
7. Tlakové přetvoření výztuže není omezeno v případě vodorovné plastické větve; v případě skloněné plastické větve je přetvoření omezeno hodnotou ε_ud,[2].
8. Mezní stav nastane, když stav alespoň jednoho z materiálů překročí mezní přetvoření (pokud εu není omezeno, rozhoduje tlačený beton).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interakční diagram

První možností je posouzení průřezu pomocí interakční plochy (nebo interakčního diagramu). Vysvětlení je uvedeno na příkladu interakčních ploch pro vyztužený čtvercový průřez z příkladu na obrázku níže. Na interakční ploše jsou umístěny body definující mezní stav únosnosti zkoumaného průřezu. Interakční plocha je vykreslena z bodů (N, My, Mz), které jsou stanoveny integrací napětí v průřezu, který dosáhl mezního přetvoření v jednom z materiálů. Pro 3D interakci lze plochu odvodit z 2D interakčního diagramu, který je uzavřenou křivkou odpovídající napjatosti při neustále otáčené neutrální ose.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Pro případ průřezu symetrického podle osy y je interakční diagram symetrický kolem roviny N-M_y. Obdobně pro případ průřezu symetrického podle osy z je interakční diagram symetrický kolem roviny N-M_z. Jednostranně vyztužený průřez zavádí zploštělý tvar interakčního diagramu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Body definující mezní stav únosnosti jsou získány integrací napětí.  Obrázek níže zobrazuje přetvoření na mezním stavu únosnosti.

Rozdělení přetvoření na mezním stavu únosnosti (převzato z [2]).

Interakční diagram zobrazuje porušení průřezu při normálové síle a ohybových momentech. [1]

S ohledem na problém 2D diagramu (uzavřená křivka ležící na interakční ploše) lze zjistit, že rovina přetvoření prochází neutrální osou a kritickým bodem [y, z, ε], který je považován za kritický bod R.  Bod [y, z] definuje bod v průřezu s hodnotou přetvoření ε na mezním stavu únosnosti. Sklon neutrální osy je konstantní pro všechny body 2D diagramu.

Pokud je pro návrh rozhodující tlakové napětí v betonu, bod R odpovídá nejvzdálenějšímu tlačenému vláknu betonu nebo limitnímu bodu C. To však platí pouze tehdy, pokud je průřez tvořen jedním druhem betonu – nikoli smíšeným průřezem.   

V případě, kdy je pro návrh rozhodující tahové napětí ve výztuži (přetvoření ε_ud je překročeno na mezním stavu únosnosti v jednom nebo více prutech), musí být splněna podmínka, že pro danou rovinu přetvoření není hodnota ε_ud překročena v žádném jiném prutu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Obrázek výše ukazuje, že diagram lze rozdělit na dvě části: část, kde je porušení způsobeno tahovou silou, a část, která je porušena tlakovou silou. Limitní body odpovídají výše uvedenému případu, kde lze vidět i krajní sklon roviny přetvoření. Při vykreslování interakčního diagramu se sklon roviny přetvoření průřezu mění v tomto intervalu, přičemž hledáme bod R (viz výše). Na základě takto definované roviny provádíme integraci pro získání napětí na mezním stavu únosnosti.

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem spočívá v prokázání, že posuzovaná napětí (kombinace N_d, M_yd, M_zd) leží uvnitř nebo na povrchu interakční plochy. Toho lze dosáhnout různými metodami. Následující příklad demonstruje posouzení obdélníkového průřezu namáhaného silami N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme proporcionální změny všech složek vnitřních sil (excentricita normálové síly zůstává konstantní) až do dosažení interakční plochy. Změnu příslušných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb podél přímky spojující počátek souřadnicového systému (0,0,0) a bod definovaný vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program stanoví tři síly na mezním stavu: návrhovou únosnost v normálové síle N_Rd a odpovídající návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (rovnou působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů až do dosažení interakční plochy. Změnu příslušných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb ve vodorovné rovině podél přímky spojující bod (N_Ed,0,0) a  bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program stanoví tři síly na mezním stavu: návrhové odporové momenty M_Rdy, M_Rdz a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Metoda  NMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (rovnou působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů až do dosažení interakční plochy. Změnu příslušných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb ve vodorovné rovině podél přímky spojující bod (N_Ed,0,0) a bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program stanoví tři síly na mezním stavu: návrhové odporové momenty M_Rdy, M_Rdz, a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Hledání odezvy průřezu

Další možností posouzení průřezu je hledání odezvy průřezu (tj. rozdělení přetvoření a napětí od působících vnitřních sil). Tato metoda je také známa jako metoda mezních deformací. Úroveň působících napětí v každém vláknu (v případě rovinného ohybu v každé vrstvě) a v každém prutu výztuže se vypočítává v závislosti na přetvoření z diagramu napětí-přetvoření materiálu.
Hledání odezvy průřezu se vypočítává pomocí numerické metody uvedené v [6]. Princip spočívá v postupném přírůstku zatížení průřezu nevyváženými složkami nepřenesených sil. Ty jsou získány integrací napětí přes průřez pomocí diagramů napětí-přetvoření. Pokud lze hodnotu napětí nalézt pro dané přetvoření v diagramu napětí-přetvoření, viz obrázek níže (a), je vypočítané napětí správné za předpokladu lineárně elastického materiálu. V případech (b) a (c) dosahuje napětí při lineárním výpočtu nerealistických hodnot a část (b) nebo celá hodnota (c) nemůže být přenesena materiálem. Integrací nepřenesených napětí získáme nepřenesené vnitřní síly a jejich výslednice je třeba přičíst k vnitřním silám od proměnného zatížení. 

Nepřenesená napětí v diagramech napětí-přetvoření. [4]

Nepřenesené vnitřní síly. [4]

Tato výpočetní metoda vyžaduje použití numerických metod pro integraci napětí přes plochu průřezu a pro nelineární analýzu rovnovážných rovnic v průřezu. Iterace je ukončena v okamžiku, kdy jsou splněna konvergenční kritéria.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

kde 

F_e je zatížení průřezu,

F_i je odezva průřezu (vnitřní síly vypočítané na základě roviny přetvoření).

Pokud je a přibližná (aproximovaná) hodnota a b je přesná (skutečná) hodnota, pak absolutní odchylka je dána následující rovnicí.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Relativní odchylka je dána následujícím vzorcem:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Ve většině programů lze tato konvergenční kritéria nastavit (výchozí hodnoty jsou 1 % jako relativní chyba, 100 N, 100 Nm jako absolutní chyba normálové síly a momentů). 

Pokud tedy máme vstupní hodnoty N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm a integrované síly po iteraci N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, vyhodnocení bude následující. S ohledem na to, že N a Mz se rovnají 0, lze provést srovnání s absolutní odchylkou:

Hodnota normálové síly 100 N> | 70 | N
Hodnota ohybového momentu Mz 100 Nm> | 20 | Nm
Hodnota ohybového momentu My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Posouzení průřezu pomocí odezvy

V případě hledání rovnováhy v průřezu je rovina přetvoření známa. Z roviny přetvoření lze vypočítat přetvoření kdekoliv v průřezu, dále napětí nebo vnitřní síly v prutech výztuže, průřezu nebo jeho částech pomocí diagramů napětí-přetvoření materiálů. Vypočítané hodnoty napětí a přetvoření porovnáváme s mezní hodnotou přetvoření z diagramů napětí-přetvoření použitých materiálů.
Výhodou této metody je, že získáme úplný obraz hodnot napětí a přetvoření v průřezu od vnitřních sil působících na průřez.