Hajlítás

Keresztmetszeti teherbírás-ellenőrzés módszerei

Két jól ismert módszer alkalmazható az 1D betonszerkezeti elemek végső határállapotának ellenőrzésére. Az első módszer a keresztmetszeti végső teherbírást interakciós felület vagy interakciós diagram formájában adja meg (egyirányú hajlítónyomaték esetén). A keresztmetszeti teherbírás meghatározható a ható belső erők és a határállapoti erők arányaként. A második módszer a keresztmetszetben fennálló egyensúly megkeresése, ahol a terhelt keresztmetszet tényleges viselkedését, az anyagok feszültség szerinti kihasználtságát és a keresztmetszet gyenge pontjait vizsgáljuk.

Általános tervezési feltételezések és számítási feltételezések a végső határállapotra vonatkozóan 

1. A vasalásban és a betonban keletkező ε alakváltozás feltételezhetően egyenesen arányos a semleges tengelytől mért távolsággal (a sík keresztmetszetek síkok maradnak).
2. A vasalás és a beton kölcsönhatása csúszás nélküli beton-vasalás együttdolgozással biztosított (az ε alakváltozás alátámasztja a szomszédos betonszálak azonos alakváltozását).
3. A beton húzószilárdságát elhanyagoljuk (az összes húzófeszültséget a vasalás veszi fel).
4. A nyomott zónában a beton nyomófeszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramokból számított alakváltozáshoz viszonyítva számítjuk.
5. A vasalás feszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramokból számított alakváltozáshoz viszonyítva számítjuk.
6. A beton nyomási alakváltozása az ε_cu2 végső alakváltozási határral (parabola-téglalap diagram nyomott beton esetén) és ε_cu3 (kétlineáris feszültség-alakváltozás összefüggés), [2].
7. A vasalás nyomási alakváltozása vízszintes képlékeny felső ág esetén korlátlan, ferde képlékeny felső ág esetén az alakváltozás korlátozott ε_ud,[2].
8. Határállapotot akkor tekintünk bekövetkezettnek, ha legalább az egyik anyag állapota meghaladja a végső határállapoti alakváltozást (ha εu nem korlátozott, a nyomott beton az irányadó).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interakciós diagram

Az első lehetőség a keresztmetszet ellenőrzése interakciós felülettel (vagy interakciós diagrammal). A magyarázat az alábbi ábrán szereplő példából vett vasalt négyzetes keresztmetszet interakciós felületein szemléltethető. Az interakciós felületen találhatók a vizsgált keresztmetszet végső határállapotát meghatározó pontok. Az interakciós felület az (N, My, Mz) pontokból rajzolható meg, amelyeket a keresztmetszetben végzett feszültségintegrálással határozunk meg, ahol az egyik anyagban elérte a végső határállapoti alakváltozást. 3D interakció esetén a felület egy 2D interakciós diagramból vezethető le, amely egy zárt görbe, amely a folyamatosan elforgatott semleges tengelyhez tartozó feszültségállapotnak felel meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Az y-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_y sík körül. Hasonlóképpen, a z-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_z sík körül. Az egyoldalasan vasalt keresztmetszet lapított alakú interakciós diagramot eredményez.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

A végső határállapotot meghatározó pontok feszültségintegrálásból adódnak.  Az alábbi ábra a végső határállapotbeli alakváltozást mutatja.

Alakváltozás-eloszlások a végső határállapotban (forrás: [2]).

Az interakciós diagram a keresztmetszet normálerő és hajlítónyomatékok hatására bekövetkező tönkremenetelét mutatja. [1]

A 2D diagram problémáját (az interakciós felületen fekvő zárt görbe) figyelembe véve megállapítható, hogy az alakváltozási sík átmegy a semleges tengelyen és a kritikus ponton [y, z, ε], amelyet R kritikus pontnak tekintünk.  Az [y, z] pont a keresztmetszet egy pontját jelöli, ahol az ε alakváltozás értéke a végső határállapotban adott. A semleges tengely dőlésszöge állandó a 2D diagram összes pontjára.

Abban az esetben, ha a betonban lévő nyomófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából, az R pont a legtávolabbi nyomott betonszálhoz vagy a C határponthoz esik. Ez azonban csak akkor alkalmazható, ha a keresztmetszet egyféle betonból készült – nem vegyes keresztmetszet esetén.   

Abban az esetben, ha a vasalásban lévő húzófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából (az ε_ud alakváltozást egy vagy több rúdban meghaladja a végső határállapotban), teljesíteni kell azt a feltételt, hogy az adott alakváltozási síkra vonatkozóan az ε_ud értéket egyetlen más rúdban sem haladja meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

A fenti ábra szemlélteti, hogy a diagram két részre osztható: az a rész, ahol a tönkremenetelt a húzóerő okozza, és az a rész, amely nyomóerő hatására megy tönkre. A határpontok a fenti esetnek felelnek meg, ahol az alakváltozási sík szélső dőlésszöge is látható. Az interakciós diagram megrajzolásakor a keresztmetszet síkbeli alakváltozásának dőlésszöge ebben az intervallumban változik, miközben az R pontot keressük (lásd fent). Az így meghatározott sík alapján elvégezzük az integrálást, hogy megkapjuk a feszültséget a végső határállapotban.

Normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése

A normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése annak igazolásán alapul, hogy az ellenőrzött feszültségek (N_d, M_yd, M_zd kombináció) az interakciós felületen belül vagy azon helyezkednek el. Ezt különböző módszerekkel lehet elvégezni. Az alábbi példa egy N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm erőknek kitett téglalap keresztmetszet ellenőrzését mutatja be.

NuMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy az összes belső erőkomponens arányosan változik (a normálerő excentricitása állandó marad) mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás a koordináta-rendszer origóját (0,0,0) és a belső erők által meghatározott (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) pontot összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési normálerő-teherbírást N_Rd és a megfelelő méretezési nyomatéki teherbírásokat M_Rdy, M_Rdz.

NuMM módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel) és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) pontot összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

NMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel) és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) pontot összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz, és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

A keresztmetszeti válasz meghatározása

A keresztmetszet ellenőrzésének másik lehetősége a keresztmetszeti válasz meghatározása (azaz az alakváltozás és feszültségeloszlás a ható belső erőkből). Ez a módszer a határalakváltozás módszereként is ismert. A ható feszültségek szintje minden szálban (sík hajlítás esetén minden rétegben) és minden vasalási rúdban az anyag feszültség-alakváltozás diagramjának alakváltozásától függően kerül kiszámításra.
A keresztmetszeti válasz meghatározása a [6]-ban megadott numerikus módszerrel történik. Az elv a keresztmetszet fokozatos terhelésnövelésén alapul az át nem vitt erők egyensúlyhiányos komponenseivel. Ezeket a feszültség keresztmetszeten való integrálásával kapjuk meg a feszültség-alakváltozás diagramok segítségével. Ha az alakváltozáshoz tartozó feszültségérték megtalálható a feszültség-alakváltozás diagramban, lásd az alábbi ábra (a) esetét, a számított feszültség helyes lineárisan rugalmas anyagot feltételezve. A (b) és (c) esetekben a lineáris számítás feszültsége irreális értékeket ér el, és a (b) rész vagy a teljes érték (c) nem vihető át az anyag által. Az át nem vitt feszültségek integrálásával megkapjuk az át nem vitt belső erőket, amelyek eredőit hozzá kell adni a változó terhek belső erőihez. 

Át nem vitt feszültségek a feszültség-alakváltozás diagramokban. [4]

Át nem vitt belső erők. [4]

Ez a számítási módszer numerikus módszerek alkalmazását igényli a feszültség keresztmetszeti területen való integrálásához és az egyensúlyi egyenletek&nbspnemlineáris elemzéséhez a keresztmetszetben. Az iteráció akkor ér véget, amikor a konvergencia kritériumok teljesülnek.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

ahol 

F_e a keresztmetszeti terhelés,

F_i a keresztmetszeti válasz (az alakváltozási sík alapján számított belső erők).

Ha a a közelítő (becsült) érték és b a pontos (valódi) érték, akkor az abszolút eltérést a következő egyenlet adja meg.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

A relatív eltérést a következő képlet adja meg:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

A legtöbb programban ezek a konvergencia kritériumok beállíthatók (alapértelmezett értékek: 1% relatív hiba, 100 N, 100 Nm mint a normálerő és a nyomatékok abszolút hibája). 

Tehát ha a bemeneti értékek N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm és az iteráció utáni integrált erők N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, az értékelés a következőképpen alakul. Figyelembe véve, hogy N és Mz értéke 0, az abszolút eltéréssel való összehasonlítás elvégezhető:

A normálerő értéke 100N> | 70 | N
Az Mz hajlítónyomaték értéke 100Nm> | 20 | Nm
Az My hajlítónyomaték értéke

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Keresztmetszet ellenőrzése a válasz alapján

A keresztmetszetben fennálló egyensúly meghatározása esetén a síkbeli alakváltozás ismert. A síkbeli alakváltozásból kiszámítható az alakváltozás a keresztmetszet bármely pontján, majd a feszültség vagy belső erők a vasalási rudakban, a keresztmetszetben vagy annak részeiben az anyagok feszültség-alakváltozás diagramjai segítségével. A számított feszültség- és alakváltozás-értékeket összehasonlítjuk a felhasznált anyagok feszültség-alakváltozás diagramjaiból vett határalakváltozás értékekkel.
Ennek a módszernek az előnye, hogy teljes képet kapunk a keresztmetszetre ható belső erők feszültség- és alakváltozás-értékeiről a keresztmetszetben.