Buiging

Methoden voor doorsnedecapaciteitscontrole

Twee bekende methoden kunnen worden gebruikt om de uiterste grenstoestand te controleren voor 1D betonnen staven. De eerste geeft ons de doorsnede-uiterste sterkte in de vorm van een interactieoppervlak of een interactiediagram (in het geval van buigend moment in één richting). De doorsnedecapaciteit kan worden bepaald als de verhouding van de werkende inwendige krachten tot de grensstoestandkrachten. De tweede methode is het vinden van evenwicht in een doorsnede, waarbij we kijken naar het werkelijke gedrag van de belaste doorsnede, het gebruik van materialen in termen van spanningen, en inzicht in de kwetsbaarheden van de doorsnede.

Algemene ontwerpveronderstellingen en rekenveronderstellingen voor de Uiterste Grenstoestand 

1. De rek ε in de wapening en het beton wordt verondersteld rechtstreeks evenredig te zijn met de afstand tot de neutrale lijn (vlakke doorsneden blijven vlak).
2. De interactie van de wapening en het beton wordt gewaarborgd door aanhechting tussen beton en wapening zonder glijding (de rek ε van de wapening is gelijk aan de rek in de aangrenzende betonvezels).
3. De treksterkte van beton wordt verwaarloosd (alle trekspanningen worden overgedragen door de wapening).
4. Betondrukspanningen in de drukzone worden berekend op basis van de rek uit spanning-rek diagrammen.
5. Wapeningsspanningen worden berekend op basis van de rek uit spanning-rek diagrammen.
6. Betondrukrek met een uiterste rekgrens ε_cu2 (Parabool-rechthoekdiagram voor beton onder druk) en ε_cu3 (Bilineaire spanning-rek relatie), [2].
7. De drukrek van de wapening is zonder begrenzing bij een horizontale plastische boventak; bij een hellende plastische boventak is de rek begrensd tot ε_ud,[2].
8. Een grenstoestand wordt bereikt wanneer de toestand van ten minste één van de materialen de uiterste grensrek overschrijdt (als εu niet begrensd is, is het gedrukte beton maatgevend).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interactiediagram

De eerste optie is het controleren van de doorsnede met behulp van een interactieoppervlak (of interactiediagram). Een toelichting wordt gegeven aan de hand van een voorbeeld van het interactieoppervlak voor de gewapende vierkante doorsnede uit het voorbeeld in de onderstaande figuur. Op het interactieoppervlak bevinden zich punten die de uiterste grenstoestand van de onderzochte doorsnede definiëren. Het interactieoppervlak wordt opgebouwd uit punten (N, My, Mz), die worden bepaald door spanningsintegratie in de doorsnede, waarbij de uiterste grensrek in één van de materialen is bereikt. Voor een 3D-interactie kan het oppervlak worden afgeleid uit een 2D-interactiediagram, dat een gesloten kromme is, die overeenkomt met de spanning bij een continu gedraaide neutrale lijn.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Voor het geval van een doorsnede die symmetrisch is ten opzichte van de y-as, is het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_y. Op dezelfde wijze is voor een doorsnede die symmetrisch is ten opzichte van de z-as, het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_z. De eenzijdig gewapende doorsnede introduceert een afgeplatte vorm van het interactiediagram.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

De punten die de uiterste grenstoestand definiëren worden verkregen uit spanningsintegratie.  De onderstaande figuur toont de rekken bij de uiterste grenstoestand.

Rekverdelingen bij de uiterste grenstoestand (overgenomen uit [2]).

Het interactiediagram toont het bezwijken van de doorsnede onder normaalkracht en buigende momenten. [1]

Met betrekking tot het 2D-diagramprobleem (gesloten kromme liggend op het interactieoppervlak) kunnen we vaststellen dat het rekvlak door de neutrale lijn en het kritieke punt [y, z, ε] gaat, dat wordt beschouwd als kritiek punt R.  Punt [y, z] definieert een punt in de doorsnede met de waarde van de rek ε bij de uiterste grenstoestand. De hellingshoek van de neutrale lijn is constant voor alle punten van het 2D-diagram.

Indien de drukspanning in het beton maatgevend is voor het ontwerp, valt punt R samen met de verst verwijderde gedrukte betonvezel of met het begrenzingspunt C. Dit is echter alleen van toepassing als de doorsnede is opgebouwd uit één type beton - niet zoals bij een gemengde doorsnede.   

Indien de trekspanning in de wapening maatgevend is voor het ontwerp (rek ε_ud wordt overschreden bij de uiterste grenstoestand voor één of meer staven), moet worden voldaan aan de voorwaarde dat voor het gegeven rekvlak de waarde ε_ud in geen enkele andere staaf wordt overschreden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

De bovenstaande figuur toont dat het diagram kan worden onderverdeeld in twee delen: het deel waarbij het bezwijken wordt veroorzaakt door een trek kracht en het deel dat bezwijkt door een druk kracht. De grenstoestandpunten komen overeen met het geval hierboven, waarbij ook de extreme hellingshoek van het rekvlak zichtbaar is. Bij het tekenen van een interactiediagram verandert de vlakke rekhelling van een doorsnede in dit interval, terwijl we zoeken naar het punt R (zie boven). Op basis van dat gedefinieerde vlak voeren we de integratie uit om de spanning bij de uiterste grenstoestand te verkrijgen.

Controle van doorsnede onderworpen aan normaalkracht en buigend moment

De controle van een doorsnede onderworpen aan normaalkracht en buigend moment berust op het aantonen dat de gecontroleerde spanningen (combinatie N_d, M_yd, M_zd) zich binnen of op het interactieoppervlak bevinden. Verschillende methoden kunnen dit uitvoeren. Het volgende voorbeeld demonstreert de controle van een rechthoekige doorsnede onderworpen aan krachten N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Om de weerstand van een doorsnede te bepalen, veronderstellen we proportionele veranderingen in alle componenten van de inwendige krachten (de excentriciteit van de normaalkracht blijft constant) totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken inwendige krachten kan worden geïnterpreteerd als een beweging langs een lijn die het beginpunt van het coördinatenstelsel (0,0,0) verbindt met het punt gedefinieerd door de inwendige krachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee sets van krachten bij de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten bij de grenstoestand: de rekenwaarde van de normaalkrachtweerstand N_Rd en de bijbehorende rekenwaarden van de buigmomentweerstand M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen, veronderstellen we een constante normaalkracht (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en proportionele veranderingen in buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken inwendige krachten kan worden geïnterpreteerd als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het  punt gedefinieerd door de werkende inwendige krachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee sets van krachten bij de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten bij de grenstoestand: de rekenwaarden van de buigmomentweerstand M_Rdy, M_Rdz en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Methode  NMuMu

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen, veronderstellen we een constante normaalkracht (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en proportionele veranderingen in buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken inwendige krachten kan worden geïnterpreteerd als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het punt gedefinieerd door de werkende inwendige krachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee sets van krachten bij de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten bij de grenstoestand: de rekenwaarden van de buigmomentweerstand M_Rdy, M_Rdz, en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Bepaling van de doorsnederespons

Een andere mogelijkheid om de doorsnede te controleren is het bepalen van de doorsnederespons (d.w.z. rek- en spanningsverdeling op basis van de werkende inwendige krachten). Deze methode is ook bekend als de methode van de grensvervorming. Het niveau van de werkende spanningen in elke vezel (in het geval van vlakke buiging in elke laag) en in elke wapeningsstaaf wordt berekend afhankelijk van de rek uit het spanning-rek diagram van het materiaal.
De bepaling van de doorsnederespons wordt berekend met behulp van de numerieke methode beschreven in [6]. Het principe bestaat uit de geleidelijke belastingstoename van de doorsnede door de onevenwichtige componenten van niet-overgedragen krachten. Deze worden verkregen door integratie van de spanning over de doorsnede met behulp van spanning-rek diagrammen. Als de spanningswaarde kan worden gevonden voor de rek in het spanning-rek diagram, zie onderstaande figuur (a), is de berekende spanning correct uitgaande van lineair elastisch materiaal. In gevallen (b) en (c) bereikt de spanning voor een lineaire berekening onrealistische waarden, en een deel (b) of de volledige waarde (c) kan niet worden overgedragen door het materiaal. Door integratie van niet-overgedragen spanningen verkrijgen we niet-overgedragen inwendige krachten, en hun resultanten dienen te worden opgeteld bij de inwendige krachten van variabele belastingen. 

Niet-overgedragen spanningen in spanning-rek diagrammen. [4]

Niet-overgedragen inwendige krachten. [4]

Deze rekenmethode vereist het gebruik van numerieke methoden voor de integratie van de spanning over het doorsnede-oppervlak en voor de niet-lineaire analyse van evenwichtsvergelijkingen in de doorsnede. De iteratie wordt beëindigd op het moment dat aan de convergentiecriteria is voldaan.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

waarbij 

F_e is de doorsnedelast,

F_i is de doorsnederespons (inwendige krachten berekend op basis van het rekvlak).

Als a de benaderde (geïnterpoleerde) waarde is en b de exacte (ware) waarde, dan wordt de absolute afwijking gegeven door de volgende vergelijking.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

De relatieve afwijking wordt gegeven door de volgende formule:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

In de meeste programma's kunt u deze convergentiecriteria instellen (standaardwaarden zijn 1% als relatieve fout, 100 N, 100 Nm als de absolute fout van normaalkracht en momenten). 

Als we de invoer hebben van N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm en geïntegreerde krachten na iteratie N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, is de beoordeling als volgt. Met inachtneming van N en Mz gelijk aan 0, kan een vergelijking met absolute afwijking worden gemaakt:

De waarde van de normaalkracht 100N> | 70 | N
De waarde van het buigend moment Mz 100Nm> | 20 | Nm
De waarde van het buigend moment My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Doorsnedeverificatie via de respons

In het geval van het vinden van een evenwicht in de doorsnede is het vlakke rekverloop bekend. Uit het vlakke rekverloop kunnen we de rek berekenen op elke willekeurige plaats in de doorsnede, vervolgens de spanning of inwendige krachten in wapeningsstaven, de doorsnede of delen daarvan met behulp van de spanning-rek diagrammen van de materialen. De berekende spannings- en rekwaarden vergelijken we met de grensrekwaarde uit de spanning-rek diagrammen van de gebruikte materialen.
Het voordeel van deze methode is dat we een volledig beeld krijgen van de spannings- en rekwaarden in de doorsnede bij de inwendige krachten die op de doorsnede inwerken.