Încovoiere

Metode pentru verificarea capacității secționale

Două metode bine cunoscute pot fi utilizate pentru verificarea stării limită ultime pentru elementele 1D din beton. Prima metodă furnizează rezistența ultimă a secțiunii transversale sub forma unei suprafețe de interacțiune sau a unei diagrame de interacțiune (în cazul momentului încovoietor într-o singură direcție). Capacitatea secțiunii transversale poate fi determinată ca raport dintre forțele interioare de calcul și forțele corespunzătoare stării limită. A doua metodă constă în găsirea echilibrului într-o secțiune transversală, unde se urmărește comportamentul real al secțiunii încărcate, utilizarea materialelor în termeni de tensiuni și identificarea vulnerabilităților secțiunii.

Ipoteze generale de proiectare și ipoteze de calcul pentru Starea Limită Ultimă 

1. Deformația ε în armătură și beton se consideră direct proporțională cu distanța față de axa neutră (secțiunile plane rămân plane).
2. Conlucrarea armăturii cu betonul este asigurată prin aderența dintre beton și armătură fără alunecare (deformația ε a armăturii este egală cu deformația fibrelor de beton adiacente).
3. Rezistența la întindere a betonului este neglijată (toate tensiunile de întindere sunt preluate de armătură).
4. Tensiunile de compresiune în beton din zona comprimată se calculează în funcție de deformația determinată din diagramele efort-deformație.
5. Tensiunile din armătură se calculează în funcție de deformație din diagramele efort-deformație.
6. Deformația ultimă a betonului comprimat cu limita de deformație ultimă ε_cu2 (diagrama parabolă-dreptunghi pentru beton la compresiune) și ε_cu3 (relație bilineară efort-deformație), [2].
7. Deformația de compresiune a armăturii este fără limitare în cazul ramurii plastice orizontale superioare; în cazul ramurii plastice înclinate superioare, deformația este limitată la ε_ud,[2].
8. Starea limită este considerată atinsă atunci când starea cel puțin unuia dintre materiale depășește deformația ultimă limită (dacă εu nu este limitată, betonul comprimat este determinant).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interacțiune

Prima opțiune este verificarea secțiunii transversale prin intermediul unei suprafețe de interacțiune (sau diagramă de interacțiune). O explicație este furnizată pe un exemplu al suprafețelor de interacțiune pentru secțiunea pătrată armată din exemplul prezentat în figura de mai jos. Pe suprafața de interacțiune sunt localizate punctele care definesc starea limită ultimă a secțiunii transversale analizate. Suprafața de interacțiune este trasată din punctele (N, My, Mz), care sunt determinate prin integrarea tensiunilor în secțiunea transversală, care a atins deformația ultimă limită în unul dintre materiale. Pentru o interacțiune 3D, suprafața poate fi derivată dintr-o diagramă de interacțiune 2D, care este o curbă închisă, corespunzătoare tensiunilor pentru o axă neutră rotită continuu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Pentru cazul unei secțiuni transversale simetrice față de axa y, diagrama de interacțiune este simetrică față de planul N-M_y. În mod similar, pentru cazul unei secțiuni transversale simetrice față de axa z, diagrama de interacțiune este simetrică față de planul N-M_z. Secțiunea cu armătură unilaterală introduce o formă aplatizată a diagramei de interacțiune.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Punctele care definesc starea limită ultimă sunt obținute prin integrarea tensiunilor.  Figura de mai jos prezintă distribuția deformațiilor la starea limită ultimă.

Distribuții ale deformațiilor la starea limită ultimă (preluate din [2]).

Diagrama de interacțiune prezintă cedarea secțiunii transversale sub forță normală și momente încovoietoare. [1]

Respectând problema diagramei 2D (curbă închisă situată pe suprafața de interacțiune), putem determina că planul de deformații trece prin axa neutră și prin punctul critic [y, z, ε], considerat ca punct critic R.  Punctul [y, z] definește un punct în secțiunea transversală cu valoarea deformației ε la starea limită ultimă. Înclinarea axei neutre este constantă pentru toate punctele diagramei 2D.

În cazul în care tensiunea de compresiune în beton este determinantă pentru proiectare, punctul R corespunde fibrei de beton comprimat cele mai îndepărtate sau punctului limită C. Totuși, aceasta se poate aplica numai dacă secțiunea respectivă este alcătuită dintr-un singur tip de beton - nu ca o secțiune transversală mixtă.   

În cazul în care tensiunea de întindere din armătură este determinantă pentru proiectare (deformația ε_ud este depășită la starea limită ultimă pentru una sau mai multe bare), trebuie îndeplinită condiția ca pentru planul de deformații dat, valoarea ε_ud să nu fie depășită la nicio altă bară.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Imaginea de mai sus arată că diagrama poate fi împărțită în două părți: partea în care cedarea este cauzată de forța de întindere și partea care cedează sub o forță de compresiune. Punctele limită corespund cazului de mai sus, unde se poate observa și înclinarea extremă a planului de deformații. La trasarea diagramei de interacțiune, înclinarea planului de deformații al secțiunii transversale se modifică în acest interval, în timp ce căutăm punctul R (a se vedea mai sus). Pe baza acelui plan definit, efectuăm integrarea pentru a obține tensiunea la starea limită ultimă.

Verificarea secțiunii transversale supuse forței axiale și momentului încovoietor

Verificarea unei secțiuni transversale supuse forței axiale și momentului încovoietor constă în demonstrarea că tensiunile verificate (combinația N_d, M_yd, M_zd) sunt situate în interiorul sau pe suprafața de interacțiune. Diferite metode pot realiza acest lucru. Următorul exemplu demonstrează verificarea unei secțiuni transversale dreptunghiulare supuse forțelor N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

Pentru a defini rezistența unei secțiuni transversale, se presupune modificarea proporțională a tuturor componentelor forțelor interioare (excentricitatea forței normale rămâne constantă) până când suprafața de interacțiune a fost dezvoltată. Modificarea forțelor interioare implicate poate fi interpretată ca o deplasare de-a lungul unei drepte care conectează originea sistemului de coordonate (0,0,0) și punctul definit de forțele interioare (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Cele două intersecții ale acestei drepte cu suprafața de interacțiune, care pot fi găsite, reprezintă două seturi de forțe la starea limită ultimă. La fiecare intersecție, programul determină trei forțe la starea limită: rezistența de calcul la forță axială N_Rd și momentele de rezistență de calcul corespunzătoare M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

Pentru a defini rezistența secțiunii transversale, se presupune forță normală constantă (egală cu forța normală de calcul de acțiune) și modificări proporționale ale momentelor încovoietoare până când suprafața de interacțiune a fost dezvoltată. Modificarea forțelor interioare implicate poate fi interpretată ca o deplasare într-un plan orizontal de-a lungul dreptei care conectează punctul (N_Ed,0,0) și  punctul definit de forțele interioare de acțiune (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Cele două intersecții ale acestei drepte cu suprafața de interacțiune, care pot fi găsite, reprezintă două seturi de forțe la starea limită ultimă. La fiecare intersecție, programul determină trei forțe la starea limită: momentele de rezistență de calcul M_Rdy, M_Rdz și forța normală de calcul de acțiune (corespunzătoare) N_Ed.

Metoda  NMuMu

Pentru a defini rezistența secțiunii transversale, se presupune o forță normală constantă (egală cu forța normală de calcul de acțiune) și modificări proporționale ale momentelor încovoietoare până când suprafața de interacțiune a fost dezvoltată. Modificarea forțelor interioare implicate poate fi interpretată ca o deplasare într-un plan orizontal de-a lungul dreptei care conectează punctul (N_Ed,0,0) și punctul definit de forțele interioare de acțiune (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Cele două intersecții ale acestei drepte cu suprafața de interacțiune, care pot fi găsite, reprezintă două seturi de forțe la starea limită ultimă. La fiecare intersecție, programul determină trei forțe la starea limită: momentele de rezistență de calcul M_Rdy, M_Rdz, și forța normală de calcul de acțiune (corespunzătoare) N_Ed.

Determinarea răspunsului secțiunii

O altă posibilitate de verificare a secțiunii transversale este determinarea răspunsului secțiunii transversale (adică distribuția deformațiilor și tensiunilor din forțele interioare de acțiune). Această metodă este cunoscută și ca metoda deformației limită. Nivelul tensiunilor de acțiune în fiecare fibră (în cazul încovoierii plane, în fiecare strat) în fiecare bară de armătură este calculat în funcție de deformația din diagrama efort-deformație a materialului.
Determinarea răspunsului secțiunii transversale se calculează utilizând metoda numerică specificată în [6]. Principiul constă în incrementarea treptată a încărcării secțiunii prin componentele dezechilibrate ale forțelor netransmise. Acestea sunt obținute prin integrarea tensiunilor pe secțiune utilizând diagramele efort-deformație. Dacă valoarea tensiunii poate fi găsită pentru deformația din diagrama efort-deformație, a se vedea Figura de mai jos (a), tensiunea calculată este corectă presupunând material liniar elastic. În cazurile (b) și (c), tensiunea pentru un calcul liniar atinge valori nerealiste, iar o parte (b) sau întreaga valoare (c) nu poate fi transmisă de material. Prin integrarea tensiunilor netransmise se obțin forțele interioare netransmise, iar rezultantele acestora trebuie adăugate la forțele interioare ale încărcărilor variabile. 

Tensiuni netransmise în diagramele efort-deformație. [4]

Forțe interioare netransmise. [4]

Această metodă de calcul necesită utilizarea metodelor numerice pentru integrarea tensiunilor pe aria secțiunii transversale și pentru analiza neliniară a ecuațiilor de echilibru în secțiune. Iterația se termină în momentul în care criteriile de convergență sunt îndeplinite.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

unde 

F_e este încărcarea secțiunii,

F_i este răspunsul secțiunii (forțe interioare calculate pe baza planului de deformații).

Dacă a este valoarea aproximată și b este valoarea exactă (reală), atunci abaterea absolută este dată de următoarea ecuație.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Abaterea relativă este dată de următoarea formulă:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

În majoritatea programelor, puteți seta aceste criterii de convergență (valorile implicite sunt 1% ca eroare relativă, 100 N, 100 Nm ca eroare absolută a forței normale și a momentelor). 

Astfel, dacă avem datele de intrare N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm și forțele integrate după iterație N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm, evaluarea va fi după cum urmează. Respectând faptul că N și Mz sunt egale cu 0, se poate face o comparație cu abaterea absolută:

Valoarea forței normale 100N> | 70 | N
Valoarea momentului încovoietor Mz 100Nm> | 20 | Nm
Valoarea momentului încovoietor My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificarea secțiunii transversale prin răspuns

În cazul determinării echilibrului în secțiunea transversală, deformația plană este cunoscută. Din deformația plană putem calcula deformația în orice punct al secțiunii, apoi tensiunile sau forțele interioare din barele de armătură, secțiunea transversală sau părțile acesteia utilizând diagramele efort-deformație ale materialelor. Valorile calculate ale tensiunilor și deformațiilor le comparăm cu valoarea deformației limită din diagramele efort-deformație ale materialelor utilizate.
Avantajul acestei metode este că obținem o imagine completă a valorilor tensiunilor și deformațiilor în secțiunea forțelor interioare care acționează asupra secțiunii transversale.