Flexão

Métodos para verificação da capacidade seccional

Dois métodos bem conhecidos podem ser utilizados para verificar o estado limite último de elementos de betão 1D. O primeiro fornece a resistência última da secção transversal na forma de uma superfície de interação ou de um diagrama de interação (no caso de momento fletor numa direção). A capacidade da secção transversal pode ser determinada como a razão entre as forças internas atuantes e as forças do estado limite. O segundo consiste em encontrar o equilíbrio numa secção transversal, onde se procura o comportamento real da secção carregada, a utilização dos materiais em termos de tensões e a identificação das vulnerabilidades da secção.

Hipóteses gerais de dimensionamento e hipóteses de cálculo para o Estado Limite Último 

1. A deformação ε na armadura e no betão deve ser assumida como diretamente proporcional à distância ao eixo neutro (as secções planas permanecem planas).
2. A interação entre a armadura e o betão é assegurada pela aderência entre betão e armadura sem deslizamento (a deformação ε da armadura é igual à deformação das fibras adjacentes de betão).
3. A resistência à tração do betão é desprezada (todas as tensões de tração são transmitidas pela armadura).
4. As tensões de compressão no betão na zona comprimida são calculadas em função da deformação obtida a partir dos diagramas tensão-deformação.
5. As tensões na armadura são calculadas em função da deformação obtida a partir dos diagramas tensão-deformação.
6. A deformação de compressão do betão com limite de deformação última ε_cu2 (diagrama parábola-retângulo para betão sob compressão) e ε_cu3 (relação tensão-deformação bilinear), [2].
7. A deformação de compressão da armadura não tem limitação no caso do ramo plástico superior horizontal; no caso do ramo plástico superior inclinado, a deformação é limitada a ε_ud,[2].
8. Considera-se que ocorre estado limite quando o estado de pelo menos um dos materiais ultrapassa a deformação última do estado limite (se εu não for limitado, o betão comprimido é condicionante).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interação

A primeira opção consiste em verificar a secção transversal através de uma superfície de interação (ou diagrama de interação). É fornecida uma explicação com base num exemplo das superfícies de interação para a secção quadrada com armadura do exemplo apresentado na figura abaixo. Na superfície de interação estão localizados os pontos que definem o estado limite último da secção transversal em análise. A superfície de interação é traçada a partir dos pontos (N, My, Mz), que são determinados pela integração das tensões na secção transversal, a qual atingiu a deformação última do estado limite num dos materiais. Para uma interação 3D, a superfície pode ser derivada de um diagrama de interação 2D, que é uma curva fechada correspondente à tensão de um eixo neutro em rotação constante.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

No caso de uma secção transversal simétrica em relação ao eixo y, o diagrama de interação é simétrico em torno do plano N-M_y. De forma idêntica, no caso de uma secção transversal simétrica em relação ao eixo z, o diagrama de interação é simétrico em torno do plano N-M_z. A secção com armadura unilateral introduz uma forma achatada no diagrama de interação.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Os pontos que definem o estado limite último são obtidos por integração das tensões.  A figura abaixo apresenta as deformações no estado limite último.

Distribuições de deformações no estado limite último (retirado de [2]).

O diagrama de interação mostra a rotura da secção transversal sob força normal e momentos fletores. [1]

Considerando o problema do diagrama 2D (curva fechada sobre a superfície de interação), podemos concluir que o plano de deformações passa pelo eixo neutro e pelo ponto crítico [y, z, ε], considerado como ponto crítico R.  O ponto [y, z] define um ponto na secção transversal com o valor de deformação ε no estado limite último. A inclinação do eixo neutro é constante para todos os pontos do diagrama 2D.

Caso a tensão de compressão no betão seja condicionante para o dimensionamento, o ponto R coincide com a fibra de betão comprimida mais afastada ou com o ponto limite C. No entanto, isto só pode ser aplicado se a secção for constituída por um único tipo de betão — não sendo válido para uma secção transversal mista.   

No caso em que a tensão de tração na armadura é condicionante para o dimensionamento (a deformação ε_ud é ultrapassada no estado limite último numa ou mais barras), deve ser verificada a condição de que, para o plano de deformações considerado, o valor ε_ud não é ultrapassado em nenhuma outra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

A figura acima mostra que o diagrama pode ser dividido em duas partes: a parte em que a rotura é causada pela força de tração e a parte que rompe por uma força de compressão. Os pontos limite correspondem ao caso acima, onde também se pode observar a inclinação extrema do plano de deformações. Ao traçar um diagrama de interação, a inclinação do plano de deformações da secção transversal varia neste intervalo, enquanto se procura o ponto R (ver acima). Com base nesse plano definido, realiza-se a integração para obter a tensão no estado limite último.

Verificação de secção transversal sujeita a força axial e momento fletor

A verificação de uma secção transversal sujeita a força axial e momento fletor consiste em demonstrar que as tensões verificadas (combinação N_d, M_yd, M_zd) se encontram dentro ou sobre a superfície de interação. Diferentes métodos podem realizar esta verificação. O exemplo seguinte demonstra a verificação de uma secção transversal retangular sujeita a forças N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Método NuMuMu

Para definir a resistência de uma secção transversal, assume-se variações proporcionais em todas as componentes das forças internas (a excentricidade da força normal permanece constante) até que a superfície de interação seja desenvolvida. A variação das forças internas envolvidas pode ser interpretada como um movimento ao longo de uma reta que liga a origem do sistema de coordenadas (0,0,0) e o ponto definido pelas forças internas (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). As duas interseções desta reta com a superfície de interação, que podem ser encontradas, representam dois conjuntos de forças no estado limite último. Em cada interseção, o programa determina três forças no estado limite: o valor de cálculo da resistência à força axial N_Rd e os correspondentes momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz.

Método  NuMM

Para definir a resistência da secção transversal, assume-se força normal constante (igual à força normal de cálculo atuante) e variações proporcionais nos momentos fletores até que a superfície de interação seja desenvolvida. A variação das forças internas envolvidas pode ser interpretada como um movimento num plano horizontal ao longo da reta que liga o ponto (N_Ed,0,0) e o  ponto definido pelas forças internas atuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). As duas interseções desta reta com a superfície de interação, que podem ser encontradas, representam dois conjuntos de forças no estado limite último. Em cada interseção, o programa determina três forças no estado limite: os momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz e a (correspondente) força normal de cálculo atuante N_Ed.

Método  NMuMu

Para definir a resistência da secção transversal, assume-se força normal constante (igual à força normal de cálculo atuante) e variações proporcionais nos momentos fletores até que a superfície de interação seja desenvolvida. A variação das forças internas envolvidas pode ser interpretada como um movimento num plano horizontal ao longo da reta que liga o ponto (N_Ed,0,0) e o ponto definido pelas forças internas atuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). As duas interseções desta reta com a superfície de interação, que podem ser encontradas, representam dois conjuntos de forças no estado limite último. Em cada interseção, o programa determina três forças no estado limite: os momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz, e a (correspondente) força normal de cálculo atuante N_Ed.

Determinação da resposta da secção

Outra possibilidade de verificar a secção transversal consiste em determinar a resposta da secção transversal (ou seja, a distribuição de deformações e tensões devida às forças internas atuantes). Este método é também conhecido como o método da deformação limite. O nível das tensões atuantes em cada fibra (no caso de flexão plana, em cada camada) em cada barra de armadura é calculado em função da deformação do diagrama tensão-deformação do material.
A determinação da resposta da secção transversal é calculada utilizando o método numérico especificado em [6]. O princípio consiste no incremento gradual do carregamento da secção pelas componentes desequilibradas das forças não transferidas. Estas são obtidas pela integração das tensões sobre a secção utilizando os diagramas tensão-deformação. Se o valor de tensão puder ser encontrado para a deformação no diagrama tensão-deformação, ver figura abaixo (a), a tensão calculada está correta assumindo material com comportamento linear elástico. Nos casos (b) e (c), a tensão para um cálculo linear atinge valores irrealistas, e parte (b) ou o valor total (c) não pode ser transmitido pelo material. Integrando as tensões não transferidas obtêm-se as forças internas não transferidas, cujas resultantes devem ser adicionadas às forças internas das ações variáveis. 

Tensões não transferidas nos diagramas tensão-deformação. [4]

Forças internas não transferidas. [4]

Este método de cálculo requer a utilização de métodos numéricos para integrar as tensões sobre a área da secção transversal e para a análise não linear das equações de equilíbrio na secção. A iteração é terminada quando os critérios de convergência são satisfeitos.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

onde 

F_e é o carregamento da secção,

F_i é a resposta da secção (forças internas calculadas com base no plano de deformações).

Se a é o valor aproximado e b é o valor exato (verdadeiro), então o desvio absoluto é dado pela seguinte equação.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

O desvio relativo é dado pela seguinte fórmula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Na maioria dos programas, é possível definir estes critérios de convergência (os valores predefinidos são 1% como erro relativo, 100 N, 100 Nm como erro absoluto da força normal e dos momentos). 

Assim, se tivermos como dados de entrada N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm e as forças integradas após iteração N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, a avaliação será a seguinte. Tendo em conta que N e Mz são iguais a 0, pode ser feita uma comparação com o desvio absoluto:

O valor da força normal 100N> | 70 | N
O valor do momento fletor Mz 100Nm> | 20 | Nm
O valor do momento fletor My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificação da secção transversal pela resposta

No caso de encontrar o equilíbrio na secção transversal, o plano de deformações é conhecido. A partir do plano de deformações podemos calcular a deformação em qualquer ponto da secção, e depois as tensões ou forças internas nas barras de armadura, na secção transversal ou nas suas partes, utilizando os diagramas tensão-deformação dos materiais. Os valores de tensão e deformação calculados são comparados com o valor limite de deformação dos diagramas tensão-deformação dos materiais utilizados.
A vantagem deste método é que se obtém uma imagem completa dos valores de tensão e deformação na secção das forças internas que atuam na secção transversal.