Biegung

Methoden zur Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit

Zwei bekannte Methoden können zur Überprüfung des Grenzzustands der Tragfähigkeit für 1D-Betonbauteile verwendet werden. Die erste liefert die Querschnittstragfähigkeit in Form einer Interaktionsfläche oder eines Interaktionsdiagramms (im Fall eines Biegemoments in einer Richtung). Die Querschnittstragfähigkeit kann als Verhältnis der einwirkenden Schnittgrößen zu den Grenzzustandsschnittgrößen bestimmt werden. Die zweite Methode ist die Suche nach dem Gleichgewicht im Querschnitt, bei der das tatsächliche Verhalten des belasteten Querschnitts, die Materialausnutzung in Bezug auf Spannungen und Einblicke in die Schwachstellen des Querschnitts untersucht werden.

Allgemeine Bemessungsannahmen und Berechnungsannahmen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit 

1. Die Dehnung ε in der Bewehrung und im Beton wird als direkt proportional zum Abstand von der Nulllinie angenommen (Ebenbleiben der Querschnitte).
2. Die Interaktion von Bewehrung und Beton wird durch den Verbund zwischen Beton und Bewehrung ohne Schlupf sichergestellt (die Dehnung ε der Bewehrung entspricht der Dehnung der angrenzenden Betonrandfasern).
3. Die Zugfestigkeit des Betons wird vernachlässigt (alle Zugspannungen werden von der Bewehrung übertragen).
4. Die Betondruckspannungen in der Druckzone werden in Abhängigkeit von der Dehnung aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen berechnet.
5. Die Bewehrungsspannungen werden in Abhängigkeit von der Dehnung aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen berechnet.
6. Die Betondruckdehnung mit einer Grenzdehnung ε_cu2 (Parabel-Rechteck-Diagramm für Beton unter Druck) und ε_cu3 (bilineares Spannung-Dehnung-Verhältnis), [2].
7. Die Druckdehnung der Bewehrung ist im Fall des horizontalen plastischen Astes unbegrenzt; im Fall des geneigten plastischen Astes ist die Dehnung auf ε_ud begrenzt,[2].
8. Ein Grenzzustand wird angenommen, wenn der Zustand mindestens eines der Materialien die Grenzdehnung überschreitet (wenn εu nicht begrenzt ist, ist der gedrückte Beton maßgebend).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interaktionsdiagramm

Die erste Möglichkeit besteht darin, den Querschnitt anhand einer Interaktionsfläche (oder eines Interaktionsdiagramms) zu überprüfen. Eine Erläuterung wird anhand eines Beispiels der Interaktionsflächen für den bewehrten quadratischen Querschnitt aus dem Beispiel in der nachstehenden Abbildung gegeben. Auf der Interaktionsfläche befinden sich Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit des untersuchten Querschnitts definieren. Die Interaktionsfläche wird aus den Punkten (N, My, Mz) gezeichnet, die durch Spannungsintegration im Querschnitt bestimmt werden, der die Grenzdehnung in einem der Materialien erreicht hat. Für eine 3D-Interaktion kann die Fläche aus einem 2D-Interaktionsdiagramm abgeleitet werden, das eine geschlossene Kurve ist, die dem Spannungszustand einer ständig gedrehten Nulllinie entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Im Fall eines zur y-Achse symmetrischen Querschnitts ist das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_y. Entsprechend ist im Fall eines zur z-Achse symmetrischen Querschnitts das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_z. Der einseitig bewehrte Querschnitt führt zu einer abgeflachten Form des Interaktionsdiagramms.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Die Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit definieren, werden durch Spannungsintegration ermittelt.  Die nachstehende Abbildung zeigt die Dehnungsverteilung im Grenzzustand der Tragfähigkeit.

Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (entnommen aus [2]).

Das Interaktionsdiagramm zeigt das Querschnittsversagen unter Normalkraft und Biegemomenten. [1]

Unter Berücksichtigung des 2D-Diagrammproblems (geschlossene Kurve auf der Interaktionsfläche) lässt sich feststellen, dass die Dehnungsebene durch die Nulllinie und den kritischen Punkt [y, z, ε] verläuft, der als kritischer Punkt R betrachtet wird.  Der Punkt [y, z] definiert einen Punkt im Querschnitt mit dem Wert der Dehnung ε im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die Neigung der Nulllinie ist für alle Punkte des 2D-Diagramms konstant.

Wenn die Druckspannung im Beton für die Bemessung maßgebend ist, entspricht Punkt R der am weitesten entfernten gedrückten Betonrandfaser oder dem Grenzpunkt C. Dies gilt jedoch nur, wenn der Querschnitt aus einem einzigen Betontyp besteht – nicht bei einem gemischten Querschnitt.   

Wenn die Zugspannung in der Bewehrung für die Bemessung maßgebend ist (die Dehnung ε_ud wird im Grenzzustand der Tragfähigkeit für einen oder mehrere Stäbe überschritten), muss die Bedingung erfüllt sein, dass für die gegebene Dehnungsebene der Wert ε_ud an keinem anderen Stab überschritten wird.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Die obige Abbildung zeigt, dass das Diagramm in zwei Teile unterteilt werden kann: den Teil, bei dem das Versagen durch Zugkraft verursacht wird, und den Teil, der durch eine Druckkraft versagt. Die Grenzpunkte entsprechen dem oben beschriebenen Fall, bei dem auch die extreme Neigung der Dehnungsebene erkennbar ist. Beim Zeichnen eines Interaktionsdiagramms ändert sich die Ebenendehnung eines Querschnitts in diesem Intervall, während wir nach dem Punkt R suchen (siehe oben). Auf Basis der so definierten Ebene wird die Integration durchgeführt, um die Spannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu erhalten.

Überprüfung des Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment

Die Überprüfung eines Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment beruht auf dem Nachweis, dass die nachzuweisenden Schnittgrößen (Kombination N_d, M_yd, M_zd) innerhalb oder auf der Interaktionsfläche liegen. Verschiedene Methoden können dies leisten. Das folgende Beispiel zeigt die Überprüfung eines rechteckigen Querschnitts unter den Kräften N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Zur Bestimmung der Tragfähigkeit eines Querschnitts wird eine proportionale Änderung aller Schnittgrößenkomponenten angenommen (die Exzentrizität der Normalkraft bleibt konstant), bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen kann als Bewegung entlang einer Linie interpretiert werden, die den Ursprung des Koordinatensystems (0,0,0) mit dem durch die Schnittgrößen definierten Punkt (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die gefunden werden können, stellen zwei Schnittgrößenkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: den Bemessungswert des Normalkraftwiderstands N_Rd und die entsprechenden Bemessungswerte der Biegewiderstände M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Zur Bestimmung der Tragfähigkeit des Querschnitts wird eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und eine proportionale Änderung der Biegemomente angenommen, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen kann als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretiert werden, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem  durch die einwirkenden Schnittgrößen definierten Punkt (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die gefunden werden können, stellen zwei Schnittgrößenkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Biegewiderstände M_Rdy, M_Rdz und die (entsprechende) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Methode  NMuMu

Zur Bestimmung der Tragfähigkeit des Querschnitts wird eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und eine proportionale Änderung der Biegemomente angenommen, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen kann als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretiert werden, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem durch die einwirkenden Schnittgrößen definierten Punkt (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die gefunden werden können, stellen zwei Schnittgrößenkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Biegewiderstände M_Rdy, M_Rdz, und die (entsprechende) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Ermittlung der Querschnittsreaktion

Eine weitere Möglichkeit zur Überprüfung des Querschnitts besteht in der Ermittlung der Querschnittsreaktion (d. h. Dehnungs- und Spannungsverteilung aus den einwirkenden Schnittgrößen). Diese Methode ist auch als Methode der Grenzdehnung bekannt. Das Niveau der einwirkenden Spannungen in jeder Faser (im Fall von einachsiger Biegung in jeder Schicht) und in jedem Bewehrungsstab wird in Abhängigkeit von der Dehnung aus dem Spannung-Dehnung-Diagramm des Materials berechnet.
Die Ermittlung der Querschnittsreaktion erfolgt mit der numerischen Methode gemäß [6]. Das Prinzip besteht in der schrittweisen Laststeigerung des Querschnitts durch die unausgeglichenen Anteile nicht übertragener Kräfte. Diese werden durch Integration der Spannung über den Querschnitt mithilfe von Spannung-Dehnung-Diagrammen ermittelt. Wenn der Spannungswert für die Dehnung im Spannung-Dehnung-Diagramm gefunden werden kann, siehe Abbildung unten (a), ist die berechnete Spannung korrekt unter der Annahme linear elastischen Materials. In den Fällen (b) und (c) erreicht die Spannung bei einer linearen Berechnung unrealistische Werte, und ein Teil (b) oder der gesamte Wert (c) kann vom Material nicht übertragen werden. Durch Integration der nicht übertragenen Spannungen erhält man nicht übertragene Schnittgrößen, deren Resultanten zu den Schnittgrößen aus veränderlichen Lasten addiert werden müssen. 

Nicht übertragene Spannungen in Spannung-Dehnung-Diagrammen. [4]

Nicht übertragene Schnittgrößen. [4]

Diese Berechnungsmethode erfordert den Einsatz numerischer Methoden zur Integration der Spannung über die Querschnittsfläche und zur nichtlinearen Analyse der Gleichgewichtsbedingungen im Querschnitt. Die Iteration wird beendet, wenn die Konvergenzkriterien erfüllt sind.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

wobei 

F_e die Querschnittsbelastung ist,

F_i die Querschnittsreaktion ist (Schnittgrößen, berechnet auf Basis der Dehnungsebene).

Wenn a der Näherungswert (approximierte Wert) und b der exakte (wahre) Wert ist, ergibt sich die absolute Abweichung aus folgender Gleichung.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Die relative Abweichung ergibt sich aus folgender Formel:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

In den meisten Programmen können diese Konvergenzkriterien eingestellt werden (Standardwerte sind 1 % als relativer Fehler, 100 N, 100 Nm als absoluter Fehler der Normalkraft und der Momente). 

Wenn also die Eingabe N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm beträgt und die integrierten Kräfte nach der Iteration N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm ergeben, erfolgt die Auswertung wie folgt. Unter Berücksichtigung, dass N und Mz gleich 0 sind, kann ein Vergleich mit der absoluten Abweichung vorgenommen werden:

Der Wert der Normalkraft 100 N> | 70 | N
Der Wert des Biegemoments Mz 100 Nm> | 20 | Nm
Der Wert des Biegemoments My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Querschnittsnachweis über die Querschnittsreaktion

Im Fall der Ermittlung des Gleichgewichts im Querschnitt ist die Ebenendehnung bekannt. Aus der Ebenendehnung kann die Dehnung an jeder beliebigen Stelle des Querschnitts berechnet werden, anschließend die Spannung oder die Schnittgrößen in den Bewehrungsstäben, im Querschnitt oder in seinen Teilen mithilfe der Spannung-Dehnung-Diagramme der Materialien. Die berechneten Spannungs- und Dehnungswerte werden mit den Grenzdehnungswerten aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen der verwendeten Materialien verglichen.
Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass ein vollständiges Bild der Spannungs- und Dehnungswerte im Querschnitt unter den einwirkenden Schnittgrößen gewonnen wird.