Flexión

Métodos para la verificación de la capacidad seccional

Se pueden utilizar dos métodos bien conocidos para verificar el estado límite último en elementos de hormigón 1D. El primero nos dará la resistencia última de la sección transversal en forma de un área de interacción o un diagrama de interacción (en el caso de momento flector en una dirección). La capacidad de la sección transversal puede determinarse como la relación entre las fuerzas internas actuantes y las fuerzas en estado límite. El segundo consiste en encontrar el equilibrio en una sección transversal, donde buscamos el comportamiento real de la sección cargada, el uso de los materiales en términos de tensiones y una visión de las vulnerabilidades de la sección.

Hipótesis generales de diseño y de cálculo para el Estado Límite Último 

1. Se asumirá que la deformación ε en la armadura y el hormigón es directamente proporcional a la distancia al eje neutro (las secciones planas permanecen planas).
2. La interacción de la armadura y el hormigón está garantizada por la interacción entre el hormigón y la armadura sin deslizamiento (la deformación ε de las fibras adyacentes en el hormigón es la misma).
3. Se desprecia la resistencia a tracción del hormigón (todas las tensiones de tracción son transmitidas por la armadura).
4. Las tensiones de compresión del hormigón en la zona comprimida se calculan en relación con la deformación obtenida de los diagramas tensión-deformación.
5. Las tensiones en la armadura se calculan en relación con la deformación obtenida de los diagramas tensión-deformación.
6. La deformación de compresión del hormigón con un límite de deformación última ε_cu2 (diagrama parábola-rectángulo para hormigón bajo compresión) y ε_cu3 (relación tensión-deformación bilineal), [2].
7. La deformación de compresión de la armadura no tiene limitación en el caso de la rama plástica superior horizontal; en el caso de la rama plástica superior inclinada, la deformación está limitada a ε_ud,[2].
8. Se considera un estado límite cuando el estado de al menos uno de los materiales supera la deformación última en estado límite (si εu no está limitado, el hormigón comprimido es el que gobierna).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interacción

La primera opción es verificar la sección transversal mediante una superficie de interacción (o diagrama de interacción). Se proporciona una explicación con un ejemplo de las superficies de interacción para la sección cuadrada armada del ejemplo en la figura siguiente. Sobre la superficie de interacción se sitúan los puntos que definen el estado límite último de la sección transversal analizada. La superficie de interacción se traza a partir de los puntos (N, My, Mz), que se determinan mediante la integración de tensiones en la sección transversal, que ha alcanzado la deformación última en estado límite en uno de los materiales. Para una interacción 3D, la superficie puede derivarse de un diagrama de interacción 2D, que es una curva cerrada, que corresponde a la tensión de un eje neutro constantemente rotado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Para el caso de una sección transversal simétrica respecto al eje y, el diagrama de interacción es simétrico respecto al plano N-M_y. De igual forma, para el caso de una sección transversal simétrica respecto al eje z, el diagrama de interacción es simétrico respecto al plano N-M_z. La sección con armadura unilateral introduce una forma aplanada del diagrama de interacción.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Los puntos que definen el estado límite último se obtienen mediante la integración de tensiones.  La figura siguiente muestra la deformación en el estado límite último.

Distribuciones de deformación en el estado límite último (tomado de [2]).

El diagrama de interacción muestra el fallo de la sección transversal bajo fuerza normal y momentos flectores. [1]

Considerando el problema del diagrama 2D (curva cerrada que yace sobre la superficie de interacción), podemos determinar que el plano de deformación pasa por el eje neutro y el punto crítico [y, z, ε], que se considera como el punto crítico R.  El punto [y, z] define un punto en la sección transversal con el valor de deformación ε en el estado límite último. La inclinación del eje neutro es constante para todos los puntos del diagrama 2D.

En caso de que la tensión de compresión en el hormigón sea crítica para el diseño, el punto R coincide con la fibra de hormigón comprimida más alejada o con el punto límite C. Sin embargo, esto solo puede aplicarse si dicha sección está compuesta por un único tipo de hormigón - no como una sección transversal mixta.   

En el caso de que la tensión de tracción en la armadura sea crítica para el diseño (la deformación ε_ud se supera en el estado límite último para una o más barras), debe cumplirse la condición de que para el plano de deformación dado el valor ε_ud no se supere en ninguna otra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

La imagen anterior muestra que el diagrama puede dividirse en dos partes: la parte donde el fallo es causado por la fuerza de tracción y la parte que falla por una fuerza de compresión. Los puntos límite corresponden al caso anterior, donde también puede observarse la inclinación extrema del plano de deformación. Al trazar un diagrama de interacción, la inclinación del plano de deformación de la sección transversal varía en este intervalo, mientras buscamos el punto R (véase más arriba). A partir de ese plano definido, realizamos la integración para obtener la tensión en el estado límite último.

Verificación de la sección transversal sometida a fuerza axial y momento flector

La verificación de una sección transversal sometida a fuerza axial y momento flector consiste en demostrar que las tensiones verificadas (combinación N_d, M_yd, M_zd) se encuentran dentro o sobre la superficie del área de interacción. Esto puede realizarse mediante diferentes métodos. El siguiente ejemplo muestra la verificación de una sección transversal rectangular sometida a fuerzas N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Método NuMuMu

Para definir la resistencia de una sección transversal se asumen cambios proporcionales en todos los componentes de las fuerzas internas (la excentricidad de la fuerza normal permanece constante) hasta que se ha desarrollado la superficie de interacción. El cambio de las fuerzas internas involucradas puede interpretarse como el desplazamiento a lo largo de una línea que conecta el origen del sistema de coordenadas (0,0,0) y el punto definido por las fuerzas internas (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta línea con la superficie de interacción, que pueden encontrarse, representan dos conjuntos de fuerzas en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres fuerzas en el estado límite: la resistencia de cálculo a la fuerza axial N_Rd y los correspondientes momentos de cálculo resistentes M_Rdy, M_Rdz.

Método  NuMM

Para definir la resistencia de la sección transversal se asume una fuerza normal constante (igual a la fuerza normal de cálculo actuante) y cambios proporcionales en los momentos flectores hasta que se ha desarrollado la superficie de interacción. El cambio de las fuerzas internas involucradas puede interpretarse como el desplazamiento en un plano horizontal a lo largo de la línea que conecta el punto (N_Ed,0,0) y el  punto definido por las fuerzas internas actuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta línea con la superficie de interacción, que pueden encontrarse, representan dos conjuntos de fuerzas en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres fuerzas en el estado límite: los momentos de cálculo resistentes M_Rdy, M_Rdz y la fuerza normal de cálculo actuante (correspondiente) N_Ed.

Método  NMuMu

Para definir la resistencia de la sección transversal se asume una fuerza normal constante (igual a la fuerza normal de cálculo actuante) y cambios proporcionales en los momentos flectores hasta que se ha desarrollado la superficie de interacción. El cambio de las fuerzas internas involucradas puede interpretarse como el desplazamiento en un plano horizontal a lo largo de la línea que conecta el punto (N_Ed,0,0) y el punto definido por las fuerzas internas actuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta línea con la superficie de interacción, que pueden encontrarse, representan dos conjuntos de fuerzas en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres fuerzas en el estado límite: los momentos de cálculo resistentes M_Rdy, M_Rdz, y la fuerza normal de cálculo actuante (correspondiente) N_Ed.

Determinación de la respuesta de la sección

Otra posibilidad para verificar la sección transversal es determinar la respuesta de la sección transversal (es decir, la distribución de deformaciones y tensiones debida a las fuerzas internas actuantes). Este método también se conoce como el método de la deformación límite. El nivel de tensiones actuantes en cada fibra (en el caso de flexión plana, en cada capa) en cada barra de armadura se calcula en función de la deformación del diagrama tensión-deformación del material.
La determinación de la respuesta de la sección transversal se calcula mediante el método numérico especificado en [6]. El principio consiste en el incremento gradual de la carga de la sección mediante los componentes desequilibrados de las fuerzas no transferidas. Estos se obtienen integrando la tensión sobre la sección mediante los diagramas tensión-deformación. Si el valor de tensión puede encontrarse para la deformación en el diagrama tensión-deformación, véase la figura siguiente (a), la tensión calculada es correcta asumiendo un material elástico lineal. En los casos (b) y (c), la tensión para un cálculo lineal alcanza valores irreales, y una parte (b) o el valor completo (c) no puede ser transmitido por el material. Integrando las tensiones no transferidas obtenemos las fuerzas internas no transferidas, y sus resultantes deben añadirse a las fuerzas internas de las cargas variables. 

Tensiones no transferidas en los diagramas tensión-deformación. [4]

Fuerzas internas no transferidas. [4]

Este método de cálculo requiere el uso de métodos numéricos para integrar la tensión sobre el área de la sección transversal y para el análisis no lineal de las ecuaciones de equilibrio en la sección. La iteración se termina cuando se cumplen los criterios de convergencia.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

donde 

F_e es la carga de la sección,

F_i es la respuesta de la sección (fuerzas internas calculadas a partir del plano de deformación).

Si a es el valor aproximado y b es el valor exacto (verdadero), entonces la desviación absoluta viene dada por la siguiente ecuación.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

La desviación relativa viene dada por la siguiente fórmula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

En la mayoría de los programas, se pueden establecer estos criterios de convergencia (los valores predeterminados son 1% como error relativo, 100 N, 100 Nm como error absoluto de la fuerza normal y los momentos). 

Por lo tanto, si tenemos como datos de entrada N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm y las fuerzas integradas tras la iteración N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, la evaluación será la siguiente. Respetando que N y Mz son iguales a 0, puede realizarse una comparación con la desviación absoluta:

El valor de la fuerza normal 100N> | 70 | N
El valor del momento flector Mz 100Nm> | 20 | Nm
El valor del momento flector My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificación de la sección transversal mediante la respuesta

En el caso de encontrar el equilibrio en la sección transversal, la deformación plana es conocida. A partir del plano de deformación podemos calcular la deformación en cualquier punto de la sección, y posteriormente las tensiones o fuerzas internas en las barras de armadura, la sección transversal o sus partes mediante los diagramas tensión-deformación de los materiales. Los valores de tensión y deformación calculados los comparamos con el valor de deformación límite de los diagramas tensión-deformación de los materiales utilizados.
La ventaja de este método es que obtenemos una imagen completa de los valores de tensión y deformación en la sección bajo las fuerzas internas que actúan sobre la sección transversal.