Collegamento a giunzione temporanea (AISC)
Questo esempio di verifica è stato preparato da Mark D. Denavit e Kayla Truman-Jarrell nell'ambito di un progetto congiunto tra The University of Tennessee e IDEA StatiCa.
1 Introduzione
In questo studio viene presentato un confronto tra il metodo degli elementi finiti basato sui componenti (CBFEM) e i metodi di calcolo tradizionali utilizzati nella pratica statunitense per la progettazione di un collegamento a giunzione temporanea (Fig. 1 e Fig. 2). Il collegamento è destinato a supportare temporaneamente una colonna superiore sopra una colonna inferiore mentre viene realizzato il collegamento a giunzione saldata permanente tra i due elementi. Le colonne sono elementi scatolari composti con dimensioni esterne di 32 pollici quadrati e pareti spesse 2,5 pollici. Le mensole corte sono saldate a cordone d'angolo vicino a ciascun angolo sia della colonna superiore che di quella inferiore, quindi due piastre di giunzione sono imbullonate a ciascuna coppia (superiore e inferiore) di mensole corte. Tutta la lamiera è ASTM A572 Gr. 50, tutti i bulloni sono di diametro 7/8 di pollice A325 in fori standard (filetti non esclusi dal piano di taglio), e tutto il materiale di saldatura è E70XX. Il carico sulla colonna superiore è composto da compressione assiale combinata, taglio in due direzioni, momento flettente biassiale e torsione.
Fig. 1 Vista in pianta schematica della colonna e del collegamento a giunzione temporanea analizzati in questo studio
Fig. 2 Dettaglio schematico del collegamento a giunzione temporanea con mensole corte analizzato in questo studio
Non esistono metodi di calcolo tradizionali consolidati per questo collegamento. L'obiettivo di questo studio è descrivere come un ingegnere potrebbe affrontare il problema utilizzando i calcoli tradizionali, le limitazioni che potrebbe incontrare con tali calcoli e come potrebbe utilizzarli per acquisire fiducia nei risultati del CBFEM.
I calcoli tradizionali in questo lavoro si basano sui requisiti per la progettazione a fattori di carico e resistenza (LRFD) nella Specification AISC (2016). I risultati CBFEM sono stati ottenuti da IDEA StatiCa Versione 21.1. Il modello del collegamento è mostrato in Fig. 3. Il contatto per appoggio tra la colonna superiore e quella inferiore viene trascurato e il bisello nella colonna superiore non è modellato in IDEA StatiCa.
Fig. 3 Collegamento a giunzione temporanea modellato in IDEA StatiCa.
Il percorso del carico per questo collegamento ha origine nella colonna superiore. I carichi vengono trasferiti attraverso le saldature a cordone d'angolo superiori alle piastre delle mensole corte superiori, poi attraverso i gruppi di bulloni superiori alle piastre di giunzione, poi attraverso i gruppi di bulloni inferiori alle mensole corte inferiori, poi attraverso le saldature a cordone d'angolo inferiori alla colonna inferiore. Ai fini di questo studio, si assume che le colonne abbiano una resistenza adeguata; pertanto la valutazione di questo collegamento comporta la verifica di ciascuno dei seguenti componenti:
- Saldature a cordone d'angolo superiori
- Piastre delle mensole corte superiori
- Gruppi di bulloni superiori
- Piastre di giunzione
- Gruppi di bulloni inferiori
- Piastre delle mensole corte inferiori
- Saldature a cordone d'angolo inferiori
La condizione di carico determina quali stati limite si applicano a ciascuno di questi componenti. Il carico combinato complesso applicato alla colonna superiore rende difficile la valutazione con i calcoli tradizionali. Mentre IDEA StatiCa può gestire la condizione di carico generale senza difficoltà, verranno esaminate condizioni di carico semplificate come punti di confronto, per comprendere meglio il comportamento del collegamento e per acquisire fiducia nei risultati dell'analisi.
Per ciascun tipo di carico, i calcoli tradizionali verranno valutati per primi, formulando essenzialmente un'ipotesi sul comportamento e sulla resistenza del collegamento. Successivamente vengono eseguite le analisi con IDEA StatiCa per verificare l'ipotesi. La concordanza tra i calcoli tradizionali e i risultati di IDEA StatiCa conferma l'ipotesi e aumenta la fiducia in entrambi i metodi. La discordanza tra i calcoli tradizionali e IDEA StatiCa richiede ulteriori indagini.
2 Carico assiale
Per affrontare la valutazione di questo collegamento manualmente, è necessario sviluppare un modello semplificato del collegamento su cui eseguire i calcoli a mano. Quando soggetto a compressione assiale, ciascun collegamento a giunzione con mensola corta può essere ragionevolmente semplificato in un modello di trave bidimensionale come mostrato in Fig. 4. Nel modello sono incluse cerniere a una distanza "x" dalla faccia della colonna per rendere il modello staticamente determinato.
Fig. 4 Modello semplificato del collegamento a giunzione con mensola corta per carichi assiali
Con questo modello è possibile calcolare la resistenza richiesta di ciascun componente ed eseguire le verifiche di progetto, a partire dalle saldature, dal materiale della piastra della mensola corta adiacente alle saldature e dai bulloni. Sia le saldature che i gruppi di bulloni sono soggetti a carico eccentrico. La resistenza delle saldature può essere determinata in funzione di x utilizzando la Tabella 8-4 del Manual AISC (AISC 2017). La resistenza del materiale della piastra della mensola corta adiacente alla saldatura è governata dallo snervamento a taglio e flessione e può essere valutata utilizzando la seguente equazione di interazione basata su Drucker (1956).
\[ \left ( \frac{V_u}{\phi V_n} \right ) ^4 + \frac{M_u}{\phi M_n} \le 1 \]
dove, Vu è la resistenza a taglio richiesta della piastra della mensola corta, pari a un quarto del carico di compressione applicato alla colonna superiore; ϕVn è la resistenza a taglio di progetto della piastra della mensola corta, pari a 480 kips; Mu è la resistenza flessionale richiesta della piastra della mensola corta, pari a Vux; e ϕMn è la resistenza flessionale di progetto della piastra della mensola corta, pari a 2.880 kip-in.
La resistenza del gruppo di bulloni può essere determinata in funzione di x utilizzando le Tabelle 7-10 e 7-11 del Manual AISC (AISC 2017). È necessaria un'interpolazione tra queste tabelle poiché i bulloni sono distanziati di 4 pollici orizzontalmente. Si noti che la resistenza a taglio di progetto di un singolo bullone in questo collegamento è di 48,7 kips per lo stato limite determinante di rottura a taglio del bullone (la pressione sul foro e lo strappo non sono determinanti per questo collegamento). Il carico verticale massimo ammissibile in ciascuna mensola corta per ciascuno degli stati limite è riportato in Fig. 5.
Fig. 5 Resistenza di progetto per gli stati limite selezionati in funzione della posizione della cerniera
La posizione "effettiva" delle cerniere è sconosciuta e deve essere assunta. Per il teorema del limite inferiore dell'analisi limite, se è possibile trovare una distribuzione di forze all'interno di un collegamento che sia in equilibrio con il carico esterno e che soddisfi gli stati limite, allora il carico applicato esternamente è inferiore o al massimo uguale al carico che causerebbe il collasso del collegamento (Tamboli 2016). Pertanto, qualsiasi assunzione sulla posizione della cerniera risulterà in una progettazione sicura. La posizione assunta più favorevole è approssimativamente x = 5 pollici, dove la resistenza delle saldature e del gruppo di bulloni è entrambe pari a circa 360 kips. Per completare la progettazione, altri stati limite, inclusa la rottura a taglio della piastra della mensola corta e quelli associati alle piastre di giunzione, devono essere valutati per questo carico. Tuttavia, questi altri stati limite non sono determinanti, pertanto il carico di compressione massimo ammissibile applicato alla colonna è 4×360 kips = 1.440 kips.
Con un'ipotesi sul comportamento e sulla resistenza del collegamento sotto carico assiale definita, il collegamento può essere analizzato con IDEA StatiCa per valutare l'ipotesi. Il carico di compressione assiale massimo ammissibile secondo IDEA StatiCa è di 1.324 kips. Questo valore è stato determinato in modo iterativo regolando il carico applicato in ingresso a un valore che il programma considera sicuro, ma che se aumentato di una piccola quantità (ad es. 1 kip) il programma considererebbe non sicuro. La resistenza delle saldature e dei bulloni è determinante, con entrambi al 100% di sfruttamento in IDEA StatiCa.
Il comportamento del collegamento osservato nei risultati di IDEA StatiCa è coerente con il comportamento assunto nei calcoli tradizionali. La forma deformata e i risultati delle deformazioni plastiche (Fig. 6) mostrano la flessione nel piano dei collegamenti a giunzione con mensola corta e dei gruppi di saldatura. Le forze sui bulloni (Fig. 7) mostrano la flessione nel piano dei gruppi di bulloni. La resistenza secondo IDEA StatiCa è inferiore dell'8% rispetto a quella stimata dai calcoli tradizionali, un confronto relativamente vicino coerente con precedenti indagini su gruppi di bulloni e saldature soggetti a carico eccentrico.
Fig. 6 Deformazione plastica a 1324 kips di compressione applicata (fattore di scala della deformazione = 10)
Fig. 7 Forze sui bulloni nella piastra di giunzione a 1324 kips di compressione applicata
La stretta concordanza tra i calcoli tradizionali e IDEA StatiCa conferisce fiducia in entrambi i risultati. Tuttavia, un'ulteriore esplorazione dei risultati di IDEA StatiCa può fornire ulteriore fiducia. È possibile eseguire un'analisi di instabilità per confermare l'adeguatezza del trascurare la non linearità geometrica (ovvero gli effetti P-Δ). Il fattore di instabilità per questo collegamento al carico massimo di compressione assiale ammissibile è 19,56. Il fattore di instabilità è il rapporto tra il carico al quale si verifica l'instabilità elastica e il carico applicato; un valore così elevato indica che la non linearità geometrica è trascurabile. Il carico di trazione massimo ammissibile applicato è risultato quasi uguale al carico di compressione, confermando il comportamento simmetrico atteso dal modello utilizzato nei calcoli tradizionali.
3 Momenti flettenti
Quando l'elemento superiore è soggetto a momenti flettenti, si prevede che il comportamento e la resistenza di ciascun collegamento a giunzione con mensola corta siano simili al caso di carico assiale. Di conseguenza, per i calcoli tradizionali, la resistenza flessionale per la flessione attorno all'asse z dell'elemento può essere calcolata come il doppio della resistenza assiale di un singolo collegamento a giunzione con mensola corta moltiplicato per il braccio della leva tra le coppie di mensole corte (ovvero 2×360 kips×29 in. = 20.880 kip-in.). Analogamente, la resistenza flessionale per la flessione attorno all'asse y dell'elemento può essere calcolata come il doppio della resistenza assiale di un singolo collegamento a giunzione con mensola corta moltiplicato per il braccio della leva tra le posizioni delle cerniere assunte (ovvero 2×360 kips×39 in. = 28.080 kip-in.).
Utilizzando i risultati di IDEA StatiCa per la compressione assiale, la resistenza flessionale per la flessione attorno all'asse z è 2×(1.324 kips/4)×29 in. = 19.200 kip-in. e la resistenza flessionale per la flessione attorno all'asse y è 2×(1.324 kips/4)×39 in. = 25.800 kip-in. I momenti flettenti massimi ammissibili applicati secondo IDEA StatiCa sono 18.810 kip-in. e 25.065 kip-in. rispettivamente per la flessione attorno all'asse z e all'asse y. Questi valori sono stati determinati in modo iterativo come descritto in precedenza. Anche in questo caso, vi è una stretta concordanza tra i calcoli tradizionali e i risultati di IDEA StatiCa, indicando che il comportamento assunto è accurato.
Per esplorare e confermare ulteriormente la relazione assunta tra carico assiale e momento flettente, la resistenza di interazione viene valutata con IDEA StatiCa. In base al comportamento assunto, l'interazione dovrebbe essere lineare, con ogni incremento di carico assiale che riduce la resistenza flessionale di una quantità costante. La resistenza di interazione secondo IDEA StatiCa è riportata in Fig. 8. Come previsto, la relazione di interazione tra carico assiale e flessione attorno all'asse z è lineare. La relazione di interazione tra carico assiale e flessione attorno all'asse y è quasi lineare. La lieve deviazione dalla linearità nell'interazione per la flessione attorno all'asse y potrebbe essere ulteriormente indagata, ma alcune differenze tra il comportamento semplificato assunto e i risultati di IDEA StatiCa sono da attendersi.
Fig. 8 Interazione tra compressione assiale e momento flettente
4 Taglio lungo l'asse z
La valutazione del collegamento quando soggetto a taglio lungo l'asse z richiede un diverso modello semplificato di comportamento. Per questa valutazione verrà utilizzato il modello di trave bidimensionale mostrato in Fig. 9. Una cerniera, rappresentativa di un punto di momento nullo, è inclusa a metà altezza delle piastre di giunzione.
Fig. 9 Modello semplificato del collegamento a giunzione con mensola corta per il taglio lungo l'asse z
Come in precedenza, nella valutazione dei carichi assiali, verranno valutati prima le saldature, il materiale della piastra della mensola corta adiacente alle saldature e i gruppi di bulloni. Le saldature possono essere valutate utilizzando la Tabella 8-5 del Manual AISC (2017). Utilizzando un valore interpolato di C, il taglio massimo per un singolo collegamento a giunzione con mensola corta è determinato come 218 kips.
La resistenza del materiale della piastra della mensola corta adiacente alle saldature è governata dallo snervamento assiale e flessionale e può essere valutata utilizzando la seguente equazione di interazione basata sulla distribuzione plastica delle tensioni.
\[ \left ( \frac{P_u}{\phi P_n} \right ) ^2 + \frac{M_u}{\phi M_n} \le 1 \]
dove, Pu è la resistenza assiale richiesta della piastra della mensola corta, pari a un quarto del carico di taglio applicato alla colonna superiore; ϕPn è la resistenza assiale di progetto della piastra della mensola corta, pari a 720 kips; Mu è la resistenza flessionale richiesta della piastra della mensola corta, pari a Pu×(10 in.); e ϕMn è la resistenza flessionale di progetto della piastra della mensola corta, pari a 2.880 kip-in. La valutazione dell'equazione di interazione per la resistenza della saldatura (ovvero Pu = 218 kips) fornisce un valore inferiore a 1, indicando che la resistenza del materiale della piastra della mensola corta adiacente alle saldature non è determinante.
La resistenza del gruppo di bulloni può essere determinata utilizzando la Tabella 7-11 del Manual AISC. Utilizzando un valore interpolato di C, il taglio massimo per un singolo collegamento a giunzione con mensola corta è calcolato come 186 kips, che è determinante tra gli stati limite valutati finora. Per completare la progettazione, altri stati limite, inclusa la rottura a trazione della piastra della mensola corta e quelli associati alle piastre di giunzione, devono essere valutati per questo carico. Questi stati limite risultano non determinanti, pertanto il taglio massimo ammissibile applicato lungo l'asse z della colonna è 4×186 kips = 744 kips.
Il carico di taglio massimo ammissibile applicato lungo l'asse z secondo IDEA StatiCa è 694 kips. Questo valore è stato determinato in modo iterativo come descritto in precedenza. Si noti che il taglio è stato applicato in modo che il punto di momento nullo fosse situato tra le colonne superiore e inferiore. La resistenza dei bulloni è risultata determinante in IDEA StatiCa.
Come in precedenza, il comportamento del collegamento osservato nei risultati di IDEA StatiCa è coerente con il comportamento assunto nei calcoli tradizionali. La forma deformata, i risultati delle deformazioni plastiche e le forze sui bulloni (Fig. 10 e Fig. 11) mostrano la flessione nel piano dei collegamenti a giunzione con mensola corta, dei gruppi di saldatura e dei gruppi di bulloni, coerente con il modello semplificato di comportamento (Fig. 9). La resistenza secondo IDEA StatiCa è inferiore del 7% rispetto a quella stimata dai calcoli tradizionali. Questi risultati confermano l'ipotesi formulata dai calcoli tradizionali.
Fig. 10 Deformazione plastica a 694 kips di taglio applicato lungo l'asse z (fattore di scala della deformazione = 10)
Fig. 11 Forze sui bulloni nella piastra di giunzione a 694 kips di taglio applicato lungo l'asse z
5 Taglio lungo l'asse y
La valutazione del collegamento quando soggetto a taglio lungo l'asse y richiede un ulteriore modello semplificato di comportamento. Tuttavia, questo modello di comportamento è meno semplice degli altri. Per questa valutazione verrà utilizzato il modello di trave mostrato in Fig. 9, ma con il carico applicato perpendicolarmente al collegamento con mensola corta, risultando in momento fuori piano, taglio fuori piano e torsione nella piastra della mensola corta. La Specification AISC (2016) ha poche disposizioni per questa complessa condizione di carico. Le raccomandazioni sviluppate da Dowswell (2019) verranno utilizzate per acquisire una certa comprensione della resistenza del collegamento. Dowswell presenta la seguente equazione di interazione.
\[ \left ( \frac{T_u}{\phi T_n} \right ) ^2 + \left ( \frac{V_u}{\phi V_n} \right ) ^4 + \frac{M_u}{\phi M_n} \le 1 \]
dove, Tu, Vu e Mu sono le resistenze richieste a torsione, taglio e flessione e ϕTn, ϕVn, ϕMn sono le resistenze di progetto a torsione, taglio e flessione. In base al modello presentato in Fig. 9 e assumendo nessun momento in entrambe le direzioni alla cerniera, Vu è pari a un quarto del carico di taglio applicato alla colonna superiore, Tu = Vu×(10 in.) e Mu = Vu×(8 in.). Assumendo ϕ = 0,9, ϕTn può essere calcolato utilizzando le equazioni raccomandate da Dowswell come
\[ \phi T_n = \phi \left ( \frac{ 0.6 F_y d t^2}{2} \right ) \left ( 1+ \frac{d}{2.4 L} \right ) \]
dove, Fy è la tensione di snervamento della piastra della mensola corta (50 ksi), d è l'altezza della piastra della mensola corta (16 in.), t è lo spessore della piastra della mensola corta (1 in.) e L è la lunghezza della piastra della mensola corta (8 in. secondo il modello presentato in Fig. 9). Utilizzando questi valori, ϕTn = 396 kip-in. Utilizzando le equazioni standard della Specification AISC (2016), ϕVn = 480 kips e ϕMn = 180 kip-in. Con queste resistenze di progetto, il valore massimo di Vu = 17,9 kips. Assumendo che lo snervamento della piastra della mensola corta sia determinante, il taglio massimo ammissibile applicato lungo l'asse z della colonna è 4×17,9 kips = 71,6 kips.
Questa resistenza fa parte dell'ipotesi che verrà valutata utilizzando i risultati di IDEA StatiCa. Tuttavia, un ingegnere dovrebbe avere meno fiducia in questa resistenza attesa rispetto a quelle per le altre condizioni di carico. Sono stati valutati meno stati limite potenzialmente determinanti, il comportamento fuori piano del collegamento a giunzione con mensola corta probabilmente non è ben approssimato dalla Fig. 9, e sono state fatte diverse assunzioni nel calcolo della resistenza della piastra della mensola corta. Ciononostante, è utile formulare un'ipotesi in anticipo. Inoltre, l'ipotesi consiste in più del semplice risultato di resistenza. Il comportamento atteso, ovvero che la piastra della mensola corta sarà determinante e che sarà soggetta a torsione combinata, taglio fuori piano e momento flettente fuori piano, fa anch'esso parte dell'ipotesi. Sebbene la modellazione esplicita della rigidezza e della resistenza di ciascun componente superi le incertezze dei calcoli tradizionali e produca un risultato di resistenza diverso, il comportamento complessivo dovrebbe essere coerente.
Il carico di taglio massimo ammissibile applicato lungo l'asse y secondo IDEA StatiCa è 249 kips. Questo valore è stato determinato in modo iterativo come descritto in precedenza. Si noti che il taglio è stato applicato in modo che il punto di momento nullo fosse situato tra le colonne superiore e inferiore. La resistenza secondo IDEA StatiCa è significativamente maggiore di quella stimata dai calcoli tradizionali. Un esame della forma deformata del collegamento (Fig. 12) rivela la causa di questa differenza. Le piastre di giunzione sono relativamente rigide, il che significa che la maggior parte della torsione e della flessione fuori piano delle piastre delle mensole corte si verifica su una lunghezza molto più breve di quella assunta nel modello semplificato di trave del collegamento (Fig. 9). Ciononostante, la resistenza del collegamento è governata dalla deformazione plastica nella piastra della mensola corta e i tipi di sollecitazioni sulla mensola corta sono coerenti con il comportamento assunto.
Ricalcolando la resistenza della piastra della mensola corta con i calcoli tradizionali e una lunghezza L = 2 in. invece di L = 8 in. si ottiene un taglio massimo ammissibile applicato lungo l'asse z della colonna pari a 227 kips, che è più vicino ai risultati di IDEA StatiCa. Tuttavia, sarebbe difficile arrivare a questo valore, per non dire essere sicuri di esso, a priori.
Fig. 12 Deformazione plastica a 249 kips di taglio applicato lungo l'asse y (fattore di scala della deformazione = 10)
6 Torsione
Si prevede che l'applicazione di torsione alla colonna superiore generi sollecitazioni su ciascun collegamento a giunzione con mensola corta simili a quelle che si verificano quando la colonna superiore è soggetta a taglio lungo l'asse y. Pertanto, come la resistenza flessionale del collegamento, la resistenza torsionale potrebbe essere stimata dalla resistenza delle singole mensole corte e dalla geometria della sezione trasversale. Ad esempio, la resistenza torsionale potrebbe essere stimata come 4 volte la resistenza di ciascuna mensola corta moltiplicata per la distanza dal baricentro della colonna a ciascuna mensola corta. Tuttavia, questa potrebbe essere un'approssimazione eccessivamente semplicistica. Le mensole corte sono vicine agli angoli della colonna e non centrate sulle facce; pertanto la rotazione della colonna imporrà sollecitazioni nel piano sulla mensola corta in aggiunta alle sollecitazioni fuori piano. Inoltre, non è chiaro dove su ciascuna mensola corta debba essere misurato il braccio della leva. È probabile che non sia possibile ottenere un risultato accurato e affidabile sulla resistenza torsionale di questo collegamento senza una migliore comprensione e caratterizzazione del suo comportamento attraverso un'analisi più dettagliata.
La torsione massima ammissibile applicata secondo IDEA StatiCa è 9.045 kip-in. Questo valore è stato determinato in modo iterativo come descritto in precedenza. Lo sfruttamento della saldatura governa la resistenza. Come si vede in Fig. 13, la forma deformata di ciascun collegamento a giunzione con mensola corta è simile quando la colonna è soggetta a taglio lungo l'asse y (Fig. 12). Tuttavia, vi sono differenze nel comportamento, in particolare lo sfruttamento della saldatura che governa nel caso di torsione al posto del limite di deformazione plastica nella piastra della mensola corta che governa nel caso di carico a taglio. Sebbene possano essere effettuati meno confronti per questa condizione di carico, i confronti con altre condizioni di carico hanno dimostrato che il modello è ben definito e in grado di fornire risultati in linea con i metodi tradizionali.
Fig. 13 Deformazione plastica a 9.045 kip-in. di torsione applicata (fattore di scala della deformazione = 10)
7 Sommario
La progettazione o la valutazione dei collegamenti strutturali richiede un buon giudizio ingegneristico. Un buon giudizio ingegneristico richiede la comprensione di come si comporterà il collegamento. Sviluppare questa comprensione fa parte del processo di valutazione di collegamenti innovativi che non dispongono di procedure di progettazione consolidate. In molti casi, il ragionamento logico può essere utilizzato per sviluppare modelli semplificati di comportamento su cui basare i calcoli tradizionali. Tuttavia, questo approccio presenta delle limitazioni. Strumenti più avanzati, come il CBFEM, non sono soggetti alle stesse limitazioni e possono essere utilizzati per comprendere meglio e successivamente progettare un'ampia gamma di tipologie di collegamento. Occorre però prestare attenzione nella definizione del modello e nell'esecuzione dell'analisi per garantire che i risultati siano significativi. I confronti con modelli semplificati di comportamento e calcoli tradizionali, come quelli presentati in questo studio, possono aiutare a confermare che il modello è ben definito e che l'analisi è stata eseguita correttamente.
8 Riferimenti
AISC. (2016). Specification for Structural Steel Buildings. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.
AISC. (2017). Steel Construction Manual, 15th Edition. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.
Dowswell, B. (2019). "Torsion of Rectangular Connection Elements." Engineering Journal, AISC, 56(2), 63–87.
Drucker, D. C. (1956). "The Effect of Shear on the Plastic Bending of Beams." Journal of Applied Mechanics, 23(4), 509–514.
Tamboli, A. (2016). Handbook of Structural Steel Connection Design and Details, Third Edition. McGraw Hill, New York, NY.