Îmbinare temporară de eclisă (AISC)

Acest exemplu de verificare a fost pregătit de Mark D. Denavit și Kayla Truman-Jarrell într-un proiect comun al Universității din Tennessee și IDEA StatiCa.

1 Introducere

În acest studiu este prezentată o comparație între metoda elementelor finite bazată pe componente (CBFEM) și metodele tradiționale de calcul utilizate în practica din SUA pentru proiectarea unei îmbinări temporare de eclisă (Fig. 1 și Fig. 2). Îmbinarea este destinată susținerii temporare a unui stâlp superior deasupra unui stâlp inferior, în timp ce se realizează îmbinarea permanentă sudată între cele două elemente. Stâlpii sunt elemente tip cutie cu secțiune compusă, cu dimensiuni exterioare de 32 in. pătrat și pereți de 2,5 in. grosime. Cornierele de prindere sunt sudate cu suduri de colț în apropierea fiecărui colț al ambilor stâlpi, superior și inferior, după care două plăci de eclisă sunt prinse cu șuruburi de fiecare pereche (superioară și inferioară) de corniere. Toate plăcile sunt din ASTM A572 Gr. 50, toți șurubii sunt de 7/8 in. diametru A325 în găuri standard (filetul nu este exclus din planul de forfecare), iar materialul de sudură este E70XX. Încărcarea pe stâlpul superior constă în compresiune axială combinată, forfecare în două direcții, moment încovoietor biaxial și torsiune.

Fig. 1 Vedere schematică în plan a stâlpului și a îmbinării temporare de eclisă investigate în acest studiu

Fig. 2 Detaliu schematic al îmbinării temporare cu corniere de prindere investigate în acest studiu

Nu există metode tradiționale de calcul consacrate pentru această îmbinare. Obiectivul acestui studiu este de a descrie modul în care un inginer ar putea aborda problema folosind calcule tradiționale, limitările pe care le-ar putea întâlni utilizând calculele tradiționale și modul în care ar putea folosi calculele tradiționale pentru a câștiga încredere în rezultatele CBFEM. 

Calculele tradiționale din această lucrare se bazează pe cerințele pentru proiectarea la factori de încărcare și rezistență (LRFD) din Specificația AISC (2016). Rezultatele CBFEM au fost obținute din IDEA StatiCa Versiunea 21.1. Modelul îmbinării este prezentat în Fig. 3. Rezemarea prin contact între stâlpii superior și inferior este neglijată, iar teșitura stâlpului superior nu este modelată în IDEA StatiCa.

Fig. 3 Îmbinare temporară de eclisă modelată în IDEA StatiCa.

Traseul de încărcare pentru această îmbinare începe în stâlpul superior. Încărcările sunt transferate prin sudurile de colț superioare către plăcile de corniere superioare, apoi prin grupurile de șuruburi superioare către plăcile de eclisă, apoi prin grupurile de șuruburi inferioare către cornierele inferioare, apoi prin sudurile de colț inferioare către stâlpul inferior. În scopul acestui studiu, se presupune că stâlpii au rezistență suficientă, prin urmare evaluarea acestei îmbinări implică verificarea fiecăruia dintre următoarele componente:

• Suduri de colț superioare
• Plăci de corniere superioare
• Grupuri de șuruburi superioare
• Plăci de eclisă
• Grupuri de șuruburi inferioare
• Plăci de corniere inferioare
• Suduri de colț inferioare

Condiția de încărcare dictează care stări limită se aplică fiecăreia dintre aceste componente. Încărcarea combinată complexă aplicată stâlpului superior face dificilă evaluarea prin calcule tradiționale. În timp ce IDEA StatiCa poate gestiona condiția generală de încărcare fără dificultate, vor fi examinate condiții de încărcare simplificate ca puncte de comparație, pentru a înțelege mai bine comportamentul îmbinării și pentru a câștiga încredere în rezultatele analizei.

Pentru fiecare tip de încărcare, calculele tradiționale vor fi evaluate mai întâi, formând în esență o ipoteză privind comportamentul și rezistența îmbinării. Apoi se efectuează analize în IDEA StatiCa pentru a testa ipoteza. Concordanța dintre calculele tradiționale și rezultatele IDEA StatiCa confirmă ipoteza și crește încrederea în ambele metode. Neconcordanța dintre calculele tradiționale și IDEA StatiCa necesită investigații suplimentare.

2 Încărcare axială

Pentru a aborda evaluarea acestei îmbinări manual, trebuie dezvoltat un model simplificat al îmbinării pe care să se poată efectua calcule manuale. Când este supusă compresiunii axiale, fiecare îmbinare de eclisă cu corniere poate fi simplificată în mod rezonabil la un model de grindă bidimensională, așa cum este prezentat în Fig. 4. Articulațiile sunt incluse în model la o distanță „x" față de fața stâlpului pentru a face modelul static determinat.  

Fig. 4 Model simplificat al îmbinării de eclisă cu corniere pentru încărcări axiale

Cu acest model, rezistența necesară a fiecărei componente poate fi calculată și se pot efectua verificările de proiectare, începând cu sudurile, materialul plăcii de cornier adiacent sudurilor și șuruburile. Atât sudurile, cât și grupurile de șuruburi sunt încărcate excentric. Rezistența sudurilor poate fi determinată ca funcție de x folosind Tabelul 8-4 din Manualul AISC (AISC 2017). Rezistența materialului plăcii de cornier adiacent sudurii este controlată de curgerea la forfecare și încovoiere și poate fi evaluată folosind următoarea ecuație de interacțiune bazată pe Drucker (1956).

 \[ \left ( \frac{V_u}{\phi V_n} \right ) ^4 + \frac{M_u}{\phi M_n} \le 1 \]

unde, V_u este rezistența la forfecare necesară a plăcii de cornier, egală cu un sfert din încărcarea de compresiune aplicată stâlpului superior; ϕV_n este rezistența de calcul la forfecare a plăcii de cornier, egală cu 480 kips; M_u este rezistența la încovoiere necesară a plăcii de cornier, egală cu V_ux; și ϕM_n este rezistența de calcul la încovoiere a plăcii de cornier, egală cu 2.880 kip-in.

Rezistența grupului de șuruburi poate fi determinată ca funcție de x folosind Tabelele 7-10 și 7-11 din Manualul AISC (AISC 2017). Interpolarea între aceste tabele este necesară deoarece șuruburile sunt dispuse la 4 in. pe orizontală. De remarcat că rezistența de calcul la forfecare a unui șurub individual în această îmbinare este de 48,7 kips pentru starea limită determinantă de rupere prin forfecare a șurubului (presiunea pe gaură și smulgerea nu sunt determinante pentru această îmbinare). Încărcarea verticală maximă admisă în fiecare cornier pentru fiecare dintre stările limită este reprezentată grafic în Fig. 5.

Fig. 5 Rezistența de calcul pentru stările limită selectate în funcție de poziția articulației

Poziția „reală" a articulațiilor este necunoscută și trebuie asumată. Conform teoremei limitei inferioare a analizei limită, dacă se poate găsi o distribuție a forțelor în cadrul unei îmbinări care este în echilibru cu încărcarea exterioară și care satisface stările limită, atunci încărcarea aplicată extern este mai mică sau cel mult egală cu încărcarea care ar cauza cedarea îmbinării (Tamboli 2016). Prin urmare, orice ipoteză privind poziția articulației va conduce la un proiect sigur. Poziția cea mai favorabilă asumată este aproximativ x = 5 in., unde rezistența sudurilor și a grupului de șuruburi sunt ambele aproximativ egale cu 360 kips. Pentru a finaliza proiectarea, alte stări limită, inclusiv ruperea prin forfecare a plăcii de cornier și cele asociate plăcilor de eclisă, trebuie evaluate pentru această încărcare. Cu toate acestea, aceste alte stări limită nu sunt determinante, astfel că încărcarea maximă de compresiune admisă aplicată pe stâlp este 4×360 kips = 1.440 kips.

Cu o ipoteză privind comportamentul și rezistența îmbinării sub încărcare axială stabilită, îmbinarea poate fi analizată folosind IDEA StatiCa pentru a evalua ipoteza. Încărcarea maximă de compresiune axială admisă conform IDEA StatiCa este de 1.324 kips. Această valoare a fost determinată iterativ prin ajustarea valorii de intrare a încărcării aplicate la o valoare pe care programul o consideră sigură, dar dacă ar fi mărită cu o cantitate mică (de ex., 1 kip), programul ar considera-o nesigură. Rezistența sudurilor și a șuruburilor este determinantă, ambele atingând un grad de utilizare de 100% în IDEA StatiCa.

Comportamentul îmbinării observat în rezultatele IDEA StatiCa este consistent cu comportamentul asumat în calculele tradiționale. Forma deformată și rezultatele deformațiilor plastice (Fig. 6) arată încovoierea în plan a îmbinărilor de eclisă cu corniere și a grupurilor de suduri. Forțele în șuruburi (Fig. 7) arată încovoierea în plan a grupurilor de șuruburi. Rezistența conform IDEA StatiCa este cu 8% mai mică decât cea estimată prin calculele tradiționale, o comparație relativ apropiată, consistentă cu investigațiile anterioare ale grupurilor de șuruburi și suduri încărcate excentric.

Fig. 6 Deformație plastică la 1324 kips compresiune aplicată (factor de scară deformare = 10)

Fig. 7 Forțe în șuruburile plăcii de eclisă la 1324 kips compresiune aplicată

Concordanța strânsă dintre calculele tradiționale și IDEA StatiCa aduce încredere în ambele rezultate. Cu toate acestea, explorarea suplimentară a rezultatelor IDEA StatiCa poate aduce o încredere suplimentară. O analiză de flambaj poate fi efectuată pentru a confirma oportunitatea neglijării neliniarității geometrice (adică efectele P-Δ). Factorul de flambaj pentru această îmbinare la încărcarea maximă de compresiune axială admisă este 19,56. Factorul de flambaj este raportul dintre încărcarea la care apare flambajul elastic și încărcarea aplicată; o valoare atât de ridicată indică faptul că neliniaritatea geometrică este neglijabilă. Încărcarea maximă de întindere aplicată admisă s-a dovedit a fi aproape egală cu încărcarea de compresiune, confirmând comportamentul simetric care ar fi de așteptat din modelul utilizat în calculele tradiționale.

3 Momente încovoietoare

Când elementul superior este supus momentelor încovoietoare, se preconizează că comportamentul și rezistența fiecărei îmbinări individuale de eclisă cu corniere sunt similare cu cazul de încărcare axială. Prin urmare, pentru calculele tradiționale, rezistența la moment pentru încovoiere în jurul axei z a elementului poate fi calculată ca de două ori rezistența axială a unei îmbinări individuale de eclisă cu corniere înmulțită cu brațul de pârghie dintre perechile de corniere (adică 2×360 kips×29 in. = 20.880 kip-in.). Similar, rezistența la moment pentru încovoiere în jurul axei y a elementului poate fi calculată ca de două ori rezistența axială a unei îmbinări individuale de eclisă cu corniere înmulțită cu brațul de pârghie dintre pozițiile articulațiilor asumate (adică 2×360 kips×39 in. = 28.080 kip-in.).

Folosind rezultatele IDEA StatiCa pentru compresiunea axială, rezistența la moment pentru încovoiere în jurul axei z este 2×(1.324 kips/4)×29 in. = 19.200 kip-in. și rezistența la moment pentru încovoiere în jurul axei y este 2×(1.324 kips/4)×39 in. = 25.800 kip-in. Momentele încovoietoare maxime aplicate admise conform IDEA StatiCa sunt 18.810 kip-in. și 25.065 kip-in. pentru încovoiere în jurul axei z, respectiv axei y. Aceste valori au fost determinate iterativ, așa cum s-a descris anterior. Din nou, există o concordanță strânsă între calculele tradiționale și rezultatele IDEA StatiCa, indicând că comportamentul asumat este precis.

Pentru a explora și confirma în continuare relația asumată dintre încărcarea axială și momentul încovoietor, rezistența de interacțiune este evaluată folosind IDEA StatiCa. Pe baza comportamentului asumat, interacțiunea ar trebui să fie liniară, fiecare increment de încărcare axială reducând rezistența la moment cu o cantitate constantă. Rezistența de interacțiune conform IDEA StatiCa este reprezentată grafic în Fig. 8. Conform așteptărilor, relația de interacțiune dintre încărcarea axială și încovoierea în jurul axei z este liniară. Relația de interacțiune dintre încărcarea axială și încovoierea în jurul axei y este aproape liniară. Devierea minoră de la liniaritate în interacțiunea pentru încovoierea în jurul axei y ar putea fi investigată în continuare, dar unele diferențe între comportamentul simplificat asumat și rezultatele IDEA StatiCa sunt de așteptat.

Fig. 8 Rezistența de interacțiune compresiune axială vs. moment încovoietor

4 Forfecare de-a lungul axei z

Evaluarea îmbinării când este supusă forfecării de-a lungul axei z necesită un model simplificat diferit de comportament. Modelul de grindă bidimensională prezentat în Fig. 9 va fi utilizat pentru această evaluare. O articulație, reprezentativă pentru un punct de moment zero, este inclusă la mijlocul înălțimii plăcilor de eclisă.

Fig. 9 Model simplificat al îmbinării de eclisă cu corniere pentru forfecare de-a lungul axei z

Ca și înainte, la evaluarea încărcărilor axiale, sudurile, materialul plăcii de cornier adiacent sudurilor și grupurile de șuruburi vor fi evaluate mai întâi. Sudurile pot fi evaluate folosind Tabelul 8-5 din Manualul AISC (2017). Folosind o valoare interpolată a lui C, forfecarea maximă pentru o îmbinare individuală de eclisă cu corniere este determinată ca 218 kips. 

Rezistența materialului plăcii de cornier adiacent sudurilor este controlată de curgerea axială și la încovoiere și poate fi evaluată folosind următoarea ecuație de interacțiune bazată pe distribuția plastică a tensiunilor.

\[ \left ( \frac{P_u}{\phi P_n} \right ) ^2 + \frac{M_u}{\phi M_n} \le 1 \]

unde, P_u este rezistența axială necesară a plăcii de cornier, egală cu un sfert din încărcarea de forfecare aplicată stâlpului superior; ϕP_n este rezistența de calcul axială a plăcii de cornier, egală cu 720 kips; M_u este rezistența la încovoiere necesară a plăcii de cornier, egală cu P_u×(10 in.); și ϕM_n este rezistența de calcul la încovoiere a plăcii de cornier, egală cu 2.880 kip-in. Evaluarea ecuației de interacțiune pentru rezistența sudurii (adică P_u = 218 kips) rezultă într-o valoare mai mică decât 1, indicând că rezistența materialului plăcii de cornier adiacent sudurilor nu este determinantă.

Rezistența grupului de șuruburi poate fi determinată folosind Tabelul 7-11 din Manualul AISC. Folosind o valoare interpolată a lui C, forfecarea maximă pentru o îmbinare individuală de eclisă cu corniere este calculată ca 186 kips, care este determinantă dintre stările limită evaluate până acum. Pentru a finaliza proiectarea, alte stări limită, inclusiv ruperea la întindere a plăcii de cornier și cele asociate plăcilor de eclisă, trebuie evaluate pentru această încărcare. Aceste stări limită nu sunt determinante, astfel că forfecarea maximă aplicată admisă de-a lungul axei z a stâlpului este 4×186 kips = 744 kips.  

Încărcarea maximă de forfecare aplicată admisă de-a lungul axei z conform IDEA StatiCa este de 694 kips. Această valoare a fost determinată iterativ, așa cum s-a descris anterior. De remarcat că forfecarea a fost aplicată astfel încât punctul de moment zero să fie situat între stâlpii superior și inferior. Rezistența șuruburilor a fost determinantă în IDEA StatiCa.

Ca și înainte, comportamentul îmbinării observat în rezultatele IDEA StatiCa este consistent cu comportamentul asumat în calculele tradiționale. Forma deformată, rezultatele deformațiilor plastice și forțele în șuruburi (Fig. 10 și Fig. 11) arată încovoierea în plan a îmbinărilor de eclisă cu corniere, a grupurilor de suduri și a grupurilor de șuruburi, consistentă cu modelul simplificat de comportament (Fig. 9). Rezistența conform IDEA StatiCa este cu 7% mai mică decât cea estimată prin calculele tradiționale. Aceste rezultate confirmă ipoteza formată prin calculele tradiționale.

Fig. 10 Deformație plastică la 694 kips forfecare aplicată de-a lungul axei z (factor de scară deformare = 10)

Fig. 11 Forțe în șuruburile plăcii de eclisă la 694 kips forfecare aplicată de-a lungul axei z

5 Forfecare de-a lungul axei y

Evaluarea îmbinării când este supusă forfecării de-a lungul axei y necesită un alt model simplificat de comportament. Cu toate acestea, acest model de comportament este mai puțin simplu decât celelalte. Modelul de grindă prezentat în Fig. 9 va fi utilizat pentru această evaluare, dar cu încărcarea aplicată perpendicular pe îmbinarea cu corniere, rezultând moment în afara planului, forfecare în afara planului și torsiune în placa de cornier. Specificația AISC (2016) are puține prevederi pentru această condiție complexă de încărcare. Recomandările dezvoltate de Dowswell (2019) vor fi utilizate pentru a obține o estimare a rezistenței îmbinării. Dowswell prezintă următoarea ecuație de interacțiune.

\[ \left ( \frac{T_u}{\phi T_n} \right ) ^2 + \left ( \frac{V_u}{\phi V_n} \right ) ^4 + \frac{M_u}{\phi M_n} \le 1 \]

unde, T_u, V_u și M_u sunt rezistențele necesare la torsiune, forfecare și încovoiere, iar ϕT_n, ϕV_n, ϕM_n sunt rezistențele de calcul la torsiune, forfecare și încovoiere. Pe baza modelului prezentat în Fig. 9 și presupunând că nu există moment în nicio direcție la articulație, V_u este egal cu un sfert din încărcarea de forfecare aplicată stâlpului superior, T_u = V_u×(10 in.) și M_u = V_u×(8 in.). Presupunând ϕ = 0,9, ϕT_n poate fi calculat folosind ecuațiile recomandate de Dowswell ca

\[ \phi T_n = \phi \left ( \frac{ 0.6 F_y d t^2}{2} \right ) \left ( 1+ \frac{d}{2.4 L} \right ) \]

unde, F_y este limita de curgere a plăcii de cornier (50 ksi), d este înălțimea plăcii de cornier (16 in.), t este grosimea plăcii de cornier (1 in.) și L este lungimea plăcii de cornier (8 in. conform modelului prezentat în Fig. 9). Folosind aceste valori, ϕT_n = 396 kip-in. Folosind ecuațiile standard din Specificația AISC (2016), ϕV_n = 480 kips și ϕM_n = 180 kip-in. Cu aceste rezistențe de calcul, valoarea maximă a lui V_u = 17,9 kips. Presupunând că curgerea plăcii de cornier este determinantă, forfecarea maximă aplicată admisă de-a lungul axei z a stâlpului este 4×17,9 kips = 71,6 kips.

Această rezistență face parte din ipoteza care va fi evaluată folosind rezultatele IDEA StatiCa. Cu toate acestea, un inginer ar trebui să aibă mai puțină încredere în această rezistență estimată decât în cele pentru celelalte condiții de încărcare. Au fost evaluate mai puține stări limită potențial determinante, comportamentul în afara planului al îmbinării de eclisă cu corniere probabil nu este bine aproximat de Fig. 9, și au fost făcute mai multe ipoteze în calculul rezistenței plăcii de cornier. Cu toate acestea, este util să se formuleze o ipoteză în prealabil. De asemenea, ipoteza constă în mai mult decât doar rezultatul rezistenței. Comportamentul așteptat, că placa de cornier va fi determinantă și că va fi supusă torsiunii combinate, forfecării în afara planului și momentului încovoietor în afara planului, face de asemenea parte din ipoteză. În timp ce modelarea explicită a rigidității și rezistenței fiecărei componente va depăși incertitudinile calculelor tradiționale și va produce un rezultat diferit al rezistenței, comportamentul general ar trebui să fie consistent.  

Încărcarea maximă de forfecare aplicată admisă de-a lungul axei y conform IDEA StatiCa este de 249 kips. Această valoare a fost determinată iterativ, așa cum s-a descris anterior. De remarcat că forfecarea a fost aplicată astfel încât punctul de moment zero să fie situat între stâlpii superior și inferior. Rezistența conform IDEA StatiCa este semnificativ mai mare decât cea estimată prin calculele tradiționale. O examinare a formei deformate a îmbinării (Fig. 12) relevă cauza acestei diferențe. Plăcile de eclisă sunt relativ rigide, ceea ce înseamnă că cea mai mare parte a răsucirii și încovoierii în afara planului a plăcilor de corniere are loc pe o lungime mult mai scurtă decât cea asumată în modelul simplificat de grindă al îmbinării (Fig. 9). Cu toate acestea, rezistența îmbinării este controlată de deformația plastică în placa de cornier, iar tipurile de solicitări pe cornier sunt consistente cu comportamentul asumat.

Recalculând rezistența plăcii de cornier folosind calculele tradiționale și o lungime L = 2 in. în loc de L = 8 in. se obține o forfecare maximă aplicată admisă de-a lungul axei z a stâlpului egală cu 227 kips, care este mai apropiată de rezultatele IDEA StatiCa. Cu toate acestea, ar fi dificil să se ajungă la această valoare, cu atât mai puțin să se aibă încredere în ea, a priori.

Fig. 12 Deformație plastică la 249 kips forfecare aplicată de-a lungul axei y (factor de scară deformare = 10)

6 Torsiune

Se preconizează că aplicarea torsiunii pe stâlpul superior generează solicitări pe fiecare îmbinare individuală de eclisă cu corniere similare cu cele pe care le experimentează când stâlpul superior este supus forfecării de-a lungul axei y. Astfel, la fel ca rezistența la încovoiere a îmbinării, rezistența la torsiune ar putea fi estimată din rezistența cornierelor individuale și geometria secțiunii transversale. De exemplu, rezistența la torsiune ar putea fi estimată ca de 4 ori rezistența fiecărui cornier înmulțită cu distanța de la centrul de greutate al stâlpului la fiecare cornier. Cu toate acestea, aceasta poate fi o aproximare excesiv de simplistă. Cornierele sunt situate în apropierea colțurilor stâlpului și nu centrate pe fețe, astfel că răsucirea stâlpului va impune solicitări în plan pe cornier, pe lângă solicitările în afara planului. De asemenea, nu este clar unde pe cornier ar trebui măsurat fiecare braț de pârghie. Probabil că nu este posibil să se ajungă la un rezultat precis și sigur privind rezistența la torsiune a acestei îmbinări fără o înțelegere și caracterizare mai bună a comportamentului său dintr-o analiză mai detaliată.

Torsiunea maximă aplicată admisă conform IDEA StatiCa este de 9.045 kip-in. Această valoare a fost determinată iterativ, așa cum s-a descris anterior. Gradul de utilizare al sudurii controlează rezistența. Așa cum se observă în Fig. 13, forma deformată a fiecărei îmbinări de eclisă cu corniere este similară când stâlpul este supus forfecării de-a lungul axei y (Fig. 12). Cu toate acestea, există diferențe în comportament, cel mai notabil fiind că gradul de utilizare al sudurii este determinant pentru cazul de torsiune, în locul limitei de deformație plastică în placa de cornier care este determinantă pentru cazul de forfecare. Deși pot fi făcute mai puține comparații pentru această condiție de încărcare, comparațiile cu alte condiții de încărcare au demonstrat că modelul este bine definit și capabil să furnizeze rezultate în concordanță cu metodele tradiționale.

Fig. 13 Deformație plastică la 9.045 kip-in. torsiune aplicată (factor de scară deformare = 10)

7 Rezumat

Proiectarea sau evaluarea îmbinărilor structurale necesită o bună judecată inginerească. Judecata inginerească bună necesită înțelegerea modului în care îmbinarea se va comporta. Dezvoltarea acestei înțelegeri face parte din procesul de evaluare a îmbinărilor noi care nu au proceduri de proiectare consacrate. În multe cazuri, raționamentul logic poate fi utilizat pentru a dezvolta modele simplificate de comportament pe care se pot baza calculele tradiționale. Cu toate acestea, există limitări ale acestei abordări. Instrumentele mai avansate, cum ar fi CBFEM, nu sunt supuse acelorași limitări și pot fi utilizate pentru a înțelege mai bine și ulterior a proiecta o gamă largă de tipuri de îmbinări. Dar trebuie acordată atenție la definirea modelului și efectuarea analizei pentru a se asigura că rezultatele sunt semnificative. Comparațiile cu modele simplificate de comportament și calcule tradiționale, cum ar fi cele prezentate în acest studiu, pot ajuta la confirmarea faptului că modelul este bine definit și că analiza a fost efectuată corect.

8 Referințe

AISC. (2016). Specification for Structural Steel Buildings. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.

AISC. (2017). Steel Construction Manual, 15th Edition. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.

Dowswell, B. (2019). "Torsion of Rectangular Connection Elements." Engineering Journal, AISC, 56(2), 63–87.

Drucker, D. C. (1956). "The Effect of Shear on the Plastic Bending of Beams." Journal of Applied Mechanics, 23(4), 509–514.

Tamboli, A. (2016). Handbook of Structural Steel Connection Design and Details, Third Edition. McGraw Hill, New York, NY.