Het ontwerp en de toetsing van betonelementen worden normaal gesproken uitgevoerd op doorsnede- (1D-element) of puntniveau (2D-element). Deze werkwijze is beschreven in alle normen voor constructief ontwerp, bijv. in (EN 1992-1-1 of ACI 318-19), en wordt dagelijks toegepast in de constructiepraktijk. Het is echter niet altijd bekend of in acht genomen dat deze werkwijze alleen toelaatbaar is in gebieden waar de hypothese van Bernoulli-Navier voor een vlakke rekverdeling geldt (B-gebieden genoemd). De plaatsen waar deze hypothese niet geldt, worden discontinuïteitsgebieden of verstoorde gebieden genoemd (D-gebieden). Voorbeelden van B- en D-gebieden van 1D-elementen zijn weergegeven in (Fig. 1). Dit zijn bijv. opleggebieden, delen waar geconcentreerde belastingen worden aangebracht, locaties met een plotselinge verandering van de doorsnede, openingen, enz. Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we veel andere D-gebieden tegen, zoals wanden, brugdiafragma's, consoles, enz. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

In het verleden werden semi-empirische ontwerpregels gebruikt voor het dimensioneren van discontinuïteitsgebieden. Gelukkig zijn deze regels de afgelopen decennia grotendeels vervangen door staafwerkmodellen (Schlaich et al., 1987) en spanningsvelden (Marti 1985), die zijn opgenomen in de huidige normen en tegenwoordig vaak door ontwerpers worden gebruikt. Deze modellen zijn mechanisch consistent en krachtige hulpmiddelen. Houd er rekening mee dat spanningsvelden in het algemeen continu of discontinu kunnen zijn en dat staafwerkmodellen een speciaal geval van discontinue spanningsvelden zijn.

Ondanks de evolutie van rekentools in de afgelopen decennia worden staafwerkmodellen in wezen nog steeds als handberekeningen gebruikt. Toepassing ervan op reële constructies is omslachtig en tijdrovend, omdat iteraties nodig zijn en meerdere belastingsgevallen moeten worden beschouwd. Bovendien is deze methode niet geschikt voor het toetsen van bruikbaarheidscriteria (vervormingen, scheurwijdten, enz.).

De interesse van constructeurs in een betrouwbare en snelle tool voor het ontwerpen van D-gebieden leidde tot het besluit om de nieuwe Compatible Stress Field Method te ontwikkelen, een methode voor computerondersteund ontwerpen met spanningsvelden die het automatisch ontwerpen en toetsen mogelijk maakt van constructieve betonstaven die worden belast in het vlak.

De Compatible Stress Field Method (CSFM) is een continue, op de Eindige Elementen Methode gebaseerde analysemethode voor spanningsvelden, waarin klassieke spanningsveldoplossingen worden aangevuld met kinematische beschouwingen, d.w.z. de rektoestand wordt over de gehele constructie bepaald. Hierdoor kan de effectieve druksterkte van beton automatisch worden berekend op basis van de rektoestand in dwarsrichting, op een vergelijkbare wijze als bij drukveldanalyses die rekening houden met compression softening  (Vecchio en Collins 1986; Kaufmann en Marti 1998) en de EPSF-methode (Fernández Ruiz en Muttoni 2007). Bovendien houdt de CSFM rekening met tension stiffening, waardoor de elementen realistische stijfheden krijgen, en dekt zij alle normvoorschriften (inclusief aspecten van bruikbaarheid en vervormingscapaciteit) die in eerdere benaderingen niet consistent werden behandeld. De CSFM gebruikt gangbare uniaxiale constitutieve relaties uit de normen voor beton en wapening. Deze zijn bekend in de ontwerpfase, waardoor de partiëlefactorenmethode kan worden toegepast. Ontwerpers hoeven dus geen aanvullende, vaak willekeurige materiaaleigenschappen op te geven, zoals doorgaans vereist is voor niet-lineaire EEM-analyses, waardoor de methode uitermate geschikt is voor de praktijk.

Om het gebruik van computerondersteunde spanningsvelden door constructeurs te bevorderen, moeten deze methoden worden geïmplementeerd in gebruiksvriendelijke softwareomgevingen. Hiertoe is de CSFM geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail; een nieuwe, gebruiksvriendelijke commerciële software, gezamenlijk ontwikkeld door ETH Zürich en het softwarebedrijf IDEA StatiCa in het kader van het DR-Design Eurostars-10571-project.

CSFM houdt rekening met de maximale hoofdspanning in het beton op druk (σ_c2r) en met de wapeningsspanningen (σ_sr) ter plaatse van de scheuren, terwijl de treksterkte van het beton (σ_c1r = 0) wordt verwaarloosd, behalve het stiffening effect ervan op de wapening. Door tension stiffening mee te nemen kunnen de gemiddelde wapeningsrekken (ε_m) worden gesimuleerd. Er worden fictieve, roterende, spanningsvrije scheuren beschouwd die zonder slip openen (Fig. 2a), en het evenwicht ter plaatse van de scheuren wordt samen met de gemiddelde wapeningsrekken in rekening gebracht. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Ondanks hun eenvoud is aangetoond dat vergelijkbare uitgangspunten nauwkeurige voorspellingen opleveren voor gewapende staven onder belasting in het vlak (Kaufmann 1998; Kaufmann en Marti 1998), mits de aangebrachte wapening bros bezwijken bij scheurvorming voorkomt. Bovendien is het niet in rekening brengen van enige bijdrage van de treksterkte van beton aan de uiterste belasting in overeenstemming met de principes van moderne normen, die grotendeels op de plasticiteitstheorie zijn gebaseerd.

De CSFM is echter niet geschikt voor slanke elementen zonder dwarswapening, aangezien voor dergelijke elementen relevante mechanismen zoals vertanding van het toeslagmateriaal, resterende trekspanningen aan de scheurtip en deuvelwerking – die allemaal direct of indirect afhankelijk zijn van de treksterkte van het beton – worden verwaarloosd. Hoewel sommige normen het ontwerp van dergelijke elementen toestaan op basis van semi-empirische bepalingen, is de CSFM niet bedoeld voor dit type potentieel bros bezwijkende constructie.

Beton

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de uniaxiale constitutieve wetten voor druk die in normen zijn voorgeschreven voor het ontwerp van doorsneden en die alleen afhankelijk zijn van de drukvastheid. Het parabool-rechthoekdiagram (Fig. 2c) wordt standaard gebruikt in de CSFM, maar ontwerpers kunnen ook kiezen voor een eenvoudiger elastisch-ideaalplastisch verband. Bij toetsing volgens de ACI-norm kan alleen het parabool-rechthoek spanning-rekdiagram worden gebruikt. Zoals eerder vermeld, wordt de treksterkte verwaarloosd, zoals ook gebruikelijk is bij klassiek ontwerp van gewapend beton.

De effectieve drukvastheid wordt automatisch bepaald voor gescheurd beton op basis van de hoofdrek in trek (ε₁) met behulp van de reductiefactor k_c2, zoals weergegeven in Fig. 2c en e. Het geïmplementeerde reductieverband (Fig. 2e) is een veralgemening van het voorstel uit fib Model Code 2010 voor afschuivingstoetsingen, dat een grenswaarde van 0,65 bevat voor de maximale verhouding tussen de effectieve betonsterkte en de drukvastheid van het beton, en die niet van toepassing is op andere belastingsgevallen.

De CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton op druk (het gaat dus uit van een oneindig plastische tak nadat de piekspanning is bereikt). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die op druk bezwijken niet worden getoetst. Hun uiterste draagvermogen wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2) zoals gedefinieerd in (Fig. 2e), ook de toename van de brosheid van beton bij toenemende sterkte in rekening wordt gebracht door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

k_c de globale reductiefactor van de drukvastheid is

k_c2 de reductiefactor is vanwege de aanwezigheid van dwarsscheuren

f_c de karakteristieke cilindersterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Er vindt ook een reductie van de factor k_c2 plaats vanwege de stabiliteit van de berekening. Deze reductie heeft geen invloed op de totale sterkte van staven. Uitgaande van f_cd als de rekenwaarde van de betonsterkte, wordt de waarde van k_c2 gereduceerd volgens de onderstaande regels.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 is een lineaire interpolatie tussen 1,0 en de waarde uit de
                                                              grafiek in Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 wordt direct overgenomen uit de grafiek in Fig. 2f

Wapening

Het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram voor blanke wapeningsstaven zoals dat doorgaans in normen is gedefinieerd (Fig. 2d), wordt toegepast. Voor de definitie van dit diagram zijn tijdens de ontwerpfase alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig (sterkte- en ductiliteitsklasse). Er kan ook een door de gebruiker gedefinieerd spanning-rekverband worden ingevoerd.

Tension stiffening wordt in rekening gebracht door het spanning-rekverband van de blanke wapeningsstaaf als invoer aan te passen, om de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven te beschrijven (ε_m).

Aanhechtingsmodel

De aanhechting-slip tussen wapening en beton wordt in het eindige-elementenmodel geïntroduceerd door het vereenvoudigde stijf-ideaalplastische constitutieve verband te hanteren dat in Fig. 2f is weergegeven, waarbij f_bd de rekenwaarde is van de uiterste aanhechtingsspanning zoals die in de norm is gespecificeerd voor de betreffende aanhechtingsomstandigheden.

Dit is een vereenvoudigd model met als enig doel het toetsen van de aanhechtingsvoorschriften volgens de normen (d.w.z. verankering van de wapening). De reductie van de verankeringslengte bij het gebruik van haken, lussen en vergelijkbare staafvormen kan in rekening worden gebracht door een bepaald draagvermogen aan het uiteinde van de wapening te definiëren, zoals verderop zal worden beschreven. 

Werkwijze en doelen

Het doel van de ontwerptools voor wapening in de CSFM is ontwerpers te helpen om de positie en de benodigde hoeveelheid wapeningsstaven efficiënt te bepalen. De volgende tools ondersteunen en begeleiden de gebruiker bij dit proces: lineaire berekening en topologie-optimalisatie.

Ontwerptools voor wapening gebruiken meer vereenvoudigde constitutieve modellen dan de modellen die worden gebruikt voor de definitieve toetsing van de constructie. De wapeningsdefinitie in deze stap moet daarom worden beschouwd als een voorontwerp dat tijdens de definitieve toetsing wordt bevestigd of verfijnd. Het gebruik van de verschillende ontwerptools voor wapening wordt toegelicht aan de hand van het model in Fig. 3. Dit model bestaat uit één uiteinde van een vrij opgelegde ligger met variabele hoogte, belast door een gelijkmatig verdeelde belasting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Lineaire analyse

De lineaire analyse gaat uit van lineair-elastische materiaaleigenschappen en verwaarloost de wapening in het betongebied. Het is daarom een zeer snelle berekening die een eerste inzicht geeft in de locaties van trek- en drukzones. Een voorbeeld van een dergelijke berekening is weergegeven in Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Topologie-optimalisatie

Topologie-optimalisatie is een methode die de optimale verdeling van materiaal in een gegeven volume zoekt voor een bepaalde belastingconfiguratie. De topologie-optimalisatie in Idea StatiCa Detail maakt gebruik van een lineair eindig-elementenmodel. Elk eindig element kan een relatieve dichtheid hebben van 0 tot 100 %, die de relatieve hoeveelheid gebruikt materiaal weergeeft. Deze elementdichtheden zijn de optimalisatieparameters in het optimalisatieprobleem. De resulterende materiaalverdeling is optimaal voor de gegeven belastingen als de totale rekenergie van het systeem minimaal is. Per definitie is de optimale verdeling ook de geometrie met de grootst mogelijke stijfheid voor de gegeven belastingen.

Het iteratieve optimalisatieproces start met een homogene dichtheidsverdeling. De berekening wordt uitgevoerd voor meerdere totale volumefracties (20%, 40%, 60% en 80%), zodat de gebruiker het meest praktische resultaat kan kiezen. De resulterende vorm bestaat uit vakwerken met drukdiagonalen en trekstaven en vertegenwoordigt de optimale vorm voor de gegeven belastinggevallen (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

De CSFM beschouwt continue spanningsvelden in het beton (2D-eindige elementen), aangevuld met discrete "staaf"-elementen die de wapening representeren (1D-eindige elementen). Daarom is de wapening niet diffuus ingebed in de 2D-eindige elementen van het beton, maar expliciet gemodelleerd en met deze elementen verbonden. In het rekenmodel wordt uitgegaan van een vlakspanningstoestand.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Zowel complete wanden en liggers als details (delen) van liggers (geïsoleerd discontinuïteitsgebied, ook wel afgekapt uiteinde genoemd) kunnen worden gemodelleerd. Bij wanden en complete liggers moeten de steunpunten zo worden gedefinieerd dat een (uitwendig) isostatische (statisch bepaalde) of hyperstatische (statisch onbepaalde) constructie ontstaat. De krachtsinleiding aan de afgekapte uiteinden van liggers wordt gerealiseerd door middel van een speciale Saint-Venant-overgangszone, die zorgt voor een realistische spanningsverdeling in het beschouwde detailgebied.

Om de meeste situaties tijdens het bouwproces te modelleren, zijn in de CSFM veel typen steunpunten (Fig. 7) en componenten voor het overdragen van belasting (Fig. 8) beschikbaar.

Steunpunten

Een puntsteun kan op verschillende manieren worden gemodelleerd, zodat de spanningen niet in één punt worden geconcentreerd, maar over een groter oppervlak worden verdeeld. De eerste optie is een verdeelde puntsteun (Fig. 7a), die de belasting op de rand van de staaf gelijkmatig verdeelt over de opgegeven breedte.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Een patch support (Fig. 7d) kan daarentegen alleen binnen een betonvolume met een gedefinieerde effectieve straal worden geplaatst. Deze is vervolgens met stijve elementen verbonden met de knopen van het wapeningsmesh binnen deze straal. Daarom is het noodzakelijk om rond de patch support een wapeningskorf te definiëren.

Voor een nauwkeurigere modellering van bepaalde praktijksituaties zijn er nog twee andere opties voor een puntsteun. Ten eerste is er een puntsteun met een oplegplaat met gedefinieerde breedte en dikte (Fig. 7b). Het materiaal van de oplegplaat kan worden opgegeven en de hele oplegplaat wordt afzonderlijk gemeshed. Ten tweede is er een ophangsteun beschikbaar (Fig. 7e), die kan worden gebruikt voor het modelleren van hijsankers of hijsdeuvels.

Een lijnsteun (Fig. 7c) kan worden gedefinieerd op een rand (door de lengte op te geven) of binnen een element (met een polylijn). Het is ook mogelijk om de stijfheid en/of het niet-lineaire gedrag op te geven (steun op druk/trek of alleen op druk).

• Lees gedetailleerde beschrijvingen in Soorten steunpunten in IDEA StatiCa Detail

Belastingoverdragende componenten

Het introduceren van belastingen in de constructie kan eveneens op verschillende manieren worden gemodelleerd. Voor puntlasten kan een oplegplaat (Fig. 8a) op vergelijkbare wijze als bij een puntsteun worden gebruikt, waarbij de geconcentreerde belasting wordt verdeeld over een groter oppervlak dankzij een stalen plaat met gedefinieerde breedte en dikte. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

De puntlast kan worden aangebracht direct op het oppervlak van de constructie met een gedefinieerde werkingsstraal (de belasting wordt aangebracht op de betonelementen) of via een speciaal overdrachtsmiddel, de patch load (Fig. 8b en Fig. 9). Een patch load maakt het mogelijk de belasting direct over te dragen naar de gedefinieerde wapening die zich binnen het gebied van de effectieve straal bevindt. Om de correcte werking van de patch load te waarborgen, moet een groep wapeningsstaven worden gedefinieerd (in de wapeningseigenschappen) die met de belasting wordt verbonden. Wanneer de verbonden wapening niet is gedefinieerd, is het belastingoverdrachtsmechanisme gelijk aan dat van een puntlast op het oppervlak van een staaf en wordt de belasting via de randvoorwaarden overgedragen naar de betonelementen, niet direct naar de wapening. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Hijsankers of hijsdeuvels kunnen worden gemodelleerd met een ophangbelasting (Fig. 8c). De gebruiker kan een gedeeltelijk belast oppervlak gebruiken (Fig. 8d), waarmee de draagcapaciteit van beton op druk kan worden verhoogd volgens Eurocode (dit type belastingoverdragende component kan niet worden gebruikt wanneer ACI is ingesteld). De constructie kan ook worden belast met lijnlasten op de randen, met een algemene polylijn of met oppervlaktelasten. De Detail applicatie kan het eigen gewicht automatisch in de berekening meenemen.

In veel gevallen hoeven we slechts een deel (detail) van een constructieve staaf te modelleren, zoals de oplegging van een ligger, een sparing midden in de ligger, enzovoort. Deze aanpak kan leiden tot opleggingsconfiguraties die instabiel zijn, maar toelaatbaar in IDEA StatiCa Detail (inclusief het geval zonder opleggingen). In dergelijke gevallen is het echter ook nodig om de doorsnede te modelleren die de verbinding met het aansluitende B-gebied vertegenwoordigt, inclusief de snedekrachten in deze doorsnede die aan het evenwicht voldoen. In bepaalde gevallen (bijvoorbeeld bij het modelleren van de oplegging van een ligger) kunnen deze snedekrachten automatisch door het programma worden bepaald.

Tussen het B-gebied en het geanalyseerde discontinuïteitsgebied wordt automatisch een Saint-Venant overgangszone gecreëerd om een realistische spanningsverdeling in het geanalyseerde gebied te waarborgen. De breedte van de overgangszone wordt bepaald als de helft van de hoogte van de doorsnede. Omdat de Saint-Venant-zone uitsluitend dient om een correcte spanningsverdeling in de rest van het model te verkrijgen, worden er geen resultaten van dit gebied weergegeven in de toetsing en worden hier geen stopcriteria in beschouwd.

De rand van de Saint-Venant-zone die het afgesneden uiteinde van de ligger vertegenwoordigt, wordt als stijf gemodelleerd, dat wil zeggen dat deze kan roteren, maar vlak moet blijven. Dit wordt bereikt door alle FEM-knopen van de rand te koppelen aan een afzonderlijke knoop in het zwaartepunt van de doorsnede met behulp van een stijf lichaamselement (RBE2). De snedekrachten van het element kunnen vervolgens op deze knoop worden aangebracht, zoals weergegeven in Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

Reductie van de doorsnede wordt automatisch uitgevoerd voor constructies die zijn gedefinieerd als ligger of raamverbinding (gedefinieerd door de x-as en een doorsnede). Deze aanpassing wordt automatisch toegepast op doorsneden met zeer brede flenzen (Fig. 11) en is gebaseerd op de aanname dat een drukspanningsveld zich vanaf de wand onder een hoek van 45° uitbreidt, zodat de bovengenoemde gereduceerde breedte de maximale breedte is die belastingen kan overdragen

Houd er rekening mee dat de methode voor het bepalen van de effectieve flensbreedte die in CSFM is geïmplementeerd, afwijkt van de methode in 5.3.2.1 van EN 1992-1-1 (2015) of in 9.2.4.4 van ACI 318-19. Naast de geometrie wordt de effectieve flensbreedte volgens de Eurocode expliciet beïnvloed door de overspanningslengtes en de randvoorwaarden van een constructie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

Bij consoles die in het horizontale vlak liggen (Fig. 12), wordt elke console over zijn lengte verdeeld in vijf secties. Elk van deze secties wordt vervolgens gemodelleerd als een wand met een constante dikte, die gelijk is aan de werkelijke dikte in het midden van de betreffende sectie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Het niet-lineaire (inelastische) eindige-elementenmodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemesht en daarna met elkaar verbonden via multi-point randvoorwaarden (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening een willekeurige, relatieve positie ten opzichte van het beton innemen. Als de verankeringslengte moet worden getoetst, worden tussen de wapening en de MPC-elementen aanhechtings- en verankeringseindveerelementen ingevoegd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton wordt gemodelleerd met vierhoekige en driehoekige schaalelementen, CQUAD4 en CTRIA3. Deze worden respectievelijk gedefinieerd door vier of drie knopen. In deze elementen wordt alleen een vlakspanningstoestand aangenomen, d.w.z. spanningen of rekken in de z-richting worden niet in rekening gebracht.

Elk element heeft vier of drie integratiepunten, die op ongeveer 1/4 van de elementafmeting zijn geplaatst. In elk integratiepunt van elk element worden de richtingen van de hoofdrekken α₁, α₂ berekend. In beide richtingen worden de hoofdspanningen σ_c1, σ_c2 en de stijfheden E₁, E₂ bepaald volgens het opgegeven spanning-rekdiagram van beton, zoals in Fig. 2. Houd er rekening mee dat het compression softening effect het gedrag in de hoofddrukrichting koppelt aan de actuele toestand in de andere hoofdrichting.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd met 1D-“staaf”-elementen met twee knopen (CROD), die alleen axiale stijfheid hebben. Deze elementen zijn verbonden met speciale “aanhechtingselementen”, die zijn ontwikkeld om het slipgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze aanhechtingselementen worden vervolgens met MPC-elementen (multi-point randvoorwaarden) verbonden met de mesh die het beton voorstelt. Deze aanpak maakt het onafhankelijk meshen van wapening en beton mogelijk, terwijl hun onderlinge verbinding achteraf wordt gewaarborgd.

Aanhechtingselementen

De verankeringslengte wordt getoetst door in het eindige-elementenmodel de aanhechtingsschuifspanningen tussen betonelementen (2D) en wapeningsstaafelementen (1D) te implementeren. Hiervoor is een eindig element van het type “aanhechting” ontwikkeld.

De definitie van het aanhechtingselement is vergelijkbaar met die van een schaalelement (CQUAD4). Het wordt eveneens door 4 knopen gedefinieerd, maar heeft, in tegenstelling tot een schaalelement, alleen een stijfheid ongelijk aan nul in afschuiving tussen de twee bovenste en de twee onderste knopen. In het model zijn de bovenste knopen verbonden met de elementen die de wapening voorstellen en de onderste knopen met de elementen die het beton voorstellen. Het gedrag van dit element wordt beschreven door de aanhechtingsspanning, τ_b, als bilineaire functie van de slip tussen de bovenste en onderste knopen, δ_u, zie Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

De elastische stijfheidsmodulus van de aanhechting-slip-relatie, G_b, wordt als volgt gedefinieerd:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

waarin:

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard k_g = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (genomen als E_cm bij EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gefactoreerde waarden) van de uiterste aanhechtingsschuifspanning, f_bd, uit de geselecteerde rekennormen EN 1992-1-1 of ACI 318-19 worden gebruikt om de verankeringslengte te toetsen. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als G_b/10⁵.

Verankeringsveer

Het aanbrengen van verankeringseinden aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van de rekennormen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) met een bepaalde factor β te verminderen (hieronder de ‘verankeringscoëfficiënt’ genoemd). De rekenwaarde van de verankeringslengte (l_b) wordt dan als volgt berekend:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

De beoogde reductie van l_b,net is gelijkwaardig aan het activeren van de wapeningsstaaf aan zijn uiteinde tot een percentage van zijn maximale capaciteit, gegeven door de verankeringsreductiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

De reductie van de verankeringslengte wordt in het eindige-elementenmodel opgenomen met een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 15), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model in Fig. 15b. De maximale kracht die door deze veer wordt overgedragen (F_au) is:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

waarin :

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het verankeringstype,

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf,

f_yd           de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) van de vloeigrens van de wapening.

De eindige elementen zijn intern geïmplementeerd en het analysemodel wordt automatisch gegenereerd, zonder dat ervaren gebruikersinteractie nodig is. Een belangrijk onderdeel van dit proces is het meshen.

Beton

Alle betonnen staven worden samen gemesht. De applicatie berekent automatisch een aanbevolen elementgrootte op basis van de afmetingen en de vorm van de constructie, rekening houdend met de diameter van de grootste wapeningsstaaf. Bovendien garandeert de aanbevolen elementgrootte dat in dunne delen van de constructie, zoals slanke kolommen of dunne vloeren, minimaal 4 elementen worden gegenereerd. Zo zijn de resultaten in deze gebieden betrouwbaar. Het maximale aantal betonelementen is beperkt tot 5000. Deze waarde is voor de meeste constructies voldoende om de aanbevolen elementgrootte te realiseren. De ontwerper kan altijd een door de gebruiker gedefinieerde elementgrootte voor het beton kiezen door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte aan te passen.

Wapening

De wapening wordt verdeeld in elementen met ongeveer dezelfde lengte als de elementgrootte van het beton. Zodra de meshes van de wapening en het beton zijn gegenereerd, worden ze met aanhechtingselementen met elkaar verbonden, zoals weergegeven in Fig. 13.

Oplegplaten

Hulponderdelen van de constructie, zoals oplegplaten, worden onafhankelijk gemesht. De grootte van deze elementen wordt berekend als 2/3 van de grootte van de betonelementen in het verbindingsgebied. De knopen van de mesh van de oplegplaat worden vervolgens met de randknopen van de betonmesh verbonden door middel van interpolatie-randvoorwaarde-elementen (RBE3).

Belastingen en opleggingen

Vlakbelastingen en vlakopleggingen worden alleen met de wapening verbonden, zoals weergegeven in Fig. 16. Daarom is het noodzakelijk om de wapening eromheen te definiëren. De verbinding met alle knopen van de wapening binnen de effectieve straal wordt gerealiseerd met RBE3-elementen met gelijke gewichtsfactor.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Lijnopleggingen en lijnbelastingen worden met RBE3-elementen verbonden met de knopen van de betonmesh, op basis van de opgegeven breedte of effectieve straal. De gewichtsfactor van de verbindingen is omgekeerd evenredig met de afstand tot de oplegging of het belastingsimpuls.

• Lees meer over de koppeling tussen afzonderlijke belastingen en de mesh in Algemene beschrijving van belastingsimpulsen in de Detail applicatie

Voor het oplossen van een niet-lineair EEM-probleem wordt een standaard volledig Newton-Raphson-algoritme (NR) gebruikt. 

Over het algemeen convergeert het NR-algoritme vaak niet wanneer de volledige belasting in één stap wordt aangebracht. Een gebruikelijke aanpak, die ook hier wordt toegepast, is de belasting achtereenvolgens in meerdere incrementen aan te brengen en het resultaat van het vorige belastingsincrement te gebruiken als startpunt voor de Newton-oplossing van het volgende increment. Hiervoor is bovenop het Newton-Raphson-algoritme een belastingsgestuurd algoritme geïmplementeerd. Als de NR-iteraties niet convergeren, wordt het huidige belastingsincrement gehalveerd en worden de NR-iteraties opnieuw uitgevoerd.

Een tweede doel van het belastingsgestuurde algoritme is het bepalen van de kritieke belasting, die overeenkomt met bepaalde "stopcriteria". Dit zijn de maximale rek in het beton, de maximale slip in aanhechtingselementen, de maximale verplaatsing in verankeringselementen en de maximale rek in wapeningsstaven. De kritieke belasting wordt bepaald met de bisectiemethode. Als het stopcriterium ergens in het model wordt overschreden, worden de resultaten van het laatste belastingsincrement verworpen en wordt een nieuw increment berekend dat half zo groot is als het vorige. Dit proces wordt herhaald totdat de kritieke belasting is gevonden binnen een bepaalde foutentolerantie.

Voor beton is het stopcriterium in de integratiepunten van schaalelementen ingesteld op een rek van 5% in druk (dus ongeveer een orde van grootte groter dan de werkelijke bezwijkrek van beton) en 7% in trek. In trek is de waarde zo gekozen dat eerst de grensrek van de wapening kan worden bereikt, die zonder rekening te houden met tension stiffening meestal rond 5% ligt. In druk is de waarde gekozen uit meerdere alternatieven als een waarde die groot genoeg is om de effecten van verbrijzelen zichtbaar te maken in de resultaten, maar klein genoeg om niet te veel problemen met de numerieke stabiliteit te veroorzaken.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Voor wapening is het stopcriterium gedefinieerd in termen van spanningen. Omdat de spanningen ter plaatse van de scheur worden gemodelleerd, komt het criterium in trek overeen met de treksterkte van de wapening, rekening houdend met de veiligheidscoëfficiënt. Dezelfde waarde wordt gebruikt voor het criterium in druk.

Het stopcriterium in aanhechtingselementen en verankeringsveren is α·δu_max, waarbij δu_max de maximale slip is die in normtoetsingen wordt gebruikt en α = 10.

Resultaten worden onafhankelijk gepresenteerd voor beton en voor wapeningselementen. De spannings- en rekwaarden in het beton worden berekend in de integratiepunten van de schaalelementen. Aangezien het echter niet praktisch is om de gegevens op deze wijze te presenteren, worden de resultaten standaard weergegeven in knopen, als de maximale waarde van de drukspanning uit aangrenzende Gauss-integratiepunten in verbonden elementen (Afb. 18). Opgemerkt moet worden dat deze weergave de resultaten lokaal kan onderschatten aan de gedrukte randen van staven, indien de afmeting van het eindige element vergelijkbaar is met de hoogte van de drukzone.

Afb. 18 - Eindig element van beton met integratiepunten en knopen: presentatie van de resultaten voor beton in knopen en in eindige elementen.

De resultaten voor de eindige elementen van de wapening zijn ofwel constant per element (één waarde – bijv. voor staalspanningen) of lineair (twee waarden – voor aanhechtingsresultaten). Voor hulpelementen, zoals elementen van oplegplaten, worden alleen vervormingen gepresenteerd.

De beoordeling van de constructie met de CSFM gebeurt met twee verschillende analyses: één voor de belastingcombinaties in de bruikbaarheidsgrenstoestand en één voor die in de uiterste grenstoestand. De bruikbaarheidsanalyse gaat ervan uit dat het uiterste gedrag van het element voldoende is en dat de vloeivoorwaarden van het materiaal bij belastingen in de bruikbaarheidsgrenstoestand niet worden bereikt. Deze benadering maakt het mogelijk om voor de bruikbaarheidsanalyse vereenvoudigde constitutieve modellen te gebruiken (met een lineaire tak van het spanning-rekdiagram van beton). Dit verbetert de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid. Daarom wordt aanbevolen de hieronder beschreven werkwijze te volgen, waarbij de analyse in de uiterste grenstoestand als eerste stap wordt uitgevoerd.

Analyse in de uiterste grenstoestand

De verschillende toetsingen die door specifieke normen worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De UGT-toetsingen worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de sterkte van de wapening en de verankering (afschuifspanningen in de aanhechting).

Om een efficiënt ontwerp van een constructief element te waarborgen, wordt sterk aanbevolen een voorafgaande analyse uit te voeren met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritieke belastingcombinaties.
• Bereken alleen de belastingcombinaties voor de uiterste grenstoestand (UGT).
• Gebruik een grof mesh (door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte in Setup te verhogen (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Een dergelijk model rekent zeer snel. Ontwerpers kunnen hiermee de detaillering van het constructieve element efficiënt beoordelen en de analyse opnieuw uitvoeren totdat aan alle toetsingseisen voor de meest kritieke belastingcombinaties is voldaan. Zodra aan alle toetsingseisen van deze voorafgaande analyse is voldaan, wordt aanbevolen de volledige belastingcombinaties voor de uiterste grenstoestand mee te nemen en een fijne meshgrootte te gebruiken (de meshgrootte die door het programma wordt aanbevolen). De gebruiker kan de meshgrootte wijzigen met de vermenigvuldigingsfactor, die waarden van 0,5 tot 5 kan aannemen (Fig. 19).

De basisresultaten en toetsingen (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde uit de norm), evenals de richting van de hoofdspanningen bij betonnen elementen) worden weergegeven in verschillende grafieken, waarin druk over het algemeen rood en trek blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd deel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten worden weergegeven, zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningspercentages (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven. Verder kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastinggevallen worden getoond.

Analyse in de bruikbaarheidsgrenstoestand

De BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor de spanningsbegrenzing, de scheurwijdte en de grenswaarden voor doorbuiging. De spanningen in beton en wapening worden getoetst volgens de van toepassing zijnde norm, op een vergelijkbare manier als voor de UGT is gespecificeerd.

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse in de uiterste grenstoestand. Er wordt uitgegaan van een perfecte aanhechting, d.w.z. de verankeringslengte wordt in de bruikbaarheidsgrenstoestand niet getoetst. Verder wordt de plastische tak van de spanning-rekkromme van beton op druk buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid en doen geen afbreuk aan de algemeenheid van de oplossing, zolang de resulterende materiaalspanningen in de bruikbaarheidsgrenstoestand duidelijk onder hun vloeigrens liggen (zoals vereist door de normen). De vereenvoudigde modellen die voor de bruikbaarheidsgrenstoestand worden gebruikt, zijn daarom alleen geldig als aan alle toetsingseisen is voldaan.

Berekening van scheurwijdte en tension stiffening

Berekening van scheurwijdte

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen - gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Aan de hand van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor het niet-gestabiliseerde scheurvormingsmodel).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Terwijl het CSFM voor de meeste verificaties (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen…) een direct resultaat oplevert, worden de scheurwijdteresultaten berekend op basis van de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EEM-analyse worden geleverd, volgens de methodiek beschreven in Fig. 20. Er wordt een scheurkinematica zonder slip (zuivere scheuropening) beschouwd (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de hellingshoek van de scheuren (θ_r = θ_s= θ_e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaaf (w_b), wat leidt tot:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

waarbij θ_b de hellingshoek van de staaf is.

Merk op dat het programma waarden van θ_r en θ_b < π/2 weergeeft. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking werkt voor gevallen waarin de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het cartesische coördinatensysteem lopen, zoals getoond in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. Voor gevallen waarin de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

De component w_b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening-modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor de gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e_m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s_r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert deze toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Speciale situaties worden waargenomen bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek vooraf de positie van een enkele scheur die zich op een niet-gestabiliseerde manier gedraagt voordat er aanvullende aangrenzende scheuren ontstaan. Deze aanvullende scheuren ontstaan doorgaans pas na het bruikbaarheidsbereik (Mata-Falcón 2015), wat rechtvaardigt dat de scheurwijdtes in een dergelijk gebied worden berekend alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard beschouwd als volledig gescheurd vóór belasting.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – waarvan is aangetoond dat het, ondanks de eenvoud ervan, uitstekende voorspellingen van het gedrag oplevert (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapte, star-perfect plastische relatie tussen de aanhechtingsschuifspanning en de slip, met τ_b = τ_b0 =2 f_ctm voor σ_s ≤ f_y en τ_b =τ_b1 = f_ctm voor σ_s > f_y. Door elke wapeningsstaaf te behandelen als een trekstaaf (tension chord) – Fig. 22b en Fig. 22a – kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, de staal- en betonspanningen en dus de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) bij de scheuren.

Voor s_r = s_r0 kan er al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ_c1 = f_ct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s_r = λs_r0, met l = 0,5…1,0. Uitgaande van een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van de trekstaaf (ε_m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. de spanningen bij de scheuren, σ_sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram van de blanke wapeningsstaven dat standaard in het CSFM wordt beschouwd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

waarbij:
E_sh           de verhardingsmodulus van het staal E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø            diameter van de wapeningsstaaf,

s_r                scheurafstand,

σ_sr           wapeningsspanningen bij de scheuren,

σ_s            werkelijke wapeningsspanningen,

f_y                vloeigrens van de wapening.

De implementatie van het CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van de computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat overeenkomt met aanbevelingen die zijn gedaan op basis van buig- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Er dient te worden opgemerkt dat bij de berekening van scheurwijdtes wordt uitgegaan van een maximale scheurafstand (λ = 1,0) om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikt betonoppervlak dat in trek werkt tussen de scheuren aan elke wapeningsstaaf van cruciaal belang. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ_eff = A_s/A_c,eff) voor elke configuratie, inclusief scheve wapening (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren die aanwezig zijn in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ_cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening de scheurbelasting kan dragen zonder te vloeien, ontstaan door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortzetting van scheuren die door andere wapening worden beheerst. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

waarbij:

f_y              vloeigrens van de wapening,

f_ct             treksterkte van het beton,

n              verhoudingsgetal (modular ratio), n = E_s / E_c .

Voor conventioneel beton en wapeningsstaal bedraagt ρ_cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ_cr wordt de scheurvorming beschouwd als niet-gestabiliseerd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM), beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormbaarheid van het beton in trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische relatie tussen aanhechtingsschuifspanning en slip wordt aangenomen als bij het TCM. Hierdoor kan de wapeningsrekverdeling (ε_s) in de omgeving van de scheur rechtstreeks uit evenwicht worden bepaald voor elke maximale staalspanning bij de scheur (σ_sr). Aangezien de scheurafstand onbekend is voor een niet volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε_m) voor elk belastingsniveau berekend over de afstand tussen punten met nulslip wanneer de wapeningsstaaf zijn treksterkte (f_t) bereikt bij de scheur (l_ε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende relaties:

De voorgestelde modellen maken het mogelijk het gedrag van verankerde wapening te berekenen, wat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest voorkomende Europese wapeningsstaal (B500B, met f_t / f_y = 1,08 en ε_u = 5%) wordt geïllustreerd in Fig. 22c-d.

Beton - UGT

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de eenassige constitutieve wetten voor druk uit EN 1992-1-1 voor het ontwerp van doorsneden, die alleen afhangen van de druksterkte. In de CSFM wordt standaard het parabool-rechthoekdiagram gebruikt dat is gespecificeerd in EN 1992-1-1 Art. 3.1.7 (1) (Fig. 24a). Ontwerpers kunnen ook kiezen voor een vereenvoudigde elastisch-ideaal-plastische relatie volgens EN 1992-1-1 Art. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij het klassieke ontwerp van gewapend beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

De implementatie van de CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton onder druk. Na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak aangehouden met ε_cu2 (ε_cu3) met een waarde van 5%, terwijl EN 1992-1-1 uitgaat van een uiterste rek kleiner dan 0,35%. Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die onder druk bezwijken niet worden getoetst. Hun uiterste capaciteit f_cd volgens EN 1992-1-1 3.1.3 wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2, gedefinieerd in (Fig. 25)), ook de toename van de brosheid van beton bij hogere sterkte in rekening wordt gebracht via de reductiefactor $\eta_{fc}$ uit fib Model Code 2010, als volgt:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

α_cc de coëfficiënt is die rekening houdt met langetermijneffecten op de druksterkte en met ongunstige effecten die voortvloeien uit de wijze van belasten. Deze is conform EN 1992-1-1 Art. 3.1.6 (1). De standaardwaarde is 1,0.

k_c de globale reductiefactor van de druksterkte is

k_c2 de reductiefactor is vanwege de aanwezigheid van dwarsscheuren

f_ck de karakteristieke cilindersterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - BGT

De bruikbaarheidsanalyse bevat enkele vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse in de uiterste grenstoestand. De plastische tak van de spanning-rekcurve van beton onder druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. De compression softening wet wordt niet in rekening gebracht. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende spanningsgrenzen van het materiaal in de bruikbaarheidsgrenstoestand duidelijk onder hun vloeigrens liggen (zoals vereist door Eurocode). De vereenvoudigde modellen voor de bruikbaarheid zijn daarom alleen geldig als aan alle toetsingseisen wordt voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langetermijneffecten

In de bruikbaarheidsanalyse worden de langetermijneffecten van beton in rekening gebracht met een effectieve kruipcoëfficiënt voor oneindige tijd ($\varphi$, standaard genomen als 2,5). Deze past de secant elasticiteitsmodulus van beton (E_cm) als volgt aan, conform EN 1992-1-1, paragraaf 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5):

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Bij het in rekening brengen van langetermijneffecten wordt eerst een belaststap met alle permanente belastingen berekend met de kruipcoëfficiënt (dus met de effectieve elasticiteitsmodulus van beton, E_c,eff), en daarna worden de aanvullende belastingen berekend zonder kruipcoëfficiënt (dus met E_cm). Om de kortetermijntoetsingen uit te voeren, wordt bovendien een aparte berekening uitgevoerd waarin alle belastingen zonder kruipcoëfficiënt worden berekend. Beide berekeningen voor de lange- en kortetermijntoetsingen zijn weergegeven in Fig. 26.

Kruipfactoren worden door de gebruiker gedefinieerd in de materiaaleigenschappen en moeten worden berekend volgens EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Wapening

Standaard wordt het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram voor blanke wapeningsstaven gebruikt dat is gedefinieerd in EN 1992-1-1, paragraaf 3.2.7 (Fig. 27). Voor de definitie van dit diagram zijn tijdens de ontwerpfase alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig (sterkte- en ductiliteitsklasse). Wanneer bekend, kan de werkelijke spanning-rekrelatie van de wapening (warmgewalst, koudvervormd, afgeschrikt en zelfontlaten, …) worden toegepast. Het spanning-rekdiagram van de wapening kan door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval kan het tension stiffening effect niet worden aangehouden (de scheurwijdte kan dan niet worden berekend). Het gebruik van het spanning-rekdiagram met een horizontale bovenste tak maakt een toetsing van de constructieve duurzaamheid niet mogelijk. Daarom is een handmatige toetsing van de standaard ductiliteitseisen noodzakelijk.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Tension stiffening (Fig. 28)  wordt automatisch in rekening gebracht door de spanning-rekrelatie van de blanke wapeningsstaaf aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven (ε_m) wordt weergegeven.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne normen. Omdat de rekenmodellen uitsluitend standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het in de normen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassing worden toegepast. Hierbij worden de invoerbelastingen vermenigvuldigd met factoren en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de respectieve veiligheidscoëfficiënten uit de normen, precies zoals bij een conventionele betonberekening. De waarden van de materiaalveiligheidsfactoren die zijn voorgeschreven in EN 1992-1-1, hoofdstuk 2.4.2.4, zijn standaard ingesteld. De gebruiker kan de veiligheidsfactoren echter wijzigen in de Norm- en rekeninstellingen (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De belastingveiligheidsfactoren moeten door de gebruiker worden gedefinieerd in de Combinatieregels voor elke niet-lineaire combinatie van belastingsgevallen (Fig. 30). Voor alle templates die in Idea StatiCa Detail zijn geïmplementeerd, zijn de partiële veiligheidsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Door geschikte, door de gebruiker gedefinieerde combinaties van partiële veiligheidsfactoren te gebruiken, kunnen gebruikers met de CSFM ook rekenen volgens de globale weerstandsfactormethode (Navrátil et al. 2017). Deze aanpak wordt in de ontwerppraktijk echter nauwelijks toegepast. Sommige richtlijnen bevelen de globale weerstandsfactormethode aan voor niet-lineaire berekeningen. Bij vereenvoudigde niet-lineaire berekeningen (zoals de CSFM), waarvoor alleen de materiaaleigenschappen nodig zijn die ook bij conventionele handberekeningen worden gebruikt, verdient het formaat met partiële veiligheidsfactoren nog steeds de voorkeur.

De verschillende toetsingen die EN 1992-1-1 vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De UGT-toetsingen worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

De betonsterkte op druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning σ_c = σ_c2 uit de EEM-analyse en de grenswaarde σ_c,lim = f_cd. 

De sterkte van de wapening wordt zowel op trek als op druk bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening bij de scheuren σ_sr en de opgegeven grenswaarde σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

waarin:

f_yk        de vloeigrens van de wapening volgens EN 1992-1-1 art. 3.2.3,

k          de verhouding tussen de treksterkte f_tk en de vloeispanning,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             de partiële veiligheidsfactor voor wapening is

De aanhechtingsschuifspanning wordt afzonderlijk bepaald als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b, berekend met de EEM-analyse, en de uiterste aanhechtingssterkte f_bd, volgens EN 1992-1-1 hoofdstuk 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

waarin:

f_ctd      de rekenwaarde van de betontreksterkte is volgens EN 1992-1-1 art. 3.1.6 (2). Vanwege de toenemende brosheid van beton met hogere sterkte wordt f_ctk,0.05 begrensd tot de waarde voor C60/75 volgens EN 1992-1-1 art. 8.4.2 (2)

η₁       een coëfficiënt is die samenhangt met de kwaliteit van de aanhechtingsomstandigheden en de positie van de staaf tijdens het storten (Fig. 31).

η₁ = 1,0 bij ‘goede’ omstandigheden en

η₁ = 0,7 in alle andere gevallen en voor staven in constructieve elementen die met glijbekisting zijn vervaardigd, tenzij kan worden aangetoond dat ‘goede’ aanhechtingsomstandigheden bestaan

η₂        samenhangt met de staafdiameter:

            η₂ = 1,0 voor Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 voor Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail worden de aanhechtingsomstandigheden meegenomen volgens Fig. 31 c) en d). De stortrichting kan in de applicatie voor elk projectitem als volgt worden ingesteld.

Deze toetsingen worden uitgevoerd ten opzichte van de passende grenswaarden voor de betreffende delen van de constructie (d.w.z. ondanks dat er voor zowel het beton als het wapeningsmateriaal één enkele sterkteklasse geldt, verschillen de uiteindelijke spanning-rek-diagrammen per deel van de constructie door de effecten van tension stiffening en compression softening).

Het is ook mogelijk om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie vindt u hier: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden bepaald.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

waarin A_s de doorsnede van de wapeningsstaaf is en σ_s de spanning in de staaf.

Of als de som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarin F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht, die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de uiterste sterkte van de wapeningsstaaf en met de verankeringsomstandigheden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

waarin C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarin F_lim,add de aanvullende kracht is, berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in de CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. zonder reductie van het ankereinde), bocht, haak, lus, aangelaste dwarsstaaf, perfecte aanhechting en doorgaande staaf. Al deze typen, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, zijn weergegeven in Fig. 32 voor langswapening en in Fig. 33 voor beugels. De waarden van de toegepaste verankeringscoëfficiënten zijn in overeenstemming met EN 1992-1-1 paragraaf 8.4.4 Tab. 8.2. Opgemerkt moet worden dat de CSFM, ondanks de verschillende beschikbare opties, drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30 % van de verankeringslengte bij een genormaliseerde verankering en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Om aan EN 1992-1-1 te voldoen, moet de verankeringsveer in de berekening worden gebruikt. De verankeringsveer wordt aangepast met de coëfficiënt β, zodat de gebruiker bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening een van de beschikbare verankeringstypen moet kiezen. 

Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we twee grote groepen gedeeltelijk belaste oppervlakken (PLA) tegen. De eerste groep omvat oplegingen, de tweede groep verankeringsgebieden. Volgens de huidige normen voor het ontwerp van gewapende betonconstructies, EN 1992-1-1 hoofdstuk 6.7 (Fig. 34), moeten bij gedeeltelijk belaste oppervlakken het lokaal verbrijzelen van beton en dwarse trekkrachten worden beschouwd. Bij een gelijkmatig verdeelde belasting op een oppervlak, A_c0, mag de drukcapaciteit van het beton tot maximaal drie keer worden verhoogd, afhankelijk van het rekenkundige verdelingsoppervlak A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Het gedeeltelijk belaste oppervlak moet voldoende worden voorzien van dwarswapening, ontworpen om de optredende splijtkrachten over te dragen. Voor het ontwerp van de dwarswapening in gedeeltelijk belaste oppervlakken wordt volgens de Eurocode de Staafwerk-methode gebruikt. Zonder de vereiste dwarswapening is het niet toegestaan om een verhoging van de drukcapaciteit van het beton in rekening te brengen.

Gedeeltelijk belaste oppervlakken in de CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Met de CSFM is het mogelijk om gewapende betonconstructies te ontwerpen en te toetsen, waarbij ook de invloed van de toenemende drukweerstand van beton in gedeeltelijk belaste oppervlakken wordt meegenomen. Omdat de CSFM een wandmodel (2D) is en gedeeltelijk belaste oppervlakken een ruimtelijk (3D) vraagstuk vormen, was het nodig een oplossing te vinden die deze twee verschillende typen vraagstukken combineert (Fig. 35). Als de functie "gedeeltelijk belaste oppervlakken" is geactiveerd, wordt de toelaatbare kegelgeometrie opgebouwd volgens de Eurocode (Fig. 34). Alle geometrische botsingen worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven geometrie van de betonnen staaf en de afmetingen van elk PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste oppervlak gegenereerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Het aanpassen van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak, vooral omdat het toewijzen van eigenschappen aan het eindige-elementenmesh problematisch is. Vastgesteld werd dat een aanpak die onafhankelijk is van het eindige-elementenmesh een geschiktere oplossing is. Voor de bekende geometrie van de drukkegel worden volledig samenhangende fictieve drukdiagonalen gegenereerd (Fig. 35 en Fig. 37). Deze drukdiagonalen hebben dezelfde materiaaleigenschappen als het beton dat in het model wordt gebruikt, inclusief het spanning-rek diagram. De vorm van de kegel bepaalt de richting van de drukdiagonalen, die de belasting geleidelijk vanaf het PLA over het rekenkundige verdelingsoppervlak spreiden. De oppervlaktedichtheid van de fictieve drukdiagonalen varieert in elk deel van de kegel en voegt een fictief betonoppervlak toe in de belastingsrichting. Op het niveau van het belaste oppervlak (A_c0) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens de verhouding $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (waarbij A_real het oppervlak van de oplegging is zoals aangenomen in het 2D-rekenmodel). Dit oppervlak neemt lineair af tot nul in de richting van het rekenkundige verdelingsoppervlak (A_c1). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton constant is over het gehele kegelvolume.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

De weerstand van het gedeeltelijk belaste oppervlak wordt verhoogd volgens de verhouding tussen het rekenkundige verdelingsoppervlak en het belaste oppervlak, zoals vastgelegd in EN 1992-1-1  (6.7).  Houd er rekening mee dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast oppervlak, waarvan de werkelijke krachtsafdracht veel complexer is, niet exact kan beschrijven. Deze oplossing maakt echter een correcte verdeling van de belasting over het hele model mogelijk, met inachtneming van de verhoogde draagcapaciteit van het gedeeltelijk belaste oppervlak. Bovendien worden hiermee de dwarsspanningen in dit gebied correct geïntroduceerd.

Wanneer de functie Gedeeltelijk belaste oppervlakken wordt gebruikt om de toename van de drukcapaciteit van beton te simuleren, moet de normtoetsing afzonderlijk worden uitgevoerd volgens EN 1992-1-1, paragraaf 6.7 (2). De dwarse trekkrachten (splijtkrachten) die door de wapening worden overgedragen, worden automatisch getoetst.

BGT-toetsingen worden uitgevoerd voor spanningsbegrenzing, scheurwijdte en de grenswaarden voor doorbuiging. Spanningen worden in beton- en wapeningselementen getoetst volgens EN 1992-1-1, op vergelijkbare wijze als voor de UGT.

Spanningsbegrenzing

De drukspanning in het beton moet worden beperkt om langsscheuren te voorkomen. Volgens EN 1992-1-1 hoofdstuk 7.2 (2) kunnen langsscheuren ontstaan als het spanningsniveau onder de karakteristieke belastingcombinatie een waarde k₁f_ck overschrijdt. De betonspanning in druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale hoofdspanning in druk σ_c = σ_c2 uit de EEM-analyse voor de bruikbaarheidsgrenstoestanden en de grenswaarde σ_c,lim. Dan geldt:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

waarin:

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van het beton,

k₁         =0,6.

Als de spanning in het beton onder de quasi-permanente belastingen kleiner is dan k₂f_ck volgens EN 1992-1-1 art. 7.2(3), mag lineaire kruip worden aangenomen. Als de spanning in het beton k₂f_ck overschrijdt, moet niet-lineaire kruip in rekening worden gebracht (zie EN 1992-1-1 art. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kan alleen lineaire kruip volgens EN 1992-1-1 art. 3.1.4 (3) worden aangenomen (zie Materiaalmodellen (EN)).

Onaanvaardbare scheurvorming of vervorming mag als vermeden worden beschouwd als de trekspanning in de wapening onder de karakteristieke belastingcombinatie niet groter is dan k₃f_yk (EN 1992-1-1 hoofdstuk 7.2 (5)). De sterkte van de wapening wordt bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren σ_s = σ_sr en de opgegeven grenswaarde σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

waarin:

f_yk        vloeigrens van de wapening,

k₃        =0,8.

Doorbuiging

Doorbuigingen kunnen alleen worden getoetst voor wanden of voor isostatische (statisch bepaalde) of hyperstatische (statisch onbepaalde) liggers. In deze gevallen wordt de absolute waarde van de doorbuigingen beschouwd (ten opzichte van de beginsituatie vóór belasting) en moet de maximaal toelaatbare doorbuiging door de gebruiker worden ingesteld. Doorbuigingen bij afgesneden uiteinden kunnen niet worden getoetst, omdat dit in wezen instabiele constructies zijn waarbij het evenwicht wordt verkregen door het toevoegen van eindkrachten, waardoor de doorbuigingen onrealistisch zijn. De korte-termijndoorbuiging u_z,st of lange-termijndoorbuiging u_z,lt kan worden berekend en getoetst aan door de gebruiker gedefinieerde grenswaarden:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

waarin:

u_z         doorbuiging op korte of lange termijn, berekend met EEM-analyse,

u_z,lim    door de gebruiker gedefinieerde grenswaarde van de doorbuiging.

Scheurwijdte

Scheurwijdten en scheurrichtingen worden alleen berekend voor langetermijneffecten (met E_c,eff) voor combinaties waarvoor de scheurwijdtebepaling is ingeschakeld. Toetsingen op basis van door de gebruiker opgegeven grenswaarden conform Eurocode worden als volgt weergegeven:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

waarin:

w         scheurwijdte, berekend met EEM-analyse,

w_lim     door de gebruiker gedefinieerde grenswaarde van de scheurwijdte.

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door de rekken op 1D-elementen van de wapeningsstaven te integreren. De scheurrichting wordt vervolgens berekend uit de drie dichtstbijzijnde integratiepunten van 2D-betonelementen (vanaf het midden van het betreffende 1D-eindige element van de wapening). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert zij toch representatieve waarden op, waarmee scheurwijdteresultaten worden verkregen die kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdten ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat voor sterkteberekeningen in CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rek-curve voor beton van de Portland Cement Association, beschreven in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij het klassieke ontwerp van gewapend beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton onder druk (na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak aangehouden met ε_c0 met een maximumwaarde van 5%, terwijl ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die door druk bezwijken niet worden geverifieerd. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2, gedefinieerd in (Fig. 39)), ook de toename van de brosheid van beton bij hogere sterkte in rekening wordt gebracht met de reductiefactor $\eta_{fc}$ uit de fib Model Code 2010, als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ de reductiefactor is voor de drukspanning van beton, gedefinieerd in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek-diagram moet de maximale drukspanning met deze factor worden verlaagd. Hierdoor wordt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig gemiddeld dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rek-diagram met een afnemende plastische tak.

Φ_c de sterktereductiefactor voor beton is. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c2 de reductiefactor is vanwege de aanwezigheid van dwarsscheuren.

f'_c de cilindersterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 is een reductiefactor die gebaseerd is op dezelfde uitgangspunten als de knoopzonecoëfficiënt β_n uit ACI 318-19 Table 23.9.2, met dien verstande dat in CSFM de aanwezigheid van een hoofdtrekspanning loodrecht op de hoofddrukspanning voor elk eindig element wordt getoetst (en niet alleen voor de knopen van het Staafwerkmodel).

Beton – Bruikbaarheid

De bruikbaarheidsanalyse bevat enkele vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die voor de sterkteanalyse worden gebruikt. De plastische tak van de spanning-rek-curve van beton onder druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. De compression softening law wordt niet in rekening gebracht. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende spanningsgrenzen van het materiaal in de bruikbaarheidsgrenstoestand duidelijk onder de vloeigrens blijven (zoals door ACI wordt vereist). De vereenvoudigde modellen voor de bruikbaarheid zijn daarom alleen geldig als aan alle toetsingseisen is voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langetermijneffecten

Het langetermijngedrag van de constructie, zoals doorbuigingen op lange termijn of de berekening van scheurwijdten als gevolg van langdurige belastingen, wordt beïnvloed door de kruip van beton. ACI 318-19 definieert in paragraaf 24.2.4.1.3 de tijdsafhankelijke factor voor langdurige belastingen – ξ, die het kruipeffect weergeeft voor een gespecificeerde duur van de langdurige belasting.

In de Detail applicatie wordt de elasticiteitsmodulus E_c aangepast om het langetermijngedrag van de constructie te bepalen met behulp van de factor ξ. De aangepaste elasticiteitsmodulus wordt aangeduid als E_c,eff – zie Figure 40.

Als we aannemen dat de vervorming van het element wordt uitgedrukt als rek, kan worden geschreven:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

waarbij:

ε₀ de rek op korte termijn is (zonder invloed van kruip) en ε_creep de rek als gevolg van kruip.

Met de wet van Hooke kunnen we schrijven:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Door $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ en $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ te substitueren, krijgen we:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

De duur van de langdurige belasting voor het bepalen van de factor ξ kan voor elke langetermijncombinatie in de bruikbaarheidsgrenstoestand afzonderlijk worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

De tijdsafhankelijke doorbuigingen, spanningen en scheurwijdten worden vervolgens berekend met een aangepast materiaalmodel, waarin het effect van drukverfijning automatisch wordt meegenomen door de aard van de eindige-elementenanalyse. Het is daarom niet nodig deze verder te vermenigvuldigen met de factor die in 24.2.4.1.1 is gedefinieerd.

Korte-termijneffecten

Om toetsingen op korte termijn uit te voeren, wordt een tweede berekening gemaakt waarin alle belastingen zonder de tijdsafhankelijke factor voor langdurige belastingen worden berekend. Beide berekeningen, voor toetsingen op lange en korte termijn, zijn weergegeven in Fig. 40.

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een perfect elastisch-plastisch spanning-rek-diagram met een gedefinieerde vloeigrens aangehouden, zie ACI 319-19 CL. 20.2.1. Voor de definitie van dit diagram hoeven alleen de basiseigenschappen van de wapening bekend te zijn – de sterkte en de elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek-diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk het tension stiffening effect in rekening te brengen (het is niet mogelijk de scheurwijdte te berekenen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s de sterktereductiefactor voor wapening is. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y de vloeigrens van de wapening is

E_s de elasticiteitsmodulus van de wapening is

Als grensrek waarbij de berekening wordt gestopt, is 10% gekozen. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Fig. 43)  wordt automatisch in rekening gebracht door de invoer van de spanning-rek-relatie van de blote wapeningsstaaf aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven (ε_m) wordt weergegeven.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne normen. Omdat de rekenmodellen alleen standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het in de normen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen met factoren vermenigvuldigd en de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de bijbehorende reductiefactoren voor sterkte, precies zoals bij een conventionele betonberekening.

De waarden van de reductiefactoren voor sterkte zijn voorgeschreven in ACI 318-19 Cl. 21.2. De standaardwaarden voor beton en wapening zijn gekozen op basis van de aanname dat het typische voorbeeld in de applicatie door afschuiving wordt bepaald (conform Tabel 21.2.1 (b), (f), (g)). Het is echter mogelijk om elk type element te modelleren. Als een element wordt getoetst dat door druk of trek wordt bepaald, kan de gebruiker daarom de waarde van de reductiefactor voor sterkte wijzigen in de Voorkeuren.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingfactoren voor sterktecombinaties moeten worden bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 5.3.1.

Behalve zoals vermeld in Hoofdstuk 34 zijn belastingcombinaties voor de bruikbaarheidsgrenstoestand niet gedefinieerd in ACI 318-19. Aanbevolen wordt om combinatieregels te gebruiken op basis van Appendix C van ASCE/SEI 7-16. Voor alle templates zijn de belastingfactoren al vooraf ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende verificaties die ACI 318-19 vereist, worden getoetst op basis van de directe resultaten van het model. De verificaties worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (afschuifspanningen van de aanhechting).

De betonsterkte op druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c (ook σ₂ in Hulpresultaten) uit de EM-analyse en de grenswaarde f'_c,lim.

De sterkte van de wapening wordt zowel op trek als op druk bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de gespecificeerde grenswaarde f_y,lim.

De afschuifspanning van de aanhechting wordt afzonderlijk bepaald als de verhouding tussen de aanhechtspanning τ_b, berekend met de EM-analyse, en de aanhechtsterkte f_bu.

De ACI-norm behandelt de aanhechtsterkte echter niet expliciet, maar werkt met de berekening van de zogenaamde verankeringslengte, die in paragraaf 25.4.2 wordt beschreven. Omdat de aanhechtsterkte een fundamentele invoerparameter is voor het bepalen van de verankeringslengte, zie R25.4.1.1 en ACI Committee 408 1966, kan de aanhechtsterkte als volgt worden berekend:

Stel dat een wapeningsstaaf in een betonblok wordt verankerd over de verankeringslengte l_d of meer. Het uittrekken van de wapening leidt dan tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken uit het beton. Dit kan met de volgende formule worden uitgedrukt.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

waarin:

d_b de diameter van de wapeningsstaaf is, l_d de verankeringslengte, f_bu de aanhechtsterkte, f_y de vloeigrens van de wapening en A_s het oppervlak van de wapeningsstaaf.

Hieruit kan eenvoudig de formule voor de aanhechtsterkte worden afgeleid:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De verankeringslengte l_d wordt vervolgens bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3 als volgt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

waarin:

C = 25 (2,1 voor metrisch) voor staven nr. 6 en kleiner en geprofileerde draden, C = 20 (1,7 voor metrisch) voor staven nr. 7 en groter, λ = 1,0 voor beton met normaal gewicht, en ψ_t, ψ_e, ψ_g worden bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3. 

Alleen onbehandelde of verzinkte wapening wordt ondersteund, dus ψ_e = 1,0. ψ_g wordt automatisch bepaald op basis van de wapeningskwaliteit en ψ_t wordt automatisch afgeleid uit de positie van de wapening in het model en uit de stortrichting, die in de applicatie voor elk projectonderdeel als volgt kan worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Deze verificaties worden uitgevoerd ten opzichte van de passende grenswaarden voor de betreffende delen van de constructie (d.w.z. ondanks dat er voor beton en wapening slechts één kwaliteit wordt gebruikt, verschillen de uiteindelijke spanning-rek-diagrammen per deel van de constructie door de effecten van tension stiffening en compression softening).

Er is ook een optie om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie vindt u hier: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

waarin A_s het oppervlak van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf.

Of als de som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtkracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarin F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtkracht, die kan worden verkregen door de aanhechtspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de wapeningsstaaf en ook met de verankeringscondities (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarin C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarin F_lim,add de aanvullende kracht is, berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie voor het ankereinde), een haak van 90 graden, een haak van 180 graden, perfecte aanhechting en een doorlopende staaf. Al deze typen worden, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, voor langswapening weergegeven in Fig. 48. De waarden van de toegepaste verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de formule uit paragraaf ACI 318-19 25.4.3.1 met de formules uit paragraaf ACI 318-19 25.4.2.3. Merk op dat CSFM, ondanks de verschillende beschikbare opties, drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte bij een genormaliseerde verankering, en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels is altijd β = 1,0.

Om aan ACI te voldoen, moet de verankeringsveer in de berekening worden gebruikt. De verankeringsveer wordt aangepast met de coëfficiënt β, dus de gebruiker moet bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening een van de beschikbare verankeringstypen kiezen. 

Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we twee grote groepen gedeeltelijk belaste oppervlakken (PLA) tegen. De eerste groep omvat opleggingen, de tweede verankeringsgebieden. 

Volgens de momenteel geldende normen voor het ontwerp van gewapende betonconstructies, ACI 318-19 hoofdstuk 22.8, moeten bij opleggingen het plaatselijk verbrijzelen van het beton en dwarse trek krachten worden beschouwd. Bij een gelijkmatig verdeelde belasting op een oppervlak, A_c1, mag de drukcapaciteit van het beton met maximaal een factor twee worden verhoogd, afhankelijk van het rekenoppervlak voor de lastspreiding A_c2. Zie ACI 318-19 tabel 22.8.3.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Voor verankeringszones bij voorspanning met nagerekt staal moet ACI 318-19 hoofdstuk 25.9 worden gevolgd.

Het gedeeltelijk belaste oppervlak moet voldoende worden voorzien van dwarswapening, die is ontworpen om de optredende splijtkrachten in het gebied over te dragen. Zonder de vereiste dwarswapening is het niet toegestaan om uit te gaan van een verhoogde drukcapaciteit van het beton.

Gedeeltelijk belaste oppervlakken in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Met CSFM is het mogelijk om gewapende betonconstructies te ontwerpen en te toetsen, waarbij de invloed van de toenemende drukweerstand van het beton in gedeeltelijk belaste oppervlakken wordt meegenomen. Omdat CSFM een wandmodel (2D) is en gedeeltelijk belaste oppervlakken een ruimtelijk (3D) vraagstuk vormen, was het nodig een oplossing te vinden die deze twee verschillende typen vraagstukken combineert (Fig. 50). Wanneer de functie "gedeeltelijk belaste oppervlakken" is geactiveerd, wordt de toelaatbare conusgeometrie gegenereerd volgens ACI (Fig. 49). Alle geometrische botsingen worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven geometrie van de betonstaaf en de afmetingen van elk PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste oppervlak opgesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Het aanpassen van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak, vooral omdat het toewijzen van eigenschappen aan het eindige-elementenmesh problematisch is. Een aanpak die onafhankelijk is van het eindige-elementenmesh bleek een geschiktere oplossing. Voor de bekende geometrie van de drukconus worden volledig samenhangende fictieve drukdiagonalen gegenereerd (Fig. 51 en Fig. 52). Deze drukdiagonalen hebben dezelfde materiaaleigenschappen als het in het model gebruikte beton, inclusief het spanning-rek diagram. De vorm van de conus bepaalt de richting van de drukdiagonalen, die de belasting geleidelijk over het PLA verdelen naar het rekenoppervlak voor de lastspreiding. De oppervlaktedichtheid van de fictieve drukdiagonalen varieert in elk deel van de conus en voegt een fictief betonoppervlak toe in de belastingsrichting. Ter hoogte van het belaste oppervlak (A_c1) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (waarbij A_real het oplegoppervlak is dat in het 2D-rekenmodel wordt aangenomen). Dit oppervlak neemt lineair af tot nul in de richting van het rekenoppervlak voor de lastspreiding (A_c2). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton over het gehele conusvolume constant is.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

De weerstand van het gedeeltelijk belaste oppervlak wordt verhoogd volgens de verhouding tussen het rekenoppervlak voor de lastspreiding en het belaste oppervlak, zoals vastgelegd in ACI 318-19 hoofdstuk 22.8.  Houd er rekening mee dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast oppervlak, waarvan het werkelijke krachtenverloop veel complexer is, niet exact kan beschrijven. Deze oplossing zorgt echter voor een correcte verdeling van de belasting over het gehele model, waarbij de verhoogde draagcapaciteit van het gedeeltelijk belaste oppervlak in acht wordt genomen. Bovendien worden in dit gebied de dwarsspanningen correct geïntroduceerd, zodat de wapening voor splijtkrachten correct kan worden ontworpen.

De toelaatbare oplegspanning van 0.85f_c' staat in tabel 22.8.3.2. De dichtheid wordt zodanig begrensd dat de maximale dubbele capaciteit uit de formule in tabel 22.8.3.2(b) niet wordt overschreden.  

Voor de verankeringszones wordt PLA in de applicatie op dezelfde wijze gebruikt als voor opleggingen. Daarom moeten de lokale zones, gedefinieerd in ACI 318-19 hoofdstuk 25.9, handmatig worden getoetst volgens ACI 318-19 25.9.3. PLA wordt dus alleen gebruikt om te voorkomen dat het rekcriterium in de lokale zone wordt overschreden en de berekening daardoor voortijdig wordt gestopt. Daarentegen kan, volgens ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), de wapening die weerstand biedt aan de splijt- en afspatspanningen in het vlak, direct en voordelig in de applicatie worden geverifieerd.

Bruikbaarheidsverificaties worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingsgrenzen. De spanningen in beton en wapening worden getoetst volgens ACI 318-19, op een vergelijkbare wijze als voorgeschreven voor de Sterkte.

Spanningsbeperking

De toelaatbare drukspanningen in het beton onder gebruiksbelasting moeten worden geverifieerd voor voorgespannen staven van klasse U en T. Volgens Tabel R24.5.2.1 is voor beton dat als gescheurd wordt beschouwd geen toetsing van de spanningsbeperking vereist. De gebruiker moet de klasse van de voorgespannen staaf instellen in de instellingen van de rekenstaaf.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

De toelaatbare drukspanning voor staven die aan tijdelijke belastingen worden blootgesteld, wordt in ACI 318-19 24.5.4.1 gegeven als 0.6f_c'. De drukspanningslimiet van 0.45f_c' is vastgesteld om de kans op bezwijken van voorgespannen betonstaven door herhaalde belastingen te verkleinen. Deze limiet bleek ook redelijk om overmatige kruipvervorming te voorkomen. Bij hogere spanningswaarden nemen de kruiprekken sneller toe naarmate de aangebrachte spanning toeneemt.

De betonspanning in druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c = σ_c2 uit de EEM-analyse voor de bruikbaarheid en de limietwaarde, die is vastgesteld op basis van Tabel 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In de applicatie wordt Voorspanning plus blijvende belasting behandeld als een langetermijncombinatie en Voorspanning plus totale belasting als een kortetermijncombinatie.

Doorbuiging

Afhankelijk van het geselecteerde combinatietype (lange termijn of korte termijn) wordt de doorbuiging op lange of korte termijn beoordeeld. De maximaal toelaatbare doorbuiging moet door de gebruiker worden bepaald en moet worden beschouwd conform ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

In de applicatie kunnen de doorbuigingen ten gevolge van het eigen gewicht Δ_DL en de veranderlijke belasting Δ_LL afzonderlijk worden weergegeven, evenals de totale doorbuiging Δ_Tot (eigen gewicht + veranderlijke belasting), steeds samen met de vervormde vorm.

Doorbuigingen bij ingekorte uiteinden kunnen niet worden getoetst.

Scheurwijdte

Scheurwijdten en scheuroriëntaties worden berekend voor bruikbaarheidscombinaties op korte of lange termijn. Aangezien ACI geen grenswaarden voor scheurwijdten rechtstreeks voorschrijft, moet de gebruiker een grenswaarde voor de scheurwijdte w_lim opgeven.

De verificaties worden als volgt weergegeven:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

waarin:

w         scheurwijdte op korte of lange termijn, berekend met de EEM-analyse,

w_lim     grenswaarde van de scheurwijdte, gedefinieerd door de gebruiker.

De in de applicatie gebruikte methode voor het berekenen van scheurwijdten, die ook in dit document nader wordt beschreven, is in overeenstemming met ACI 224R-01. Het is daarom mogelijk om Tabel 4.1 van ACI 224R-01 te gebruiken voor het bepalen van de grenswaarde van de scheurwijdten.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door de rekken te integreren over de 1D-elementen van de wapeningsstaven. De scheurrichting wordt vervolgens berekend uit de drie dichtstbijzijnde integratiepunten (vanaf het midden van het betreffende 1D-eindig element van de wapening) van de 2D-betonelementen. Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert zij toch representatieve waarden op, waarmee scheurwijdteresultaten worden verkregen die ter plaatse van de wapeningsstaaf kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat voor sterkteberekeningen in CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de uitgangspunten van AASHTO LRFD voor sterkteontwerp: evenwicht en rekcompatibiliteit. Conform AASHTO LRFD (2024) artikel 5.6.2.1 wordt de treksterkte van beton verwaarloosd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton op druk (na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak aangenomen met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl AASHTO LRFD (2024) artikel 5.6.2.1 uitgaat van een uiterste rek kleiner dan 0,3%). Door deze vereenvoudiging kan de vervormingscapaciteit van constructies die op druk bezwijken niet worden geverifieerd. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 57)), ook de toename van de brosheid van beton bij toenemende sterkte wordt meegenomen met de reductiefactor $\eta_{fc}$ uit de fib Model Code 2010, als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

α₁ de reductiefactor is voor de druksterkte van beton, gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) artikel 5.6.2.2. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek diagram moet de maximale drukspanning met deze factor worden verlaagd. Hierdoor wordt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig gemiddeld dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rek diagram met een dalende plastische tak.

Φ_c de weerstandsfactor voor beton is. De standaardwaarde is ingesteld conform AASHTO LRFD (2024) artikel 5.5.4.2.

k_c2 de reductiefactor is vanwege de aanwezigheid van dwarsscheuren.

f'_c de cilinderdruksterkte van beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 is een reductiefactor die op dezelfde uitgangspunten is gebaseerd als de efficiëntiefactor voor beton ν uit AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a en Tabel 5.8.2.5.3a-1. Het verschil is dat in CSFM de aanwezigheid van een hoofdtrekspanning loodrecht op de hoofddrukspanning voor elk eindig element wordt gecontroleerd (en niet alleen voor de knopen van het Staafwerkmodel).

Beton – Bruikbaarheid

De bruikbaarheidsberekening bevat enkele vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die voor de sterkteberekening worden gebruikt. De plastische tak van de spanning-rek curve van beton op druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. De compression softening wet wordt niet toegepast. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende spanningsgrenzen van de materialen in de bruikbaarheidsgrenstoestand duidelijk onder hun vloeigrens liggen (in overeenstemming met de benadering voor de bruikbaarheidsgrenstoestand in AASHTO LRFD). De vereenvoudigde modellen voor bruikbaarheid zijn daarom alleen geldig als aan alle verificatie-eisen wordt voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langetermijneffecten

De langetermijn constitutieve wet (de rode curve in Fig. 59) wordt gebruikt voor de berekening van de scheurwijdte, de totale doorbuiging en de spanningsbeperking van voorgespannen staven wanneer het langetermijneffect is geselecteerd in het bovenste lint. In de IDEA StatiCa Detail applicatie wordt de effectieve elasticiteitsmodulus gebruikt voor de verificatie van langetermijneffecten, zoals vermeld in AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

waarin:
E_c de elasticiteitsmodulus is, gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.2.4
ψ de kruipcoëfficiënt is, gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.2.3.2

Kruipfactoren worden door de gebruiker gedefinieerd in de materiaaleigenschappen.

Korte-termijneffecten

Voor de korte-termijnverificaties wordt een aparte berekening uitgevoerd waarin alle belastingen zonder kruipfactor worden berekend. Beide berekeningen, voor lange- en korte-termijnverificaties, zijn weergegeven in Fig. 59.

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een perfect elastisch-plastisch spanning-rek diagram met een gedefinieerde vloeigrens aangenomen, zie AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.3. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig: de sterkte en de elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval kan het tension stiffening effect niet worden meegenomen (het is dan niet mogelijk de scheurwijdte te berekenen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarin:

Φ_s de weerstandsfactor voor wapening is. De standaardwaarde is ingesteld conform AASHTO LRFD (2024) artikel 5.5.4.2.

f_y de vloeigrens van de wapening is

E_s de elasticiteitsmodulus van de wapening is

Als grensrek waarbij de berekening wordt gestopt, is 10% geselecteerd. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c artikel 7.

Tension stiffening (Fig. 61)  wordt automatisch meegenomen door de invoer van de spanning-rek relatie van het blanke wapeningsstaal aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven wordt vastgelegd (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan de moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen uitsluitend gebruikmaken van standaard materiaaleigenschappen, kan het in de ontwerpnormen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen met factoren vermenigvuldigd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen verlaagd met de betreffende weerstandsfactoren, precies zoals bij conventionele betonberekeningen.

De waarden van de weerstandsfactoren worden voorgeschreven in AASHTO LRFD (2024), Article 5.5.4. De standaardwaarden voor beton en wapening zijn conservatief gekozen, uitgaande van de aanname dat het typische uitgewerkte voorbeeld een D-gebied is - een typisch geval voor de SaT-methode. Het is echter mogelijk om elk type element te modelleren. Wanneer een door druk of trek gedomineerd element wordt getoetst, kan de gebruiker daarom de waarde van de reductiefactor voor de sterkte wijzigen in de Preferences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingfactoren en belastingcombinaties moeten worden gedefinieerd volgens AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Article 3.4.1 en Tables 3.4.1-1 tot en met 3.4.1-6. AASHTO LRFD specificeert expliciet de belastingcombinaties voor de grenstoestand van sterkte (Strength I tot en met Strength V) en de belastingcombinaties voor de gebruiksgrenstoestand (Service I tot en met Service IV), inclusief de bijbehorende belastingfactoren voor elk geval.

Voor elk template bevat het programma vooraf gedefinieerde basiscombinaties die moeten worden aangevuld, afhankelijk van het element dat wordt verwerkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende toetsingen die AASHTO voorschrijft, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De toetsingen worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (afschuifspanningen in de aanhechting).

De betonsterkte op druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c (ook σ₂ in Hulpresultaten) uit de EEM-analyse en de grenswaarde f'_c,lim.

De sterkte van de wapening wordt zowel op trek als op druk bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de opgegeven grenswaarde f_y,lim.

De afschuifspanning in de aanhechting wordt afzonderlijk bepaald als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b uit de EEM-analyse en de aanhechtingssterkte f_bu.

Omdat de aanhechtingssterkte in AASHTO niet expliciet is gedefinieerd, moet de waarde ervan worden bepaald met de vergelijkingen voor de verankeringslengte. De aanhechtingssterkte is namelijk de belangrijkste invoer voor het bepalen van de verankeringslengte; zie bijvoorbeeld AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 of NCHRP Report 733, Attachment E, pagina E-9.

De berekening in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 en 5.10.8.2.2 vereist kennis van de maximale hart-op-hartafstand van de dwarswapening binnen l_d, het aantal staven of draden dat langs het splijtvlak wordt verankerd, de totale doorsnede van alle dwarswapening en andere geometrische grootheden. Deze kunnen in het model van de Detail applicatie niet betrouwbaar worden bepaald voor algemene invoer. Daarom is een benadering uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 toegepast, op de volgende wijze:

We nemen aan dat bij verankering van de wapeningsstaaf in een betonblok over de verankeringslengte l_d of meer, het uittrekken van de wapening leidt tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken uit het beton. Dit kan met de volgende formule worden uitgedrukt.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

waarbij:

• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is
• l_d de verankeringslengte is
• f_bu de aanhechtingssterkte is
• f_y de vloeigrens van de wapening is
• A_b de doorsnede van de wapeningsstaaf is

Hieruit kan eenvoudig de formule voor de aanhechtingssterkte worden afgeleid.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De basisverankeringslengte op trek l_db wordt in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 als volgt bepaald:

Voor staven No. 11 en kleiner:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Voor staven No. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Voor staven No. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

waarbij:

• A_b de doorsnede van de wapeningsstaaf is (in²)
• f_y de opgegeven vloeigrens van de wapening is (ksi)
• f'_c de opgegeven druksterkte van het beton na 28 dagen is, tenzij een andere leeftijd is opgegeven (ksi)
• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is (in)

Door de basisverankeringslengte l_db te vermenigvuldigen met de factoren uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 en 5.11.2.1.3 wordt de verankeringslengte l_d als invoer bepaald.

De modificatiefactoren uit 5.11.2.1.3 die de verankeringslengte verkleinen, zijn in de applicatie altijd gelijk aan 1,0. De modificatiefactor voor bovenliggende horizontale of nagenoeg horizontale wapening is gelijk aan 1,4 bij 'slechte' aanhechtingsomstandigheden, volgens de onderstaande figuur:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

De stortrichting kan in de applicatie worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Alle overige factoren uit 5.11.2.1.2 zijn gelijk aan 1,0, omdat alleen beton met normaal gewicht en alleen ongecoate wapening worden ondersteund.

De afschuifspanning in de aanhechting en de aanhechtingssterkte van staven op druk worden analoog aan die van staven op trek berekend, maar daarbij worden de vergelijkingen uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 gebruikt.

Het is ook mogelijk om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie vindt u hier: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden bepaald.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

waarbij A_b de doorsnede van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf.

Of als de som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht, die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de wapeningsstaaf en ook met de verankeringsomstandigheden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarbij F_lim,add de extra kracht is die wordt berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd kleiner zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in CSFM zijn een rechte staaf (d.w.z. zonder reductie voor het ankereinde), een haak van 90 graden, een haak van 180 graden, perfecte aanhechting en een doorlopende staaf. Al deze typen zijn, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, voor langswapening weergegeven in Fig. 67. De waarden van de toegepaste verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de formule uit AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 met de formules uit AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Merk op dat CSFM, ondanks de verschillende beschikbare opties, drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte bij een genormaliseerde verankering en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels (beschikbaar voor liggerelementen) is altijds β = 1,0.

Om aan AASHTO te voldoen, moet de verankeringsveer in de berekening worden gebruikt. De verankeringsveer wordt aangepast met de coëfficiënt β, dus de gebruiker moet een van de beschikbare verankeringstypen kiezen bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening. 

Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we twee grote groepen gedeeltelijk belaste oppervlakken (PLA) tegen. De eerste groep bestaat uit opleggingen, de tweede uit verankeringsgebieden. 

Volgens de huidige normen voor het ontwerp van gewapende betonconstructies moeten bij opleggingen het lokaal verbrijzelen van het beton en de dwarstrek kracht in rekening worden gebracht. Bij een gelijkmatig verdeelde belasting op een oppervlak A₁ kan de drukcapaciteit van het beton tot twee keer worden verhoogd, afhankelijk van het rekenkundige spreidingsoppervlak A₂. Zie AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Voor verankeringszones bij voorspanning met nagerekt staal moet AASHTO LRFD (2024) Article 5.8.4.4 worden gevolgd.

Het gedeeltelijk belaste oppervlak moet voldoende zijn voorzien van dwarswapening, die is ontworpen om de splijtkrachten in het gebied over te brengen. Zonder de vereiste dwarswapening is het niet mogelijk om rekening te houden met een verhoogde drukcapaciteit van het beton.

Gedeeltelijk belaste oppervlakken in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Met CSFM is het mogelijk om gewapende betonconstructies te ontwerpen en te toetsen, waarbij de invloed van de toenemende drukweerstand van het beton in gedeeltelijk belaste oppervlakken wordt meegenomen. Omdat CSFM een wandmodel (2D) is en gedeeltelijk belaste oppervlakken een ruimtelijk (3D) vraagstuk vormen, was het nodig een oplossing te vinden die deze twee verschillende typen vraagstukken combineert (Fig. 69). Als de functie “gedeeltelijk belaste oppervlakken” is geactiveerd, wordt de toelaatbare conusgeometrie aangemaakt volgens ACI (Fig. 68). Alle geometrische botsingen worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven geometrie van de betonnen staaf en de afmetingen van elk PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste oppervlak aangemaakt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Het aanpassen van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak, voornamelijk omdat het toewijzen van eigenschappen aan de eindige-elementen mesh problematisch is. Een aanpak die onafhankelijk is van de eindige-elementen mesh bleek een geschiktere oplossing. Voor de bekende geometrie van de drukconus worden volledig samenhangende fictieve drukdiagonalen aangemaakt (Fig. 70 en Fig. 71). Deze drukdiagonalen hebben dezelfde materiaaleigenschappen als het beton in het model, inclusief het spanning-rekdiagram. De vorm van de conus bepaalt de richting van de drukdiagonalen, die de belasting over het PLA geleidelijk spreiden tot het rekenkundige spreidingsoppervlak. De oppervlaktedichtheid van de fictieve drukdiagonalen varieert in elk deel van de conus en voegt een fictief betonoppervlak toe in de belastingsrichting. Ter hoogte van het belaste oppervlak (A₁) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens de verhouding $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (waarbij A_real het oppervlak van de oplegging is dat in het 2D-rekenmodel wordt aangenomen). Dit oppervlak neemt lineair af tot nul richting het rekenkundige spreidingsoppervlak (A₂). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton constant is over het volledige conusvolume.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

De weerstand van het gedeeltelijk belaste oppervlak wordt verhoogd volgens de verhouding tussen het rekenkundige spreidingsoppervlak en het belaste oppervlak, zoals vastgelegd in AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5.  Houd er rekening mee dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast oppervlak, waarvan de werkelijke krachtsafdracht veel complexer is, niet exact kan beschrijven. Deze oplossing zorgt echter voor een correcte verdeling van de belasting over het hele model, met inachtneming van de verhoogde draagkracht van het gedeeltelijk belaste oppervlak. Bovendien worden in dit gebied op correcte wijze dwarsspanningen geïntroduceerd, zodat de wapening voor splijtkrachten correct kan worden ontworpen.

De toelaatbare oplegspanning van 0.85f_c' is opgenomen in AASHTO LRFD (2024) Article 5.8.4.4. De dichtheid wordt zodanig beperkt dat de maximale dubbele capaciteit uit formule 5.6.5-3 niet wordt overschreden.  

Voor de verankeringszones wordt PLA in de applicatie op dezelfde manier gebruikt als voor opleggingen. Daarom moeten de drukspanningen in de lokale en globale zones, zoals gedefinieerd in Article 5.8.4.4 en 5.8.4.5, handmatig worden getoetst. PLA wordt dan ook alleen gebruikt om te voorkomen dat het rekcriterium in de lokale zone wordt overschreden en de berekening daardoor voortijdig stopt. De wapening die weerstand biedt aan barstspanningen, afspattingsspanningen in het vlak en randtrekspanningen in de algemene zones (gedefinieerd in Article 5.8.4.5) kan daarentegen direct en met voordeel in de applicatie worden getoetst.

Bruikbaarheidstoetsingen worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingsgrenzen. Spanningen worden in beton en wapeningselementen getoetst volgens AASHTO LRFD, op een vergelijkbare manier als voor de Strength.

Spanningsbeperking

De betondrukspanning wordt alleen beoordeeld voor voorgespannen staven (wanneer de belastinggeval Prestressing aanwezig is in het model), als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c = σ_c2 uit de EEM-analyse voor de bruikbaarheidsgrenstoestand en de grenswaarden, die zijn vastgesteld op basis van AASHTO LRFD Tabel 5.9.2.3.2a-1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In de applicatie wordt Voorspanning plus permanente belasting behandeld als een Sustain load en Voorspanning, permanente en veranderlijke belasting als een Total load.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Daarnaast is het altijd mogelijk een analyse uit te voeren voor zowel kortetermijn- als langetermijneffecten, met materiaalmodellen die de kruipfactor wel of niet meenemen. Zie de paragraaf "Materiaalmodellen (AASHTO)".

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Doorbuiging

Directe doorbuigingen en totale doorbuigingen worden bepaald voor elke combinatie waarvoor de doorbuigingsbeoordeling is ingeschakeld. 

• Voor directe doorbuigingen wordt de elasticiteitsmodulus E_c volgens AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.2.4 gebruikt. 
• Voor totale doorbuigingen wordt de effectieve elasticiteitsmodulus E_c,eff volgens AASHTO LRFD (2024) artikel C5.12.5.3.6 gebruikt. 

Zie het hoofdstuk 'Materiaalmodellen (AASHTO) - Beton – Bruikbaarheid' in dit document.

De doorbuigingstoetsing zelf wordt ingeschakeld in het bovenste lint. De gebruiker stelt de grenswaarden voor de doorbuiging in volgens AASHTO LRFD (2024) artikel 2.5.2.6.2, afhankelijk van het type element dat wordt geanalyseerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Doorbuigingen bij ingekorte uiteinden kunnen niet worden getoetst.

Scheurwijdte

Scheurwijdten en scheurrichtingen worden alleen berekend voor langetermijneffecten (met E_c,eff volgens AASHTO LRFD (2024) artikel C5.12.5.3.6) voor combinaties waarvoor de scheurwijdtebeoordeling is ingeschakeld. De toetsingen op basis van door de gebruiker opgegeven grenswaarden zijn als volgt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

waarin:

w         scheurwijdte berekend met de EEM-analyse,

w_lim     grenswaarde van de scheurwijdte, gedefinieerd door de gebruiker.

De grenswaarde w_lim moet worden bepaald op basis van het elementtype en de milieuklasse volgens AASHTO LRFD (2024) artikel 5.6.7 en de bijbehorende toelichting. 

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door de rekken te integreren over 1D-elementen van wapeningsstaven. De scheurrichting wordt vervolgens berekend uit de drie dichtstbijzijnde integratiepunten (gerekend vanaf het midden van het betreffende 1D-eindige element van de wapening) van 2D-betonelementen. Deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen komt weliswaar niet overeen met de werkelijke positie van de scheuren, maar levert toch representatieve waarden op. Deze leiden tot scheurwijdteresultaten die kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdten ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat in CSFM voor sterkteberekeningen is geïmplementeerd, is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rekcurve. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert voor beton onder druk geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rek (na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak aangehouden met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl AS 3600 Cl. 8.3.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die door druk bezwijken niet worden geverifieerd. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2, gedefinieerd in (Fig. 77)), ook de toename van de brosheid van beton bij toenemende sterkte wordt meegenomen door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

α₂ de reductiefactor is voor de druksterkte van beton, gedefinieerd in AS 3600 Cl. 8.3.1
Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rekdiagram moet de maximale drukspanning met deze factor worden gereduceerd. Hierdoor wordt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig gemiddeld dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rekdiagram met een dalende plastische tak. Een analoge benadering is gedefinieerd voor het rechthoekige spanningsblok in Hoofdstuk 8.1.3.

Φ_s de spanningsreductiefactor voor beton is. De standaardwaarde is ingesteld volgens AS 3600 Table 2.2.3.

β de reductiefactor is vanwege de aanwezigheid van dwarsscheuren (in deze tekst ook aangeduid als k_c2)