The theoretical background is based on COMPATIBLE STRESS FIELD DESIGN OF STRUCTURAL CONCRETE
(Kaufmann et al., 2020)

Structural design of concrete discontinuities in IDEA StatiCa Detail

General introduction for the structural design of concrete details
Main assumptions and limitations
Reinforcement structural design
Finite element implementation in IDEA StatiCa Detail
   - Supports and load transmitting components
   - Load transfer at trimmed ends of beams
   - Geometric modification of cross-sections
   - Finite element types
   - Meshing
   - Solution method and load-control algorithm
   - Presentation of results
Structural element verification in IDEA StatiCa Detail
Verification of the structural concrete elements (EN)
   - Material models
   - Safety factors
   - Ultimate limit state analysis
   - Partially loaded areas (PLA)
   - Serviceability limit state analysis

General introduction for the structural design of concrete details

The design and assessment of concrete elements are normally performed at the sectional (1D-element) or point (2D-element) level. This procedure is described in all standards for structural design, e.g., in (EN 1992-1-1), and it is used in everyday structural engineering practice. However, it is not always known or respected that the procedure is only acceptable in areas where Bernoulli-Navier hypothesis of plane strain distribution applies (referred to as B-regions). The places where this hypothesis does not apply are called discontinuity or disturbed regions (D-Regions). Examples of B and D regions of 1D-elements are given in (Fig. 1). These are, e.g., bearing areas, parts where concentrated loads are applied, locations where an abrupt change in the cross-section occurs, openings, etc. When designing concrete structures, we meet a lot of other D-Regions such as walls, bridge diaphragms, corbels, etc. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

In the past, semi-empirical design rules were used for dimensioning discontinuity regions. Fortunately, these rules have been largely superseded over the past decades by strut-and-tie models (Schlaich et al., 1987) and stress fields (Marti 1985), which are featured in current design codes and frequently used by designers today. These models are mechanically consistent and powerful tools. Note that stress fields can generally be continuous or discontinuous and that strut-and-tie models are a special case of discontinuous stress fields.

Despite the evolution of computational tools over the past decades, Strut-and-Tie models are essentially still used as hand calculations. Their application for real-world structures is tedious and time-consuming since iterations are required, and several load cases need to be considered. Furthermore, this method is not suitable for verifying serviceability criteria (deformations, crack widths, etc.).

The interest of structural engineers in a reliable and fast tool to design D-regions led to the decision to develop the new Compatible Stress Field Method, a method for computer-aided stress field design that allows the automatic design and assessment of structural concrete members subjected to in-plane loading.

The Compatible Stress Field Method is a continuous FE-based stress field analysis method in which classic stress field solutions are complemented with kinematic considerations, i.e., the state of strain is evaluated throughout the structure. Hence, the effective compressive strength of concrete can be automatically computed based on the state of transverse strain in a similar manner as in compression field analyses that account for compression softening  (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) and the EPSF method (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Moreover, the CSFM considers tension stiffening, providing realistic stiffnesses to the elements, and covers all design code prescriptions (including serviceability and deformation capacity aspects) not consistently addressed by previous approaches. The CSFM uses common uniaxial constitutive laws provided by design standards for concrete and reinforcement. These are known at the design stage, which allows the partial safety factor method to be used. Hence, designers do not have to provide additional, often arbitrary material properties as are typically required for non-linear FE-analyses, making the method perfectly suitable for engineering practice.

To foster the use of computer-aided stress fields by structural engineers, these methods should be implemented in user-friendly software environments. To this end, the CSFM has been implemented in IDEA StatiCa Detail; a new user-friendly commercial software developed jointly by ETH Zurich and the software company IDEA StatiCa in the framework of the DR-Design Eurostars-10571 project.

1.2 Belangrijkste aannames en beperkingen voor CSFM in 2D

CSFM beschouwt de maximale hoofdspanning in het beton bij druk (σ_c2r) en de spanningen in de wapening (σ_sr) ter plaatse van de scheuren, waarbij de treksterkte van het beton wordt verwaarloosd (σ_c1r = 0), met uitzondering van het stiffening effect op de wapening. Door rekening te houden met tension stiffening kunnen de gemiddelde rekken in de wapening (ε_m) worden gesimuleerd. Er worden fictieve, roterende, spanningsvrije scheuren beschouwd die openen zonder glijding (Fig. 2a); ook het evenwicht ter plaatse van de scheuren en de gemiddelde rekken van de wapening worden in rekening gebracht. 

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Ondanks hun eenvoud is aangetoond dat vergelijkbare aannames nauwkeurige voorspellingen opleveren voor gewapende staven onder vlakke belasting (Kaufmann 1998; Kaufmann en Marti 1998), mits de aanwezige wapening brosse bezwijking bij scheurvorming voorkomt. Bovendien is het niet meenemen van enige bijdrage van de treksterkte van beton aan de uiterste belastingcapaciteit consistent met de beginselen van moderne ontwerpcodes, die grotendeels zijn gebaseerd op de plasticiteitstheorie.

Echter, de CSFM is niet geschikt voor slanke elementen zonder dwarswapening, omdat relevante mechanismen voor dergelijke elementen — zoals aggregaatinterlock, resterende trekspanningen aan de scheurtip en deuvelwerking — die direct of indirect afhankelijk zijn van de treksterkte van het beton, worden verwaarloosd. Hoewel sommige ontwerpcodes het ontwerp van dergelijke elementen toestaan op basis van semi-empirische bepalingen, is de CSFM niet bedoeld voor dit type potentieel brosse constructies.

Beton

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de eenassige druk constitutieve wetten die door ontwerpcodes zijn voorgeschreven voor het ontwerp van doorsneden, en die uitsluitend afhangen van de druksterkte. Het paraboolvormig-rechthoekig diagram (Fig. 2c) wordt standaard gebruikt in de CSFM, maar ontwerpers kunnen ook kiezen voor een meer vereenvoudigde elastisch-ideaal plastische relatie. Bij toetsing volgens de ACI-code kan uitsluitend het paraboolvormig-rechthoekig spanning-rek diagram worden gebruikt. Zoals eerder vermeld, wordt de treksterkte verwaarloosd, zoals ook het geval is bij klassiek gewapend betonontwerp.

De effectieve druksterkte wordt automatisch bepaald voor gescheurd beton op basis van de hoofdrek bij trek (ε₁) door middel van de reductiefactor k_c2, zoals weergegeven in Fig. 2c en e. De geïmplementeerde reductieverhouding (Fig. 2e) is een generalisatie van het voorstel uit de fib Model Code 2010 voor afschuivingsverificaties, dat een grenswaarde van 0,65 bevat voor de maximale verhouding van de effectieve betonsterkte tot de betondruksterkte, welke niet van toepassing is op andere belastinggevallen.

De CSFM in IDEA StatiCa Detail beschouwt geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton bij druk (d.w.z. er wordt een oneindig plastische tak verondersteld na het bereiken van de piekspanning). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk de vervormingscapaciteit te verifiëren van constructies die bezwijken door druk. De uiterste capaciteit wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2) gedefinieerd in (Fig. 2e), de toename van de broosheid van beton bij toenemende sterkte in rekening wordt gebracht door middel van de reductiefactor \( \eta_{fc} \) zoals gedefinieerd in de fib Model Code 2010 als volgt:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

waarbij:

k_c de globale reductiefactor van de druksterkte is

k_c2 de reductiefactor is als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheuren

f_c de karakteristieke cilinderdruksterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van \( \eta_{fc} \)).

Er is ook een reductie van de factor k_c2 vanwege de stabiliteit van de berekening. Deze reductie heeft geen invloed op de totale sterkte van staven. Uitgaande van de waarde f_cd als de gecorrigeerde sterkte van beton (rekenwaarde), wordt de waarde van k_c2 gereduceerd volgens de volgende regels.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 is een lineaire interpolatie tussen 1,0 en de waarde afgelezen uit de
                                                              grafiek weergegeven in Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 wordt direct afgelezen uit de grafiek van Fig. 2f

Wapening

Het geïdealiseerde bilineaire spanning-rek diagram voor onbedekte wapeningsstaven zoals doorgaans gedefinieerd door ontwerpcodes (Fig. 2d) wordt beschouwd. De definitie van dit diagram vereist slechts dat de basiseigenschappen van de wapening bekend zijn tijdens de ontwerpfase (sterkte en ductiliteitsklasse). Een door de gebruiker gedefinieerde spanning-rek relatie kan ook worden ingevoerd.

Tension stiffening wordt verdisconteerd door de invoer spanning-rek relatie van de onbedekte wapeningsstaaf aan te passen, teneinde de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingestorte staven te simuleren (ε_m).

Aanhechting model

Glijding tussen wapening en beton wordt in het eindige-elementenmodel geïntroduceerd door de vereenvoudigde star-perfect plastische constitutieve relatie te beschouwen die is weergegeven in Fig. 2f, waarbij f_bd de rekenwaarde (gecorrigeerde waarde) is van de maximale aanhechting spanning zoals gespecificeerd door de ontwerpcode voor de specifieke aanhechtingscondities.

Dit is een vereenvoudigd model met als enig doel het verifiëren van aanhechtingsvoorschriften volgens ontwerpcodes (d.w.z. verankering van wapening). De reductie van de verankeringslengte bij gebruik van haken, lussen en vergelijkbare staafvormen kan worden beschouwd door een bepaalde capaciteit te definiëren aan het uiteinde van de wapening, zoals verder zal worden beschreven. 

Reinforcement structural design

Workflow and goals

The goal of reinforcement design tools in the CSFM is to help designers determine the location and required amount of reinforcing bars efficiently. The following tools are available to help/ guide the user in this process: linear calculation, topology optimization, and area optimization.

Reinforcement design tools consider more simplified constitutive models than the models used for the final verification of the structure. Therefore, the definition of the reinforcement in this step should be considered a pre-design to be confirmed/refined during the final verification step. The use of the different reinforcement design tools will be depicted on the model shown in Fig. 5, which consists of one end of a simply supported beam with variable depth subjected to a uniformly distributed load.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Reinforcement locations

For regions where the reinforcement layout is not known beforehand, there are two methods available in the CSFM to help the user determine the optimum location of reinforcing bars: linear analysis and topology optimization. Both tools provide an overview of the location of tensile forces in the uncracked region for a certain load case.

Linear analysis

The linear analysis considers linear elastic material properties and neglects reinforcement in the concrete region. It is, therefore, a very fast calculation that provides a first insight into the locations of tension and compression areas. An example of such a calculation is shown in Fig. 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Topology optimization

Topology optimization is a method that aims to find the optimal distribution of material in a given volume for a certain load configuration. The topology optimization implemented in Idea StatiCa Detail uses a linear finite element model. Each finite element may have a relative density from 0 to 100 %, representing the relative amount of material used. These element densities are the optimization parameters in the optimization problem. The resulting material distribution is considered optimal for the given set of loads if it minimizes the total strain energy of the system. By definition, the optimal distribution is also the geometry that has the largest possible stiffness for the given loads.

The iterative optimization process starts with a homogeneous density distribution. The calculation is performed for multiple total volume fractions (20%, 40%, 60% and 80%), which allows the user to select the most practical result, as proposed by . The resulting shape consists of trusses with struts and ties and represents the optimum shape for the given load cases (Fig. 7).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Finite element implementation in IDEA StatiCa Detail

Introduction

The CSFM considers continuous stress fields in the concrete (2D finite elements), complemented by discrete “rod” elements representing the reinforcement (1D finite elements). Therefore, the reinforcement is not diffusely embedded into the concrete 2D finite elements, but explicitly modeled and connected to them. A plane stress state is considered in the calculation model.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Both entire walls and beams, as well as details (parts) of beams (isolated discontinuity region, also called trimmed end), can be modeled. In the case of walls and entire beams, supports must be defined in such a way that an (externally) isostatic (statically determinate) or hyperstatic (statically indeterminate) structure results. The load transfer at the trimmed ends of beams is introduced by means of a special Saint-Venant transfer zone (described in Section 3.3), which ensures a realistic stress distribution in the analyzed detail region.

2.2 Opleggingen en belastingoverdrachtcomponenten

Om de meeste situaties tijdens het bouwproces te modelleren, zijn er in de CSFM veel soorten opleggingen (Fig. 7) en componenten voor het overdragen van belastingen (Fig. 8) beschikbaar.

Opleggingen

Puntopleggingen kunnen op verschillende manieren worden gemodelleerd om te voorkomen dat spanningen in één punt worden geconcentreerd en in plaats daarvan over een groter gebied worden verdeeld. De eerste optie is een verdeelde puntoplegging (Fig. 7a), waarbij de belasting op de rand van de staaf gelijkmatig wordt verdeeld over de opgegeven breedte.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Verschillende soorten opleggingen:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) verdeeld punt; (b) oplegplaat; (c) lijnoplegging; (d) patch-oplegging; (e) hangend.}}}\]

Patch-oplegging (Fig. 7d) kan daarentegen alleen worden geplaatst binnen een betonvolume met een gedefinieerde effectieve straal. Deze wordt vervolgens via stijve elementen verbonden met de knopen van de wapenings-mesh binnen deze straal. Daarom is het vereist om een wapeningskooi rondom de patch-oplegging te definiëren.

Voor een nauwkeurigere modellering van bepaalde praktijksituaties zijn er twee andere opties voor puntopleggingen. Ten eerste is er een puntoplegging met een oplegplaat van gedefinieerde breedte en dikte (Fig. 7b). Het materiaal van de oplegplaat kan worden opgegeven en de volledige oplegplaat wordt onafhankelijk gemeshed. Ten tweede is er een hangende oplegging beschikbaar (Fig. 7e), die kan worden gebruikt voor het modelleren van hijsankers of hijsdeuvels.

Lijnoplegging (Fig. 7c) kan worden gedefinieerd op een rand (door de lengte op te geven) of binnen een element (door een polylijn). Het is ook mogelijk om de stijfheid en/of het niet-lineaire gedrag op te geven (oplegging op druk/trek of alleen op druk).

• Lees gedetailleerde beschrijvingen in Soorten opleggingen in IDEA StatiCa Detail

Belastingoverdrachtcomponenten

Het inleiden van belastingen in de constructie kan ook op verschillende manieren worden gemodelleerd. Voor puntbelastingen kan een oplegplaat (Fig. 8a) worden gebruikt, vergelijkbaar met een puntoplegging, waarbij de geconcentreerde belasting over een groter gebied wordt verdeeld dankzij een stalen plaat met gedefinieerde breedte en dikte. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Verschillende soorten belastingoverdrachtcomponenten:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) oplegplaat; (b) patch-belasting; (c) hangend; (d) gedeeltelijk belast oppervlak.}}}\]

De puntbelasting kan direct op het oppervlak van de constructie worden aangebracht met een gedefinieerde werkingsstraal (belasting wordt aangebracht op de betonelementen) of via een speciaal overdrachtsmechanisme genaamd patch-belasting (Fig. 8b en Fig. 9). Patch-belasting maakt het mogelijk de belasting direct over te dragen aan de gedefinieerde wapening binnen het gebied van de effectieve straal. Om de correcte werking van de patch-belasting te waarborgen, is het noodzakelijk een groep staven te definiëren die worden verbonden met de belasting (in de wapeningseigenschappen). Wanneer de verbonden wapening niet is gedefinieerd, is het belastingoverdrachtmechanisme hetzelfde als voor een puntbelasting op een staafoppervlak, en wordt de belasting via randvoorwaarden overgedragen aan de betonelementen, niet direct aan de wapening. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch-belasting: (a) belastingaanbrengpunt; (b) belasting overgedragen via staven (een groep staven voor de belastingoverdracht is gedefinieerd);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) belasting overgedragen via beton (een groep staven voor de belastingoverdracht is niet gedefinieerd).}}}\]

Hijsankers of hijsdeuvels kunnen worden gemodelleerd door een hangende belasting (Fig. 8c). De gebruiker kan een gedeeltelijk belast oppervlak gebruiken (Fig. 8d), waarmee de draagkracht van beton op druk kan worden vergroot overeenkomstig de Eurocode (dit type belastingoverdrachtcomponent kan niet worden gebruikt wanneer ACI is ingesteld). De constructie kan ook worden belast met lijnbelastingen op de randen, via een algemene polylijn of via oppervlaktebelastingen. De Detail applicatie kan het eigen gewicht automatisch meenemen in de berekening.

2.3 Krachtafdracht bij afgeknipt uiteinden van balken

In veel gevallen hoeven we slechts een detail (deel) van een constructief staaf te modelleren, zoals een balkondersteuning, een opening in het midden van de balk, enz. Deze aanpak kan leiden tot ondersteuningsconfiguraties die onstabiel maar toelaatbaar zijn in IDEA StatiCa Detail (inclusief het geval zonder ondersteuningen). In dergelijke gevallen is het echter ook noodzakelijk om de snede te modelleren die de verbinding met het aangrenzende B-gebied vertegenwoordigt, inclusief de inwendige krachten in deze snede die het evenwicht voldoen. In bepaalde gevallen (bijv. bij het modelleren van een balkondersteuning) kunnen deze inwendige krachten automatisch door het programma worden bepaald.

Tussen het B-gebied en het geanalyseerde discontinuïteitsgebied wordt automatisch een Saint-Venant-overgangszone gecreëerd om een realistische spannningsverdeling in het geanalyseerde gebied te waarborgen. De breedte van de overgangszone wordt bepaald als de helft van de hoogte van de doorsnede. Omdat het enige doel van de Saint-Venant-zone is om een juiste spannningsverdeling in de rest van het model te bereiken, worden er geen resultaten uit dit gebied weergegeven bij de verificatie en worden hier geen stopcritereria gehanteerd.

De rand van de Saint-Venant-zone die het afgeknipt uiteinde van de balk vertegenwoordigt, wordt gemodelleerd als stijf, d.w.z. deze mag roteren maar moet vlak blijven. Dit wordt gedaan door alle EEM-knopen van de rand te verbinden met een afzonderlijke knoop in het traagheidscentrum van de doorsnede via een stijf lichaamselement (RBE2). De inwendige krachten van het element kunnen vervolgens worden aangebracht in deze knoop, zoals weergegeven in Fig. 10.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

2.4 Geometrische aanpassing van doorsneden

Reductie van de doorsnede wordt automatisch uitgevoerd voor constructies die zijn gedefinieerd als een balk- of raamverbinding (gedefinieerd door de x-as en een doorsnede). Deze aanpassing wordt automatisch toegepast op doorsneden met zeer brede flenzen (Fig. 11) en is gebaseerd op de aanname dat een drukspanningsveld zich vanuit de wand uitbreidt onder een hoek van 45°, zodat de genoemde gereduceerde breedte de maximale breedte is die in staat is belastingen over te dragen.

Merk op dat de methode voor het bepalen van de effectieve flensbreedtte die in CSFM is geïmplementeerd, verschilt van de methode beschreven in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) of in 9.2.4.4 ACI 318-19. Naast de geometrie wordt de op Eurocode gebaseerde effectieve flensbreedtte expliciet beïnvloed door de overspanningslengten en de randvoorwaarden van een constructie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

In het geval van consoles in het horizontale vlak (Fig. 12) wordt elke console verdeeld in vijf secties over de lengte. Elk van deze secties wordt vervolgens gemodelleerd als een wand met een constante dikte, die gelijk is aan de werkelijke dikte in het midden van de betreffende sectie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

2.5 Eindige Elementen typen

Het niet-lineaire (inelastische) eindige elementen analysemodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemaild en vervolgens met elkaar verbonden via meerpuntsrandvoorwaarden (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening een willekeurige, relatieve positie innemen ten opzichte van het beton. Als de verificatie van de verankeringslengte moet worden berekend, worden bond- en veerelementen voor het verankeringseinduiteinde ingevoegd tussen de wapening en de MPC-elementen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Beton

Beton wordt gemodelleerd met vierhoekige en driehoekige schaalselementen, CQUAD4 en CTRIA3. Deze kunnen worden gedefinieerd door respectievelijk vier of drie knopen. In deze elementen wordt uitsluitend vlakke spanning verondersteld, d.w.z. spanningen of rekken in de z-richting worden niet beschouwd.

Elk element heeft vier of drie integratiepunten die op ongeveer 1/4 van de elementgrootte zijn geplaatst. In elk integratiepunt van elk element worden de richtingen van de hoofdrekken α₁, α₂ berekend. In beide richtingen worden de hoofdspanningen σ_c1, σ_c2 en de stijfheden E₁, E₂ bepaald aan de hand van het opgegeven spanning-rek diagram voor beton, zoals weergegeven in Fig. 2. Opgemerkt dient te worden dat het effect van compression softening het gedrag in de hoofddrukrichting koppelt aan de actuele toestand in de andere hoofdrichting.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd door twee-knoop 1D "staaf"-elementen (CROD), die uitsluitend axiale stijfheid bezitten. Deze elementen zijn verbonden met speciale "bond"-elementen die zijn ontwikkeld om het glijgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze bond-elementen worden vervolgens via MPC-elementen (meerpuntsrandvoorwaarden) verbonden met de mesh die het beton vertegenwoordigt. Deze aanpak maakt onafhankelijke meshing van wapening en beton mogelijk, terwijl de onderlinge verbinding achteraf wordt gewaarborgd.

Bond-elementen

De verankeringslengte wordt geverifieerd door de bond-schuifspanningen tussen betonelementen (2D) en wapeningsstaafelementen (1D) in het eindige elementenmodel op te nemen. Hiertoe is een "bond" eindige elementtype ontwikkeld.

De definitie van het bond-element is vergelijkbaar met die van een schaalelement (CQUAD4). Het wordt eveneens gedefinieerd door 4 knopen, maar in tegenstelling tot een schaal heeft het uitsluitend een niet-nul stijfheid in afschuiving tussen de twee bovenste en twee onderste knopen. In het model zijn de bovenste knopen verbonden met de elementen die de wapening vertegenwoordigen en de onderste knopen met die welke het beton vertegenwoordigen. Het gedrag van dit element wordt beschreven door de bondspanning, τ_b, als een bilineaire functie van de glijding tussen de bovenste en onderste knopen, δ_u, zie Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

De elastische stijfheidsmodulus van de bond-glijrelatie, G_b, wordt als volgt gedefinieerd:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

waarbij:

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard k_g = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (aangenomen als E_cm in geval van EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gecorrigeerde waarden) van de maximale bond-schuifspanning, f_bd, zoals vermeld in de respectievelijk geselecteerde normen EN 1992-1-1 of ACI 318-19, worden gebruikt voor de verificatie van de verankeringslengte. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als G_b/10⁵.

Veerelement voor verankering

Het aanbrengen van verankeringsuiteindes aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van de normen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) te reduceren met een bepaalde factor β (hierna aangeduid als de 'verankeringscoëfficiënt'). De rekenwaarde van de verankeringslengte (l_b) wordt dan als volgt berekend:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

De beoogde reductie van l_b,net is equivalent aan de activering van de wapeningsstaaf aan het uiteinde op een percentage van zijn maximale capaciteit, gegeven door de verankeringsreductiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

De reductie van de verankeringslengte is in het eindige elementenmodel opgenomen door middel van een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 15), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model weergegeven in Fig. 15b. De maximale kracht die door dit veerelement wordt overgedragen (F_au) is:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

waarbij:

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het verankeringstype,

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf,

f_yd           de rekenwaarde (gecorrigeerde waarde) van de vloeigrens van de wapening.

2.6 Mesh

De eindige elementen zijn intern geïmplementeerd en het analysemodel wordt automatisch gegenereerd zonder dat hiervoor specifieke gebruikersinteractie vereist is. Een belangrijk onderdeel van dit proces is het meshen.

Beton

Alle betonnen stavven worden samen gemeshed. Een aanbevolen elementgrootte wordt automatisch berekend door de applicatie op basis van de afmetingen en vorm van de constructie, rekening houdend met de diameter van de grootste wapeningsstaf. Bovendien garandeert de aanbevolen elementgrootte dat minimaal 4 elementen worden gegenereerd in dunne delen van de constructie, zoals slanke kolommen of dunne platen, om betrouwbare resultaten in deze gebieden te waarborgen. Het maximale aantal betonelementen is beperkt tot 5000, maar deze waarde is voldoende om de aanbevolen elementgrootte te bieden voor de meeste constructies. Ontwerpers kunnen altijd een door de gebruiker gedefinieerde betonelement grootte selecteren door de vermenigvuldiger van de standaard mesh-grootte aan te passen.

Wapening

De wapening wordt verdeeld in elementen met ongeveer dezelfde lengte als de betonelement grootte. Zodra de wapening- en betonmeshes zijn gegenereerd, worden ze onderling verbonden met aanhechtingselementen zoals weergegeven in Fig. 13.

Oplegplaten

Hulpconstructieve onderdelen, zoals oplegplaten, worden onafhankelijk gemeshed. De grootte van deze elementen wordt berekend als 2/3 van de grootte van betonelementen in het verbindingsgebied. De knopen van de oplegplaat-mesh worden vervolgens verbonden met de randknopen van de betonmesh met behulp van interpolatie-randvoorwaarde-elementen (RBE3).

Belastingen en opleggingen

Vlakbelastingen en vlaksteunpunten zijn alleen verbonden met de wapening, zoals weergegeven in Fig. 16. Daarom is het noodzakelijk om de wapening rondom deze te definiëren. Verbinding met alle knopen van de wapening binnen de effectieve straal wordt gewaarborgd door RBE3-elementen met gelijk gewicht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Lijnsteunpunten en lijnbelastingen zijn verbonden met de knopen van de betonmesh via RBE3-elementen op basis van de opgegeven breedte of effectieve straal. Het gewicht van de verbindingen is omgekeerd evenredig met de afstand tot het steunpunt of de belastingsimpuls.

• Lees meer over de onderlinge verbinding tussen individuele belastingen en mesh in Algemene beschrijving van belastingsimpulsen in de Detail applicatie

2.7 Oplossingsmethode en belastingsregelalgoritme

Een standaard volledig Newton-Raphson (NR) algoritme wordt gebruikt om de oplossing van een niet-lineair EEM-probleem te vinden. 

Over het algemeen convergeert het NR-algoritme niet vaak wanneer de volledige belasting in één stap wordt opgelegd. Een gebruikelijke aanpak, die hier ook wordt toegepast, is om de belasting stapsgewijs in meerdere incrementen op te leggen en het resultaat van het vorige belastingincrement te gebruiken als startpunt voor de Newton-oplossing van het volgende increment. Hiervoor is een belastingsregelalgoritme geïmplementeerd bovenop het Newton-Raphson algoritme. In het geval dat de NR-iteraties niet convergeren, wordt het huidige belastingincrement gehalveerd en worden de NR-iteraties opnieuw uitgevoerd.

Een tweede doel van het belastingsregelalgoritme is het vinden van de kritieke belasting, die overeenkomt met bepaalde "stopcriteriums" – met name de maximale rek in beton, de maximale slip in aanhechting-elementen, de maximale verplaatsing in verankeringselementen en de maximale rek in wapeningsstaven. De kritieke belasting wordt gevonden met de bisectiemethode. In het geval dat het stopcriterium ergens in het model wordt overschreden, worden de resultaten van het laatste belastingincrement verworpen en wordt een nieuw increment van de helft van de vorige grootte berekend. Dit proces wordt herhaald totdat de kritieke belasting is gevonden met een bepaalde fouttolerantie.

Voor beton werd het stopcriterium ingesteld op een rek van 5% bij druk (d.w.z. ongeveer een orde van grootte groter dan de werkelijke bezwijkrek van beton) en 7% bij trek in de integratiepunten van schaalelementen. Bij trek werd de waarde zo ingesteld dat de grensrek in de wapening, die doorgaans rond de 5% ligt zonder rekening te houden met tension stiffening, als eerste wordt bereikt. Bij druk werd de waarde gekozen uit meerdere alternatieven als een waarde die groot genoeg is zodat de effecten van verbrijzelen zichtbaar zijn in de resultaten, maar klein genoeg om niet te veel problemen met numerieke stabiliteit te veroorzaken.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Voor wapening wordt het stopcriterium gedefinieerd in termen van spanningen. Omdat de spanningen ter plaatse van de scheur worden gemodelleerd, komt het criterium bij trek overeen met de treksterkte van de wapening, rekening houdend met de veiligheidscoëfficiënt. Dezelfde waarde wordt gebruikt voor het criterium bij druk.

Het stopcriterium in aanhechting-elementen en verankeringsveeren is α·δu_max, waarbij δu_max de maximale slip is die wordt gebruikt bij normtoetsingen en α = 10.

2.8 Presentatie van resultaten

Resultaten worden afzonderlijk gepresenteerd voor beton en voor wapeningselementen. De spanning- en rekwaarden in beton worden berekend in de integratiepunten van schaalelementen. Omdat het niet praktisch is om de gegevens op deze manier te presenteren, worden de resultaten standaard in knopen gepresenteerd, zoals de maximale waarde van de drukspanning van aangrenzende Gauss-integratiepunten in verbonden elementen (Fig. 18). Opgemerkt moet worden dat deze weergave de resultaten lokaal kan onderschatten aan de gedrukte randen van staven in het geval dat de grootte van het eindige element vergelijkbaar is met de diepte van de drukzone.

Fig. 18 - Beton eindig element met integratiepunten en knopen: presentatie van de resultaten voor beton in knopen en in eindige elementen.

De resultaten voor de wapening eindige elementen zijn ofwel constant voor elk element (één waarde – bijv. voor staalspanningen) of lineair (twee waarden – voor aanhechting resultaten). Voor hulpelementen, zoals elementen van oplegplaten, worden alleen vervormingen gepresenteerd.

3.1 Grenstoestanden en scheurwijdteberekening

Beoordeling van de constructie met behulp van de CSFM wordt uitgevoerd door twee verschillende analyses: één voor bruikbaarheid en één voor belastingcombinaties in de uiterste grenstoestand. De bruikbaarheidsanalyse gaat ervan uit dat het uiterste gedrag van het element bevredigend is en dat de vloeivoorwaarden van het materiaal niet worden bereikt bij belastingsniveaus voor de bruikbaarheidsgrenstoestand. Deze aanpak maakt het gebruik van vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineaire tak van het spanning-rek diagram van beton) voor bruikbaarheidsanalyse mogelijk om de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid te verbeteren. Daarom wordt aanbevolen de hieronder gepresenteerde werkwijze te gebruiken, waarbij de analyse van de uiterste grenstoestand als eerste stap wordt uitgevoerd.

Analyse van de uiterste grenstoestand

De verschillende verificaties die door specifieke ontwerpcodes worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechting schuifspanningen).

Om ervoor te zorgen dat een constructief element een efficiënt ontwerp heeft, wordt sterk aanbevolen een voorlopige analyse uit te voeren waarbij rekening wordt gehouden met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritische belastingcombinaties.
• Bereken alleen belastingcombinaties voor de Uiterste Grenstoestand (UGT).
• Gebruik een grof mesh (door de vermenigvuldiger van de standaard mesh-grootte in Setup te vergroten (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Een dergelijk model berekent zeer snel, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle verificatievereisten is voldaan voor de meest kritische belastingcombinaties. Zodra aan alle verificatievereisten van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt gesuggereerd de volledige uiterste belastingcombinaties op te nemen en een fijn mesh te gebruiken (de mesh-grootte die door het programma wordt aanbevolen). De gebruiker kan de mesh-grootte wijzigen via de vermenigvuldiger, die waarden kan bereiken van 0,5 tot 5 (Fig. 19).

De basisresultaten en verificaties (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde uit de norm), evenals de richting van de hoofdspanningen in het geval van betonelementen) worden weergegeven door middel van verschillende plots waarbij druk over het algemeen in rood en trek in blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningspercentages (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven worden weergegeven. Bovendien kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastinggevallen worden gepresenteerd.

Analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbegrenzing, scheurwijdte en doorbuigingsgrenzen. Spanningen worden gecontroleerd in beton- en wapeningselementen overeenkomstig de toepasselijke norm op een vergelijkbare wijze als gespecificeerd voor de UGT.

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. Er wordt een perfecte aanhechting aangenomen, d.w.z. de verankeringslengte wordt niet geverifieerd bij bruikbaarheid. Bovendien wordt de plastische tak van de spanning-rek curve van beton in druk buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid, en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet zolang de resulterende materiaalspanningsgrenzen bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door normen). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten is voldaan.

Scheurwijdteberekening en tension stiffening

Scheurwijdteberekening

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen: gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Op basis van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor niet-gestabiliseerd scheurvorming model).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Terwijl de CSFM voor de meeste verificaties een direct resultaat geeft (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen…), worden scheurwijdteresultaten berekend uit de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EE-analyse worden geleverd, volgens de methodologie beschreven in Fig. 20. Er wordt uitgegaan van een scheurkinematica zonder glijding (zuivere scheuropening) (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de helling van de scheuren (θ_r = θ_s= θ_e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaf (w_b), wat leidt tot:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

waarbij θ_b de stafinclinate is.

Let op: het programma geeft waarden weer van θ_r en θ_b < π/2. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking geldt voor gevallen waarbij de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het Cartesisch coördinatenstelsel lopen, zoals weergegeven in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. kwadrant. Voor gevallen waarbij de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

De component w_b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor die gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e_m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s_r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert zij toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaf.

Bijzondere situaties doen zich voor bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek de positie van een enkele scheur die zich op niet-gestabiliseerde wijze gedraagt voordat aangrenzende scheuren zich ontwikkelen. Deze aanvullende scheuren ontwikkelen zich over het algemeen na het bruikbaarheidsgebied (Mata-Falcón 2015), wat het rechtvaardigt om de scheurwijdten in een dergelijk gebied te berekenen alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard als volledig gescheurd beschouwd vóór belasting.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – waarvan is aangetoond dat het uitstekende responsvoorspellingen oplevert ondanks zijn eenvoud (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapt, star-perfect plastisch aanhechting-schuifspanning-glijdingsverband met τ_b = τ_b0 =2 f_ctm voor σ_s ≤ f_y en τ_b =τ_b1 = f_ctm voor σ_s > f_y. Door elke wapeningsstaf als een trekkoord te beschouwen ­– Fig. 22b en Fig. 22a – kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, staal- en betonspanningen en daarmee de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) ter plaatse van de scheuren.

Voor s_r = s_r0 kan al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ_c1 = f_ct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s_r = λs_r0, met l = 0,5…1,0. Bij een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van het koord (ε_m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. spanningen ter plaatse van de scheuren, σ_sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rek diagram voor de wapeningsstaven dat standaard in de CSFM wordt gehanteerd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

waarbij:
E_sh           de staalverhardingsmodulus E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø            diameter van de wapeningsstaf,

s_r                scheurafstand,

σ_sr           wapeningsspanningen ter plaatse van de scheuren,

σ_s            actuele wapeningsspanningen,

f_y                vloeigrens van de wapening.

De Idea StatiCa Detail implementatie van de CSFM houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat aansluit bij aanbevelingen op basis van buigings- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Opgemerkt dient te worden dat bij de berekening van scheurwijdten een maximale scheurafstand (λ = 1,0) wordt gehanteerd om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikte betonoppervlakte die tussen de scheuren op trek werkt aan elke wapeningsstaf cruciaal. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ_eff = A_s/A_c,eff) voor elke configuratie, inclusief schuine wapening (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ_cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening in staat is de scheurlast op te nemen zonder te vloeien, worden veroorzaakt door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortgang van scheuren die worden beheerst door andere wapening. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

waarbij:

f_y              vloeigrens van de wapening,

f_ct             treksterkte van het beton,

n              modulaire verhouding, n = E_s / E_c .

Voor gangbaar beton en wapeningsstaal bedraagt ρ_cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ_cr wordt scheurvorming als niet-gestabiliseerd beschouwd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM) beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormingscapaciteit van het beton op trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische aanhechtingsschuifspanning-glijdingsrelatie wordt aangenomen als gebruikt door het TCM. Dit maakt het mogelijk om de wapeningsrekverdeling (ε_s) in de nabijheid van de scheur te bepalen voor elke maximale staalspanning ter plaatse van de scheur (σ_sr) rechtstreeks uit evenwicht. Gezien het feit dat de scheurafstand onbekend is bij een niet-volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε_m) berekend voor elk belastingsniveau over de afstand tussen punten met nulglijding wanneer de wapeningsstaf zijn treksterkte (f_t) bereikt ter plaatse van de scheur (l_ε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende betrekkingen:

De voorgestelde modellen maken de berekening mogelijk van het gedrag van verankerde wapening, dat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest gangbare Europese wapeningsstaal (B500B, met f_t / f_y = 1,08 en ε_u = 5%) is weergegeven in Fig. 22c-d.

Constructieve elementcontroles volgens Eurocode

Beoordeling van de constructie met behulp van de CSFM wordt uitgevoerd door twee verschillende analyses: één voor de bruikbaarheidsgrenstoestand en één voor belastingcombinaties in de uiterste grenstoestand. De bruikbaarheidsanalyse gaat ervan uit dat het uiterste gedrag van het element bevredigend is en dat de vloeigrens van het materiaal niet wordt bereikt bij belastingsniveaus in de BGT. Deze aanpak maakt het gebruik van vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineair deel van het spanning-rek diagram van beton) voor de bruikbaarheidsanalyse mogelijk, om de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid te verbeteren.

4.1 Materiaalmodellen (EN)

Beton - UGT

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de eenassige druk constitutieve wetten zoals voorgeschreven door EN 1992-1-1 voor het ontwerp van doorsneden, die alleen afhangen van de druksterkte. Het paraboolvormig-rechthoekig diagram zoals gespecificeerd in EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) wordt standaard gebruikt in de CSFM, maar constructeurs kunnen ook kiezen voor een meer vereenvoudigde elastisch-ideaal plastische relatie volgens EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals ook het geval is in het klassieke gewapend betonontwerp.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

De implementatie van de CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton op druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak beschouwd met ε_cu2 (ε_cu3) met een waarde van 5%, terwijl EN 1992-1-1 een uiterste rek van minder dan 0,35% aanneemt). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om de vervormingscapaciteit te verifiëren van constructies die bezwijken op druk. De uiterste capaciteit f_cd volgens EN 1992-1-1 3.1.3 wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 25)), de toename van de broosheid van beton bij toenemende sterkte in rekening wordt gebracht door middel van de \(\eta_{fc}\) reductiefactor zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

waarbij:

α_cc is de coëfficiënt die rekening houdt met langetermijneffecten op de druksterkte en met ongunstige effecten als gevolg van de wijze waarop de belasting wordt aangebracht. Deze is conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). De standaardwaarde is 1,0.

k_c is de globale reductiefactor van de druksterkte

k_c2 is de reductiefactor als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheuren

f_ck is de karakteristieke cilinderdruksterkte van beton (in MPa voor de definitie van \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}\]

Beton - BGT

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. De plastische tak van de spanning-rek curve van beton op druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. De compression softening wet wordt niet meegenomen. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningsgrenzen bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door de Eurocode). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten is voldaan.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langetermijneffecten

Bij de bruikbaarheidsanalyse worden de langetermijneffecten van beton meegenomen via een effectieve oneindige kruipcoëfficiënt (\(\varphi\), standaard ingesteld op 2,5) die de secansmodulus van elasticiteit van beton (E_cm) aanpast conform EN 1992-1-1, paragraaf 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5) als volgt:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Bij het meenemen van langetermijneffecten wordt eerst een belastingstap met alle permanente belastingen berekend met de kruipcoëfficiënt (d.w.z. met de effectieve elasticiteitsmodulus van beton, E_c,eff), waarna de aanvullende belastingen worden berekend zonder de kruipcoëfficiënt (d.w.z. met E_cm). Daarnaast wordt voor de kortetermijnverificaties een aparte berekening uitgevoerd waarbij alle belastingen worden berekend zonder de kruipcoëfficiënt. Beide berekeningen voor de lang- en kortetermijnverificaties zijn weergegeven in Fig. 26.

Kruipfactoren worden door de gebruiker gedefinieerd in de materiaaleigenschappen en dienen te worden berekend conform EN 1992-1-1, Fig. 3.1.

Wapening

Standaard wordt het geïdealiseerde bilineaire spanning-rek diagram voor onbedekte wapeningsstaven zoals gedefinieerd in EN 1992-1-1, paragraaf 3.2.7 (Fig. 27) gehanteerd. De definitie van dit diagram vereist alleen dat de basiseigenschappen van de wapening bekend zijn tijdens de ontwerpfase (sterkte en duktiliteitsklasse). Wanneer bekend, kan de werkelijke spanning-rek relatie van de wapening (warmgewalst, koudbewerkt, geblust en zelfontlaten, …) worden meegenomen. Het spanning-rek diagram van de wapening kan door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk het tension stiffening effect te veronderstellen (het is niet mogelijk de scheurwijdte te berekenen). Het gebruik van het spanning-rek diagram met een horizontale bovenste tak maakt verificatie van de constructieve duurzaamheid niet mogelijk. Daarom is handmatige verificatie van de standaard duktiliteitseisen noodzakelijk.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Tension stiffening (Fig. 28)  wordt automatisch meegenomen door de invoer spanning-rek relatie van de onbedekte wapeningsstaaf aan te passen om de gemiddelde stijfheid van de in beton ingestorte staven te beschrijven (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

4.2 Veiligheidsfactoren

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpcodes. Omdat de rekenmodellen uitsluitend standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het partiële veiligheidsfactorenformaat dat in de ontwerpcodes is voorgeschreven zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoriseerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met behulp van de respectieve veiligheidscoëfficiënten die in de ontwerpcodes zijn voorgeschreven, precies zoals bij conventionele betonberekeningen. Waarden van materiaalveiligheidsfactoren voorgeschreven in EN 1992-1-1 hfst. 2.4.2.4 zijn standaard ingesteld, maar de gebruiker kan veiligheidsfactoren wijzigen in de Code- en berekeningsinstellingen (Fig. 29).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Belastingsveiligheidsfactoren moeten door de gebruiker worden gedefinieerd in Combinatieregels voor elke niet-lineaire combinatie van belastinggevallen (Fig. 30). Voor alle templates die zijn geïmplementeerd in Idea StatiCa Detail, zijn partiële veiligheidsfactoren reeds voorgedefinieerd.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Door gebruik te maken van door de gebruiker gedefinieerde combinaties van partiële veiligheidsfactoren kunnen gebruikers ook berekeningen uitvoeren met de CSFM via de globale weerstandsfactormethode (Navrátil, et al. 2017), maar deze aanpak wordt in de ontwerppraktijk nauwelijks gebruikt. Sommige richtlijnen bevelen het gebruik van de globale weerstandsfactormethode aan voor niet-lineaire analyse. Bij vereenvoudigde niet-lineaire analyses (zoals de CSFM), waarbij alleen die materiaaleigenschappen vereist zijn die ook bij conventionele handberekeningen worden gebruikt, verdient het partiële veiligheidsformaat echter nog steeds de voorkeur.

4.3 Analyse van de uiterste grenstoestand

De verschillende verificaties die vereist zijn door EN 1992-1-1 worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningststerkte en verankering (aanhechting schuifspanningen).

De betonsterkte bij druk wordt beoordeeld als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning σ_c = σ_c2 verkregen uit de EE-analyse en de grenswaarde σ_c,lim = f_cd. 

De sterkte van de wapening wordt beoordeeld bij zowel trek als druk als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren σ_sr en de opgegeven grenswaarde σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

waarbij:

f_yk        vloeigrens van de wapening volgens EN 1992-1-1 Art. 3.2.3,

k          de verhouding van de treksterkte f_tk tot de vloeigrens,
            \(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s             is de partiële veiligheidsfactor voor wapening

De aanhechtingsschuifspanning wordt afzonderlijk beoordeeld als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b berekend via EE-analyse en de uiterste aanhechtingssterkte f_bd, volgens EN 1992-1-1 par. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

waarbij:

f_ctd      is de rekenwaarde van de treksterkte van beton volgens EN 1992-1-1 Art. 3.1.6 (2). Vanwege de toenemende broosheid van hogersterk beton is f_ctk,0.05 begrensd tot de waarde voor C60/75 volgens EN 1992-1-1 Art. 8.4.2 (2)

η₁       is een coëfficiënt gerelateerd aan de kwaliteit van de aanhechtingsomstandigheden en de positie van de staaf tijdens het betonnen (Fig. 31).

η₁ = 1,0 wanneer 'goede' omstandigheden aanwezig zijn en

η₁ = 0,7 voor alle overige gevallen en voor staven in constructieve elementen gebouwd met glijbekisting, tenzij aangetoond kan worden dat 'goede' aanhechtingsomstandigheden aanwezig zijn

η₂        is gerelateerd aan de staafdiameter:

            η₂ = 1,0 voor Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 voor Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

In IDEA StatiCa Detail worden de aanhechtingsomstandigheden in aanmerking genomen volgens Fig. 31 c) en d). De betonneerrichting kan in de applicatie voor elk projectonderdeel als volgt worden ingesteld.

Deze verificaties worden uitgevoerd met betrekking tot de toepasselijke grenswaarden voor de respectieve delen van de constructie (d.w.z. ondanks het gebruik van één kwaliteit voor zowel beton als wapeningstmateriaal, zullen de uiteindelijke spanning-rek diagrammen in elk deel van de constructie verschillen vanwege tension stiffening en compression softening effecten).

Er is ook een optie om gladde staven te modelleren. Meer informatie is hier te vinden: Gladde staven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

waarbij A_s de oppervlakte van de wapeningsstaaf is en σ_s de spanning in de staaf.

Of als de som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht die verkregen kan worden door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de uiterste sterkte van de staaf en ook de verankeringsomstandigheden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

waarbij F_lim,add de aanvullende kracht is berekend uit de grootte van de hoek tussen aangrenzende elementen. F_lim,2 moet altijd kleiner zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in de CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie van het verankeringsgedeelte), buiging, haak, lus, gelaste dwarsstang, perfecte aanhechting en doorgaande staaf. Al deze typen, samen met de respectieve verankeringscoëfficiënten β, zijn weergegeven in Fig. 32 voor langswapening en in Fig. 33 voor beugels. De waarden van de gehanteerde verankeringscoëfficiënten zijn in overeenstemming met EN 1992-1-1 paragraaf 8.4.4 Tab. 8.2. Opgemerkt dient te worden dat ondanks de verschillende beschikbare opties, de CSFM drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte bij een genormaliseerde verankering en (iii) perfecte aanhechting.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Om te voldoen aan EN 1992-1-1 dient de verankeringsveer in de berekening te worden gebruikt; de verankeringsveer wordt aangepast met de β-coëfficiënt, zodat de gebruiker een van de beschikbare verankeringstypen moet gebruiken bij het definiëren van de begin- en eindcondities van de wapening. 

4.4 Gedeeltelijk belaste gebieden (PLA)

Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we twee grote groepen gedeeltelijk belaste gebieden (PLA) tegen - de eerste groep omvat opleggingen, terwijl de andere bestaat uit verankeringsgebieden. Volgens de momenteel geldende normen voor het ontwerp van gewapend betonconstructies EN 1992-1-1 hfdst. 6.7 (Fig. 34), dient rekening te worden gehouden met plaatselijk verbrijzelen van het beton en dwarse trekkrachten voor gedeeltelijk belaste gebieden. Voor een gelijkmatig verdeelde belasting op een oppervlak A_c0, kan de drukweerstand van het beton worden verhoogd tot driemaal, afhankelijk van het rekenmatige verdelingsoppervlak A_c1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

Het gedeeltelijk belaste gebied moet voldoende worden bewapend met dwarse wapening die is ontworpen om de scheurende krachten over te dragen die in het gebied optreden. Voor het ontwerp van dwarse wapening in gedeeltelijk belaste gebieden wordt de Staafwerk-methode gebruikt conform de Eurocode. Zonder de vereiste dwarse wapening is het niet mogelijk om de verhoogde drukweerstand van het beton in rekening te brengen.

Gedeeltelijk belaste gebieden in de CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Met behulp van de CSFM is het mogelijk om gewapend betonconstructies te ontwerpen en te beoordelen, waarbij de invloed van de toenemende drukweerstand van beton in gedeeltelijk belaste gebieden wordt meegenomen. Omdat de CSFM een wand- (2D) model is en de gedeeltelijk belaste gebieden een ruimtelijke (3D) opgave zijn, was het noodzakelijk een oplossing te vinden die deze twee verschillende typen opgaven combineert (Fig. 35). Als de functie "gedeeltelijk belaste gebieden" is geactiveerd, wordt de toelaatbare kegelgeometrie aangemaakt conform de Eurocode (Fig. 34). Alle geometrische conflicten worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven betonstaafgeometrie en de afmetingen van elke PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste gebied aangemaakt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

De aanpassing van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak te zijn, voornamelijk omdat het toewijzen van eigenschappen aan de eindige elementen mesh problematisch is. Er werd vastgesteld dat een aanpak die onafhankelijk is van de eindige elementen mesh een meer geschikte oplossing is. Voor de bekende drukkegelgeometrie worden volledig coherente fictieve drukdiagonalen aangemaakt (Fig. 35 en Fig. 37). Deze drukdiagonalen hebben identieke materiaaleigenschappen als het beton dat in het model wordt gebruikt, inclusief het spanning-rek diagram. De vorm van de kegel bepaalt de richting van de drukdiagonalen, die de belasting geleidelijk verdeelt over de PLA naar het rekenmatige verdelingsoppervlak. De oppervlaktedichtheid van de fictieve drukdiagonalen is variabel in elk deel van de kegel en voegt een fictief betonoppervlak toe in de belastingsrichting. Op het niveau van het belaste oppervlak (A_c0) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens de verhouding \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\)  (waarbij A_real het oppervlak is van de oplegging zoals aangenomen in het 2D rekenmodel), en dit oppervlak neemt lineair af naar nul in de richting van het rekenmatige verdelingsoppervlak (A_c1). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton constant is over het gehele kegelvolume.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

De weerstand van het gedeeltelijk belaste gebied wordt verhoogd volgens de verhouding van het rekenmatige verdelingsoppervlak en het belaste oppervlak zoals vastgelegd in EN 1992-1-1  (6.7).  Er dient rekening mee te worden gehouden dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast gebied niet nauwkeurig kan beschrijven, waarvan de werkelijke verdeling veel gecompliceerder is. Deze oplossing maakt echter een correcte verdeling van de belasting over het gehele model mogelijk, met inachtneming van de verhoogde belastingscapaciteit van het gedeeltelijk belaste gebied. Bovendien introduceert het op correcte wijze dwarse spanningen in dit gebied.

Bij gebruik van de functie voor gedeeltelijk belaste gebieden om de toename van de drukweerstand van beton te simuleren, is het noodzakelijk de normtoetsing afzonderlijk uit te voeren conform EN 1992-1-1, paragraaf 6.7 (2). De dwarse trekkrachten (splijtkrachten) die door de wapening worden overgedragen, worden automatisch gecontroleerd.

4.5 Analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbegrenzing, scheurwijdte en doorbuigingslimieten. Spanningen worden gecontroleerd in beton- en wapeningselementen volgens EN 1992-1-1 op een vergelijkbare wijze als voorgeschreven voor de UGT.

Spanningsbegrenzing

De drukspanning in het beton dient te worden begrensd om langsscheuren te vermijden. Volgens EN 1992-1-1 par. 7.2 (2) kunnen langsscheuren optreden als het spanningsniveau onder de karakteristieke lastencombinatie een waarde k₁f_ck overschrijdt. De betonspanning in druk wordt beoordeeld als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning σ_c = σ_c2 verkregen uit de EE-analyse voor bruikbaarheidsgrenstoestanden en de grenswaarde σ_c,lim. Dan geldt:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

waarbij:

f_ck        karakteristieke cilindersterkte van het beton,

k₁         =0.6.

Als de spanning in het beton onder de quasi-permanente belastingen kleiner is dan k₂f_ck volgens EN 1992-1-1 art. 7.2(3), mag lineaire kruip worden aangenomen. Als de spanning in het beton k₂f_ck overschrijdt, dient niet-lineaire kruip in beschouwing te worden genomen (zie EN 1992-1-1 art. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kan alleen lineaire kruip volgens EN 1992-1-1 art. 3.1.4 (3) worden aangenomen (zie Materiaalmodellen (EN)).

Onaanvaardbare scheurvorming of vervorming kan worden geacht te zijn vermeden als, onder de karakteristieke lastencombinatie, de trekspanning in de wapening k₃f_yk niet overschrijdt (EN 1992-1-1 par. 7.2 (5)). De sterkte van de wapening wordt beoordeeld als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren σ_s = σ_sr en de opgegeven grenswaarde σ_s,lim:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}\]

waarbij:

f_yk        vloeigrens van de wapening,

k₃        =0.8.

Doorbuiging

Doorbuigingen kunnen alleen worden beoordeeld voor wanden of isostatisch (statisch bepaalde) of hyperstatisch (statisch onbepaalde) liggers. In deze gevallen wordt de absolute waarde van de doorbuigingen beschouwd (vergeleken met de begintoestand vóór belasting), en de maximaal toelaatbare waarde van de doorbuigingen dient door de gebruiker te worden ingesteld. Doorbuigingen aan afgesneden uiteinden kunnen niet worden gecontroleerd, omdat dit in wezen instabiele constructies zijn waarbij het evenwicht wordt bereikt door het toevoegen van eindkrachten, waardoor de doorbuigingen onrealistisch zijn. Kortetermijn u_z,st of langetermijn u_z,lt doorbuiging kan worden berekend en getoetst aan door de gebruiker gedefinieerde grenswaarden:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

waarbij:

u_z         kortetermijn- of langetermijndoorbuiging berekend door EE-analyse,

u_z,lim    grenswaarde van de doorbuiging gedefinieerd door de gebruiker.

Scheurwijdte

Scheurwijdten en -richtingen worden alleen berekend voor langetermijneffecten (met gebruik van E_c,eff) voor combinaties waarbij de beoordeling van de scheurwijdte is ingeschakeld. Verificaties op basis van door de gebruiker opgegeven grenswaarden in overeenstemming met de Eurocode worden als volgt gepresenteerd:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

waarbij:

w         scheurwijdte berekend door EE-analyse,

w_lim     grenswaarde van de scheurwijdte gedefinieerd door de gebruiker.

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door de rekken op 1D-elementen van wapeningsstaven te integreren. De scheurrichting wordt vervolgens berekend uit de drie dichtstbijzijnde (vanuit het middelpunt van het betreffende 1D eindige element van de wapening) integratiepunten van 2D-betonelementen. Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert zij toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaf.

References

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.

Toegevoegde downloads

• Theoretical Background 20.pdf (PDF, 2,1 MB)